ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2023
Просмотров: 343
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
10. МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ
В отличие от микроэкономики и теории общего равновесия макроэко- номика рассматривает такие параметры национальной экономики, как вало- вой внутренний продукт, фискальную политику, занятость, экономический рост и др.
Макроэкономические модели представляют собой формализованные
(логически, графически и алгебраически) описания различных экономиче- ских явлений и процессов с целью выявления функциональных взаимосвязей между ними.
В качестве внешних (экзогенных) переменных, величина которых опре- деляется вне модели, нередко выступают основные инструменты фискальной политики правительства и денежно-кредитной политики национального бан- ка – изменения в величинах государственных издержек, налогов и денежной массы.
С помощью моделей обеспечивается многовариантность способов раз- решения экономических проблем, которая позволяет добиваться необходи- мой альтернативности и гибкости макроэкономической политики.
Наиболее перспективными с этой точки зрения являются модели, учи- тывающие динамику инфляционных ожиданий экономических агентов. Их использование в макроэкономическом прогнозировании позволяет снизить риск возникновения феномена неожиданной инфляции, которая оказывает наиболее разрушительное влияние на экономику, а также смягчить являю- щуюся одной из самых сложных в макроэкономике проблему недоверия к политике правительства и Центрального банка [29, 30].
Чтобы определить состояние экономики в целом, необходимо суммиро- вать (агрегировать) состояние экономики каждой компании. Агрегирование позволяет получить статистические показатели, характеризующие совокуп- ное производство федерации. Такие показатели называются макроэкономи-
ческими. Совокупность макроэкономических показателей называется систе-
мой национальных счетов.
В отличие от теоретико-игрового подхода, на основе которого строились математические модели микроэкономики и модели общего равновесия, для моделирования макроэкономических систем используется эконометрический подход [29 - 32].
10.1. Статическая модель Леонтьева
Предположим, что вся экономика состоит из n отраслей, каждая из кото- рых производит свой вид продукции, x
i
- это общий выпуск i-й отрасли.
Электронный архив УГЛТУ
186
Определенная доля выпуска каждой отрасли расходуется, во-первых, в не- производственной сфере, а, во-вторых, используется в качестве ресурсов производства в других отраслях экономики.
Введём обозначения:
c
i
– объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере, a
ij
- доля выпуска i-й отрасли потребляемая j-й отраслью.
Из условия рыночного равновесия следует, что спрос на продукцию от- расли должен равняться предложению отрасли. Таким образом, мы имеем следующие n уравнений:
(10.1)
Здесь левая часть отражает выпуск, а правая – затраты и конечный спрос.
Перейдём к векторно-матричным обозначениям.
X = (x
1
,…,x
n
)
T
– вектор выпуска, C = (с
1
,…, с
n
)
T
– вектор потребления в непроизводственной сфере, А = [a
ij
] – технологическая матрица прямых за- трат.
Тогда условие равновесия примет вид:
X = AX + C. (10.2)
Данную систему уравнений называют статической моделью экономики
Леонтьева. При этом следует учитывать, что вектор выпуска X и вектор по- требления продукции С должны быть неотрицательными величинами.
Предположим, что у нас заданы технологическая матрица и потребление продукции в непроизводственной сфере, тогда:
X – AX = C,
(I - A)X = C, (10.3)
Х = (I - A)
-1
C,
где I – единичная матрица.
Если для любого неотрицательного объема потребления в непроизвод- ственной сфере соответствует неотрицательное значение вектора выпуска Х, то в этом случае говорят о том, что модель Леонтьева является продуктивной.
Модель Леонтьева «затраты – выпуск» строится на основе схемы меж- отраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары? С помо- щью двойственных оптимизационных задач доказывается существование равновесия, которое является частным случаем конкурентного равновесия
Вальраса.
Электронный архив УГЛТУ
187
10.2. Продуктивность модели Леонтьева
Пусть имеется матрица Y
n + n
. Говорят, что матрица Y является неотрица- тельно определенной Y ≥ 0 в том случае, когда для любого ненулевого вектора z соответствующей размерности z ≠ 0 выполняется соотношение z
T
Yz ≥ 0 .
Число λ – собственное число матрицы Y
n x n
, если оно удовлетворяет со- отношениям det(Y – Iλ) = 0.
Модель Леонтьева является продуктивной в том случае, когда выполня- ется хотя бы одно из следующих условий: а) матрица (I – A)
-1
≥ 0 является неотрицательно определенной; б) бесконечный матричный ряд I + A + A
2
+… = (I – A)
-1
сходится и равен
(I – A)
-1
; в) наибольшее собственное число матрицы А по модулю: │λ
max
│ < 1.
Тогда из условий матрица А является продуктивной, а следовательно, и модель Леонтьева является продуктивной.
10.3. Рыночное равновесие в модели Леонтьева
Как и модель Вальраса, модель Леонтьева может использоваться для нахождения параметров общего рыночного равновесия. Более того, все со- стояния равновесия, которые будут получены с помощью модели Леонтьева, всегда будут экономически значимыми.
Будем предполагать, что экономика включает в себя n различных отрас- лей и каждая из них производит свой вид продукции.
Обозначим через x
j
выпуск j-ой отрасли, x
ij
количество единиц продук- ции i-ой отрасли используемых для функционирования j-ой отрасли.
Будем предполагать, что помимо продукции других отраслей для произ- водства в каждой отрасли используются m видов ресурсов производства:
y
1
,…,y
m
– первоначальные факторы производства;
r
ij
– количество единиц i-го ресурса, используемого для производства продукции в j-ой отрасли.
Обозначим через а
ij
(t) количество единиц i-ой отрасли, необходимый для производства одной единицы продукции в j-ой отрасли, b
ij
количество еди- ниц i-го ресурса, используемого для выпуска одной единицы продукции j-ой отрасли.
j
ij
ij
j
ij
ij
x
b
r
x
a
x
(10.4)
Электронный архив УГЛТУ
188
В этом случае производственная функция экономики Леонтьева прини- мает следующий вид:
mj
mj
j
j
nj
nj
j
j
j
j
j
b
r
b
r
a
x
a
x
a
x
x
,...,
,
,...,
,
min
1 1
2 2
1 1
Просуммируем равенство r
ij
= b
ij
x
j
по j и получим:
n
j
j
ij
n
j
ij
x
b
r
1 1
- спрос на i-ый фактор производства.
Обозначим через r
1
,…,r
m
– объем предложения факторов производства.
Поскольку спрос на каждый фактор производства (в условиях рыночно- го равновесия) не должен превышать его предложения, то должно выпол- няться следующее соотношение:
i
n
j
j
ij
r
x
b
1
(10.6)
Введем векторно-матричное обозначение B
x
≤ r.
B
mxn
= [b
ij
] – технологическая матрица факторов производства, r – вектор начальных запасов факторов производства, w = (w
1
,w
2
,…,w
m
)
T
- вектор цен факторов производства, p = (p
1
, p
2
,…, p
n
)
T
– вектор цен товаров.
Определим предельные издержки, которые связаны с выпуском единицы продукции j-ой отрасли:
j
n
j
ij
i
n
j
ij
i
p
b
w
a
p
1 1
. (10.7)
Предположим, что экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции, тогда предельные издержки, связанные с выпуском одной еди- ницы продукции каждой отрасли, не должны превышать рыночную цену единицы продукции отрасли.
Переписав эти выражения в векторно-матричной форме, получаем:
P
T
A + w
T
B ≥ p
T
<=>p
T
(I-A)
-1
≤ w
T
B (10.8)
Таким образом, задача поиска общего рыночного равновесия может быть сформулирована следующим образом.
0
max
X
r
Bx
C
AX
X
C
p
X
T
(10.5)
(10.9)
Электронный архив УГЛТУ
189
Максимизация осуществляется за счет выбора вектора выпуска отрасли Х.
X=(I-A)
-1
C ; C=(I-A)X .
0
max
)
(
X
r
Bx
X
A
I
p
X
T
Здесь переменными для определения общего рыночного равновесия яв- ляется объем выпуска отрасли, а цены предполагаются заданными.
Задача нахождения общего рыночного равновесия может быть сформу- лирована также в двойственной постановке. В этом случае объем выпуска отрасли считается заданным, а переменными, по которым осуществляется нахождение общего рыночного равновесия, выступают цены.
Предполагается, что критерием оптимальности функционирования эко- номики является минимизация стоимости первоначальных факторов произ- водства (минимизация национального дохода)
0
)
(
max
W
A
I
p
Bw
r
w
w
T
В этом и заключается задача нахождения общего рыночного равновесия в двойственном виде. При этом все найденные соотношения в результате ре- шения задачи будут иметь экономическую интерпретацию.
10.4. Динамическая модель Леонтьева
Рассмотрим, как будет развиваться ситуация с течением времени. Время
t измеряется дискретно, с временным лагом, равным 1, т.е. t = 0, 1, 2, …
Предполагается, что в каждый момент времени t каждая отрасль осуществля- ет инвестиции в другие отрасли экономики.
Обозначим через K
ij
(t) объем инвестиций i-ой отрасли в j-ю в момент времени t.
x
j
(t) - x
j
(t - 1) – прирост производства j-ой отрасли в момент времени t.
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
t
x
t
x
t
K
t
k
j
j
ij
ij
- доля инвестиций i-ой отрасли в прирост производства продукции j-ой отрасли.
Обозначим через а
ij
(t) объем продукции i-ой отрасли, необходимый для функционирования j-ой отрасли в момент времени t.
(10.10)
(10.11)
Электронный архив УГЛТУ
190
Через с
i
(t)- потребление продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере в момент времени t.
)
(
))
1
(
)
(
)(
(
)
(
)
(
)
(
1 1
t
c
t
x
t
x
t
k
t
x
t
a
t
x
i
n
j
j
j
ij
n
j
j
ij
j
. (10.12)
10.5. Динамическая модель экономики Неймана
Модель экономики Джона фон Неймана является замкнутой. Все выпус- ки предыдущего периода становятся затратами следующего периода, и нали- чие первоначальных факторов производства не предполагается. Кроме того, модель Неймана предполагает, что осуществляется сбалансированный рост экономики с течением времени (пропорциональное увеличение объемов вы- пуска каждой из отраслей).
Предполагается, что экономика производит
n видов товара. Произ- водство товаров осуществляется с помощью р отраслей производства. Каж- дая отрасль способна производить любой из n товаров.
Обозначим через y
i
(t) интенсивность функционирования i-ой отрасли в момент времени t.
Обозначим через y(t) = (y
1
(t),…y
p
(t))
T
– вектор интенсивности – показа- тель значимости функционирования отрасли в данный момент времени t.
Σ y
i
(t)=1; 1 ≥ y
i
≥ 0.
Обозначим через вектор p(t)= (p
1
(t),…p
n
(t))
T
- вектор цен товаров.
Предположим, что цены являются относительными, т.е.
1
)
(
1
n
i
i
t
p
Технология производства в модели Неймана описывается с помощью 2- х матриц:
А = [а
ij
]
nxp
– матрица затрат, где а
i j
– затраты продукции i-го вида, которые используются при функционировании j-ой отрасли с интенсивностью, равной единице.
В = [b
ij
]
nxp
– матрица выпуска, где b
ij
– выпуск i-го вида продукции, кото- рая получится при функционировании j-ой отрасли с интенсивностью, рав- ной единице.
p
j
j
ij
t
y
t
a
1
)
(
)
(
– общие затраты i-ого вида продукции в момент времени t
за счет функционирования j-ой отрасли;
А(t) y(t) - общие затраты в экономике в момент времени t.
В(t) y(t) – общий выпуск в экономике в момент времени t.
Электронный архив УГЛТУ
191
Предполагается, что время t измеряется дискретно, с временным лагом равным одному, т.е. t = 0, 1, 2,… Тогда длительность периода производства продукции равна 1 временному циклу.
Поскольку мы предполагаем замкнутость экономики, то общие затраты в каждый следующий момент времени не могут превышать общего выпуска в предшествующий момент времени: А(t + 1) y(t + 1) ≤ В(t) y(t) =>
p
j
i
ij
p
j
i
ij
t
y
t
b
t
y
t
a
1 1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
(10.13)
Если для какого-либо ресурса выполняется неравенство объем S > объ- ема D, то рыночная цена на данный ресурс снижается до нуля. Поэтому име- ет место следующее соотношение:
р
T
(t +1) А(t +1) y(t +1) = p
T
(t+1) B(t) y(t). (10.14)
Предположим, что в экономике имеет место совершенная конкуренция.
В этом случае при условии, что в экономике имеет место состояние рыноч- ного равновесия, то ни по какому виду товаров не может быть получена при- быль, т.е.
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1 1
t
a
t
p
t
b
t
p
ij
n
j
n
j
j
ij
j
. (10.15)
Предельная выручка не может превышать предельных издержек.
Если для какого-либо вида ресурсов выполняется строгое неравенство объем S > объема D, то прибыль становится отрицательной от данной про- дукции и интенсивность выпуска становится равной нулю, производство прекращается.
p
T
(t+1) A(t+1) y(t+1) = p
T
(t+1) B(t) y(t) (10.16)
Экономика функционирует в состоянии рыночного равновесия, и с тече- нием времени не может быть получена прибыль, т.е. должно выполняться следующее соотношение:
p
T
(t+1) B(t+1) ≤ p
T
(t+1) А(t). (10.16)
Интенсивность функционирования отрасли становится равной нулю, то- гда:
p
T
(t+1) B(t+1) y(t+1)= p
T
(t+1) А(t) y(t+1). (10.17)
Будем считать, что в экономике имеет место сбалансированный рост производства, т.е. интенсивность выпуска всех отраслей возрастает с одина- ковым темпом роста λ :
y(t+1) = (1+ λ) y(t) = (1+ λ)
Т
y(0). (10.18)
Электронный архив УГЛТУ
192
В экономике существует процентная ставка и дисконтирование цен, то- гда:
р
i
(t+1) = р
i
(t) / 1+ р
о
; ( р
о
– норма %);
р(t+1) = р
i
(t) / 1+ р
о
= (1+ р
о
)
-t
р(0);
A(t+1) y(t+1) ≤ B(t) y(t);
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
t
y
t
B
t
p
t
y
t
A
t
p
t
y
t
B
t
y
t
A
T
T
;
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
t
B
t
p
t
y
t
A
t
p
t
y
t
A
t
p
t
y
t
B
t
p
T
T
T
T
Будем предполагать, что компоненты матрицы выпуска и матрицы за- трат не зависят от времени. В этом случае максимальной темп сбалансиро- ванного роста и минимальная норма (%) будут равны между собой:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
min max
t
Ay
t
p
t
By
t
p
T
T
. (10.20)
В результате получаем дискретный луч, т.е. траекторию максимального пропорционального сбалансированного роста.
Модель Неймана является обобщением модели Леонтьева. Это линейная динамическая модель расширяющейся экономики, когда каждая отрасль вы- пускает не один, а несколько товаров. Процесс совместного выпуска форма- лизуется как линейная комбинация исходных производственных процессов, функционирующих с единичными интенсивностями (базисных процессов).
Рис.10.1.Траектория максимального пропорционального сбалансированного роста
(10.19)
Электронный архив УГЛТУ
В отличие от микроэкономики и теории общего равновесия макроэко- номика рассматривает такие параметры национальной экономики, как вало- вой внутренний продукт, фискальную политику, занятость, экономический рост и др.
Макроэкономические модели представляют собой формализованные
(логически, графически и алгебраически) описания различных экономиче- ских явлений и процессов с целью выявления функциональных взаимосвязей между ними.
В качестве внешних (экзогенных) переменных, величина которых опре- деляется вне модели, нередко выступают основные инструменты фискальной политики правительства и денежно-кредитной политики национального бан- ка – изменения в величинах государственных издержек, налогов и денежной массы.
С помощью моделей обеспечивается многовариантность способов раз- решения экономических проблем, которая позволяет добиваться необходи- мой альтернативности и гибкости макроэкономической политики.
Наиболее перспективными с этой точки зрения являются модели, учи- тывающие динамику инфляционных ожиданий экономических агентов. Их использование в макроэкономическом прогнозировании позволяет снизить риск возникновения феномена неожиданной инфляции, которая оказывает наиболее разрушительное влияние на экономику, а также смягчить являю- щуюся одной из самых сложных в макроэкономике проблему недоверия к политике правительства и Центрального банка [29, 30].
Чтобы определить состояние экономики в целом, необходимо суммиро- вать (агрегировать) состояние экономики каждой компании. Агрегирование позволяет получить статистические показатели, характеризующие совокуп- ное производство федерации. Такие показатели называются макроэкономи-
ческими. Совокупность макроэкономических показателей называется систе-
мой национальных счетов.
В отличие от теоретико-игрового подхода, на основе которого строились математические модели микроэкономики и модели общего равновесия, для моделирования макроэкономических систем используется эконометрический подход [29 - 32].
10.1. Статическая модель Леонтьева
Предположим, что вся экономика состоит из n отраслей, каждая из кото- рых производит свой вид продукции, x
i
- это общий выпуск i-й отрасли.
Электронный архив УГЛТУ
186
Определенная доля выпуска каждой отрасли расходуется, во-первых, в не- производственной сфере, а, во-вторых, используется в качестве ресурсов производства в других отраслях экономики.
Введём обозначения:
c
i
– объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере, a
ij
- доля выпуска i-й отрасли потребляемая j-й отраслью.
Из условия рыночного равновесия следует, что спрос на продукцию от- расли должен равняться предложению отрасли. Таким образом, мы имеем следующие n уравнений:
(10.1)
Здесь левая часть отражает выпуск, а правая – затраты и конечный спрос.
Перейдём к векторно-матричным обозначениям.
X = (x
1
,…,x
n
)
T
– вектор выпуска, C = (с
1
,…, с
n
)
T
– вектор потребления в непроизводственной сфере, А = [a
ij
] – технологическая матрица прямых за- трат.
Тогда условие равновесия примет вид:
X = AX + C. (10.2)
Данную систему уравнений называют статической моделью экономики
Леонтьева. При этом следует учитывать, что вектор выпуска X и вектор по- требления продукции С должны быть неотрицательными величинами.
Предположим, что у нас заданы технологическая матрица и потребление продукции в непроизводственной сфере, тогда:
X – AX = C,
(I - A)X = C, (10.3)
Х = (I - A)
-1
C,
где I – единичная матрица.
Если для любого неотрицательного объема потребления в непроизвод- ственной сфере соответствует неотрицательное значение вектора выпуска Х, то в этом случае говорят о том, что модель Леонтьева является продуктивной.
Модель Леонтьева «затраты – выпуск» строится на основе схемы меж- отраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары? С помо- щью двойственных оптимизационных задач доказывается существование равновесия, которое является частным случаем конкурентного равновесия
Вальраса.
Электронный архив УГЛТУ
187
10.2. Продуктивность модели Леонтьева
Пусть имеется матрица Y
n + n
. Говорят, что матрица Y является неотрица- тельно определенной Y ≥ 0 в том случае, когда для любого ненулевого вектора z соответствующей размерности z ≠ 0 выполняется соотношение z
T
Yz ≥ 0 .
Число λ – собственное число матрицы Y
n x n
, если оно удовлетворяет со- отношениям det(Y – Iλ) = 0.
Модель Леонтьева является продуктивной в том случае, когда выполня- ется хотя бы одно из следующих условий: а) матрица (I – A)
-1
≥ 0 является неотрицательно определенной; б) бесконечный матричный ряд I + A + A
2
+… = (I – A)
-1
сходится и равен
(I – A)
-1
; в) наибольшее собственное число матрицы А по модулю: │λ
max
│ < 1.
Тогда из условий матрица А является продуктивной, а следовательно, и модель Леонтьева является продуктивной.
10.3. Рыночное равновесие в модели Леонтьева
Как и модель Вальраса, модель Леонтьева может использоваться для нахождения параметров общего рыночного равновесия. Более того, все со- стояния равновесия, которые будут получены с помощью модели Леонтьева, всегда будут экономически значимыми.
Будем предполагать, что экономика включает в себя n различных отрас- лей и каждая из них производит свой вид продукции.
Обозначим через x
j
выпуск j-ой отрасли, x
ij
количество единиц продук- ции i-ой отрасли используемых для функционирования j-ой отрасли.
Будем предполагать, что помимо продукции других отраслей для произ- водства в каждой отрасли используются m видов ресурсов производства:
y
1
,…,y
m
– первоначальные факторы производства;
r
ij
– количество единиц i-го ресурса, используемого для производства продукции в j-ой отрасли.
Обозначим через а
ij
(t) количество единиц i-ой отрасли, необходимый для производства одной единицы продукции в j-ой отрасли, b
ij
количество еди- ниц i-го ресурса, используемого для выпуска одной единицы продукции j-ой отрасли.
j
ij
ij
j
ij
ij
x
b
r
x
a
x
(10.4)
Электронный архив УГЛТУ
188
В этом случае производственная функция экономики Леонтьева прини- мает следующий вид:
mj
mj
j
j
nj
nj
j
j
j
j
j
b
r
b
r
a
x
a
x
a
x
x
,...,
,
,...,
,
min
1 1
2 2
1 1
Просуммируем равенство r
ij
= b
ij
x
j
по j и получим:
n
j
j
ij
n
j
ij
x
b
r
1 1
- спрос на i-ый фактор производства.
Обозначим через r
1
,…,r
m
– объем предложения факторов производства.
Поскольку спрос на каждый фактор производства (в условиях рыночно- го равновесия) не должен превышать его предложения, то должно выпол- няться следующее соотношение:
i
n
j
j
ij
r
x
b
1
(10.6)
Введем векторно-матричное обозначение B
x
≤ r.
B
mxn
= [b
ij
] – технологическая матрица факторов производства, r – вектор начальных запасов факторов производства, w = (w
1
,w
2
,…,w
m
)
T
- вектор цен факторов производства, p = (p
1
, p
2
,…, p
n
)
T
– вектор цен товаров.
Определим предельные издержки, которые связаны с выпуском единицы продукции j-ой отрасли:
j
n
j
ij
i
n
j
ij
i
p
b
w
a
p
1 1
. (10.7)
Предположим, что экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции, тогда предельные издержки, связанные с выпуском одной еди- ницы продукции каждой отрасли, не должны превышать рыночную цену единицы продукции отрасли.
Переписав эти выражения в векторно-матричной форме, получаем:
P
T
A + w
T
B ≥ p
T
<=>p
T
(I-A)
-1
≤ w
T
B (10.8)
Таким образом, задача поиска общего рыночного равновесия может быть сформулирована следующим образом.
0
max
X
r
Bx
C
AX
X
C
p
X
T
(10.5)
(10.9)
Электронный архив УГЛТУ
189
Максимизация осуществляется за счет выбора вектора выпуска отрасли Х.
X=(I-A)
-1
C ; C=(I-A)X .
0
max
)
(
X
r
Bx
X
A
I
p
X
T
Здесь переменными для определения общего рыночного равновесия яв- ляется объем выпуска отрасли, а цены предполагаются заданными.
Задача нахождения общего рыночного равновесия может быть сформу- лирована также в двойственной постановке. В этом случае объем выпуска отрасли считается заданным, а переменными, по которым осуществляется нахождение общего рыночного равновесия, выступают цены.
Предполагается, что критерием оптимальности функционирования эко- номики является минимизация стоимости первоначальных факторов произ- водства (минимизация национального дохода)
0
)
(
max
W
A
I
p
Bw
r
w
w
T
В этом и заключается задача нахождения общего рыночного равновесия в двойственном виде. При этом все найденные соотношения в результате ре- шения задачи будут иметь экономическую интерпретацию.
10.4. Динамическая модель Леонтьева
Рассмотрим, как будет развиваться ситуация с течением времени. Время
t измеряется дискретно, с временным лагом, равным 1, т.е. t = 0, 1, 2, …
Предполагается, что в каждый момент времени t каждая отрасль осуществля- ет инвестиции в другие отрасли экономики.
Обозначим через K
ij
(t) объем инвестиций i-ой отрасли в j-ю в момент времени t.
x
j
(t) - x
j
(t - 1) – прирост производства j-ой отрасли в момент времени t.
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
t
x
t
x
t
K
t
k
j
j
ij
ij
- доля инвестиций i-ой отрасли в прирост производства продукции j-ой отрасли.
Обозначим через а
ij
(t) объем продукции i-ой отрасли, необходимый для функционирования j-ой отрасли в момент времени t.
(10.10)
(10.11)
Электронный архив УГЛТУ
190
Через с
i
(t)- потребление продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере в момент времени t.
)
(
))
1
(
)
(
)(
(
)
(
)
(
)
(
1 1
t
c
t
x
t
x
t
k
t
x
t
a
t
x
i
n
j
j
j
ij
n
j
j
ij
j
. (10.12)
10.5. Динамическая модель экономики Неймана
Модель экономики Джона фон Неймана является замкнутой. Все выпус- ки предыдущего периода становятся затратами следующего периода, и нали- чие первоначальных факторов производства не предполагается. Кроме того, модель Неймана предполагает, что осуществляется сбалансированный рост экономики с течением времени (пропорциональное увеличение объемов вы- пуска каждой из отраслей).
Предполагается, что экономика производит
n видов товара. Произ- водство товаров осуществляется с помощью р отраслей производства. Каж- дая отрасль способна производить любой из n товаров.
Обозначим через y
i
(t) интенсивность функционирования i-ой отрасли в момент времени t.
Обозначим через y(t) = (y
1
(t),…y
p
(t))
T
– вектор интенсивности – показа- тель значимости функционирования отрасли в данный момент времени t.
Σ y
i
(t)=1; 1 ≥ y
i
≥ 0.
Обозначим через вектор p(t)= (p
1
(t),…p
n
(t))
T
- вектор цен товаров.
Предположим, что цены являются относительными, т.е.
1
)
(
1
n
i
i
t
p
Технология производства в модели Неймана описывается с помощью 2- х матриц:
А = [а
ij
]
nxp
– матрица затрат, где а
i j
– затраты продукции i-го вида, которые используются при функционировании j-ой отрасли с интенсивностью, равной единице.
В = [b
ij
]
nxp
– матрица выпуска, где b
ij
– выпуск i-го вида продукции, кото- рая получится при функционировании j-ой отрасли с интенсивностью, рав- ной единице.
p
j
j
ij
t
y
t
a
1
)
(
)
(
– общие затраты i-ого вида продукции в момент времени t
за счет функционирования j-ой отрасли;
А(t) y(t) - общие затраты в экономике в момент времени t.
В(t) y(t) – общий выпуск в экономике в момент времени t.
Электронный архив УГЛТУ
191
Предполагается, что время t измеряется дискретно, с временным лагом равным одному, т.е. t = 0, 1, 2,… Тогда длительность периода производства продукции равна 1 временному циклу.
Поскольку мы предполагаем замкнутость экономики, то общие затраты в каждый следующий момент времени не могут превышать общего выпуска в предшествующий момент времени: А(t + 1) y(t + 1) ≤ В(t) y(t) =>
p
j
i
ij
p
j
i
ij
t
y
t
b
t
y
t
a
1 1
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
(10.13)
Если для какого-либо ресурса выполняется неравенство объем S > объ- ема D, то рыночная цена на данный ресурс снижается до нуля. Поэтому име- ет место следующее соотношение:
р
T
(t +1) А(t +1) y(t +1) = p
T
(t+1) B(t) y(t). (10.14)
Предположим, что в экономике имеет место совершенная конкуренция.
В этом случае при условии, что в экономике имеет место состояние рыноч- ного равновесия, то ни по какому виду товаров не может быть получена при- быль, т.е.
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1 1
t
a
t
p
t
b
t
p
ij
n
j
n
j
j
ij
j
. (10.15)
Предельная выручка не может превышать предельных издержек.
Если для какого-либо вида ресурсов выполняется строгое неравенство объем S > объема D, то прибыль становится отрицательной от данной про- дукции и интенсивность выпуска становится равной нулю, производство прекращается.
p
T
(t+1) A(t+1) y(t+1) = p
T
(t+1) B(t) y(t) (10.16)
Экономика функционирует в состоянии рыночного равновесия, и с тече- нием времени не может быть получена прибыль, т.е. должно выполняться следующее соотношение:
p
T
(t+1) B(t+1) ≤ p
T
(t+1) А(t). (10.16)
Интенсивность функционирования отрасли становится равной нулю, то- гда:
p
T
(t+1) B(t+1) y(t+1)= p
T
(t+1) А(t) y(t+1). (10.17)
Будем считать, что в экономике имеет место сбалансированный рост производства, т.е. интенсивность выпуска всех отраслей возрастает с одина- ковым темпом роста λ :
y(t+1) = (1+ λ) y(t) = (1+ λ)
Т
y(0). (10.18)
Электронный архив УГЛТУ
192
В экономике существует процентная ставка и дисконтирование цен, то- гда:
р
i
(t+1) = р
i
(t) / 1+ р
о
; ( р
о
– норма %);
р(t+1) = р
i
(t) / 1+ р
о
= (1+ р
о
)
-t
р(0);
A(t+1) y(t+1) ≤ B(t) y(t);
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
t
y
t
B
t
p
t
y
t
A
t
p
t
y
t
B
t
y
t
A
T
T
;
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
t
B
t
p
t
y
t
A
t
p
t
y
t
A
t
p
t
y
t
B
t
p
T
T
T
T
Будем предполагать, что компоненты матрицы выпуска и матрицы за- трат не зависят от времени. В этом случае максимальной темп сбалансиро- ванного роста и минимальная норма (%) будут равны между собой:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
min max
t
Ay
t
p
t
By
t
p
T
T
. (10.20)
В результате получаем дискретный луч, т.е. траекторию максимального пропорционального сбалансированного роста.
Модель Неймана является обобщением модели Леонтьева. Это линейная динамическая модель расширяющейся экономики, когда каждая отрасль вы- пускает не один, а несколько товаров. Процесс совместного выпуска форма- лизуется как линейная комбинация исходных производственных процессов, функционирующих с единичными интенсивностями (базисных процессов).
Рис.10.1.Траектория максимального пропорционального сбалансированного роста
(10.19)
Электронный архив УГЛТУ