ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 427
Скачиваний: 1
Асимметрия и эксцесс
Показатели
асимметрии
и
эксцесса
характеризуют степень
несимметричности выборочного распределения относительно среднего
значения и степень выраженности его центрального пика.
Для симметричного распределения каждому имеющемуся значению
случайной величины слева от
x
соответствует такое значение случайной
величины справа от
x
, которое дает с ним такую же (но с противоположным
знаком) разность и наблюдается такое же число раз. Поэтому сумма разностей
(
x
—х
i
),
умноженных на
P
i
, для симметричного распределения равна нулю. Этот
результат не меняется, если возвести все разности
(
x
—х
i
)
в любую нечетную
степень. Именно поэтому в качестве показателя асимметрии применяется
математическое ожидание куба отклонения случайной величины от среднего
значения. Этот показатель делят на куб среднего квадратического отклонения,
чтобы получить безразмерную величину.
Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле:
3
1
3
(
)
n
i
i
i
s
x
P
A
(44)
При строго симметричных распределениях
A
s
=0. При наличии
скошенности распределения этот показатель будет иметь положительную
(при правосторонней асимметрии) либо отрицательную (при левосторонней
асимметрии) величину.
Графически асимметрия выражается в виде скошенной вариационной
кривой, вершина которой может находиться левее или правее центра
распределения. В первом случае асимметрия называется
правосторонней
,
или
положительной
, а во втором –
левосторонней
, или
отрицательной
(по
знаку числовой характеристики).
а
б
Рис. 30. Асимметричные кривые (а – отрицательная асимметрия; б –
положительная асимметрия)
Наряду с асимметричными встречаются
островершинные
или
плосковершинные
распределения
.
Показатель
эксцесса
характеризует
крутизну спадания распределения в области его математического ожидания.
Островершинность
кривой
распределения
вызывается
чрезмерным
накоплением частот в центральных классах вариационного ряда, вследствие
чего вершина вариационной кривой оказывается сильно поднятой вверх. В
таких случаях говорят о
положительном эксцессе распределения
. Кроме
островершинных встречаются и двух- и многовершинные кривые, а также
плосковершинные и двугорбые кривые, что свидетельствует о наличии у
такого распределения
отрицательного эксцесса
.
а
б
Рис. 31. Крутовершинная кривая (а)– положительный эксцесс и
плосковершинная кривая (б)– отрицательный эксцесс в сравнении с
нормальной кривой.
Показатель эксцесса выражается формулой:
4
1
4
(
)
n
i
i
i
x
x
P
E
(45).
При отсутствии эксцесса E
x
=0. В случае положительного эксцесса
показатель приобретает положительный знак и может иметь самую
разнообразную величину. При плосковершинности и двугорбости
вариационной кривой коэффициент эксцесса имеет отрицательный знак;
предельная величина отрицательного эксцесса равна минус двум.
Величина асимметрии и эксцесса может быть различной, поэтому ее
важно не только обнаружить, но и измерить. Для одного из важнейших
законов распределения — закона Гаусса - плотность распределения которого
изображается кривой колоколообразной формы,
Е
х
=3.
Все остальные
симметричные распределения, таким образом, как бы сравниваются с
распределением Гаусса: для более островершинных
Е
х
>3,
для более
плосковершинных
Е
x
<3.
Величина
асимметрии
для
нормального
распределения равна 0.
Основные свойства нормального распределения
Для нормального распределения характерно совпадение по абсолютной
величине средней арифметической, моды и медианы. Равенство между этими
показателями указывает на нормальность данного распределения.
Вероятность отклонений любой варианты в ту или другую сторону от
средней
на
t
,
2t
,
3t
следующая:
P{-t<|x-
|<+t}=0,6827;
P{-2t<|x-
|<+2t}=0,9545;
P{-3t<|x-
|<+3t}=0,9973
.
Это обозначает, что при распределении совокупности по нормальному
закону из 10000 вариант в интервале от
- t
до
+ t
окажется 68,3% от
общего числа вариант, составляющих данную совокупность. В интервале от
- 2t
до
+ 2t
будет находиться 95,4% от числа всех вариант совокупности.
И в интервале от
- 3t
до
+ 3t
окажется 99, 7% от всех вариант от общего
объема совокупности.
Следовательно, с вероятностью
Р
=0,6827 можно утверждать, что
наугад отобранная из нормально распределяющейся совокупности варианта
не выйдет за пределы
t
. Вероятность того, что случайно отобранная
варианта отклонится от средней
не более, чем на
3t
равна
Р
=0,9973.
Этот важный вывод известен в биометрии как
правило плюс – минус трех
сигм
.
Дискретные распределения
Рассмотрев простейший случай переменных, которые удобнее всего
считать непрерывными, обратимся теперь к переменным, которые являются
существенно дискретными.
В классе
дискретных распределений
наиболее употребительны
биномиальное,
отрицательное
биномиальное,
геометрическое,
гипергеометрическое и пуассоново.
Наиболее
употребительные
(биномиальное
и
пуассоново)
распределения проистекают от
схемы испытаний Бернулли
с двумя исходами
«успех – неуспех», в которых вероятность успеха
P
не зависит от
предшествующих испытаний.
Биномиальное
распределение
имеет
случайная
величина
X
,
представляющая число успехов в последовательности из
n
испытаний.
Если
n
велико, а
P
мало, то
Х
приближается к
распределению Пуассона.
Геометрическое
распределение
имеет
случайная
величина,
представляющая число испытаний до первого успеха.
Отрицательное биномиальное
распределение имеет случайная
величина
X
, представляющая число испытаний до
k
успехов. Этому
распределению хорошо соответствуют данные о числе объектов, с которыми
за фиксированный промежуток времени случилось 0,1,2,3,... инцидента
(аварии, несчастные случаи и т.п.).
Гипергеометрическое распределение
имеет случайная величина,
представляющая число успехов в случайной выборке размера
n
из
совокупности размера
N (N>n
), в которой содержится
S
успехов (или оценка
вероятности успеха равна
P=S/N
). Примером такой задачи может служить
контроль качества продукции, когда производится контрольная выборка
изделий из очередной партии, причем возврат изделий в партию перед
выбором каждого следующего экземпляра не производится. Контролеру
необходимо по числу бракованных изделий в выборке оценить объем брака
во всей партии.
Биномиальное распределение
Биномиальное
распределение
имеет
случайная
величина
X
,
представляющая число успехов в последовательности из
n
испытаний.
Если
вероятность события равна p, то вероятность того, что это событие
произойдет r раз в последовательности n испытаний, равна
!
(
)
1
!
!
n r
r
n
P X
r
p
p
r n r
(46)
.
Биномиальное распределение оказывается справедливым независимо
от типа двух альтернативных признаков, которыми может обладать каждый
индивидуум. Полученный вывод можно обобщить на случай нескольких
признаков;
их
частота
будет
описываться
полиномиальными
распределениями. Биномиальным распределением часто пользуются в
генетике при рассмотрении сложных случаев сцепленной наследственности.
Кроме того, часто приходится сравнивать такие относительные величины,
как заболеваемость вакцинированных и невакцинированных групп людей