ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1321
Скачиваний: 6
— 6 —
2.
X
– произвольное непустое множество с дискретной метрикой
ρ
(
x, y
) =
(
0
,
x
=
y
1
,
x
6
=
y
.
3.
R
n
– множество
n
– мерных векторов
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
с вещественны-
ми координатами (либо
C
n
– множество
n
– мерных векторов с комплексными
координатами) с метрикой, где
1
≤
p <
∞
,
ρ
(
x, y
) =
ρ
p
(
x, y
) =
³
n
X
k
=1
|
x
k
−
y
k
|
p
´
1
/p
.
Эти метрические пространства далее будем обозначать
R
n
p
и
C
n
p
соответствен-
но. Заметим, что аксиома треугольника здесь следует из неравенства Мин-
ковского (4).
4. Вновь рассмотрим множество
R
n
(либо
C
n
). Метрику здесь зададим
выражением
ρ
(
x, y
) =
ρ
∞
(
x, y
) = max
1
≤
k
≤
n
|
x
k
−
y
k
|
.
Эти метрические пространства далее будем обозначать
R
n
∞
и
C
n
∞
соответ-
ственно.
5. Через
C
[
a, b
]
обозначим пространство числовых функций, непрерывных
на отрезке
[
a, b
]
, где на функциях
x, y
∈
C
[
a, b
]
метрика задается выражением
ρ
(
x, y
) = max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
.
6. Через
C
1
[
a, b
]
обозначим пространство числовых функций, непрерывных
на отрезке
[
a, b
]
, где на функциях
x, y
∈
C
1
[
a, b
]
метрика задается выражением
ρ
(
x, y
) =
Z
b
a
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
dt.
Для обоснования первой аксиомы метрики понадобится
Лемма 1.
Пусть на
[
a, b
]
функция
ϕ
(
t
)
≥
0
, непрерывна и
R
b
a
ϕ
(
t
)
dt
= 0
.
Тогда
ϕ
(
t
)
≡
0
на
[
a, b
]
.
Доказательство.
Если
ϕ
(
t
)
6≡
0
, то
(
∃
c
∈
[
a, b
]) [
ϕ
(
c
)
>
0]
. В силу непре-
рывности функции
ϕ
(
t
)
имеется в
[
a, b
]
целый отрезок
[
α, β
]
3
c
такой, что
(
∀
t
∈
[
α, β
])[
ϕ
(
t
)
≥
ϕ
(
c
)
/
2
>
0 ]
. Получим далее
b
Z
a
ϕ
(
t
)
dt
=
β
Z
α
ϕ
(
t
)
dt
+
Z
t /
∈
(
α,β
)
ϕ
(
t
)
dt
≥
β
Z
α
ϕ
(
t
)
dt
≥
(
β
−
α
)
ϕ
(
c
)
/
2
>
0
,
— 7 —
что противоречит условию леммы.
♥
7. Через
M
[
a, b
]
обозначим пространство числовых функций, определен-
ных и ограниченных на отрезке
[
a, b
]
, то есть таких, что
sup
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
<
∞
.
На функциях
x, y
∈
M
[
a, b
]
метрика задается выражением
ρ
(
x, y
) = sup
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
.
Определение корректно, так как для всех
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
| ≤ |
x
(
t
)
|
+
|
y
(
t
)
| ≤
sup
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
+ sup
a
≤
t
≤
b
|
y
(
t
)
|
=
C <
∞
.
8. Через
l
p
, где
1
≤
p <
∞
, обозначим пространство числовых последо-
вательностей
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
, суммируемых с
p
-ой степенью, то есть
таких, что
P
∞
k
=1
|
x
k
|
p
<
∞
. Метрика на элементах
x, y
∈
l
p
задается выраже-
нием
ρ
(
x, y
) =
ρ
p
(
x, y
) =
³
∞
X
k
=1
|
x
k
−
y
k
|
p
´
1
/p
.
(6)
Определение метрики корректно (ряд в (6) сходится), так как для всех
k
∈
N
справедлива оценка
|
x
k
−
y
k
|
p
≤
2
p
(
|
x
k
|
p
+
|
y
k
|
p
)
.
Докажем неравенство треугольника. Для любого
n
∈
N
из неравенства
Минковского для
x, y, z
∈
l
p
следует оценка
³
n
X
k
=1
|
x
k
−
y
k
|
p
´
1
/p
≤
³
n
X
k
=1
|
x
k
−
z
k
|
p
´
1
/p
+
³
n
X
k
=1
|
z
k
−
y
k
|
p
´
1
/p
.
(7)
Так как все ряды
P
∞
k
=1
|
x
k
−
y
k
|
p
,
P
∞
k
=1
|
x
k
−
z
k
|
p
и
P
∞
k
=1
|
z
k
−
y
k
|
p
сходятся,
то неравенство треугольника следует из (7) при
n
→ ∞
.
9. Через
m
обозначим пространство ограниченных числовых последова-
тельностей
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
, то есть таких, что
sup
k
∈
N
|
x
k
|
<
∞
. Мет-
рика на элементах
x, y
∈
m
задается выражением
ρ
(
x, y
) = sup
k
∈
N
|
x
k
−
y
k
|
.
10. Через
s
обозначим пространство произвольных числовых последова-
тельностей
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
. Метрика на элементах
x, y
∈
s
задается
выражением
ρ
(
x, y
) =
∞
X
k
=1
|
x
k
−
y
k
|
2
k
(1 +
|
x
k
−
y
k
|
)
.
(8)
— 8 —
Определение метрики корректно (ряд в (8) сходится). Аксиома треугольника
следует из простого неравенства
α
(1 +
α
)
−
1
≤
β
(1 +
β
)
−
1
, где
0
≤
α
≤
β
.
•
Задачи:
2.4. Показать, что
ρ
(
x, y
) =
|
arctg(
x
−
y
)
|
является метрикой на
R
1
.
2.5. Пусть функция
ϕ
(
t
)
определена и дважды непрерывно дифференци-
руема при
t
≥
0
. Кроме того,
ϕ
(0) = 0
,
ϕ
0
(
t
)
>
0
и
ϕ
00
(
t
)
≤
0
. Показать, что
ρ
(
x, y
) =
ϕ
(
|
x
−
y
|
)
является метрикой на
R
1
.
§
3. Шары и ограниченные множества
В метрическом пространстве
{
X, ρ
}
открытым (замкнутым) шаром
ра-
диуса
r
≥
0
с центром в точке
x
0
∈
X
называется множество
B
(
x
0
, r
) =
{
x
∈
X
|
ρ
(
x, x
0
)
< r
}
(
B
[
x
0
, r
] =
{
x
∈
X
|
ρ
(
x, x
0
)
≤
r
}
)
.
•
Задачи:
3.1. На плоскости
R
2
с метриками
ρ
1
(
x, y
) =
|
x
1
−
y
1
|
+
|
x
2
−
y
2
|
,
ρ
2
(
x, y
) = (
|
x
1
−
y
1
|
2
+
|
x
2
−
y
2
|
2
)
1
/
2
,
ρ
∞
(
x, y
) = max
{|
x
1
−
y
1
|
,
|
x
2
−
y
2
|}
построить замкнутые шары
B
[(0
,
0)
,
1]
.
3.2. Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим
подмножеством шара радиуса 3 ?
3.3. Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве содер-
жится в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают.
В метрическом пространстве
{
X, ρ
}
множество
M
⊂
X
называется
огра-
ниченным
, если в
X
существует замкнутый шар конечного радиуса, содер-
жащий это множество.
•
Задачи:
3.4. Пусть в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
множество
M
⊂
X
ограни-
чено. Показать, что
(
∀
x
0
∈
X
)(
∃
r >
0)(
M
⊂
B
[
x
0
, r
])
.
3.5. Пусть множества
A
и
B
ограничены в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
. Показать, что множество
A
∪
B
также ограничено в
{
X, ρ
}
.
3.6. Доказать, что множество
M
⊂
C
[
a, b
]
ограничено тогда и только тогда,
когда
(
∃
K >
0)(
∀
x
∈
M
)(
∀
t
∈
[
a, b
])(
|
x
(
t
)
| ≤
K
)
.
3.7. Пусть
{
x
(
t
)
}
– множество дифференцируемых на
[
a, b
]
функций таких,
что
(
∃
K
1
≥
0)(
∃
K
2
≥
0)(
∀
x
)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [(
|
x
(
a
)
| ≤
K
1
)
∧
(
|
x
0
(
t
)
| ≤
K
2
)]
.
Доказать, что множество
{
x
(
t
)
}
ограничено в пространстве
C
[
a, b
]
.
— 9 —
§
4. Сходимость в метрических пространствах
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Последовательность элементов
{
x
n
} ⊂
X
сходится
к элементу
x
∈
X
по метрике, если
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
при
n
→ ∞
. При этом используются обозначения
lim
n
→∞
x
n
=
x
, либо
x
n
→
x
при
n
→ ∞
.
Свойства сходящихся последовательностей.
1.
В метрическом пространстве любая подпоследовательность сходя-
щейся последовательности сходится, причем, к тому же пределу.
Доказательство.
Пусть
{
x
n
} ⊂
X
сходится к элементу
x
∈
X
и
{
x
n
k
} ⊂
{
x
n
}
. Тогда числовая последовательность
{
ρ
(
x
n
k
, x
)
} ⊂ {
ρ
(
x
n
, x
)
}
. Поэтому
ρ
(
x
n
k
, x
)
→
0
при
k
→ ∞
.
♥
2.
Последовательность в метрическом пространстве может иметь не
более одного предела.
Доказательство.
Пусть
{
x
n
} ⊂
X
такая, что
x
n
→
a
и
x
n
→
b
при
n
→ ∞
.
Из оценки
0
≤
ρ
(
a, b
)
≤
ρ
(
a, x
n
) +
ρ
(
x
n
, b
)
при
n
→ ∞
получим
ρ
(
a, b
) = 0
, то
есть
a
=
b
.
♥
3.
Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
ограничена.
Доказательство.
Пусть
{
x
n
} ⊂
X
такая, что
x
n
→
x
при
n
→ ∞
. То-
гда
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
и, следовательно, числовая последовательность
{
ρ
(
x
n
, x
)
}
ограничена, то есть
(
∃
r >
0) (
∀
n
∈
N
) [
ρ
(
x
n
, x
)
≤
r
]
. Таким образом, после-
довательность
{
x
n
} ⊂
B
[
x, r
]
.
♥
4.
Пусть в метрическом пространстве даны две последовательности:
x
n
→
x
и
y
n
→
y
при
n
→ ∞
. Тогда
ρ
(
x
n
, y
n
)
→
ρ
(
x, y
)
при
n
→ ∞
.
Доказательство
следует из неравенства (задача 2.3(б))
|
ρ
(
x
n
, y
n
)
−
ρ
(
x, y
)
| ≤
ρ
(
x
n
, x
) +
ρ
(
y
n
, y
)
.
♥
•
Задачa.
4.1. Показать, что если в метрическом пространстве при
n
→ ∞
выполня-
ется
x
n
→
x
и
ρ
(
x
n
, y
n
)
→
0
, то
y
n
→
x
.
Сходимость в пространстве
R
n
p
.
Пусть
1
≤
p <
∞
, последовательность
{
x
m
} ⊂
R
n
p
и
x
m
→
x
при
m
→ ∞
,
где
x
m
= (
x
m
1
, x
m
2
, . . . , x
m
n
)
,
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
. Это означает, что при
m
→ ∞
ρ
(
x
m
, x
) =
³
n
X
k
=1
|
x
m
k
−
x
k
|
p
´
1
/p
→
0
.
Но это возможно тогда и только тогда, когда
x
m
k
→
x
k
при
m
→ ∞
для всех
— 10 —
k
= 1
, n
. Такая сходимость называется
покоординатной сходимостью
.
Нетрудно видеть, что сходимость и в
R
n
∞
, а также в
C
n
p
для
1
≤
p
≤ ∞
,
равносильна покоординатной сходимости.
Сходимость в пространстве
C
[
a, b
]
.
Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
C
[
a, b
]
сходится по метрике к
функции
x
∈
C
[
a, b
]
. Это означает, что при
n
→ ∞
ρ
(
x
n
, x
) = max
a
≤
t
≤
b
|
x
n
(
t
)
−
x
(
t
)
| →
0
.
(9)
Утверждение (9) равносильно следующему:
(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
t
∈
[
a, b
])[
|
x
n
(
t
)
−
x
(
t
)
|
< ε
]
.
(10)
Но (10) означает равномерную сходимость функций
x
n
(
t
)
к функции
x
(
t
)
.
Таким образом, сходимость функций по метрике пространства
C
[
a, b
]
равно-
сильна
равномерной сходимости
соответствующей последовательности.
Из равномерной сходимости функций
x
n
(
t
)
к функции
x
(
t
)
, очевидно, сле-
дует так называемая
поточечная
сходимость, то есть для каждого фиксиро-
ванного
t
∈
[
a, b
]
при
n
→ ∞
числа
x
n
(
t
)
→
x
(
t
)
.
Обратное утверждение неверно, что покажем на следующем примере. Рас-
смотрим для
n
∈
N
заданные на
[0
,
1]
функции
x
n
(
t
) =
2
nt,
0
≤
t
≤
1
/
(2
n
)
2
−
2
nt,
1
/
(2
n
)
≤
t
≤
1
/n
0
,
1
/n
≤
t
≤
1
.
Очевидно, что функции
x
n
∈
C
[0
,
1]
и поточечно сходятся при
n
→ ∞
к
функции
x
0
(
t
)
≡
0
. Тогда равномерная сходимость функций
x
n
может быть
только к функции
x
0
. Однако
ρ
(
x
n
, x
0
) = max
0
≤
t
≤
1
|
x
n
(
t
)
|
= 1
и не стремится
к нулю.
•
Задача.
4.2. В пространстве
C
[0
,
1]
проверить сходимость при
n
→ ∞
последова-
тельностей:
1)
x
n
(
t
) =
n
−
1
sin
nt,
2)
x
n
(
t
) =
t
n
,
3)
x
n
(
t
) =
t
n
−
t
n
+1
,
4)
x
n
(
t
) =
t
n
1 +
t
n
,
5)
x
n
(
t
) =
2
nt
1 +
n
2
t
2
,
6)
x
n
(
t
) =
t
1 +
n
2
t
2
,
7)
x
n
(
t
) =
t
(2 +
n
2
t
2
)
1 +
n
2
t
2
,
8)
x
n
(
t
) =
nt
1 +
n
+
t
,
9)
x
n
(
t
) =
t
(1 + e
−
nt
)
.