ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1320
Скачиваний: 6
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
В.В. Смагин
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ВВОДНЫЙ КУРС
Учебное пособие для вузов
Математический факультет
2014
— 2 —
Содержание
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Глава I. Метрические пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§
1. Вспомогательные неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§
2. Определения и примеры метрических пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§
3. Шары и ограниченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§
4. Сходимость в метрических пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§
5. Полнота метрических пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§
6. Точки прикосновения и замыкание множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§
7. Замкнутые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§
8. Внутренние точки и внутренность множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§
9. Открытые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§
10. Открытые и замкнутые множества на прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§
11. Некоторые теоремы о полных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§
12. Множества первой и второй категорий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§
13. Сепарабельные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§
14. Непрерывные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§
15. Принцип сжимающих отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§
16. Компактные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§
17. Вполне ограниченные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
§
18. Критерии относительной компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава II. Линейные нормированные пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . .42
§
19. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§
20. Фактор-пространство линейного пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§
21. Определения и примеры нормированных пространств. . . . . . . . . . . . . . . . 48
§
22. Ряды в нормированных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§
23. Фактор-пространство линейного нормированного пространства. . . . . . 52
§
24. Эквивалентные нормы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
§
25. Разрешимость интегральных уравнений Вольтерра второго рода. . . . . 57
§
26. Компактность и конечномерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§
27. Пространства со скалярным произведением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
§
28. Свойство ортогональности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
§
29. Ортогональные системы элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
§
30. Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
— 3 —
Одной из основных задач курса "Функциональный анализ", который чи-
тается студентам математических специальностей, является изучение беско-
нечномерных пространств и их отображений. В данном пособии даются необ-
ходимые первоначальные сведения о метрических пространствах, линейных
нормированных пространствах и пространствах со скалярным произведени-
ем. Рассматриваются простейшие свойства отображений этих пространств.
Предложенный в пособии материал устанавливает терминологию функцио-
нального анализа и базируется на знаниях и навыках, которыми студенты
математических специальностей овладевают к четвертому семестру обуче-
ния.
Кроме теоретической части курса пособие содержит подборку задач, ре-
шение которых способствует пониманию и усвоению курса, и которые пред-
лагаются для решения на практических занятиях.
В конце разработки приводится список использованных при работе над
данным пособием учебников [1 – 5]. Эти книги рекомендуются для самосто-
ятельного более глубокого изучения предмета.
ГЛАВА I
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§
1. Вспомогательные неравенства
Неравенство Юнга.
Пусть
u
≥
0
,
v
≥
0
,
1
< p <
∞
и
q >
1
такое, что
1
/p
+ 1
/q
= 1
, тогда справедливо неравенство
u v
≤
u
p
p
+
v
q
q
.
(1)
Доказательство.
Зафиксируем
v
0
>
0
. Для
u
≥
0
определим функцию
ϕ
(
u
) =
u
p
/p
+
v
q
0
/q
−
uv
0
,
и найдем ее минимум. Считаем производную
ϕ
0
(
u
) =
u
p
−
1
−
v
0
. В точке
u
0
=
v
1
/
(
p
−
1)
0
производная
ϕ
0
(
u
0
) = 0
. Очевидно, что
значение
ϕ
(
u
0
) = min
ϕ
(
u
)
, где
u
≥
0
. Так как
1 + 1
/
(
p
−
1) =
p/
(
p
−
1) =
q
,
то
ϕ
(
u
0
) =
v
p/
(
p
−
1)
0
p
+
v
q
0
q
−
v
1+1
/
(
p
−
1)
0
=
v
q
0
³
1
p
+
1
q
−
1
´
= 0
.
Тогда
min
ϕ
(
u
) = 0
. Следовательно,
(
∀
u
≥
0)(
∀
v
0
>
0)[
ϕ
(
u
)
≥
0]
. Осталось
заметить, что для
v
0
= 0
неравенство (1) очевидно.
♥
– конец доказательства.
•
Задачи:
1.1. Для любых чисел
u
≥
0
,
v
≥
0
,
ε >
0
,
p >
1
доказать неравенство
— 4 —
uv
≤
ε
u
p
p
+
ε
1
−
q
v
q
q
,
где
1
p
+
1
q
= 1
.
1.2. Для любых чисел
u, v
∈
C
1
и
p >
0
доказать неравенство
|
u
+
v
|
p
≤
2
p
(
|
u
|
p
+
|
v
|
p
)
.
Неравенство Гельдера для конечных сумм
.
Пусть
(
u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
и
(
v
1
, v
2
, . . . , v
n
)
– два набора чисел. Пусть
1
< p <
∞
и
q >
1
такие, что
1
/p
+ 1
/q
= 1
, тогда справедливо неравенство
n
X
k
=1
|
u
k
v
k
| ≤
³
n
X
k
=1
|
u
k
|
p
´
1
/p
³
n
X
k
=1
|
v
k
|
q
´
1
/q
.
(2)
Доказательство.
Заметим, что для случая, когда
³
n
X
i
=1
|
u
i
|
p
= 0
´
∨
³
n
X
i
=1
|
v
i
|
q
= 0
´
,
неравенство (2) очевидно. Далее считаем, что
³
n
X
i
=1
|
u
i
|
p
6
= 0
´
∧
³
n
X
i
=1
|
v
i
|
q
6
= 0
´
.
Фиксируем
k
и рассмотрим
u
=
|
u
k
|
³P
n
i
=1
|
u
i
|
p
´
1
/p
,
v
=
|
v
k
|
³P
n
i
=1
|
v
i
|
q
´
1
/q
.
Применяя к
u
и
v
неравенство (1), получим
|
u
k
||
v
k
|
³P
n
i
=1
|
u
i
|
p
´
1
/p
³P
n
i
=1
|
v
i
|
q
´
1
/q
≤
|
u
k
|
p
p
P
n
i
=1
|
u
i
|
p
+
|
v
k
|
q
q
P
n
i
=1
|
v
i
|
q
.
(3)
Неравенства (3) суммируем по
k
от 1 до
n
.
P
n
k
=1
|
u
k
||
v
k
|
³P
n
i
=1
|
u
i
|
p
´
1
/p
³P
n
i
=1
|
v
i
|
q
´
1
/q
≤
P
n
k
=1
|
u
k
|
p
p
P
n
i
=1
|
u
i
|
p
+
P
n
k
=1
|
v
k
|
q
q
P
n
i
=1
|
v
i
|
q
=
1
p
+
1
q
= 1
.
♥
Неравенство Минковского для конечных сумм.
Пусть даны два
набора чисел
(
u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
и
(
v
1
, v
2
, . . . , v
n
)
. Пусть
1
≤
p <
∞
. Тогда спра-
ведливо неравенство
³
n
X
k
=1
|
u
k
+
v
k
|
p
´
1
/p
≤
³
n
X
k
=1
|
u
k
|
p
´
1
/p
+
³
n
X
k
=1
|
v
k
|
p
´
1
/p
.
(4)
— 5 —
Доказательство.
Для
p
= 1
неравенство (4) очевидно. Рассмотрим случай
p >
1
. Из (2) и равенства
(
p
−
1)
q
=
p
следует оценка
n
X
k
=1
|
u
k
+
v
k
|
p
≤
n
X
k
=1
|
u
k
| |
u
k
+
v
k
|
p
−
1
+
n
X
k
=1
|
v
k
| |
u
k
+
v
k
|
p
−
1
≤
³
n
X
k
=1
|
u
k
|
p
´
1
/p
³
n
X
k
=1
|
u
k
+
v
k
|
(
p
−
1)
q
´
1
/q
+
³
n
X
k
=1
|
v
k
|
p
´
1
/p
³
n
X
k
=1
|
u
k
+
v
k
|
(
p
−
1)
q
´
1
/q
=
Ã
³
n
X
k
=1
|
u
k
|
p
´
1
/p
+
³
n
X
k
=1
|
v
k
|
p
´
1
/p
!
³
n
X
k
=1
|
u
k
+
v
k
|
p
´
1
/q
.
(5)
Если
P
n
k
=1
|
u
k
+
v
k
|
p
6
= 0
, то из (5) следует (4), так как
1
−
1
/q
= 1
/p
. Если
же упомянутая сумма равна нулю, то неравенство (4) очевидно.
♥
§
2. Определения и примеры метрических пространств
Пусть
X
— произвольное непустое множество. Пусть каждой паре его эле-
ментов
x, y
∈
X
поставлено в соответствие действительное число
ρ
(
x, y
)
та-
кое, что для всех
x, y, z
∈
X
выполняются следующие аксиомы:
1.
ρ
(
x, y
)
≥
0
,
ρ
(
x, y
) = 0
←→
x
=
y
;
2.
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
y, x
)
(аксиома симметрии);
3.
ρ
(
x, y
)
≤
ρ
(
x, z
) +
ρ
(
z, y
)
(неравенство треугольника).
В таком случае число
ρ
(
x, y
)
называется
расстояние
между
x
и
y
или
мет-
рикой
в множестве
X
. А само множество вместе с метрикой
{
X, ρ
}
называется
метрическим пространством
.
•
Задачи:
2.1. Пусть
ρ
(
x, y
)
– метрика в
X
. Показать, что метриками в
X
являются:
ρ
1
(
x, y
) =
ρ
1
/
2
(
x, y
)
,
ρ
2
(
x, y
) = ln[1 +
ρ
(
x, y
)]
,
ρ
3
(
x, y
) = min
{
1
, ρ
(
x, y
)
}
,
ρ
4
(
x, y
) =
ρ
(
x, y
)[1 +
ρ
(
x, y
)]
−
1
.
2.2. Показать, что аксиомы метрики эквивалентны двум условиям:
1)
ρ
(
x, y
) = 0
⇐⇒
x
=
y,
2)
ρ
(
x, y
)
≤
ρ
(
x, z
) +
ρ
(
y, z
)
.
2.3. Пусть
X
– множество с метрикой
ρ
(
x, y
)
. Показать, что для любых
элементов
x, y, u, v
∈ {
X, ρ
}
:
a
)
|
ρ
(
x, y
)
−
ρ
(
x, u
)
| ≤
ρ
(
y, u
)
,
б
)
|
ρ
(
x, u
)
−
ρ
(
y, v
)
| ≤
ρ
(
x, y
) +
ρ
(
u, v
)
.
Примеры метрических пространств.
1.
R
1
– множество вещественных чисел (либо
C
1
– множество комплексных
чисел) с метрикой
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
.