ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 797
Скачиваний: 1
любые новые ортонормированные комбинации вырожденных волно-
вых функций также будут собственными функциями гамильтони-
ана, соответствующими той же энергии
. Построим вещественные
волновые функции
2
p
-состояний следующим образом:
ψ
p
x
(
r, θ, φ
) =
1
√
2
(
ψ
211
(
r, θ, φ
) +
ψ
21¯
1
(
r, θ, φ
)) =
√
2
Cr
exp
−
r
2
a
·
x
;
ψ
p
y
(
r, θ, φ
) =
1
√
2
i
(
ψ
211
(
r, θ, φ
)
−
ψ
21¯
1
(
r, θ, φ
)) =
√
2
Cr
exp
−
r
2
a
·
y
;
ψ
p
z
(
r, θ, φ
) =
ψ
210
(
r, θ, φ
) =
√
2
Cr
exp
−
r
2
a
·
z.
Волновые функции связанных состояний электронов (одночастич-
ные состояния) в изолированных атомах называются
атомными орби-
талями
. Отметим, что рассмотрение стационарных состояний прово-
дилось нами без учёта
спина
. При рассмотрении стационарных связан-
ных состояний электрона в центральном поле с учётом спина (но при
пренебрежимо малом спин-орбитальном взаимодействии и в отсутствие
внешнего магнитного поля) волновая функция имеет четыре кванто-
вых числа:
n
,
ℓ
,
m
ℓ
,
m
s
, где
m
ℓ
– магнитное орбитальное, а
m
s
–
магнитное спиновое квантовые числа. Такие волновые функции назы-
ваются
спин-орбиталями
.
1.3. Компьютерная программа
Радиальное уравнение Шрёдингера
d
2
R
(
r
)
dr
2
+
2
m
e
E
~
2
−
2
m
e
U
(
r
)
~
2
−
ℓ
(
ℓ
+ 1)
r
2
R
(
r
) = 0
.
(44)
со сферически симметричным потенциалом
U
(
r
)
общего вида
не имеет,
вообще говоря, аналитических решений. Следовательно, уравнение (44)
необходимо решать численно. Как и в случае одномерной задачи, будем
искать энергии и волновые функции основного и низковозбужденных
состояний приближенно, модифицируя потенциал следующим образом:
U
(
r
) =
U
0
(
r
)
, r < r
max
;
∞
,
r
≥
r
max
,
(45)
26
где
U
0
(
r
)
– точная потенциальная функция. Идеология алгоритма ана-
логична рассмотренной ранее (см. параграф 1.1.2). Для тестирования
компьютерной программы решения уравнения (44) разумно восполь-
зоваться известными частными результатами для кулоновского потен-
циала – формулами для энергий и волновых функций стационарных
связанных состояний атома водорода. Написать такую программу и вы-
полнить её тестирование предоставляется читателю. Чтобы облегчит
эту задачу, ниже приведен код, который для известного значения энер-
гии электрона основного состояния в атоме водорода позволяет числен-
но рассчитать нормированную вспомогательную радиальную волновую
функцию с использованием потенциала вида (45). Используется атом-
ная система единиц Хартри. В отличие от программы, приведенной в
параграфе 1.1.3, задача Коши решается с помощью встроенной функ-
ции ядра СКМ Mathematica. Во избежание возможных проблем с ки-
риллическими надписями, текст на русском языке приводится только в
комментариях.
1
Clear["Global‘*"];
2
Off[General::spell];
3
Off[General::spell1];
4
n=1;
(* главное квантовое число
*)
5
l=0;
(* орбитальное квантовое число *)
6
e=-1/(2*n^2); (* энергия электрона
*)
7
rmin=0.001;
8
rmax=40.;
9
{{res}}=NDSolve[{R’’[r]+(2*e+2/r-l*(l+1)/r^2)*R[r]==0,
10
R’[rmax]==-1,R[rmax]==0},R[r],{r,rmin,rmax}];
11
s=NIntegrate[(R[r]/.res)^2,{r,rmin,rmax}];
12
qnorm=1/Sqrt[Abs[s]];
13
Print["qnorm=",qnorm];
14
R1s[r_Real]:=N[(2*r)*Exp[-r]];
15
f1=PaddedForm[qnorm*R[r]/.res,{10,7}];
16
f2=PaddedForm[R1s[r],{10,7}];
17
t="-----------------------------------------";
18
Print[t];
19
Print[" r
Numerical
Analytical"];
20
Print[t];
21
For[r=rmin,r<=4,r=r+0.5,
27
22
Print[PaddedForm[r]," ",f1," ",f2]];
23
Print[t];
24
s1=NIntegrate[R1s[r]^2,{r,rmin,rmax}];
25
(* test for R1s *)
26
Print[" Normalizing for analitical R1s: ",s1];
27
ps1={{Thickness[0.009],RGBColor[1,0,0]}};
28
as1={AbsoluteThickness[1],RGBColor[0,0,1]};
29
al1={"r, a.u.","R1s(r)"};
30
name="Numerical result for R1s(r)";
31
df={"Arial-Oblique-Bold",12};
32
Plot[qnorm*(R[r]/.res),{r,rmin,rmax/4},
33
PlotStyle->ps1,AxesStyle->as1,AxesLabel->al1,
34
GridLines->Automatic,PlotLabel->name,DefaultFont->df,
35
AspectRatio->1,Background->CMYKColor[0,0.1,0.1,0]];
Программа проста и не заслуживает каких-либо пояснений. Результаты
выполнения этого кода: таблица (приведена ниже) и рис. 9.
qnorm = 6.62519 10^{-16}
-------------------------------
r
Numerical
Analytical
-------------------------------
0.001
0.0019980
0.0019980
0.501
0.6071363
0.6071363
1.001
0.7357585
0.7357585
1.501
0.6691672
0.6691672
2.001
0.5410705
0.5410705
2.501
0.4101788
0.4101788
3.001
0.2985233
0.2985233
3.501
0.2112308
0.2112307
-------------------------------
1.3.1. Условия задач.
Задача №1.
С помощью СКМ Mathematica получить аналитические
формулы для радиальных и угловых частей волновых функций элек-
трона в атоме водорода
1
s
-,
2
s
-,
3
s
-,
2
p
-,
3
p
-,
4
p
-,
3
d
-,
4
d
-,
5
d
- состояний путем упрощения формул (38) и (25).
28
2
4
6
8
10
r , a.u.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
R1s
H
r
L
Numerical result for R1s
H
r
L
Рис. 9. Функция
R
1
s
(
r
)
.
Указание: использовать библиотечные функции ядра СКМ Mathematica
для вырожденной гипергеометрической и шаровой функций.
Задача №2.
Построить графики радиальных волновых функций элек-
трона в атоме водорода
1
s
-,
2
s
-,
3
s
-,
2
p
-,
3
p
-,
4
p
-,
3
d
-,
4
d
-,
5
d
- состояний. Убедиться, что они имеют
n
r
=
n
−
ℓ
−
1
узлов для
r
∈
(0
,
∞
]
.
Указание: использовать результаты предыдущей задачи.
Задача №3.
Построить графики радиальной части плотности вероят-
ности
D
nℓ
(
r
) = 4
πr
2
f
2
nℓ
(
r
)
в
1
s
- и
2
s
- состояниях для
r
∈
[0
,
8]
(
r
– в атомных единицах ). Определить, при каких
r
радиальная часть
плотности вероятности имеет максимумы и минимумы.
Задача №4.
Построить полярные диаграммы угловых частей волновых
функций
2
p
x
,
2
p
y
,
2
p
z
и проанализировать полученные изображения.
Указание: для построения полярной диаграммы на радиусах-векторах,
отвечающих всем возможным значениям углов, отложить модуль угло-
вой части волновой функции для соответствующих
θ
и
φ
. Полученная
29
поверхность и есть полярная диаграмма. Построить трехмерные графи-
ки или/и проекции полярных диаграмм на плоскости XY, XZ и YZ. Ис-
пользовать встроенные функции СКМ Mathematica ParametricPlot3D
или/и ParametricPlot.
Задача №5.
Написать программу для численного решения радиального
уравнения со сферически симметричным потенциалом произвольного
вида (44). Для тестирования использовать результаты для кулоновского
потенциала (28). Вывести таблицы и графики. Выполнить сравнение с
аналитическими результатами.
30