ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 795
Скачиваний: 1
Приложение 1. Атомные единицы Хартри
В атомной системе в качестве исходных единиц приняты следующие:
e
– абсолютная величина заряда электрона;
~
– постоянная Планка;
m
e
– масса электрона. То есть, в атомных единицах Хартри
e
= 1
,
~
= 1
и
m
e
= 1
. Как и в гауссовой системе единиц, диэлектрическая
Таблица 1. Некоторые единицы атомной системы Хартри.
Величина
Формула определения
Значение в гауссовой
системе единиц
Длина
ℓ
=
~
2
m
e
e
2
=
a
0
5
.
292
·
10
−
9
см
(0.5292 ˚
A)
Масса
m
=
m
e
9
.
109
·
10
−
28
г
Время
t
=
~
3
m
e
e
4
2
.
419
·
10
−
17
c
Скорость
v
=
e
2
~
=
αc
2
.
188
·
10
8
см / c
Сила
F
=
m
e
e
6
~
4
8
.
237
·
10
−
3
дин
Импульс
p
=
m
e
e
2
~
1
.
993
·
10
−
19
г
·
см / с
Энергия
W
=
m
e
e
4
~
2
4
.
360
·
10
−
11
эрг
(27.212 эВ)
Заряд
Q
=
e
4
.
803
·
10
−
10
ед. СГС
Потенциал
электростатич.
ϕ
=
m
e
e
3
~
2
9
.
076
·
10
−
2
ед.
СГС (27.212 В)
постоянная вакуума безразмерна и равна единице. Поэтому энергия
31
взаимодействия двух электронов имеет вид
U
=
e
2
r
.
Используя эту формулу можно определить все остальные единицы из-
мерения [5]. В табл. 1 приведены некоторые из них;
α
в этой таблице
– постоянная тонкой структуры,
α
≈
1
/
137
.
Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водо-
рода в атомной «хартриевской» системе единиц имеет вид
−
∇
2
2
−
Z
r
ψ
(
r
) =
E ψ
(
r
)
.
Следует учитывать, что в научной литературе также используется атом-
ная «ридберговская» система единиц, в которой это уравнение Шредин-
гера приобретает следующую форму
−
∇
2
2
−
2
Z
r
ψ
(
r
) =
E ψ
(
r
)
.
32
Приложение 2. Метод Нумерова
Численное интегрирование дифференциального уравнения второго
порядка вида
d
2
ψ
(
x
)
dx
2
+
q
(
E, x
)
ψ
(
x
) =
S
(
x
)
(46)
при известном начальном условии для функции удобно выполнить ме-
тодом Нумерова. Этот метод часто используется при решении задач
квантовой механики. Однако, в стандартных курсах по численным ме-
тодам он, как правило, не рассматривается. Поэтому получим расчет-
ную формулу этого метода для данного частного случая
S
(
x
) = 0
(см.
формулу (11)).
Разложим функцию
ψ
(
x
)
в ряд Тейлора вблизи
x
= 0
:
ψ
(
x
) =
ψ
(0) +
ψ
′
(
x
)
|
0
·
x
+
1
2!
ψ
′ ′
(
x
)
|
0
·
x
2
+
1
3!
ψ
′ ′ ′
(
x
)
|
0
·
x
3
+
. . .
(47)
Будем считать, что нам известны значения функции в узлах одномерной
сетки c постоянным шагом
h
:
ψ
n
≡
ψ
(
x
n
);
x
n
=
n
·
h
(
n
= 0
,
±
1
,
±
2
,
±
3
,
· · ·
)
.
Из (47) следует, что
ψ
±
1
=
ψ
0
±
ψ
′
0
·
h
+
1
2
ψ
′ ′
0
·
h
2
±
1
6
ψ
′ ′ ′
0
·
h
3
+
1
24
ψ
′ ′ ′ ′
0
·
h
4
. . .
(48)
Используя (48), получаем
ψ
1
−
2
ψ
0
+
ψ
−
1
h
2
=
ψ
′ ′
0
+
h
2
12
·
ψ
′ ′ ′ ′
0
+
O
(
h
4
)
.
(49)
Для произвольного узла
n
имеем
ψ
n
+1
−
2
ψ
n
+
ψ
n
−
1
h
2
=
ψ
′ ′
n
+
h
2
12
·
ψ
′ ′ ′ ′
n
+
O
(
h
4
)
.
(50)
Исключим значение четвертой производной функции в n-м узле сетки.
Воспользовавшись формулой (46), можно выразить эту величину в виде
ψ
′ ′ ′ ′
n
=
−
(
q
n
·
ψ
n
)
′ ′
.
(51)
Далее, из (50) следует оценка
ψ
′ ′
n
≈
ψ
n
+1
−
2
ψ
n
+
ψ
n
−
1
h
2
,
(52)
33
что позволяет приближенно представить четвертую производную функ-
ции (51) формулой
ψ
′ ′ ′ ′
n
≈
q
n
+1
ψ
n
+1
−
2
q
n
ψ
n
+
q
n
−
1
ψ
n
−
1
h
2
.
(53)
Подставляя (53) в (50), получаем
ψ
n
+1
−
2
ψ
n
+
ψ
n
−
1
h
2
=
−
q
n
ψ
n
−
h
2
12
q
n
+1
ψ
n
+1
−
2
q
n
ψ
n
+
q
n
−
1
ψ
n
−
1
h
2
+
O
(
h
4
)
.
1 +
h
2
12
q
n
+1
·
ψ
n
+1
−
2
1
−
5
h
2
12
q
n
·
ψ
n
+
1 +
h
2
12
q
n
−
1
·
ψ
n
−
1
=
O
(
h
6
)
.
Разрешив это уравнение относительно
ψ
n
+1
или
ψ
n
−
1
, получим ре-
куррентные формулы для интегрирования соответственно «вперед» или
«назад». Итак, для интегрирования «вперед» имеем
ψ
n
+1
= [2(1
−
5
c q
n
)
ψ
n
−
(1 +
c q
n
−
1
)
ψ
n
−
1
] (1 +
c q
n
+1
)
−
1
,
а для интегрирования «назад»:
ψ
n
−
1
= [2(1
−
5
c q
n
)
ψ
n
−
(1 +
c q
n
+1
)
ψ
n
+1
] (1 +
c q
n
−
1
)
−
1
,
Здесь
c
=
h
2
/
12
. Отметим, что метод Нумерова имеет локальную по-
грешность
O
(
h
6
)
. Точность метода Рунге-Кутты четвертого порядка,
которым можно воспользоваться для интегрирования эквивалентной си-
стемы двух уравнений первого порядка, имеет погрешность
O
(
h
5
)
.
34
Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивист-
ская теория. М.: Физматлит, 2004. 800 с.
2. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992. 518 с.
3. Воробьев Е. М. Введение в систему символьных, графических и чис-
ленных вычислений «Математика - 5». М.: ДИАЛОГ - МИФИ, 2005.
368 с.
4. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Hаука, 1973. 703 с.
5. Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. М.:
Наука, 1977. 334 с.
35