ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1335
Скачиваний: 6
— 56 —
Заметим, что для всякого
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
)
∈
S
[Θ
,
1]
соответствующий элемент
x
=
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
6
= Θ
. Поэтому
f
(
ξ
0
1
, ξ
0
2
, ..., ξ
0
k
) =
k
P
k
i
=1
ξ
0
i
e
i
k
=
m >
0
. Таким
образом, если
x
∈
E
такой, что
x
=
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
и
k
x
k
2
= (
P
k
i
=1
|
ξ
i
|
2
)
1
/
2
= 1
, то
справедлива оценка
k
x
k ≥
m >
0
.
Возьмем произвольный
x
∈
E
и
x
6
= Θ
. Тогда для элемента
x
k
x
k
2
=
k
X
i
=1
ξ
i
k
x
k
2
e
i
выполняется условие
°
°
°
x
k
x
k
2
°
°
°
2
= 1
.
Следовательно,
k
x
k ≥
m
k
x
k
2
.
Итак, для всех
x
∈
E
установили оценки
m
k
x
k
2
≤ k
x
k ≤
M
k
x
k
2
.
Так как свойство эквивалентности норм транзитивно, то в
E
любые две
нормы эквивалентны.
♥
Следствие 1.
Пусть
E
– линейное нормированное пространство и
L
–
конечномерное линейное многообразие в
E
. Тогда
L
замкнуто в
E
, то есть
является подпространством.
Доказательство.
Пусть
L
=
L
(
e
1
, e
2
, ..., e
k
)
, где
{
e
i
}
k
i
=1
– базис в
L
. Вся-
кий
x
∈
L
однозначно представим в виде
x
=
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
. Определим для
x
∈
L
новую норму
k
x
k
2
= (
P
k
i
=1
|
ξ
i
|
2
)
1
/
2
. Эта норма в
L
эквивалентна
k
x
k
, порож-
денной в
L
нормой пространства
E
.
Возьмем
a
∈
L
. Тогда
(
∃{
x
n
} ⊂
L
) [
k
x
n
−
a
k →
0]
. Следовательно, после-
довательность
{
x
n
} ⊂
L
является фундаментальной, как в норме
k
x
k
, так и
в норме
k
x
k
2
. Но для
x
n
=
P
k
i
=1
ξ
n
i
e
i
и
n, p
∈
N
выполняется
k
x
n
+
p
−
x
n
k
2
=
³P
k
i
=1
|
ξ
n
+
p
i
−
ξ
n
i
|
2
´
1
/
2
.
Таким образом, последовательность векторов
{
(
ξ
n
1
, ξ
n
2
, ..., ξ
n
k
)
}
∞
n
=1
фундамен-
тальна в полном пространстве
R
k
2
, если пространство
E
вещественное, либо в
C
k
2
, если пространство
E
комплексное. Тогда существует вектор
(
a
1
, a
2
, ..., a
k
)
и, соответственно, элемент
a
=
P
k
i
=1
a
i
e
i
∈
L
такой, что при
n
→ ∞
k
x
n
−
a
k ≤
M
k
x
n
−
a
k
2
=
M
³P
k
i
=1
|
ξ
n
i
−
a
i
|
2
´
1
/
2
→
0
.
Отсюда получим
a
=
a
∈
L
, то есть множество
L
замкнуто в
E
.
♥
Следствие 2.
Всякое конечномерное линейное нормированное простран-
ство является полным, то есть банаховым.
Доказательство.
Пусть
E
=
L
(
e
1
, e
2
, ..., e
k
)
, где
{
e
i
}
k
i
=1
– базис в
E
, с
нормой
k
x
k
. Всякий
x
∈
E
однозначно представим в виде
x
=
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
.
Определим в
E
новую норму
k
x
k
2
= (
P
k
i
=1
|
ξ
i
|
2
)
1
/
2
, эквивалентную
k
x
k
.
Пусть
{
x
n
}
– фундаментальная в норме
k
x
k
последовательность в
E
. То-
гда эта последовательность будет фундаментальной и в норме
k
x
k
2
. Если
— 57 —
x
n
=
P
k
i
=1
ξ
n
i
e
i
, то из равенства
k
x
n
+
p
−
x
n
k
2
=
³P
k
i
=1
|
ξ
n
+
p
i
−
ξ
n
i
|
2
´
1
/
2
следует фундаментальность последовательности векторов
{
(
ξ
n
1
, ..., ξ
n
k
)
}
∞
n
=1
в пространстве
R
k
2
, либо в
C
k
2
, соответственно. Тогда существует вектор
(
a
1
, a
2
, ..., a
k
)
и, следовательно, элемент
a
=
P
k
i
=1
a
i
e
i
∈
E
такой, что
k
x
n
−
a
k ≤
M
k
x
n
−
a
k
2
=
M
³P
k
i
=1
|
ξ
n
i
−
a
i
|
2
´
1
/
2
→
0
при
n
→ ∞
.
Получили, что в
E
всякая фундаментальная последовательность сходится,
то есть пространство
E
полное.
♥
§
25. Разрешимость интегральных уравнений
Вольтерра второго рода
Рассмотрим интегральное уравнение
x
(
t
) =
Z
t
a
K
[
t, s, x
(
s
)]
ds
+
ϕ
(
t
)
.
(25)
Здесь
K
(
t, s, y
)
– заданная функция, непрерывная по совокупности перемен-
ных
a
≤
s
≤
t
≤
b
и
y
∈
R
1
. Функция
ϕ
(
t
)
– заданная и непрерывная на
[
a, b
]
. Непрерывная на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
называется решением уравнения
(25), если подстановка
x
(
t
)
в это уравнение превращает его в тождество на
отрезке
[
a, b
]
.
На
x
∈
C
[
a, b
]
определим функцию
(
F x
) (
t
) =
Z
t
a
K
[
t, s, x
(
s
)]
ds
+
ϕ
(
t
)
.
В сделанных предположениях, по теореме о непрерывной зависимости инте-
грала Римана от параметра [6, с.519], функция
(
F x
)(
t
)
непрерывна на
[
a, b
]
.
Следовательно, функция
F
:
C
[
a, b
]
→
C
[
a, b
]
.
В
C
[
a, b
]
с нормой
k
x
k
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
определим новую норму
k
x
k
∗
= max
a
≤
t
≤
b
e
−
λ
(
t
−
a
)
|
x
(
t
)
|
,
где число
λ >
0
выберем позже. Аксиомы нормы для
k
x
k
∗
рекомендуется
проверить самостоятельно. Справедливы оценки
e
−
λ
(
b
−
a
)
k
x
k ≤ k
x
k
∗
≤ k
x
k
,
то есть
k
x
k
∗
∼ k
x
k
.
Предположим дополнительно, что функция
K
(
t, s, y
)
удовлетворяет для
всех
y
1
, y
2
∈
R
1
условию
|
K
(
t, s, y
1
)
−
K
(
t, s, y
2
)
| ≤
M
|
y
1
−
y
2
|
,
(26)
— 58 —
Покажем, что тогда при определенном выборе
λ
функция
F
в банаховом
пространстве
C
[
a, b
]
с нормой
k
x
k
∗
является сжимающим отображением.
Для
x
1
, x
2
∈
C
[
a, b
]
, используя (26), получим
k
F x
1
−
F x
2
k
∗
= max
a
≤
t
≤
b
e
−
λ
(
t
−
a
)
|
(
F x
1
)(
t
)
−
(
F x
2
)(
t
)
|
=
max
a
≤
t
≤
b
e
−
λ
(
t
−
a
)
¯
¯
¯
Z
t
a
K
[
t, s, x
1
(
s
)]
ds
−
Z
t
a
K
[
t, s, x
2
(
s
)]
ds
¯
¯
¯
≤
max
a
≤
t
≤
b
e
−
λ
(
t
−
a
)
Z
t
a
M
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
ds
=
M
max
a
≤
t
≤
b
Z
t
a
e
−
λ
(
t
−
s
)
e
−
λ
(
s
−
a
)
|
x
1
(
s
)
−
x
2
(
s
)
|
ds
≤
M
max
a
≤
t
≤
b
Z
t
a
e
−
λ
(
t
−
s
)
ds
k
x
1
−
x
2
k
∗
=
M
λ
³
1
−
e
−
λ
(
b
−
a
)
´
k
x
1
−
x
2
k
∗
.
(27)
Положим теперь
λ
=
M
и обозначим
q
= 1
−
e
−
λ
(
b
−
a
)
<
1
. В результате из
(27) следует
k
F x
1
−
F x
2
k
∗
≤
q
k
x
1
−
x
2
k
∗
, то есть отображение
F
сжимающее.
Таким образом, можно воспользоваться принципом сжимающих отобра-
жений, что означает существование у функции
F
единственной неподвиж-
ной точки
x
∗
∈
C
[
a, b
]
. Эта функция
x
∗
(
t
)
будет единственным непрерывным
решением уравнения (25).
Кроме того, начиная с любого
x
0
∈
C
[
a, b
]
, последовательность функций
x
n
(
t
) =
Z
t
a
K
[
t, s, x
n
−
1
(
s
)]
ds
+
ϕ
(
t
) (
n
∈
N
)
равномерно на
[
a, b
]
сходится к
x
∗
(
t
)
– решению уравнения (25).
♥
Замечание.
Пусть в (25) функция
K
(
t, s, y
) =
K
(
t, s
)
y
, то есть линейна
по
y
∈
R
1
, и функция
K
(
t, s
)
непрерывна по совокупности переменных в
треугольнике
a
≤
s
≤
t
≤
b
. Тогда уравнение (25) принимает вид
x
(
t
) =
Z
t
a
K
(
t, s
)
x
(
s
)
ds
+
ϕ
(
t
)
(28)
и называется
линейным
интегральным уравнением Вольтерра второго рода.
Для (28) условие (26) выполняется с константой
M
= max
a
≤
s
≤
t
≤
b
|
K
(
t, s
)
|
.
•
Задача.
25.1. Методом последовательных приближений, считая
x
o
(
t
)
≡
0
, найти
решения следующих уравнений Вольтерра:
1)
x
(
t
) = 1 +
Z
t
0
x
(
s
)
ds,
2)
x
(
t
) =
t
−
Z
t
0
(
t
−
s
)
x
(
s
)
ds.
— 59 —
§
26. Компактность и конечномерность
Лемма (Ф.Рисса) 5.
Пусть
L
– подпространство линейного нормиро-
ванного пространства
E
и
L
6
=
E
. Тогда
(
∀
ε >
0) (
∃
y
∈
E,
k
y
k
= 1) (
∀
x
∈
L
) [
k
x
−
y
k
>
1
−
ε
]
.
Доказательство.
Так как
L
6
=
E
, то найдется
y
0
/
∈
L
. Тогда определен
inf
x
∈
L
k
x
−
y
0
k
=
d
≥
0
. Если предположить, что
d
= 0
, то тогда
y
0
∈
L
=
L
.
Следовательно,
d >
0
.
Возьмем
ε >
0
и выберем
x
0
∈
L
такой, что
d
≤ k
x
0
−
y
0
k
< d
+
dε
.
Определим элемент
y
= (
y
0
−
x
0
)
/
k
x
0
−
y
0
k
. Заметим, что
k
y
k
= 1
. Далее для
произвольного
x
∈
L
получим
k
x
−
y
k
=
°
°
°
x
−
y
0
−
x
0
k
x
0
−
y
0
k
°
°
°
=
1
k
x
0
−
y
0
k
°
°
°
x
0
+
k
x
0
−
y
0
k
x
−
y
0
°
°
°
.
В последнем равенстве элемент
x
0
+
k
x
0
−
y
0
k
x
∈
L
, поэтому
k
x
−
y
k ≥
d
d
+
dε
=
1
1 +
ε
= 1
−
ε
1 +
ε
>
1
−
ε.
♥
Теорема 30.
Всякое ограниченное множество в линейном нормирован-
ном пространстве
E
относительно компактно тогда и только тогда, когда
пространство
E
конечномерно.
Доказательство.
Пусть в
E
всякое ограниченное множество является от-
носительно компактным. Докажем, что пространство
E
конечномерно.
Возьмем
x
1
∈
E
с
k
x
1
k
= 1
. Определим
L
1
=
L
(
x
1
)
– подпространство
E
.
Если
L
1
=
E
, то
dim
E
= 1
. В противном случае, по лемме Ф.Рисса,
(
∃
x
2
∈
E,
k
x
2
k
= 1) (
∀
x
∈
L
1
) [
k
x
−
x
2
k
>
1
/
2]
.
В частности,
k
x
1
−
x
2
k
>
1
/
2
. Определим
L
2
=
L
(
x
1
, x
2
)
– подпространство
E
. Если
L
2
=
E
, то
dim
E
≤
2
. В противном случае, по лемме Ф.Рисса,
(
∃
x
3
∈
E,
k
x
3
k
= 1) (
∀
x
∈
L
2
) [
k
x
−
x
3
k
>
1
/
2]
.
В частности,
k
x
1
−
x
3
k
>
1
/
2
и
k
x
2
−
x
3
k
>
1
/
2
. Определим подпространство
L
3
=
L
(
x
1
, x
2
, x
3
)
и т.д.
В результате при некотором
n
∈
N
получим
E
=
L
(
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
, либо
процесс продолжится до бесконечности. В первом случае
dim
E
≤
n
и необ-
ходимое утверждение доказано. Во втором случае будет построена последо-
вательность
{
x
n
}
такая, что
k
x
n
k
= 1
и
(
∀
i
6
=
j
) [
k
x
i
−
x
j
k
>
1
/
2]
. Таким
образом, последовательность
{
x
n
}
ограничена, но выделить из нее сходящу-
юся подпоследовательность нельзя. Полученное противоречие означает, что
рассмотренный второй случай невозможен.
— 60 —
Предположим теперь, что
dim
E
=
k <
∞
, то есть
E
=
L
(
e
1
, e
2
, ..., e
k
)
, где
{
e
i
}
k
i
=1
– базис в
E
. Пусть дано ограниченное множество
M
⊂
E
. Покажем,
что множество
M
относительно компактно.
Всякий
x
∈
E
однозначно представим в виде
x
=
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
и
k
x
k ∼ k
x
k
2
=
(
P
k
i
=1
|
ξ
i
|
2
)
1
/
2
. Тогда выполняются оценки
c
1
k
x
k
2
≤ k
x
k ≤
c
2
k
x
k
2
. Заметим
также, что
(
∃
c >
0)(
∀
x
∈
M
) [
k
x
k ≤
c
]
.
Возьмем последовательность
{
x
n
} ⊂
M
, при этом каждый
x
n
=
P
k
i
=1
ξ
n
i
e
i
.
В пространстве
R
k
2
(
E
вещественное), либо в
C
k
2
(
E
комплексное), рассмотрим
последовательность векторов
{
(
ξ
n
1
, ξ
n
2
, ..., ξ
n
k
)
}
∞
n
=1
. Эта последовательность ог-
раничена, так как
(
P
k
i
=1
|
ξ
n
i
|
2
)
1
/
2
=
k
x
n
k
2
≤
c
−
1
1
k
x
n
k ≤
c
−
1
1
c
.
Следовательно, эта последовательность векторов относительно компактна и
³
∃{
(
ξ
n
j
1
, ξ
n
j
2
, ..., ξ
n
j
k
)
}
∞
j
=1
⊂ {
(
ξ
n
1
, ξ
n
2
, ..., ξ
n
k
)
}
∞
n
=1
´ ³
∃
(
ξ
0
1
, ξ
0
2
, ..., ξ
0
k
)
´
h ³
k
X
i
=1
|
ξ
n
j
i
−
ξ
0
i
|
2
´
1
/
2
→
0
при
j
→ ∞
i
.
Возьмем подпоследовательность
{
x
n
j
} ⊂ {
x
n
}
, где
x
n
j
=
P
k
i
=1
ξ
n
j
i
e
i
, и опре-
делим элемент
x
0
=
P
k
i
=1
ξ
0
i
e
i
∈
E
. При
j
→ ∞
получим
k
x
n
j
−
x
0
k ≤
c
2
k
x
n
j
−
x
0
k
2
=
c
2
³
k
X
i
=1
|
ξ
n
j
i
−
ξ
0
i
|
2
´
1
/
2
→
0
.
Итак, подпоследовательность
{
x
n
j
}
сходится в
E
, то есть множество
M
относительно компактно.
♥
§
27. Пространства со скалярным произведением
Пусть
H
— вещественное (комплексное) линейное пространство. Говорят,
что в
H
задано скалярное произведение, если для любых двух элементов
x, y
из
H
определено вещественное (комплексное) число
(
x, y
)
, удовлетворяющее
для
x, y, z
∈
H
и чисел
λ
следующим аксиомам:
1.
(
x, x
)
≥
0; (
x, x
) = 0
←→
x
= Θ
;
2.
(
x, y
) = (
y, x
)
, где черта сверху означает комплексное сопряжение;
3.
(
λx, y
) =
λ
(
x, y
)
;
4.
(
x
+
y, z
) = (
x, z
) + (
y, z
)
.
Число
(
x, y
)
в этом случае называется
скалярным произведением
элементов
x
и
y
, а само пространство
H
называется
пространством со скалярным про-
изведением
.