Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf

86
Вычислительный процесс приближения к значениям
1
k i
q

может быть пре- кращен по любому используемому в нелинейном программировании признаку. В частности, его можно закончить по условию
 
,
q q
i m
i
1
m i




(здесь i

- допус- каемая по точности воспроизведения траектории величина отклонений i-й обобщенной координаты) или по достижению заданного числа итераций.
Тогда в качестве окончательного значения обобщенной координаты для
(k+1)-го положения характерной точки схвата следует принять значение
)
q q
(
5
,
0
q m
i
1
m i
1
k i





Отметим, что (m+1)-й шаг к (k+1)-й точке в процессе вычислений может осу- ществляться по различным алгоритмам, свойственным методам нелинейного программирования. При использовании собственно градиентного метода
(m+1)-й шаг должен осуществляться одновременно по всем координатам после определения направления движения по антиградиенту.
Полученные значения
1
k i
q

обобщенных координат соотносятся с моментом времени t k+1
и запоминаются. После этого в целевую функцию
Z
вместо значений
1
k
34 1
k
12
a
,...,
a


подставляются значения наддиагональных элементов, соответству- ющие моменту времени t k+2
, которые и принимаются за
1
k
34 1
k
12
a
,...,
a


. Затем вновь запускается вычислительный процесс, который заканчивается, когда будут определены значения обобщенных координат для всех назначенных реперных то- чек k (k=0,..., K). В результате получается таблица значений обобщенных коор- динат
)
K
,...,
0
k
;
n
,...,
1
i
(
q k
i


, которую можно трактовать как функции


t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x q
q n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
i i

. Таким образом, решение обрат- ной задачи кинематики манипулятора можно представить таблицей следующе- го вида:

87
При выборе количества К реперных (опорных) точек на заданной траек- тории возникает следующее противоречие: для более точного воспроизведе- ния траектории желательно назначать как можно больше таких точек, но это потребует и большего машинного времени для решения обратной задачи.
При редком задании точек схват может отклоняться от заданной траектории на недопустимую величину.
Таким образом, время, через которое следует назначать опорные точки, есть функция требуемой точности воспроизведения заданной траектории.
После определения в табличном виде функций q i
= q i
(t) можно численно их продифференцировать и найти обобщенные скорости и ускорения, возникаю- щие в каждой степени подвижности при реализации заданной траектории дви- жения схвата. Будем использовать для этого центральную разность.
Тогда:
;
t
2
q q
q
1
k i
1
k i
k i







t q
q
2
q q
2 1
k i
k i
1
k i
k i









Таким образом, будут получены функции k
i q
, k
i q

так же в табличном виде.
Чтобы формировать управляющее воздействие в виде непрерывных функций, а не табличных целесообразно аппроксимировать табличные значения обоб-

88 щенных координат, скоростей и ускорений. Для этого можно воспользоваться, например, интерполяционной формулой Лагранжа:
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
q
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
q
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
q
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
)
t t
(
q
)
t
(
q
1
K
K
1
K
0
K
1
K
1 0
K
i
K
2 1
2 0
2
K
1 0
2
i
K
1 2
1 0
1
K
2 0
1
i
K
0 2
0 1
0
K
2 1
0
i i




























































(i=1,…, n)
В результате будет получена непрерывная функция q i
(t), которая в фикси- рованные моменты времени k гарантированно проходит через точки k
i q
Пример.
Пусть при t
0
= 0 с; t
1
= 2 с; t
2
= 4 с соответственно:
;
мм
50
q
0 3

;
мм
60
q
1 3

мм
40
q
2 3

; c
2
t


Тогда:
50
t
10 60 8
300
t
8 40 4
60 8
50
c
)
2 0
t
2
t
0
t
(
с
8
мм
40
c
)
4 0
t
4
t
0
t
(
с
4
мм
60
c
)
8
t
4
t
2
t
(
с
8
мм
50
c
)
2 4
(
)
0 4
(
c
)
2
t
(
)
0
t
(
мм
40
c
)
4 2
(
)
0 2
(
c
)
4
t
(
)
0
t
(
мм
60
c
)
4 0
(
)
2 0
(
c
)
4
t
(
)
2
t
(
мм
50
)
t
(
q
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3


































































Окончательно:


мм
50
t
5
,
12
t
75
,
3
)
t
(
q
2 3





89 где: X = [x(t), y(t), z(t), α(t), β(t), γ(t)] – вектор абсолютных координат схвата;
Q = [q
1
(t), q
2
(t), …, q n
(t)] – вектор обобщенных координат манипулятора; n – число степеней подвижности манипулятора; t – время.
Дифференцируя (8.5) по времени, получим
Q
)
Q
(
J
X



, (8.6) где J(Q) – матрица Якоби размерностью 6×n для преобразования (8.6).
В терминах рассматриваемой нами обратной задачи кинематики мани- пуляционных систем матрица Якоби имеет вид: q
q q
q q
q q
q q
q y
q z
q z
q y
q y
q y
q x
q x
q x
)
Q
(
J
n
2 1
n
2 1
n
2 1
n
2 1
n
2 1
n
2 1






















































































Зависимость (8.6) более подробно можно представить следующим обра- зом:









































dt dq dt dq dt dq
)
Q
(
J
t d
t dy t
dx n
2 1


(8.7)
Зависимости (8.6) и (8.7) показывают, что между абсолютными скоро- стями X и обобщенными скоростями Q существует линейная связь, однако, коэффициенты в этой линейной связи непостоянные, в связи с тем, что эле-

90 менты матрицы Якоби n
1
n
2 1
q
,
q
,
,
q x
,
q x












, которые образуют эти ко- эффициенты в различных сочетаниях, есть величины переменные.
Выражение (8.6) представляет собой прямую скоростную задачу и её решение при известных (заданных) функциях
)
t
(
q
,
),
t
(
q
),
t
(
q n
2 1




не представляет собой принципиальных трудностей.
Решим зависимость (8.6) относительно обобщенных скоростей
Q

, а имен- но
X
)
Q
(
J
Q
1




(8.8)
Эта зависимость и есть решение обратной задачи при управлении по скорости, которая и используется часто для управления манипуляционным роботом в режиме on-line.
При этом вектор обобщенных координат Q является неизвестным и зна- чения n
2 1
q
,
,
q
,
q

приходится для данного момента времени (рассчитывае- мого момента реального времени) брать с датчиков обратной связи, фикси- рующих текущее положение i-го звена относительно (i-1)-го, то есть значе- ние q i
В выражении (8.8)
)
Q
(
J
1

есть обратная матрица по отношению к мат- рице Якоби
)
Q
(
J
Рассмотрим более подробно последовательность решения прямой и об- ратной скоростных задач на примере простого манипулятора с двумя степе- нями подвижности (рис. 8.9).

91
Рисунок 8.9 – Манипулятор с двумя степенями подвижности
Прямая задача о положения:







q sin
)
q l
(
)
t
(
y
;
q cos
)
q l
(
)
t
(
x
1 2
2 1
2 2
(8.9)
При этом: q
1
= q
1
(t), q
2
= q
2
(t).
Обратная задача о положении:
,
)
t
(
x
)
t
(
y arctan
)
t
(
q
1

2 2
2 2
l
)
t
(
y
)
t
(
x
)
t
(
q



. (8.10)
Даже для столь простого манипулятора решение обратной задачи пред- ставляет собой нелинейные зависимости.
Для более сложных манипуляторов найти зависимость Q = Q(X) в явном виде, как правило, не представляется возможным.
А именно зависимость Q = Q[X(t)] и необходима для управления мани- пуляционным роботом, так как требуемое движение схвата обеспечивается соответствующими движениями звеньев манипулятора по обобщенным ко- ординатам: q i
= q i
(t), (i = 1, …, n).
В то же время, как было указано ранее (см. зависимость (8.8)), между обобщенными скоростями i
q и абсолютными скоростями i
i i
i i
i
;
;
;
z
;
y
;
x









существует линейная связь с переменными коэффициентами. Именно поэто- му часто и переходят к управлению по скоростям.

92
Получим требуемые зависимости между обобщенными и абсолютными скоростями для рассматриваемого нами двухзвенного манипулятора, исполь- зуя вначале общий подход, не прибегая пока к обратной матрице Якоби.
Пример решается с целью продемонстрировать порядок получения ана- литических зависимостей для управления по скоростям, считая это решение обратной задачи в явном виде (подобно выражениям (8.10)) невозможным или нецелесообразным из-за сложности.
Поэтому начнём решение с дифференцирования формул (8.9) по време- ни














2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
q q
sin q
q cos
)
q l
(
y q
q cos q
q sin
)
q l
(
x






(8.11)
Введем обозначения:
Тогда зависимость (8.11) примет вид: q
a q
a y
;
q a
q a
x
2 22 1
21 2
12 1
11










(8.12)
Решим зависимость (8.12) относительно обобщенных скоростей
1
q и
2
q .
Получим вначале явную зависимость от
)
t
(
x
и
)
t
(
y

для обобщенной скорости
1
q
. Для этого умножим первую из зависимостей (8.12) на a
22
, а вто- рую на a
12
: a
y q
a a
q a
a
;
a x
q a
a q
a a
12 2
12 22 1
12 21 22 2
22 12 1
22 12










Вычтем из первого выражения второе:
12 22 1
12 21 22 11
a y
a x
q
)
a a
a a
(






Следовательно: y
a a
a a
a x
a a
a a
a
)
t
(
q
12 21 22 11 12 12 21 22 11 22 1







. (8.13)
;
q cos
)
q l
(
a
;
q sin
)
q l
(
a
1 2
2 21 1
2 2
11










1 22 1
12
q sin a
q cos a

93
Для получения явной зависимости относительно
)
t
(
q
2

умножим первое из выражений (8.12) на a
21
, а второе на a
11
. Тогда: a
y q
a a
q a
a
;
a x
q a
a q
a a
11 2
11 22 1
11 21 21 2
21 12 1
21 11










Вычитая из первого выражения второе, получим
11 21 2
11 22 21 12
a y
a x
q
)
a a
a a
(






Откуда y
a a
a a
a x
a a
a a
a
)
t
(
q
11 22 21 12 11 11 22 21 12 21 2







(8.14)
Упростим выражения (8.13) и (8.14). Вначале преобразуем знаменатель дроби перед x
и y
,
).
q l
(
q cos q
cos
)
q l
(
q sin q
sin
)
q l
(
)
a a
a a
(
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
12 21 22 11










Теперь выражения (8.13) и (8.14) можно записать в окончательном виде: т
(8.15)
В матричной форме выражения (8.15) имеют вид
























y x
q sin q
cos q
l q
cos q
l q
sin q
q
1 1
2 2
1 2
2 1
2 1




. (8.16)
Что и требовалось получить.
Выражения для обобщенных скоростей в форме (8.15) и (8.16) выше по- лучены обычным путем алгебраических преобразований. Для сложных ма- нипуляторных систем такой подход будет связан с громоздкими преобразо- ваниями.
Для решения рассматриваемой задачи имеется более рациональный под- ход с использованием обратной матрицы Якоби.
Представим производные (8.11) в форме матриц:
).
t
(
y
)
t
(
q sin
)
t
(
x
)
t
(
q cos
)
t
(
q
);
t
(
y q
l
)
t
(
q cos
)
t
(
x q
l
)
t
(
q sin
)
t
(
q
1 1
2 2
2 1
2 2
1 1














94























2 1
1 1
2 2
1 1
2 2
q q
q sin q
cos
)
q l
(
q cos q
sin
)
q l
(
y x




(8.17)
Матрица, являющаяся первым сомножителем в правой части выражения
(8.17), есть матрица Якоби.
Следовательно, выражение (8.17) можно записать в виде, аналогичном
(8.6).
Убедимся, что первый сомножитель в правой части выражения (8.17) есть матрица Якоби для рассматриваемого манипулятора.
Действительно, беря частные производные по q
1
и q
2
от правых частей зависимостей (8.9), получим:































1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
q sin q
cos
)
q l
(
q cos q
sin
)
q l
(
q y
q y
q x
q x
)
Q
(
J
Данное выражение полностью совпадает с соответствующей матрицей выражения (8.17).
Получим обратную матрицу Якоби в следующей последовательности.
1. Матрица алгебраических дополнений исходной матрицы Якоби:












1 2
2 1
1 2
2 1
D
q sin
)
q l
(
q cos q
cos
)
q l
(
q sin
J
2. Присоединенная матрица - транспонированная матрица алгебраиче- ских дополнений:












1 2
2 1
2 2
1 1
p q
sin
)
q l
(
q cos
)
q l
(
q cos q
sin
J
3. Определитель исходной матрицы Якоби – Якобиан:
)
q l
(
q cos q
cos
)
q l
(
q sin q
sin
)
q l
(
)
q
(
J
det
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2











4. Обратная матрица Якоби