ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 428
Скачиваний: 1
Можно показать, что
0
( )
(
)
n
n
n
m
P m
p
q
(47).
Так, при
n
=2 вероятность исходов равна
p
2
pq qp q
2
. При трех
независимых испытаниях возможно 2
3
=8 исходов, вероятности которых
распределяются следующим образом:
(p+q)
3
=p
3
+3p
2
q+3pq
2
+q
3
.
Таким образом, закон биномиального распределения выражается не
только формулой Бернулли, но и формулой бинома Ньютона:
1
2
2
(
1)
(
)
...
1 2
n
n
n
n
n
n n
p
q
p
np
q
p
q
q
(48).
Так, например, при
n
=10 возможны 2
10
=1024 исхода. Если этот ряд
представить в виде графика, получится полигон биномиального
распределения, где ординаты соответствуют членам разложения бинома
(1/2+1/2)
10
. Биномиальная кривая строго симметрична относительно
максимальной
ординаты,
являющейся
центром
биномиального
распределения (рис. 32).
Рис. 32. Распределение вероятностей двучлена (1/2+1/2)
n
.
Распределение вероятностей соответствует коэффициентам разложения
бинома Ньютона, отнесенным к одному и тому же знаменателю, равному 2
n
.
Биномиальные коэффициенты легко вычислить при помощи треугольника
Паскаля, в котором каждая цифра находится суммированием двух цифр,
стоящих над ней (рис. 7).
Рис. 33. Треугольник Паскаля.
Характер биномиальной кривой определяется двумя величинами:
числом испытаний
n
и вероятностью
p
ожидаемого результата. При
p=q
биномиальная кривая строго симметрична и по мере увеличения числа
испытаний приобретает все более плавный ход, приближаясь к своему
пределу – нормальной кривой. Если
p
q
, биномиальная кривая становится
асимметричной и тем сильнее, чем больше разница между
p
и
q
.
Пример.
Какова вероятность появления 0, 1, 2, 3, 4, 5 детей мужского
пола в числе 5-и новорожденных?
Можно показать, что возможна серия из 5-и повторных наблюдений с
2-я исходами. При этом появление детей мужского пола может иметь в серии
различное числовое выражение от 0 до 5, как и противоположное событие
(появление детей женского пола). В каждом испытании вероятность
появления мальчика или девочки будет одинаковой и равной 1/2. Определяем
Р
5
(0)=0,03125; Р
5
(1)=0,15625; Р
5
(2)=0,3125; Р
5
(3)=0,3125; Р
5
(4)=0,15625;
Р
5
(5)=0,03125.
Распределение Пуассона
-
Другие
люди, - бормотал он, ходя взад и
вперед по комнате и время от времени
посматривая в зеркало, чтобы убедиться, что
он никуда не делся, -
другие
люди ведут
кипучую, интересную жизнь. С ними
происходят удивительные вещи…у них
бывают
приключения
. Так почему же я этого
лишен?
(Дж. Даррелл. Рози - моя родня)
Когда вероятность события очень мала и исчисляется сотыми и
тысячными долями единицы, распределение частот таких редких событий в
n
независимых испытаний становится крайне асимметричным. Для описания
такого рода распределений редких событий служит формула Пуассона:
( )
!
!
m
m
a
n
a
a
a
P m
e
m
m e
(49),
где
a
np
– наивероятнейшая частота ожидаемого события;
m
– частота
ожидаемого события в
n
независимых испытаний.
Формула Пуассона позволяет определить вероятность для любых
значений
а
от 0 до
n
.
Чтобы формула Пуассона выражала не вероятности, а ожидаемые
абсолютные частоты
f
редкого события, ей придают следующий вид:
!
m
x
x
f
n
e
m
(50).
Здесь
f
- теоретические ординаты кривой распределения Пуассона,
или ожидаемое число случаев редкого события в каждом отдельно взятом
классе испытания – 0, 1, 2, 3 и т.д.;
n
– число испытаний;
x
- среднее число
фактически наблюдаемых случаев (взятое вместо
а
).
Распределение
Пуассона
–
частный
случай
биномиального
распределения. Оно, как и биномиальное распределение, приближается к
нормальной кривой при возрастании числа
a
np
.
Этому распределению хорошо соответствуют явления типа
регистрации радиоактивности, прибытия самолетов, обрывов нити в ткацком
производстве, число масляных пятен на участке поверхности и т.п.
Проверка гипотез о законах распределения
Эмпирический вариационный ряд и его график – вариационная кривая
- не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения
совокупности, из которой взята выборка. На величине любого варьирующего
признака сказывается влияние многочисленных, в том числе и случайных,
факторов, искажающих четкую картину варьирования. Между тем знание
закона распределения позволяет избежать возможных ошибок в оценке
генеральных параметров по выборочным характеристикам.
Поверка выборочного распределения на нормальность может быть
проведена несколькими способами, каждый из которых дополняет друг
друга:
1. Глазомерный метод в качестве предварительной субъективной
оценки может быть осуществлен по рисунку гистограммы выборочного
распределения с наложенной кривой плотности вероятности нормального
распределения.
2. Проверка по коэффициентам асимметрии и эксцесса.
3. Проверка распределения по критериям Колмогорова, омега-квадрат
и хи-квадрат:
а)
критерий Колмогорова
реагирует на наибольшую разность между
распределениями, которая обычно проявляется вблизи максимума функции
плотности вероятности, поэтому он плохо приспособлен для выявления
различий на концах распределений;
б)
критерий омега-квадрат (
2
)
является более равномерным,
учитывая различия между распределениями на всем интервале выборочных
значений, однако он сравнительно менее исследован в плане составления
таблиц критических значений и предельных аппроксимаций для различных
типов распределений;
в)
критерий Пирсона хи-квадрат (
2
)
также достаточно равномерно
учитывает различия во всем диапазоне, однако требует большой
осторожности при своем применении к непрерывным распределениям,
поскольку его результаты существенно зависят от объема выборки и
разбиения выборочного пространства на интервалы.
Критерий согласия или соответствия
2
предложен в 1900 г. К.
Пирсоном.
Этот
критерий
представляет
сумму
квадратов
отклонений
эмпирических частот
f
от вычисленных или ожидаемых частот
f
, отнесенную
к теоретическим частотам:
2
2
2
1
1
(
)
(
)
k
k
i
i
f
f
d
f
f
(51).
Величина критерия
2
всегда положительна. При полном совпадении
эмпирических частот с вычисленными или ожидаемыми частотами
2
= 0.
Распределение вероятных значений случайной величины
2
является
непрерывным и асимметричным, оно зависит от числа степеней свободы
k
и
приближается к нормальному по мере увеличения числа испытаний
n
.
Для того чтобы оценки были более точными, выборка, распределяемая
в вариационный ряд, должна содержать не менее 50 вариант. Поэтому часто
считают, что применение критерия
2
требует, чтобы в крайних классах
вариационного ряда содержалось не менее 5 вариант. Если в крайних классах
содержится меньше, чем 5 вариант, то вычисленные теоретические и
эмпирические частоты объединяются до указанного минимума и
соответственно
уменьшается
число
классов
вариационного
ряда.
(Существует и другая точка зрения на минимальные значения теоретических
частот
f
, которые могут находиться в разных классах вариационного ряда.
Согласно ей, при
n>
50
k>
6 одно из значений
f
может быть снижено даже до