ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1331
Скачиваний: 6
— 66 —
тов
{
x
α
}
такое, что
x
α
∈
M
∩
B
(
ϕ
α
,
1
/
2)
. Следовательно,
{
e
α
} ∼ {
ϕ
α
} ∼
{
B
(
ϕ
α
,
1
/
2)
} ∼ {
x
α
} ⊂
M
. Осталось заметить, что множество
{
x
α
}
не более
чем счетное.
♥
Далее будем рассматривать не более чем счетные ортогональные (орто-
нормированные) системы элементов.
Теорема 35.
Пусть
H
– пространство со скалярным произведением и
{
h
n
}
– линейно независимая система элементов в
H
. Тогда в
H
существует
ортонормированная система элементов
{
e
n
}
такая, что каждый элемент
e
n
=
P
n
k
=1
a
nk
h
k
и коэффициент
a
nn
>
0
.
Доказательство.
Прежде всего заметим, что в силу линейной независимо-
сти все
h
n
6
= Θ
. Положим
e
1
=
h
1
/
k
h
1
k
. Тогда
e
1
=
a
11
h
1
и
a
11
= 1
/
k
h
1
k
>
0
.
Далее рассмотрим элемент
g
2
=
h
2
−
c
21
e
1
, где коэффициент
c
21
подберем так,
чтобы
g
2
⊥
e
1
, то есть
0 = (
g
2
, e
1
) = (
h
2
, e
1
)
−
c
21
(
e
1
, e
1
) = (
h
1
, e
1
)
−
c
21
. Сле-
довательно,
c
21
= (
h
2
, e
1
)
. Заметим, что найденный
g
2
=
h
2
−
(
h
2
, e
1
)
e
1
6
= Θ
,
иначе бы элементы
h
1
и
h
2
были линейно зависимы. Положим
e
2
=
g
2
/
k
g
2
k
.
Тогда
e
2
=
a
21
h
1
+
a
22
h
2
и
a
22
= 1
/
k
g
2
k
>
0
.
Предположим теперь, что элементы
e
1
, e
2
, ..., e
n
−
1
уже построены. Рассмот-
рим элемент
g
n
=
h
n
−
P
n
−
1
k
=1
c
nk
e
k
, где коэффициенты
c
nk
(
k
= 1
, n
−
1)
под-
берем так, чтобы
g
n
⊥
e
j
(
j
= 1
, n
−
1)
, то есть
0 = (
g
n
, e
j
) = (
h
n
, e
j
)
−
c
nj
.
Следовательно,
c
nj
= (
h
n
, e
j
)
и
g
n
=
h
n
−
P
n
−
1
k
=1
(
h
n
, e
k
)
e
k
. Заметим, что най-
денный
g
n
6
= Θ
, иначе бы элементы
h
1
, h
2
, ..., h
n
были линейно зависимы.
Положим
e
n
=
g
n
/
k
g
n
k
. Тогда
e
n
=
P
n
k
=1
a
nk
h
k
и
a
nn
= 1
/
k
g
n
k
>
0
.
♥
•
Задача.
29.1. В пространстве со скалярным произведением
C
2
[
−
1
,
1]
провести про-
цесс ортогонализации для элементов
1
, t, t
2
, t
3
.
§
30. Ряды Фурье
Задача о наилучшей аппроксимации.
Пусть
{
e
k
}
n
k
=1
– ортонорми-
рованная система элементов в пространстве со скалярным произведением
H
.
Требуется по заданному
x
∈
H
подобрать коэффициенты
α
k
(
k
= 1
, n
)
так,
чтобы величина
k
x
−
P
n
k
=1
α
k
e
k
k
2
была минимальной.
Для решения задачи заметим, что
°
°
°
x
−
n
X
k
=1
α
k
e
k
°
°
°
2
=
k
x
k
2
−
n
X
k
=1
α
k
(
x, e
k
)
−
n
X
k
=1
α
k
(
e
k
, x
)+
n
X
k
=1
n
X
j
=1
α
k
α
j
(
e
k
, e
j
) =
k
x
k
2
−
n
X
k
=1
α
k
c
k
−
n
X
k
=1
α
k
c
k
+
n
X
k
=1
|
α
k
|
2
,
— 67 —
где
c
k
= (
x, e
k
) (
k
= 1
, n
)
. Так как
n
X
k
=1
|
α
k
−
c
k
|
2
=
n
X
k
=1
|
α
k
|
2
−
n
X
k
=1
α
k
c
k
−
n
X
k
=1
α
k
c
k
+
n
X
k
=1
|
c
k
|
2
,
то получим
°
°
°
x
−
n
X
k
=1
α
k
e
k
°
°
°
2
=
k
x
k
2
−
n
X
k
=1
|
c
k
|
2
+
n
X
k
=1
|
α
k
−
c
k
|
2
.
(32)
Из (32) следует, что для
c
k
= (
x, e
k
) (
k
= 1
, n
)
min
°
°
°
x
−
n
X
k
=1
α
k
e
k
°
°
°
2
=
°
°
°
x
−
n
X
k
=1
c
k
e
k
°
°
°
2
=
k
x
k
2
−
n
X
k
=1
|
c
k
|
2
.
(33)
Задача о наилучшей аппроксимации решена.
♥
•
Задача.
30.1. Пусть
M
– одномерное подпространство гильбертова пространства
H
, элемент
a
∈
M
и
a
6
=
θ
. Доказать, что
(
∀
x
∈
H
)
³
inf
y
∈
M
⊥
k
x
−
y
k
=
|
(
x, a
)
|
k
a
k
´
.
Предположим, что в пространстве со скалярным произведением
H
задана
счетная ортонормированная система элементов
{
e
k
}
∞
k
=1
. Для элемента
x
∈
H
числа
c
k
= (
x, e
k
)
называются
коэффициентами Фурье
элемента
x
по системе
{
e
k
}
∞
k
=1
. Формальный ряд
P
∞
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
называется
рядом Фурье
элемента
x
по системе
{
e
k
}
∞
k
=1
.
Из (33) следует, что наименее отклоняется от элемента
x
частичная сум-
ма соответствующего ряда Фурье. Кроме того, для любого
n
∈
N
получим
P
n
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
≤ k
x
k
2
. В силу произвольности
n
отсюда следует сходимость
ряда
P
∞
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
для любого
x
∈
H
и оценка
∞
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
≤ k
x
k
2
,
(34)
которая называется
неравенством Бесселя
.
Теорема 36.
Пусть
H
– гильбертово пространство и
{
e
k
}
∞
k
=1
– ортонорми-
рованная система элементов в
H
. Тогда для всякого
x
∈
H
соответствующий
ряд Фурье сходится.
— 68 —
Доказательство.
Для
x
∈
H
рассмотрим частичные суммы ряда Фурье
S
n
=
P
n
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
. Получим
k
S
n
+
p
−
S
n
k
2
=
°
°
°
n
+
p
X
k
=
n
+1
(
x, e
k
)
e
k
°
°
°
2
=
n
+
p
X
k
=
n
+1
|
(
x, e
k
)
|
2
.
(35)
Из (34) и (35) следует фундаментальность последовательности частичных
сумм
{
S
n
}
. Так как пространство
H
полное, то эта последовательность схо-
дится в
H
, что и означает сходимость ряда Фурье
P
∞
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
.
♥
•
Задача.
30.2. Пусть
{
e
n
}
∞
n
=1
– ортонормированная система элементов в гильберто-
вом пространстве
H
и
{
λ
n
}
– некоторая последовательность чисел. Доказать,
что ряд
P
∞
n
=1
λ
n
e
n
сходится в
H
тогда и только тогда, когда сходится число-
вой ряд
P
∞
n
=1
|
λ
n
|
2
.
Далее укажем условия, при которых для
x
∈
H
соответствующий ряд
Фурье сходится к элементу
x
.
Ортонормированная система элементов
{
e
k
}
∞
k
=1
в гильбертовом простран-
стве
H
называется
замкнутой
, если для всякого
x
∈
H
∞
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
=
k
x
k
2
.
(36)
Равенство (36) называют
равенством Парсеваля
.
Теорема 37.
Пусть
H
– гильбертово пространство. Ортонормированная
система
{
e
k
}
∞
k
=1
⊂
H
замкнута тогда и только тогда, когда
(
∀
x
∈
H
) [
P
∞
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
=
x
]
.
Доказательство.
Воспользуемся тождеством, следующем из (33):
°
°
°
x
−
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
°
°
°
2
=
k
x
k
2
−
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
.
(37)
Учитывая сходимость соответствующих рядов, из (37) при
n
→ ∞
получим
°
°
°
x
−
∞
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
°
°
°
2
=
k
x
k
2
−
∞
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
.
(38)
Теперь утверждение теоремы следует из (38) очевидным образом.
♥
В качестве
примера
рассмотрим пространство
l
2
. Для
k
∈
N
определим в
l
2
элементы
e
k
= (0
, ...,
0
,
1
,
0
, ...
)
, где единице равна
k
-ая координата. Система
элементов
{
e
k
}
∞
k
=1
– ортонормированная в
l
2
. Для
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
∈
l
2
— 69 —
коэффициенты Фурье
(
x, e
k
) =
x
k
и
k
x
k
2
=
P
∞
k
=1
|
x
k
|
2
=
P
∞
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
. Та-
ким образом, система
{
e
k
}
∞
k
=1
замкнута в
l
2
. Следовательно, элемент
x
можно
разложить в ряд Фурье
x
=
P
∞
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
=
P
∞
k
=1
x
k
e
k
.
Пусть
E
– линейное нормированное пространство. Система элементов
{
ω
k
}
∞
k
=1
⊂
E
называется
полной
в пространстве
E
, если
(
∀
x
∈
E
)(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
)(
∃
α
k
:
k
= 1
, N
) [
k
x
−
P
N
k
=1
α
k
ω
k
k
< ε
]
.
Теорема 38.
Пусть
H
– гильбертово пространство и
{
e
k
}
∞
k
=1
– ортонор-
мированная система в
H
. Система
{
e
k
}
∞
k
=1
замкнута тогда и только тогда,
когда она полна в
H
.
Доказательство.
Пусть система
{
e
k
}
∞
k
=1
замкнута. Тогда всякий элемент
x
∈
H
разлагается в ряд Фурье
x
=
P
∞
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
. Следовательно,
(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
) [
k
x
−
P
N
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
k
< ε
]
.
Таким образом, система
{
e
k
}
∞
k
=1
полна в
H
.
Пусть теперь система
{
e
k
}
∞
k
=1
полна в
H
. Возьмем
x
∈
H
и произвольное
ε >
0
. Тогда
(
∃
N
∈
N
)(
∃
α
k
:
k
= 1
, N
) [
k
x
−
P
N
k
=1
α
k
e
k
k
< ε
]
.
Из задачи о наилучшей аппроксимации следует, что
k
x
−
P
N
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
k ≤ k
x
−
P
N
k
=1
α
k
e
k
k
< ε
.
Для
n
≥
N
получим, учитывая (15),
°
°
°
x
−
n
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
°
°
°
2
=
k
x
k
2
−
n
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
≤
k
x
k
2
−
N
X
k
=1
|
(
x, e
k
)
|
2
=
°
°
°
x
−
N
X
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
°
°
°
2
< ε
2
.
Отсюда следует, что
x
=
P
∞
k
=1
(
x, e
k
)
e
k
для любого элемента
x
∈
H
. В силу
теоремы 37 это означает замкнутость системы
{
e
k
}
∞
k
=1
.
♥
— 70 —
Список литературы
[1] Антоневич А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения /
А.Б.Антоневич, Я.В.Радыно. – Минск : БГУ, 2003. – 430 с.
[2] Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. – М. : Наука,
1967. – 416 с.
[3] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа
/ А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. – М. : Наука, 1989. – 544 с.
[4] Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстер-
ник, В.И. Соболев. – М. : Высшая школа, 1982. – 272 с.
[5] Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. – М. : Физмат-
лит, 2002. – 496 с.
[6] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3 т. / Л.Д. Кудрявцев.
– М. : Высшая школа. 1988. – Т.2. – 576 с.