Файл: Экономикоматематические методы и модели.pdf

МИНОБРНАУКИ
РОССИИ
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет»
Л.А.Чернышев
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Учебное пособие
Екатеринбург
2013
Электронный архив УГЛТУ

2
УДК 519.869
ББК 65.050я73
Ч 49
Рецензенты: кафедра экономики и организации на предприятиях машиностроения
Уральского федерального университета им. первого Президента России Б.Н.
Ельцина; кандидат экономических наук, доцент кафедры экономики, менеджмента и туризма РГСУ филиал в г. Советский А.М. Чернопятов.
Чернышев Л.А. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Л.А.Чернышев. – Екатеринбург, 2013. – 206 с.
ISBN 978-5-94984-444-1
В учебном пособии представлен широкий круг экономико- математических методов и моделей. Приведены основные понятия о методах и моделях, теоретические положения, примеры решения задач. Особое внима- ние уделено моделям управления запасами, моделям производства, потреби- тельского выбора и моделям макроэкономики.
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей, изучающих курс «Экономико-математические методы и модели». В него включены материалы по основным темам программы обучения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Уральского государственного лесотехнического университета.
УДК 519.869
ББК 65.050я73
ISBN 978-5-94984-444-1 © ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», 2013
© Л.А. Чернышев, 2013
Ч 49
Электронный архив УГЛТУ

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………...
1. МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ………………………………………..
1.1. Моделирование как метод научного познания………………………..
1.2. Виды подобия и адекватность моделей ………………………………
1.3. Экономико-математические методы и модели. Их классификация …
1.4. Классификация задач математического программирования…………
1.5. Принципы построения экономико-математических моделей………..
1.6. Этапы экономико-математического моделирования…………………
2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ…………………………………..
2.1. Общая постановка задачи линейного программирования …………...
2.2. Графическое решение задач линейного программирования…………
2.3. Основные теоремы линейного программирования…………………...
2.4. Симплексный метод……………………………………………………
2.5. Двойственность в линейном программировании……………………..
2.6. Имитационное моделирование систем и процессов………………….
3. МАТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ…………………………………………………
3.1. Общая структура межотраслевого баланса…………………………...
3.2. Статическая межотраслевая модель…………………………………..
3.3. Модель межотраслевого баланса затрат труда………………………..
4. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ…………………………………
4.1. Спрос и теория управления запасами…………………………………
4.2. Основные стратегии управления запасами……………………………
4.3. Модификации основных стратегий управления запасами…………...
4.4. Целевые функции моделей управления запасами…………………….
4.5. Типы моделей управления запасами…………………………………..
4.6. Простейшие модели управления запасами……………………………
4.6.1 Однопродуктовая статическая модель…………………………...
4.6.2 Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит…
4.6.3 Модель с постепенным пополнением запасов ………………….
4.6.4 Модель с постепенным пополнением запасов, допускающая дефицит ……………………………………………………………
4.7. Вероятностные модели управления запасами …………………..……
4.7.1 Модель с фиксированным размером заказа……………………...
Электронный архив УГЛТУ

4 4.7.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа ……………...
4.8. Специальные модели управления запасами…………………………..
4.8.1 Модель, учитывающая количественные скидки ………………...
4.8.2 Однопериодная модель …………………………………………..
5. НЕЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ …….
5.1. Постановка и решение задачи нелинейного программирования ……
5.2.Динамическое программирование. Принципы построения динамиче- ских моделей……………………………………………………
5.3. Алгоритм динамического программирования………………………...
5.4. Метод динамического программирования в задаче оптимального управления запасами…………………………………………………...
6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ…………………………………………
6.1. Основные понятия теории графов……………………………………..
6.2. Экстремальные пути и контуры на графах……………………………
6.3. Задачи о максимальном потоке………………………………………..
6.4. Задачи календарно-сетевого планирования и управления……………
7. МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА……………………………
7.1. Пространство товаров. Предпочтения потребителя…………………..
7.2. Функция полезности потребителя……………………………………..
7.3. Основные виды функций полезности…………………………………
7.4. Кривые зависимости безразличия……………………………………..
7.5. Основные виды кривых безразличия………………………………….
7.6. Задача потребительского выбора……………………………………...
7.7. Свойства решения задачи потребительского выбора…………………
7.8. Аналитическое решение задачи потребительского выбора…………..
7.9. Модель Стоуна…………………………………………………………
7.10. Двойственная задача потребительского выбора……………………..
7.11. Эластичность функции……………………………………………….
7.12. Свойства функций спроса Маршалла………………………………..
7.13. Кривые зависимости «доход-потребление» и «цена-потребление»...
7.14. Уравнение Слуцкого………………………………………………….
8. МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА…………………………………………….
8.1. Производство, пространство затрат, производственная функция……
8.2. Модель совершенной конкуренции…………………………………...
8.3. Решение задачи производителя в долгосрочном периоде……………
8.4. Решение задачи производителя в краткосрочном периоде…………...
Электронный архив УГЛТУ

5 8.5. Изокванты и изокосты…………………………………………………
8.6. Графическая интерпретация решения задачи фирмы……………...…
9. МОДЕЛИ КОНКУРЕНЦИИ……………………………………………...
9.1. Сущность и виды рыночной монополии и конкуренции……………
9.2. Модель дуополии Курно……………………………………………….
9.3 Модель общего экономического равновесия………………………….
10. МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ……………………………………...
10.1. Статическая модель Леонтьева………………………………………
10.2. Продуктивность модели Леонтьева…………………………………
10.3. Рыночное равновесие в модели Леонтьева…………………………
10.4. Динамическая модель Леонтьева……………………………………
10.5. Динамическая модель экономики Неймана…………………………
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………....
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………………
Приложение А. Таблица Брауна………………………………………….….
Приложение Б. Площади под кривой нормального распределения от ∞ до

……………………………………………………
Приложение В. Процентные точки распределения t-статистики
Стьюдента …………………………………………………..
Приложение Г. Значения критерия Дарбина-Уотсона ……………………...
Приложение Д. Критические границы отношения R/S …………………….
Приложение Е. Тесты для проверки полученных знаний ………………….
Электронный архив УГЛТУ

6
ВВЕДЕНИЕ
Экономические явления и процессы, протекающие в современном промышленном производстве, столь сложны и многогранны, что для их изу- чения необходимо привлекать математическое моделирование как мощное средство научного и практического исследования. Это вызвано, прежде все- го, тем, что математические методы и модели позволяют удобнее описывать сложнейшие экономические ситуации, и делают управленческие решения научно обоснованными. Математическое моделирование играет чрезвычайно важную роль в организации любой деятельности человека, оно являются не- обходимым элементом современной экономической науки, как на микро-, так и макроуровне, изучается в таких её разделах, как математическая экономика и эконометрика.
Экономико-математические модели дают фундаментальную основу решения аналитических задач различных сфер деятельности современных предпринимателей. Построение математических моделей в экономике во многих случаях связано напрямую с анализом статистических данных, для получения которых часто требуются большие материальные и временные за- траты. Поэтому изучение данного предмета требует от студентов глубоких знаний как в области экономики, так и математики и статистики.
Реальный объект моделирования в экономике по своей сложности превосходит многие объекты физической природы. Вместе с тем проверка адекватности экономико-математических моделей с помощью единственного критерия истины – практики – затруднена, поскольку практический экспери- мент зачастую связан с колоссальными затратами и поэтому не всегда воз- можен.
Основная цель данного учебного пособия – формирование системы теоретических знаний, умений и навыков относительно возможности исполь- зования аппарата высшей математики, теории вероятностей и математиче- ской статистики при построении моделей экономических явлений и процес- сов. Под экономико-математической моделью понимают описание исследуе- мого экономического процесса или явления с помощью абстрактных матема- тических соотношений. Использование математического моделирования в экономике и управлении позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область использования экономической информации, ин- тенсифицировать экономические расчеты.
Разработка экономико- математических моделей является важным звеном в теоретических и при- кладных экономических исследованиях.
В учебном пособии рассматриваются модели линейного и динамиче- ского программирования, балансовые модели, модели производства и потре- бительского выбора, конкуренции и макроэкономики, и другие.
Электронный архив УГЛТУ

7
1. МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
1.1. Моделирование как метод научного познания
Предметом изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» являются количественные характеристики экономических про- цессов, протекающих в производстве, и изучение их взаимосвязей.
Основным понятием курса является понятие математической модели.
Модель – образ реальной системы (объекта, процесса) в материальной или теоретической форме. Этот образ отражает существенные свойства объ- екта, он замещает реальный объект в ходе исследования и управления.
Математическая модель – это система математических уравнений, не- равенств, формул, и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математиче- ским моделированием.
В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстракт- ную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй. Моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможно- сти изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредо- ванно, через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (моде- ли). Таким образом, моделирование представляет собой процесс построения, изучения и применения моделей.
Целью моделирования является повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления. Экономическое управление осу- ществляется на макро- и микроэкономическом уровнях. На макроуровне объ- ектами управления являются народное хозяйство в целом, отрасли и сектора экономики, на микроуровне – предприятия и рынки. Моделирование и по- строение математической модели экономического объекта позволяют све- сти экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений [1].
Главная особенность моделирования состоит в том, что это метод опо- средованного познания при помощи объектов-заменителей. Модель выступа- ет как инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом с целью изучения последнего, т.е. объект рассматривается как бы через «призму» его модельного представления. Процесс моделирования, та- ким образом, включает в себя три элемента: субъект исследования (исследо- ватель), объект исследования и модель (рис. 1.1).
Электронный архив УГЛТУ

8
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непо- средственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует слишком высоких затрат времени и средств.
Рис. 1.1. Роль модели в процессе исследования
Сущность процесса моделирования иллюстрирует схема, представлен- ная на рис. 1.2
Рис. 1.2. Сущность процесса моделирования
Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект «А». Тогда
(материально или мысленно) мы находим в реальном мире другой объект
(«B») – модель объекта «А». Этап построения модели предполагает наличие некоторых первоначальных знаний об объекте-оригинале. Модель отобража- ет какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Важнейшим является вопрос о необходимой и достаточной степени сходства оригинала и модели.
Этот вопрос требует детального анализа и решения в зависимости от кон- кретной ситуации. Очевидно, что модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.
На втором этапе процесса моделирования модель выступает уже как са- мостоятельный объект изучения. Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели. Однако знания о модели - это еще не есть знания о самом объекте-оригинале.
Электронный архив УГЛТУ

9
На третьем этапе происходит интерпретация полученных знаний, т. е. перенос знаний с модели на оригинал. Происходит формирование множества знаний об объекте «А».
Четвертый этап – практическая проверка полученных знаний, их исполь- зование для выработки суждений об объекте, для его преобразования или управления им.
Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду то- го, что это – не единственный источник знаний об объекте. Процесс модели- рования «погружен» в общий процесс познания. Это обстоятельство должно учитываться не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследова- ния, получаемых на основе многообразных средств познания.
Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым че- тырехшаговым циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная мо- дель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после перво- го цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибка- ми в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможности са- моразвития.
Преимущество использования математических моделей для описания экономических систем заключается в следующем
1) в процессе построения математической модели исследователь может определить существенные и не существенные для исследуемой системы свя- зи и параметры;
2) математическая модель позволяет установить взаимосвязь между раз- личными параметрами системы, а также описать влияние одних параметров на другие;
3) математическая модель, в отличие от вербальной, позволяет описать процесс компактно, в виде набора математических соотношений;
4) построенная математическая модель может быть использована для численного анализа исследуемой системы с помощью ЭВМ. Это позволяет выявить альтернативные сценарии поведения системы;
5) используя математический аппарат, исследователь может получать новые знания об исследуемой системе, адекватные реальности в той же сте- пени, что и построенная модель;
6) использование математических моделей позволяет осуществить пред- варительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям;
7) они научно обоснованы, и лицо, принимающее решение, может руко- водствоваться ими при выборе окончательного решения.
Электронный архив УГЛТУ