Файл: Методичка по ФОКИ.pdf

X

U(X)

Рис. 1. Потенциальное поле

U

(

x

)

.

Оценим нижнюю границу энергетического спектра. Пусть мини-

мальное значение потенциальной функции равно

U

min

. Очевидно, что

h

T

i ≥

0

и

h

U

i

> U

min

. Потому, из уравнения (1) следует, что

E

=

h

H

i ≡

+

∞

Z

−∞

ψ

∗

(

x

) ˆ

H ψ

(

x

)

dx

=

h

T

i

+

h

U

i

> U

min

.

(4)

То есть, энергии всех состояний

> U

min

.

Особый практический интерес представляет случай, когда

lim

x

→±∞

U

(

x

) = 0

.

(5)

Потенциал такого типа (называемый также

потенциальной ямой

) изоб-

ражен на рис. (1). Для данной

U

(

x

)

свойства решений уравнения Шре-

дингера зависят от знака собственного значения

E

. Рассмотрим два

случая.

1)

E <

0

. Частица с отрицательной энергией совершает

финит-

ное

движение. Оператор Гамильтона имеет

дискретный

спектр, то есть

собственные значения и соответствующие собственные функции мож-
но снабдить номерами (называемые

квантовыми числами

). При

E <

0

6

уравнение (1) приобретает вид

ˆ

Hψ

k

(

x

) =

E

k

ψ

k

(

x

)

.

(6)

Квантовые состояния дискретного спектра называют

связанными

со-

стояниями. Частица, находящаяся в связанном состоянии, не способна
уйти на бесконечность. То есть,

плотность вероятности

|

ψ

k

(

x

)

|

2

→

0

при

x

→ ±∞

, но на всех конечных расстояниях

6

= 0

. В силу линейно-

сти стационарного уравнения Шрёдингера, волновые функции

матема-

тически

определены с точностью до постоянного множителя. Однако,

из

физических

соображений, волновые функции должны быть норми-

рованы следующим образом

+

∞

Z

−∞

|

ψ

k

(

x

)

|

2

dx

= 1

.

(7)

Можно показать, что собственные значения дискретного спектра в од-
номерном случае

невырождены

.

2)

E >

0

. Частица совершает

инфинитное

движение. Оператор Га-

мильтона имеет

непрерывный

спектр собственных значений. Квантовые

состояния непрерывного спектра называют

несвязанными

состояниями.

Частица, находящаяся в несвязанном состоянии, способна уйти на бес-
конечность.

В дальнейшем мы будем заниматься численным моделированием

квантовых состояний только дискретного спектра. При этом необхо-
димо пользоваться

осцилляционной теоремой

.

Осцилляционная теорема.

Упорядочим собственные значения опе-

ратора Гамильтона в порядке возрастания, нумеруя энергию ос-
новного состояния индексом «0»:

E

0

,

E

1

,

E

2

,

. . .

,

E

k

,

. . .

. Тогда

волновая функция

k

-го состояния

ψ

k

(

x

)

будет иметь

k

узлов (то

есть, пересечений с осью абсцисс). Исключения: области, в которых
потенциальная функция бесконечна.

Если интересоваться только основным и низковозбужденными со-

стояниями, то решение уравнения Шрёдингера упрощается путем пре-
образования потенциала на рис. (1) к виду, представленному на рис.

7

X

U(X)

a

b

Рис. 2. Модифицированное потенциальное поле

U

(

x

)

.

(2). На этом рисунке в точках

a

и

b

по оси абсцисс построены бес-

конечные потенциальные стенки. Тогда волновые функции

ψ

k

(

x

) = 0

для

x /

∈

(

a, b

)

. Это позволяет создать сравнительно простой алгоритм.

Разумеется, положения бесконечных потенциальных стенок подбирают-
ся так, чтобы численные значения актуальных энергетических уровней
изменялись в допустимых пределах при сдвигах

a

влево, а

b

вправо.

Для тестирования программы необходимо использовать известные

аналитические результаты. Так, можно показать, что для прямоуголь-
ной потенциальной ямы с бесконечными стенками (см. рис. (3)) соб-
ственные значения даются формулой

E

k

=

k

2

π

2

~

2

8

ma

2

,

k

= 1

,

2

,

3

,

4

, . . .

(8)

Соответствующие волновые функции:

ψ

k

(

x

) =



























1

√

a

cos

π

2

kx

a

,

k

= 1

,

3

,

5

,

7

, . . .

1

√

a

sin

π

2

kx

a

,

k

= 2

,

4

,

6

,

8

, . . .

(9)

8

Из формулы (8) следует, что энергия основного состояния равна

E

1

.

Волновые функции, представленные на рис. (4), хорошо иллюстрируют
осцилляционную теорему.

X

U(X)

-a

+a

Рис. 3. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечными стенками.

0

0

(

)

-a

+a

1

2

3

Рис. 4. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечными стенками:

волновые функции

ψ

1

(

x

)

,

ψ

2

(

x

)

и

ψ

3

(

x

)

.

9

1.1.2. Алгоритм

Как уже говорилось выше, мы будем интересоваться только основ-

ным и низко возбужденными состояниями

электрона

для потенциаль-

ного профиля, изображенного на рис. (2). В этом случае граничные
условия для волновой функции имеют очевидный вид

ψ

(

a

) =

ψ

(

b

) = 0

.

(10)

Для решения уравнения Шредингера удобно использовать

атомные

единицы

(см. Приложение 1). В этих единицах уравнение (6) приобре-

тает вид

−

1
2

∇

2

+

U

(

x

)

ψ

(

x

) =

E ψ

(

x

)

.

(11)

Преобразуем (11) к форме

d

2

ψ

(

x

)

dx

2

+

q

(

E, x

)

ψ

(

x

) = 0

,

(12)

где

q

(

E, x

) = 2[

E

−

U

(

x

)]

.

(13)

Решение стационарного уравнения Шредингера сводится к нахождению
собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона,
которые будем вычислять по изложенному ниже алгоритму..

Так как для собственных значений известна оценка снизу (4), то

удобно начинать с вычисления энергии и волновой функции основного
состояния. Оценим грубо энергию основного состояния. Подставим зна-
чение этой энергии в уравнение (11). Это уравнение теперь становится
обыкновенным дифференциальным уравнением 2-го порядка с гранич-
ными условиями (10). Предположим, что наша оценка

точно

совпада-

ет с собственным значением. Тогда, численно решая задачи Коши для
полученного дифференциального уравнения интегрированием «вперед»
(начальный узел сетки на левой границе) и интегрированием «назад»
(начальный узел сетки на правой границе), мы должны получить для
соответствующей волновой функции практически одинаковые резуль-
таты. На практике оценка собственного значения в нулевом приближе-
нии существенно отличается от точного результата. Поэтому волновые

10