Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf

63

участок разгона (0 ≤ t ≤ t pi
): i
q =
p i
q
 ∙ t;
2
p i
н i
i t
q
5
,
0
q q






;

участок движения с постоянной обобщенной скоростью
(t pi
< t ≤ t pi
+ t
Пi
): i
q
=
const t
q pi p
i




;
 
pi pi p
i
2
pi p
i н
i i
t t
t q
t q
5
,
0
q q












;

участок торможения (t pi
+ t
Пi
< t ≤ T): i
q =


Пi pi
T
i pi p
i t
t t
q t
q









;




t t
t q
5
,
0
t t
t t
q t
t q
t q
5
,
0
q q
2
Пi pi
T
i
Пi pi pi p
i
Пi pi p
i
2
pi p
i н
i i


























Итак, получены зависимости
)
t
(
q q
i i

при 0 ≤ t ≤ T (i=1,…,n), подстав- ляя которые в (5.4) можно определить траекторию схвата.
6.1.2. Синтез прямоугольного закона как сплайн-функции
Выше получен закон движения, исходя, как отмечалось, из физических представлений. Подойдем к синтезу этого закона чисто формально.
Полученный закон движения представляет собой простейший пример использования сплайн-функций для описания относительного движения звеньев по обобщенной координате. Рассмотрим полученную функцию именно как сплайн-функцию, то есть кусочно-непрерывную функцию, составленную из нескольких отрезков некоторых непрерывных функций: графики требуемой функции должны пройти через восемь фиксированных точек (рис. 6.2), которые можно использовать в качестве условий проектирования закона движения. Для их удовлетворения надо в аналитическом выражении иметь восемь свободных коэффициентов. Тогда:

64

для 1-го участка (0 ≤ t ≤ t p
)
0 1
2 2
p i
a t
a t
a
)
t
(
q



;

для 2-го участка (t p
< t ≤ t p
+ t
П
)
0 1
П
i b
t b
)
t
(
q


;

для 3-го участка (t p
+ t
П
< t ≤ T)
0 1
2 2
T
i c
t c
t c
)
t
(
q



Сформируем граничные условия: t = 0: 1) н
p q
)
0
(
q

; 2)
0
)
0
(
q p


; t = t p
: 3)
)
t
(
q
)
t
(
q p
П
p p

; 4)
)
t
(
q
)
t
(
q p
П
p p



; t = t p
+ t
П
: 5)
)
t t
(
q
)
t t
(
q
П
p
T
П
p
П



; 6)
)
t t
(
q
)
t t
(
q
П
p
T
П
p
П





; t = T: 7)
К
T
q
)
T
(
q

; 8)
0
)
T
(
q
T


Подставляя значения обобщенных координат, скоростей и ускорений на границах участков в полиномы, выражающие законы движения и в их произ- водные, получим после преобразований и решения соответствующей систе- мы уравнений:
T
П
p н
к
1
П
t
5
,
0
t t
5
,
0
q q
b q








; pi
Пi pi н
к p
1 2
p t
)
t
5
,
0
t t
5
,
0
(
q q
t b
a
2
q
Ti











Из чисто формальных соображений получены те же самые основные за- висимости.
Заметим, что по различным степеням подвижности значения интервалов разгона, движения с постоянной скоростью и торможения в общем случае могут быть различными.

65
6.1.3. Синтез синусоидального безударного закона движения
Для обеспечения более плавной безударной работы привода i-го звена используют законы движения, в которых ускорение плавно изменяется от нуля в начале интервала разгона до некоторой максимальной величины, а затем плавно убывает до нуля.
Одним из наиболее распространенных законов такого типа является синусоидальный закон (рис. 6.3).
Рисунок 6.3 – Синусоидальный закон движения
Для установления зависимостей между длительностями интервалов, ве- личинами обобщенных ускорений, скоростей и перемещений здесь удобно использовать диаграмму обобщенных скоростей
)
t
(
q i

:

66
T
t t
t при t
t
T
)
t t
t
(
cos
1
q
5
,
0
;
t t
t t
при q
;
t t
0
при t
t cos
1
q
5
,
0
)
t
(
q ni pi
Пi pi
Пi pi n
i ni pi pi
П
i pi pi
П
i i







































Интегрируя эту зависимость от 0 до Т и приравнивая результат к пере- мещению по обобщенной координате q i
, равному
Н
i
К
i q
q

, находится посто- янная интегрированная const q
П
i


, а после этого и зависимость q i
(t) для каж- дого участка движения.
Дифференцируя выражение для обобщенной скорости
)
t
(
q i

, можно определить обобщенные ускорения
)
t
(
q i


Полученные законы движения являются по сути сплайн-функциями, то есть функциями, составленными из отрезков нескольких простейших функ- ций, имеющих касание друг с другом того или иного порядка. При необхо- димости можно самим сконструировать подходящий закон движения.
6.1.4. Синтез безударного закона на основе сплайн-функций
В качестве другого безударного закона движения может быть использо- ван закон движения, близкий по характеристикам к синусоидальному, но представляющий собой полиномиальную сплайн-функцию.
Запишем граничные условия для 12-ти характерных точек этого закона движения (рис.6.3): t = 0: 1) н
p q
)
0
(
q

; 2)
0
)
0
(
q p


; 3)
0
)
0
(
q p



; t = t p
: 4)
)
t
(
q
)
t
(
q p
П
p p

; 5)
)
t
(
q
)
t
(
q p
П
p p



; 6)
0
)
t
(
q p
p



;

67 t = t p
+ t
П
: 7)
)
t t
(
q
)
t t
(
q
П
p
T
П
p
П



; 8)
)
t t
(
q
)
t t
(
q
П
p
T
П
p
П





;
9 9)
)
t t
(
q
)
t t
(
q
П
p
T
П
p
П







; t = T: 10)
К
П
q
)
T
(
q

; 11)
0
)
T
(
q
П


; 12)
0
)
T
(
q
П



В соответствии с распределением граничных условий по интервалам движения можно определить требуемые степени полиномов, необходимые для выполнения перечисленных граничных условий, а именно: на 1-м и 3-м интервалах движения необходимы полиномы 4-й степени, а на 2-м – полином 1-ой степени.
Представим упомянутые полиномы в следующем виде:
1-й участок (участок разгона):
0 1
2 2
3 3
4 4
p i
a t
a t
a t
a t
a
)
t
(
q





;
2-й участок (участок движения с постоянной скоростью):
0 1
П
i b
t b
)
t
(
q


;
3-й участок (участок торможения):
0 1
2 2
3 3
4 4
T
i c
t c
t c
t c
t c
)
t
(
q





Как видно, сумма свободных коэффициентов 3-х представленных выше полиномов равна числу граничных условий. Следовательно, свободные ко- эффициенты а
4
,…, а
0
, b
1
, b
0
, c
4
,…c
0
могут быть найдены из соответствующей системы уравнений, составленной на основе граничных условий. Заметим, что коэффициенты а
0
, а
1
и а
2
легко определяются по первым трем граничным условиям при t = 0; a
0
= a н
; a
1
= 0; a
2
= 0.
Остальные девять свободных коэффициентов должны быть определены для каждой степени подвижности из системы уравнений, полученных в соот- ветствии с граничными условиями от 4-го до 12-го.

68
6.2. Расчет закона движения схвата в абсолютной системе координат
(вторая подзадача)
Вторая подзадача решается с использованием зависимости (5.4) с учетом того, что в каждой матрице Т
i-1,i элементы являются функциями одной обоб- щенной координаты q i
: ьная.
поступател пара если
(t)
S
ая;
вращательн пара если
(t)
θ
)
t
(
q i
i i



Перепишем выражение (5.2) в виде
 
 
 
,
]
[
]...
[
]
[
)
(
t q
T
t q
T
t q
T
t
;
q
,...,
q
T
n
2 1
n
,
1
n
12 01
n
1
n
0



из которого в соответствии с (5.4) определим значения шести наддиаго- нальных элементов.






)
t
(
q
T
)
t
(
q
T
)
t
(
q
T
1 0
0 0
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a n
n
,
1
n
2 12 1
01 34 24 23 14 13 12









Понятно, что каждый из наддиагональных элементов есть также функ- ция обобщенных координат и времени, то есть a
k,1 = a
k,1
(q
1
,…, q n
; t), k=1,2,3; l=2,3,4.
Таким образом, решение 2-ой подзадачи - есть решение основной пря- мой задачи кинематики манипулятора и она решается по изложенному ранее алгоритму при известных, как результат выполнения 1-й подзадачи, зависи- мостях q
i
= q i
(t); 0 ≤ t ≤ T.

69
Вопросы к лекции 6:
1. Получите прямоугольный (по диаграмме ускорений) закон движения по обобщенным координатам из физических предпосылок.
2. Получите прямоугольный закон движения по обобщенным координа- там как сплайн-функцию.
3.Синтезируйте синусоидальный закон движения по обобщенным коор- динатам.
4. Синтезируйте полиномиальный безударный закон движения по обоб- щенным координатам как сплайн-функцию.
5. Каким образом решается прямая задача кинематики – рассчитывается закон движения схвата в инерциальной системе координат – по известным законам движения по обобщенным координатам?
Лекция 7. Определение абсолютных скоростей точек звеньев
манипулятора
После того как принят закон изменения обобщенных координат q i
(t), можно в соответствии с изложенным ранее матричным методом определить положение схвата и любого другого звена манипулятора в пространстве, т.е. определить координаты их характерных точек и ориентацию как функцию времени.
Запишем вновь выражение (5.1): R
0n
= T
0n
· R
nn
Тогда dt dR
T
R
dt dT
dt dR
R
nn n
0
nn n
0
n
0
n
0






Так как
0
dt dR
nn

, то nn n
0
n
0
R
dt dT
R



или nn n
0
n
0
R
T
R





70
С формальной точки зрения назначение вектора столбца
T
nn
1 0
0 0
R

заключается в выделении из матрицы 4x4 подобного ему вектора-столбца, в основе которого будет четвертый столбец матрицы n
0
T
 .
Поэтому можно записать с учетом того, что по четвертой дополнитель- ной координате скорость равна 0.
0
z y
x
1 0
0 0
0 0
0 0
z a
a a
y a
a a
x a
a a
R
n
0
n
0
n
0
n
0 11 11 11
n
0 23 22 21
n
0 13 12 11
n
0



















Таким образом, для определения линейных скоростей точек манипуля- тора и, в частности схвата, достаточно взять производную по времени от со- ответствующей матрицы перехода и выделить в ней четвертый столбец.
Найдем производную матрицы перехода как производную произведе- ния: dt dq
T
T
T
T
T
...T
dt dq
T
T
T
T
...T
...T
T
dt dq
T
T
...T
...T
T
T
dt dq
T
dt dT
n n
1,
n i
1,
i
34 23 12
n
1,
n i
i
1,
i
23 12 01
n
1,
n i
1,
i
23 2
12 01
n
1,
n i
1,
i
23 12 1
01 0n






































(7.1)
Если бы имелись аналитические выражения для каждого элемента ре- зультирующей матрицы перехода, то достаточно было бы продифференциро- вать по времени эти элементы и получить абсолютные скорости по каждой координате X,Y,Z. Однако обычно располагают только частными результи- рующими матрицами перехода, перемножая которые определяют координа- ты необходимых точек манипулятора и ориентацию его звеньев.
Если разрабатывается система управления для конкретного манипулятора, то в некоторых случаях можно провести преобразования и

71 перейти к конкретным аналитическим выражениям. Но это должно оцениваться в каждом конкретном случае: либо целесообразно сокращать затраты времени проектировщиков, либо машинное время при управлении роботом.
После того, как определены скорости по трем координатам, можно рассчитать полную абсолютную скорость требуемых точек звеньев манипулятора, и, в частности, центра схвата. n
0 2
n
0 2
n
0 2
n
0
z y
x
V






Так как при исследовании кинематики манипуляторов используются специальные системы координат и перемещение i-го звена относительно
(i-1)-го всегда происходит по оси Z
i-1
либо вокруг нее, то расчет производных от исходных матриц перехода кинематических пар несколько упрощается: чтобы продифференцировать матрицу перехода кинематической пары достаточно ее умножить слева на матрицу дифференцирования

i-1,i
: ьная,
поступател пара ая кинетическ я
- i
если
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
ая;
вращательн пара ая кинетическ я
- i
если
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
1 0
i
,
1
i






то есть dt dq
T
dt dT
i i
,
i i
i
,
1
i i
,
1
i







Тогда выражение (7.1) примет вид:

72 dt dq
T
T
T
T
T
dt dq
T
T
T
T
T
dt dq
T
dt dT
n n
,
1
n n
,
1
n i
,
1
i
23 12
n
,
1
n i
i
,
1
i i
,
1
i
12 01
n
,
1
n
12 1
01 01
n
0









































Пример:
Пусть матрица перехода будет иметь вид (поворот вокруг оси Z
i-1
):
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
C
S
0 0
S
C
T
i i
i i
Z
i
,
1
i








Тогда по правилу дифференцирования матриц dt d
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
S
C
0 0
C
S
dt dT
i i
i i
i
Z
i
,
1
i












С использованием матрицы дифференцирования

i-1,i для вращательной кинематической пары: dt dΘ
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
SΘ
CΘ
0 0
CΘ
SΘ
dt dΘ
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
CΘ
SΘ
0 0
SΘ
CΘ
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
1 0
dt dT
i i
i i
i i
i i
i i
ZΘ
i
1,
i












Определим матрицу i
,
1
i
T


, равную произведению i
,
1
i i
,
1
i
T




, для вращательной и поступательной кинематических пар:

вращательная кинематическая пара ia var q
i i



:

73
;
dt d
0 0
0 0
0 0
0 0
C
a
S
S
C
S
C
S
a
S
C
C
C
S
dt d
1 0
0 0
S
C
S
0
S
a
S
C
C
C
S
C
a
S
S
C
S
С
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
1 0
T
T
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
,
1
i i
,
1
i i
,
1
i
















































поступательная кинематическая пара: ia var
S
q i
i


: dt dS
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
S
C
S
0
S
a
S
C
C
C
S
C
a
S
S
C
S
С
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
T
T
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
,
1
i i
,
1
i i
,
1
i





























Зная аналитические выражения матриц скоростей, их можно непосредственно подставлять в выражение (7.1).
Смысл использования оператора дифференцирования i
,
1
i


, состоит в сохранении матриц i
,
1
i
T

, чтобы не переходить к другим аналитическим вы- ражениям при составлении программ вычисления скоростей.