ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1329
Скачиваний: 6
— 61 —
Укажем некоторые простейшие свойства, следующие из аксиом скалярного
произведения. Для
x, y, z
∈
H
и чисел
λ
выполняется:
а)
(Θ
, x
) = 0
;
б)
(
x, λ y
) =
λ
(
x, y
)
;
в)
(
x, y
+
z
) = (
x, y
) + (
x, z
)
.
Лемма 6.
Пусть
H
– пространство со скалярным произведением. Тогда
справедливо неравенство Коши-Буняковского
(
∀
x, y
∈
H
) [
|
(
x, y
)
|
2
≤
(
x, x
) (
y, y
) ]
.
Доказательство.
Считаем,что
(
x, y
)
6
= 0
, иначе неравенство очевидно. Да-
лее для любого
λ
∈
R
1
и произвольного числа
µ
получим:
0
≤
(
λx
+
µy, λx
+
µy
) =
λ
2
(
x, x
) +
λ µ
(
x, y
) +
λ µ
(
y, x
) +
µ µ
(
y, y
) =
λ
2
(
x, x
) +
λ
[
µ
(
x, y
) +
µ
(
y, x
) ] +
|
µ
|
2
(
y, y
)
.
Положим
µ
= (
x, y
)
/
|
(
x, y
)
|
. Тогда
0
≤
λ
2
(
x, x
) + 2
λ
|
(
x, y
)
|
+ (
y, y
)
.
Следовательно, дискриминант полученного трехчлена
D
= 4
|
(
x, y
)
|
2
−
4 (
x, x
) (
y, y
)
≤
0
♥
.
Определим в пространстве со скалярным произведением
H
для
x
∈
H
норму
k
x
k
= (
x, x
)
1
/
2
. Первые две аксиомы нормы выполняются очевидным
образом. Третья аксиома нормы следует из неравенства Коши-Буняковского.
Действительно,
k
x
+
y
k
2
= (
x
+
y, x
+
y
) = (
x, x
) + (
y, x
) + (
x, y
) + (
y, y
) =
k
x
k
2
+ 2
Re
(
x, y
) +
k
y
k
2
≤ k
x
k
2
+ 2
|
(
x, y
)
|
+
k
y
k
2
≤
k
x
k
2
+ 2
k
x
k k
y
k
+
k
y
k
2
= (
k
x
k
+
k
y
k
)
2
.
Теорема 31.
В
H
– пространстве со скалярным произведением скалярное
произведение есть непрерывная относительно сходимости по норме функция
своих аргументов.
Доказательство.
Пусть
x
n
, y
n
, x, y
∈
H
(
n
∈
N
)
такие, что
k
x
n
−
x
k →
0
и
k
y
n
−
y
k →
0
при
n
→ ∞
. Рассмотрим
|
(
x
n
, y
n
)
−
(
x, y
)
|
=
|
(
x
n
−
x, y
n
)+(
x, y
n
−
y
)
| ≤ |
(
x
n
−
x, y
n
)
|
+
|
(
x, y
n
−
y
)
| ≤
k
x
n
−
x
k k
y
n
k
+
k
x
k k
y
n
−
y
k →
0
k
y
k
+
k
x
k
0 = 0
.
♥
Если пространство со скалярным произведением
H
является полным по
норме, порожденной скалярным произведением, то такое пространство
H
на-
зывается
гильбертовым
.
Если пространство со скалярным произведением
H
является неполным,
то, пополняя его как нормированное пространство по норме, порожденной
скалярным произведением пространства
H
, получим банахово пространство
b
H
. При этом скалярное произведение в
H
продолжается на
b
H
по непрерывно-
сти. Итак, пополнение неполного пространство со скалярным произведением
— 62 —
существует и является гильбертовым пространством [5, с.71].
Примеры пространств со скалярным произведением.
1.
R
n
2
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
|
x
i
∈
R
1
}
, где скалярное произведение задается
формулой
(
x, y
) =
P
n
k
=1
x
k
y
k
.
2.
C
n
2
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
|
x
i
∈
C
1
}
, где скалярное произведение задается
формулой
(
x, y
) =
P
n
k
=1
x
k
y
k
.
3.
l
2
, – пространство числовых последовательностей
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
,
суммируемых со второй степенью. Если пространство
l
2
вещественное, то есть
координаты
x
i
∈
R
1
, то скалярное произведение задается формулой
(
x, y
) =
P
∞
k
=1
x
k
y
k
. Если же пространство
l
2
комплексное, то есть координаты
x
i
∈
C
1
,
то скалярное произведение задается формулой
(
x, y
) =
P
∞
k
=1
x
k
y
k
.
4.
C
2
[
a, b
]
– непрерывные на отрезке
[
a, b
]
функции, где скалярное произ-
ведение задается формулой
(
x, y
) =
R
b
a
x
(
t
)
y
(
t
)
dt
.
Аксиомы скалярного произведения в указанных примерах рекомендуется
проверить самостоятельно.
Обратим внимание, что в примерах 1 – 3 соответствующие пространства
являются полными по нормам, которые порождаются скалярными произве-
дениями, то есть это гильбертовы пространства. В 4-ом примере соответству-
ющее пространство не является полным.
•
Задачи:
27.1. В пространстве со скалярным произведением доказать равенство па-
раллелограмма
k
x
+
y
k
2
+
k
x
−
y
k
2
= 2(
k
x
k
2
+
k
y
k
2
)
.
27.2. Доказать, что в вещественном пространстве со скалярным произве-
дением
4(
x, y
) =
k
x
+
y
k
2
− k
x
−
y
k
2
.
27.3. Доказать, что в комплексном пространстве со скалярным произведе-
нием
4(
x, y
) = (
k
x
+
y
k
2
− k
x
−
y
k
2
) +
i
(
k
x
+
iy
k
2
− k
x
−
iy
k
2
)
.
27.4. Пусть
H
– пространство со скалярным произведением,
x
∈
H
и по-
следовательность
{
x
n
} ⊂
H
такие, что при
n
→ ∞
выполнено
(
k
x
n
k → k
x
k
)
∧
(
∀
h
∈
H
)[(
x
n
, h
)
→
(
x, h
)]
.
Доказать, что
k
x
n
−
x
k →
0
.
27.5. Пусть
H
– пространство со скалярным произведением, последова-
тельности
{
x
n
}
,
{
y
n
} ⊂
H
такие, что
k
x
n
k ≤
1
,
k
y
n
k ≤
1
и
(
x
n
, y
n
)
→
1
при
n
→ ∞
. Доказать, что
k
x
n
−
y
n
k →
0
.
27.6. Доказать, что в
H
– пространстве со скалярным произведением
|
(
x, y
)
|
=
k
x
k k
y
k
тогда и только тогда, когда
x, y
∈
H
линейно зависимы.
27.7. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два век-
тора
x
и
y
лежат на одном луче (
x
= Θ
или
y
=
λx
при некотором
λ
≥
0
)
— 63 —
тогда и только тогда, когда
k
x
+
y
k
=
k
x
k
+
k
y
k
.
§
28. Свойство ортогональности
Пусть
H
– пространство со скалярным произведением. Элементы
x, y
∈
H
называются
ортогональными
, что обозначается
x
⊥
y
, если их скалярное
произведение
(
x, y
) = 0
.
•
Задачи:
28.1. Пусть
x, y
∈
H
, где
H
– пространство со скалярным произведени-
ем. Для того чтобы
x
⊥
y
необходимо, а в вещественном пространстве
H
и
достаточно, чтобы
k
x
+
y
k
2
=
k
x
k
2
+
k
y
k
2
.
28.2. Доказать, что в комплексном пространстве со скалярным произведе-
нием для выполнения
x
⊥
y
достаточно чтобы
k
x
+
λy
k
2
=
k
x
k
2
+
k
y
k
2
для
λ
= 1
и
λ
=
i
.
Пусть в пространстве со скалярным произведением
H
задано множество
M
⊂
H
. Элемент
x
∈
H
называется
ортогональным множеству
M
, что
обозначается
x
⊥
M
, если
(
∀
y
∈
M
) [
x
⊥
y
]
.
Для множества
M
⊂
H
определим множество
M
⊥
=
{
x
∈
H
|
x
⊥
M
}
,
которое называется
ортогональным дополнением
множества
M
.
•
Задачи:
28.3. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением
H
для
любого множества
M
⊂
H
выполняется включение
M
⊂
(
M
⊥
)
⊥
.
28.4. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением
H
для
произвольного множества
M
⊂
H
множество
M
⊥
является подпростран-
ством
H
.
Теорема 32.
Пусть
H
– гильбертово пространство и
L
– подпространство
H
. Тогда всякий элемент
x
∈
H
однозначно представим в виде
x
=
y
+
z
, где
y
∈
L
и
z
⊥
L
.
Доказательство.
Если элемент
x
∈
L
, то представление очевидно
x
=
x
+ Θ
. Далее считаем
x /
∈
L
.
Обозначим
d
= inf
y
∈
L
k
x
−
y
k
2
и построим последовательность
{
y
n
} ⊂
L
такую, что
(
∀
n
∈
N
) [
d
≤ k
x
−
y
n
k
2
< d
+ 1
/n
2
]
.
(29)
Возьмем произвольный
ϕ
∈
L
так, что
ϕ
6
= Θ
. Тогда для всех чисел
λ
элемент
y
n
+
λϕ
∈
L
. Следовательно,
d
≤ k
x
−
(
y
n
+
λϕ
)
k
2
=
k
x
−
y
n
k
2
−
λ
(
x
−
y
n
, ϕ
)
−
λ
(
ϕ, x
−
y
n
) +
|
λ
|
2
k
ϕ
k
2
.
— 64 —
Положим теперь
λ
= (
x
−
y
n
, ϕ
)
/
k
ϕ
k
2
. Тогда
k
x
−
y
n
k
2
−
|
(
x
−
y
n
, ϕ
)
|
2
k
ϕ
k
2
≥
d.
Отсюда и (29) следует оценка
|
(
x
−
y
n
, ϕ
)
| ≤
k
ϕ
k
n
,
(30)
которая выполняется и для
ϕ
= Θ
. Далее, учитывая (30), получим
|
(
y
n
−
y
m
, ϕ
)
| ≤ |
(
y
n
−
x, ϕ
)
|
+
|
(
x
−
y
m
, ϕ
)
| ≤ k
ϕ
k
³
1
n
+
1
m
´
.
(31)
Полагая в (31)
ϕ
=
y
n
−
y
m
∈
L
, установим оценку
k
y
n
−
y
m
k ≤
1
/n
+1
/m
, что
означает фундаментальность последовательности
{
y
n
}
. Так как пространство
H
полное и множество
L
замкнуто, то
y
n
→
y
∈
L
. В оценке (30)
n
→ ∞
.
Тогда для всех
ϕ
∈
L
выполняется
(
x
−
y, ϕ
) = 0
, что означает
x
−
y
⊥
L
.
Обозначим
x
−
y
=
z
⊥
L
. Тогда
x
=
y
+
z
, где
y
∈
L
и
z
⊥
L
.
Докажем единственность представления. Предположим, что
x
=
y
+
z
=
y
1
+
z
1
, где
y, y
1
∈
L
и
z, z
1
⊥
L
. Тогда
y
−
y
1
=
z
1
−
z
и, следовательно,
k
y
−
y
1
k
2
= (
y
−
y
1
, z
1
−
z
) = 0
, так как
y
−
y
1
⊥
z
1
−
z
. Таким образом,
y
=
y
1
и
z
=
z
1
.
♥
Заметим, что
L
⊥
– подпространство
H
(задача 28.4). Таким образом, в тео-
реме 32 установлено, что
H
=
L
L
L
⊥
. Такую прямую сумму подпространств
называют также
ортогональной
суммой.
В разложении
x
=
y
+
z
элемент
y
∈
L
называют
проекцией
x
на подпро-
странство
L
. Соответственно, элемент
z
∈
L
⊥
– проекцией
x
на
L
⊥
.
•
Задачи:
28.5. Доказать, что для произвольного множества
M
⊂
H
, где
H
– гиль-
бертово пространство, равенство
M
= (
M
⊥
)
⊥
выполняется тогда и только
тогда, когда
M
– подпространство
H
.
28.6. Пусть
M
и
N
– такие подпространства гильбертова пространства
H
,
что
H
=
M
⊕
N
. Верно ли, что тогда
N
=
M
⊥
?
28.7. Показать, что в гильбертовом пространстве
l
2
выполняется
N
n
=
M
⊥
n
,
где
M
n
и
N
n
определены в задаче 19.13.
28.8. Доказать, что элемент
x
∈
H
– гильбертова пространства ортого-
нален подпространству
M
⊂
H
тогда и только тогда, когда выполняется
(
∀
y
∈
M
)(
k
x
k ≤ k
x
−
y
k
)
.
— 65 —
28.9. Пусть
M
и
N
– подпространства гильбертова пространства
H
. Пусть
M
⊥
N
. Доказать, что
M
+
N
подпространство
H
.
Теорема 33.
Пусть
H
– пространство со скалярным произведением и
M
⊂
H
. Для того чтобы множество
M
было всюду плотно в
H
, то есть
M
=
H
, необходимо, а если
H
– гильбертово пространство и множество
M
–
линейное многообразие в
H
, и достаточно, чтобы
M
⊥
=
{
Θ
}
.
Доказательство.
Пусть
M
=
H
и
x
∈
M
⊥
. Существует последователь-
ность
{
x
n
} ⊂
M
такая, что
x
n
→
x
при
n
→ ∞
. Переходя к пределу в
скалярном произведении, получим
0 = (
x, x
n
)
→
(
x, x
) = 0
. Следовательно,
x
= Θ
, то есть
M
⊥
=
{
Θ
}
.
Пусть теперь
M
– линейное многообразие в гильбертовом пространстве
H
и
M
⊥
=
{
Θ
}
. Заметим, что
M
– подпространство
H
(задача 21.5.). Предпо-
ложим, что
M
6
=
H
. Возьмем элемент
x /
∈
M
и по теореме 32 представим его
в виде
x
=
y
+
z
, где
y
∈
M
и
z
⊥
M
. Заметим, что
z
6
= Θ
, иначе,
x
=
y
∈
M
.
Кроме того,
z
⊥
M
, так как
M
⊂
M
. Таким образом,
M
⊥
3
z
6
= Θ
. Получили
противоречие с условием теоремы. Следовательно,
M
=
H
.
♥
§
29. Ортогональные системы элементов
Пусть
H
– пространство со скалярным произведением. Множество нену-
левых элементов
{
e
α
} ⊂
H
называется
ортогональной системой
элементов,
если
(
e
α
, e
β
) = 0
для всех
α
6
=
β
.
Легко проверить, что всякая ортогональная система элементов является
линейно независимой.
Ортогональная система элементов
{
e
α
}
называется
ортонормированной
системой, если
(
∀
α
) [
k
e
α
k
= 1]
.
Всякую ортогональную систему элементов
{
e
α
}
можно преобразовать в
ортонормированную, заменив ее на систему
{
e
α
/
k
e
α
k}
.
Теорема 34.
Пусть пространство со скалярным произведением
H
сепа-
рабельно. Тогда всякая ортогональная система элементов в
H
не более чем
счетная.
Доказательство.
Пусть
{
e
α
}
– ортогональная система элементов в
H
.
Превратим ее в ортонормированную, заменив на систему элементов
{
ϕ
α
}
,
где
ϕ
α
=
e
α
/
k
e
α
k
. Заметим, что
k
ϕ
α
−
ϕ
β
k
=
√
2
для всех
α
6
=
β
. Рассмот-
рим множество шаров
{
B
(
ϕ
α
,
1
/
2)
}
. Эти шары попарно не пересекаются, в
противном случае для
α
6
=
β
было бы
k
ϕ
α
−
ϕ
β
k
<
1
.
Обозначим через
M
счетное всюду плотное в пространстве
H
множество.
Так как
M
=
H
, то
(
∀
α
) [
M
∩
B
(
ϕ
α
,
1
/
2)
6
=
∅
]
. Возьмем множество элемен-