Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf

95















1 1
2 2
1 2
2 1
p
1
q sin q
cos q
l q
cos q
l q
sin
J
)
Q
(
J
Как видно, полученное выражение полностью совпадает с первым сомножителем правой части зависимости (8.16) и, следовательно, выражение
(8.8) полностью обосновано для рассмотренного примера.
8.5. Метод обратных преобразований в решении обратной задачи
манипуляторов
Как было показано ранее, матрица T
0 n
,определяющая положение и ори- ентацию схвата, имеет вид
,
T
T
T
T
T
n
,
1
n i
,
1
i
2
,
1 1
,
0
n
0



(8.18) где i
,
1
i
T

(q i
) - матрица перехода от i-й к (i-1)-й системе координат мани- пулятора.
Тогда, умножая соотношение (8.18) слева на
1 1
,
0
T

, имеем
T
T
T
)
q
(
T
n
,
1
n
2
,
1
n
0
i
1 1
,
0



(8.19)
В силу того, что матрица n
0
T
известна, удается разрешить соотношение
(8.19) относительно q l
.Если структура (8.19) такова, что можно найти q
1
, то этот процесс повторяем для q
2
, q
3
,…, q n
П р и м е р . Пусть механизм представляет собой трехстепенной кардан- ный подвес, ориентация которого задана тремя углами Эйлера:
1 0
0 0
C
S
0
S
C
C
0
S
0 1
0
S
0
C
1 0
0 0
C
S
0
S
C
R
R
R
T
,
Z
,
Y
,
Z
03






















(8.20)
Требуется решить обратную задачу для этого механизма, т.е. найти углы
ψ, θ, φ по заданной матрице Т
03
Умножая слева выражение (8.20) на матрицу,

96
,
1 0
0 0
C
S
0
S
C
R
1
,
Z








обратную матрице

,
Z
R
,
получим





,
Z
,
Y
03 1
,
Z
R
R
T
R
или после перемножения матриц:
C
S
S
C
S
0
C
S
S
S
C
C
C
z y
x
C
z
S
z
C
y
S
y
C
x
S
x
S
z
C
z
S
y
C
y
S
x
C
x z
z z
y x
y x
y x
y x
y x
y x





































(8.21)
Приравнивая в (8.21) элементы второй строки третьего столбца обеих матриц, находим
,
0
C
z
S
z y
x





откуда
φ = atan2(z y
, z x
).
(8.22)
Напомним, что функция atan2 учитывает принадлежность аргументов одному из четырех квадрантов:
)
b
,
a
(
2
tan a
;
0
a
,
0
b
,
b a
arctg
,
0
a
,
0
b
,
b a
arctg
,
0
b
,
b a
arctg
)
b
,
a
(
2
tan a



























97
Приравнивая элементы второй строки первого и второго столбцов в вы- ражении (8.21), получаем
;
C
y
S
y
C
,
C
x
S
x
S
y x
y x












откуда следует, что
).
C
y
S
y
,
C
x
S
x
(
2
tan a
y x
y x










(8.23)
Далее, приравнивая элементы первой строки третьего столбца, а также третьей строки третьего столбца, находим
,
z
C
,
S
z
C
z
S
z y
x







следовательно,
).
z
,
S
z
C
z atan2(
z y
x





(8.24)
Таким образом, соотношения (8.22), (8.23), (8.24) решают обратную по- зиционную задачу кинематики манипуляторов роботов.
Следует обратить внимание, что в данном случае удалось решить обрат- ную задачу, не прибегая к последовательному домножению матрицы Т
03
на матрицы
1
,
Y
R


и
1
,
Z
R


Вопросы к лекции 8:
1. Какова постановка и каковы исходные данные для решения обратной задачи кинематики манипулятора?
2. Поясните понятие мобильность манипулятора.
3. Поясните порядок решения обратной задачи кинематики прямыми геометрическими методами.
4. Сформируйте алгоритм решения обратной задачи кинематики мето- дом нелинейного математического программирования.
5. Поясните понятия критериальной, штрафной и целевой функций.

98 6. Поясните порядок формирования критериальных функции в обратной задаче кинематики роботов.
7. Поясните порядок формирования штрафной функции в обратной за- даче кинематики роботов.
8. Поясните порядок формирования целевой функции в обратной задаче кинематики роботов.
9. Запишите формулу и поясните порядок поиска значений обобщенных координат градиентным методом нелинейного программирования.
10. Каковы признаки прекращения поиска можно использовать в нели- нейном математическом программировании?
11. Запишите формулы для определения численными методами скоро- стей и ускорений схвата с использованием центральной разностной схемы.
12. Поясните порядок использования интерполяционной формулы Ла- гранжа для представления законов движения звеньев по обобщенным коор- динатам в непрерывной форме.
13. Каков порядок решения обратной задачи кинематики роботов при управлении по скорости?
14. Поясните порядок получения матрицы Якоби в решении обратной задачи.
15. В чем заключается метод обратных преобразований в обратной зада- че кинематики манипуляционных систем?

99
Лекция 9. Исследование динамики манипуляционных систем с
последовательной кинематикой на основе уравнений Лагранжа 2-го рода
9.1. Постановка задачи динамического синтеза и анализа
манипуляционных систем
Динамический синтез (обратная задача динамики) манипуляционных систем промышленных роботов заключается, кроме прочего, в определении обобщенных сил, действующих в приводах каждой степени подвижности и необходимых для обеспечения требуемого закона движения схвата по задан- ной траектории.
При динамическом анализе (прямая задача динамики) по известным обобщенным силам, действующим в каждой из степеней подвижности мани- пулятора, определяют законы движения звеньев по обобщенным координа- там.
Для решения этих задач будем использовать уравнение Лагранжа 2-го рода: i
i i
F
q
L
q
L
dt d













, (i = 1,…, n), где L – функция Лагранжа, вычисляемая по формуле L=К-П, здесь: К и
П – соответственно полные кинетическая и потенциальная энергии подвиж- ных звеньев манипулятора в данный момент времени, F
i
– обобщенная сила, действующая в i-й степени подвижности.
Исходными данными для динамического синтеза манипулятора являют- ся линейные и угловые скорости соответствующих точек и звеньев манипу- лятора, определяемые в ходе решения прямой или обратной задач кинемати- ки, моменты инерции и массы звеньев, а также некоторые другие параметры.
В соответствии с приведенным уравнением Лагранжа 2-го рода алго- ритм определения обобщенных сил сводится к последовательному выполне- нию следующих операций:

100 1. Определение кинетической энергии подвижных звеньев манипуля- тора;
2. Определение потенциальной энергии подвижных звеньев манипулято- ра;
3. Определение функции Лагранжа L;
4. Почленное определение составляющих уравнения Лагранжа 2-го ро- да путем дифференцирования функции Лагранжа по обобщенным скоростям и по времени, а затем – по обобщенным координатам.
В результате выполнения этого алгоритма будут получены зависимости между обобщенными силами и обобщенными ускорениями, скоростями и координатами, которые (зависимости) можно в общем виде представить сле- дующим образом:






).
t
(
F
t
;
q
,
q
,
q
...;
;
q
,
q
,
q
;
q
,
q
,
q
F
);
t
(
F
t
;
q
,
q
,
q
...;
;
q
,
q
,
q
;
q
,
q
,
q
F
);
t
(
F
t
;
q
,
q
,
q
...;
;
q
,
q
,
q
;
q
,
q
,
q
F
n n
n n
2 2
2 1
1 1
n
2
n n
n
2 2
2 1
1 1
2 1
n n
n
2 2
2 1
1 1
1






























Полученные n дифференциальных уравнений можно использовать как для динамического анализа, так и для динамического синтеза манипулятора.
При динамическом синтезе обобщенные силы определяются непосредствен- но по приведенным уравнениям путем прямых расчетов, так как все парамет- ры в левых частях уравнений оказываются известными, а при решении задач динамического анализа, когда известны обобщенные силы F
i
(t), но неизвест- ны обобщенные координаты и их первые и вторые производные по времени приходится приведенные уравнения рассматривать как систему n обыкно- венных дифференциальных уравнений второго порядка и решать ее (систе- му) тем или иным численным методом, например, методом Рунге-Кутта. Ре- зультатом решения этой системы дифференциальных уравнений будут зако- ны движения
)
t
(
q i


,
)
t
(
q i

и
)
t
(
q i
всех подвижных звеньев манипулятора по обобщенным координатам.

101
9.2. Решение примера динамического синтеза и анализа
манипулятора
Поясним решение задач динамики на примере простого манипулятора с двумя степенями подвижности, работающего в ангулярной (угловой) системе координат.
При динамическом анализе и синтезе данного манипулятора (рис.9.1) будем считать известными кинематические размеры манипулятора (длина b
1
звена 1; расстояния а
1
и а
2
до центров масс), моменты инерции J
1
, J
2
и массы m
1
, m
2
звеньев.
Рисунок 9.1 – Манипулятор с двумя степенями подвижности
В соответствии с приведенным ранее алгоритмом расчета обобщенных сил определим вначале кинетическую и потенциальную энергии подвижных звеньев манипулятора.
Определим зависимости между абсолютными и обобщенными скоро- стями манипулятора. Линейные скорости V
1
и V
2
центров масс звеньев 1 и 2 равны:

102 2
02 2
02 2
1 1
1
y x
V
;
q a
V







, где
02
x
и
02
y
- проекции скорости V
2
на оси координат x
0
и y
0
Так как


2 1
2 1
1 02
q q
cos a
q cos b
x



и


,
q q
sin a
q sin b
y
2 1
2 1
1 02



то:

 


 

q q
cos q
q a
q cos q
b y
;
q q
sin q
q a
q sin q
b x
2 1
2 1
2 1
1 1
02 2
1 2
1 2
1 1
1 02

















Тогда




















]
q cos q
q q
a b
2
q q
a q
b
[
]
q q
cos q
q a
q q
cos q
cos q
q q
a b
2
q cos q
b q
q sin q
q a
q q
sin q
sin q
q q
a b
2
q sin q
b
[
V
5
,
0 2
2 1
1 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 1
5
,
0 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 1
2 1
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 1
2 1
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2








































Определим полную кинетическую энергию манипулятора:








}.
q q
J
]
q cos q
q q
a b
2
q q
a q
b
[
m q
J
q a
m
{
5
,
0
]
q q
J
V
m q
J
V
m
[
5
,
0
K
2 2
1 2
2 2
1 1
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 1
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
2 2
2 2
1 1
2 1
1




























Перегруппируем слагаемые кинетической энергии по обобщенным скоро- стям:
2 2
2 2
2 1
2 12 2
1 2
1
q q
J
5
,
0
q q
)
q
(
J
q
)
q
(
J
5
,
0
K










, где:
)
q cos a
b
2
a b
(
m a
m
J
J
J
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 2
1 1







;
2 2
1 2
2 2
2 2
12
q cos a
b m
a m
J
J




;
2 2
2 2
2
a m
J
J



Определим полную потенциальную энергию манипулятора:
)]
q q
sin(
a q
sin b
[
g m
q sin ga m
П
2 1
2 1
1 2
1 1
1




, где g – ускорение свободного падения.

103
Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода для каждой степени подвижно- сти рассматриваемого манипулятора:
F
q
L
q
L
dt d
;
F
q
L
q
L
dt d
2 2
2 1
1 1


























Найдем выражение составляющих уравнений Лагранжа 2-го рода. Так как потенциальная энергия манипулятора не зависит от обобщенных скоро- стей, то: q
J
q
)
q
(
J
q
K
q
L
;
q
)
q
(
J
q
)
q
(
J
q
K
q
L
2 2
1 2
12 2
2 2
2 12 1
2 1
1 1




























;
q sin
)
q q
q
2
(
a b
m q
J
q
J
q
)
q
(
J
q sin q
a b
m q
J
q sin q
q a
b m
2
q
)
q
(
J
q
)
q
(
J
dt d
q
K
dt d
q
L
dt d
2 2
1 1
1 2
1 2
2 12 1
1 2
2 12 2
2 1
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
2 1
2 12 1
2 1
1 1























































q sin q
q a
b m
q
J
q
J
q
J
q
)
q
(
J
dt d
q
K
dt d
q
L
dt d
2 2
1 2
1 2
2 2
1 12 2
2 1
2 12 2
2





































Из выражения для определения полной кинетической энергии манипу- лятора видно, что кинетическая энергия манипулятора не зависит от обоб- щенной координаты q
1
, поэтому
)].
q q
cos(
a q
cos b
[
g m
q cos ga m
q
)
П
(
q
)
П
K
(
q
L
2 1
2 1
1 2
1 1
1 1
1 1
















При выводе предыдущей формулы надо иметь в виду, что




).
q q
cos(
q sin q
sin q
cos q
cos q
sin q
cos q
cos q
sin q
)
q q
sin(
q
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2
1 1













104
Определим последнюю из составляющих уравнений Лагранжа 2-го рода.
).
q q
cos(
ga m
q sin q
q a
b m
q sin q
a b
m q
)
П
K
(
q
L
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
2















Собирая полученные выражения в зависимости, выражающие уравнение
Лагранжа 2-го рода, после некоторых преобразований, получим:
;
F
)]
q q
cos(
a q
cos b
[
g m
q cos ga m
q sin
)
q q
q
2
(
a b
m q
J
q
J
1 2
1 2
1 1
2 1
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
2 12 1
1
















F
)]
q q
cos(
g q
sin q
b
[
a m
q
J
q
J
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 1
12










При решении задач динамического анализа (прямая задача динамики) эти уравнения следует, как отмечалось, рассматривать в качестве системы дифференциальных уравнений и, интегрируя их численно, определять при известных обобщенных силах F
1
и F
2
законы движения q
1
(t) и q
2
(t) по обоб- щенным координатам и их первые и вторые производные
)
t
(
q
1

,
)
t
(
q
2

и
)
t
(
q
1


,
)
t
(
q
2


, являющиеся обобщенными скоростями и ускорениями.
Для решения задач динамического синтеза (обратная задача динамики) достаточно по известным
)
t
(
q
1
,
)
t
(
q
2
,
)
t
(
q
1

,
)
t
(
q
2

и
)
t
(
q
1


,
)
t
(
q
2


и другим па- раметрам прямым способом вычислить обобщенные силы F
1
и F
2
Рассчитав из каких-либо условий, например, из условия реализации за- данной траектории путем решения обратной задачи кинематики законы i
q
(t), i
q (t) и i
q
 (t), можно решить задачу динамического синтеза манипулятора, то есть определить требуемые при известных массах и моментах инерции зве- ньев силовые воздействия привода (рис.9.2) в функции времени F
i
(t) по каж- дой из степеней подвижности.

105
Рисунок 9.2 – Пример графика функции F
i
(t)
При проектировании манипуляционных систем промышленных роботов наибольший интерес представляет обратная задача динамики, когда по из- вестным (требуемым для обеспечения заданного движения схвата) законам изменения обобщенных координат следует определить необходимые для это- го обобщенные силы.
В связи с тем, что при решении обратной задачи кинематики манипуля- торов, как правило, используются численные методы и ввиду сложности за- висимостей для расчета полных кинетических и потенциальных энергий многозвенных манипуляторов произвольной структуры, уравнения Лагранжа
2-го рода, описывающих динамику таких манипуляторов, также приходится решать численно, например, с использованием центральных разностных схем.
Вопросы к лекции 9:
1. Поясните алгоритм решения задач динамики манипуляторов на ос- нове уравнения Лагранжа 2-го ряда.
2. Поясните порядок решения примера динамического анализа и син- теза двухзвенного шарнирного манипулятора.