Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 431
Скачиваний: 21
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вопросы к лекции 7:
1. Каким образом можно использовать результирующую матрицу поло- жения схвата в пространстве для определения его абсолютных скоростей?
2. Запишите матрицы дифференцирования для вращательной и поступа- тельной кинематических пар.
74 3. Запишите итоговые формулы для расчета скоростей для вращательной и поступательной кинематических пар.
4. Запишите формулу для расчета абсолютной линейной скорости схва- та.
Лекция 8. Обратная задача кинематики манипуляционных систем с
последовательной кинематикой при контурном управлении
8.1. Постановка обратной задачи кинематики манипуляционных
систем
Обратная задача кинематики манипуляторов является одной из основ- ных задач кинематического и динамического анализа и синтеза манипулято- ров.
Она решается при контурном управлении роботом, когда схват должен перемещаться по заданной в пространстве и времени траектории, и заключает- ся в определении значений обобщенных координат манипулятора по заданно- му положению схвата. В результате решения обратной задачи должны быть опре- делены в аналитической или табличной форме зависимости
,
t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x
;
U
q q
;.
t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x
;
U
q q
;
t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x
;
U
q q
n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
n n
n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
i i
n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0 1
1
где
U
,...,
,
a
,
S
/
(
1 1
1 1
,...,
,
a
,
S
/
i i
i i
).
,
a
,
S
/
n n
n n
Необходимо иметь в виду, что в вектор U параметров кинематических пар для конкретного манипулятора необходимо включать параметр, не явля-
75 ющийся обобщенной координатой, т.е. либо угол поворота i
при поступа- тельной кинематической паре, либо перемещение i
S
при вращательной ки- нематической паре (в векторе U это отражено косой чертой).
При работе манипулятора положение схвата непрерывно меняется по задан- ному закону движения. При этом центр схвата будет описывать требуемую тра- екторию, а схват (звено n) будет ориентирован в пространстве вполне определен- ным образом, то есть обратная задача решается по заданным зависимостям
).
t
(
f y
x
);
t
(
f z
y
);
t
(
f z
x
);
t
(
z z
);
t
(
y y
);
t
(
x x
3
n
/\
0 2
n
/\
0 1
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
Примеры заданных траекторий:
раскрой листового материала (рис. 8.1, а);
сварка непрерывных швов на сложной пространственной поверхности
(рис. 8.1, б). а) б)
Рисунок 8.1 – Движение схвата по заданной траектории
Для обеспечения требуемого (заданного) положения схвата в абсолютном пространстве в общем случае необходимо шесть степеней подвижности, три из которых – переносные – должны обеспечивать заданное положение цен- тра схвата, то есть заданные значения координат
),
t
(
z z
);
t
(
y y
);
t
(
x x
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
а другие три – ориентирующие - за-
76 данную ориентацию схвата, закрепленного на n-м звене:
);
t
(
f z
x
1
n
/\
0
);
t
(
f z
y
2
n
/\
0
).
t
(
f y
x
3
n
/\
0
Если число степеней подвижности манипулятора меньше шести, то схват не сможет занять произвольное положение и на его положение и ори- ентацию будут наложены ограничения.
Если число степеней подвижности больше шести или больше заданных условий, то манипулятор приобретает свойство маневренности, в результате которой схват может занять требуемое положение при различных положени- ях промежуточных звеньев (рис.8.2).
Рисунок 8.2 – Возможные положения звеньев манипулятора при наличии из- быточной степени подвижности
Избыточные степени подвижности можно использовать для удовлетворе- ния каких-либо дополнительных условий, например, для обхода препятствий.
В дальнейшем, если специально не оговорено, будут рассматриваться слу- чаи, когда число степеней подвижности манипулятора равно числу условий на движение схвата.
77
8.2. Решение обратной задачи прямыми геометрическими методами
Рассмотрим три примера простейших манипуляторов, в которых обрат- ная задача кинематики может быть решена прямыми методами на основе геометрических представлений.
Пример 1. Манипулятор с прямоугольной системой координат (рис. 8.3).
Рисунок 8.3 – Манипулятор с прямоугольной системой координат
Задано: n = 3; x
03
(t); y
03
(t); z
03
(t).
Определить: q
1
(t); q
2
(t); q
3
(t).
Непосредственно по рис. 8.3 можно установить, что:
Равенство обобщенных координат требуемым координатам схвата явля- ется важным и основным преимуществом манипуляторов с прямоугольной системой координат, так как не требует сложных вычислений при определе- нии управляющих воздействий.
).
t
(
x
)
t
(
q
);
t
(
y
)
t
(
q
);
t
(
z
)
t
(
q n
0 3
n
0 2
n
0 1
78
Пример 2. Манипулятор с цилиндрической системой координат (рис.
8.4).
Рисунок 8.4 – Манипулятор с цилиндрической системой координат
Задано: n = 3; x
03
(t); y
03
(t); z
03
(t).
Определить: q
1
(t); q
2
(t); q
3
(t).
По рис. 8.4 можно получить:
)
t
(
q
)
t
(
y arcsin
)
t
(
q
;
)
t
(
y
)
t
(
x
)
t
(
q
);
t
(
z
)
t
(
q
3 03 1
2 03 2
03 3
03 2
Пример 3. Манипулятор с угловой (ангулярной) системой координат
(рис. 8.5).
79
Рисунок 8.5 – Манипулятор с угловой (ангулярной) системой координат
Задано: x
02
(t), y
02
(t).
Определить: q
1
(t), q
2
(t).
Данную задачу можно решить, как и раньше, из чисто геометрических со- ображений:
,
)
t
(
q
;
b b
2
b b
arccos
)
t
(
q
1 2
1 2
2 2
1 2
2
где:
Однако в этом случае может оказаться полезным и более общий подход, заключающийся в составление уравнений, связывающих обобщенные и аб- солютные координаты манипулятора, в частности, такими уравнениями мо- гут быть аналитические зависимости проекций характерных точек манипуля- тора. b
2
b b
arccos
;
)
t
(
x arccos
;
)
t
(
y
)
t
(
x
1 2
1 2
2 2
02 2
02 2
02
80
Запишем уравнения проекций характерной точки А
2
схвата рассматри- ваемого манипулятора на оси координат:
).
q q
sin(
b q
sin b
)
t
(
y
);
q q
cos(
b q
cos b
)
t
(
x
2 1
2 1
1 02 2
1 2
1 1
02
Решая эту систему уравнений относительно q
1
и q
2
, можно определить требуемые законы движения по обобщенным координатам q
1
(t) и q
2
(t) уже в определенной степени абстрагируясь от конкретной схемы манипулятора.
Два последних примера показывают, что даже для простейших манипу- ляторов определение требуемых по заданной траектории движения схвата за- конов изменения обобщенных координат связано с решением нелинейных зависимостей и может представлять определенные трудности.
8.3. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов на основе
нелинейного математического программирования
К настоящему времени прямого решения обратной задачи для манипу- ляторов общего вида не существует. В общем случае обратная задача кине- матики манипуляторов решается алгоритмически численными методами.
Рассмотрим порядок решения обратной задачи с использованием мето- дов нелинейного математического программирования, в частности, одного из наиболее распространенных – градиентного метода.
Нелинейное математическое программирование имеет следующий алго- ритм:
1. Составляется или определяется критериальная функция как функция некоторых свободных параметров (в данном случае – как функция обобщен- ных координат манипулятора).
2. Формируется штрафная функция, выражающая дополнительные условия (ограничения) проектирования и также зависящая от свободных па- раметров (от обобщенных координат).
81 3. Составляется целевая функция, в которую входят определенным об- разом критериальная и штрафная функции.
4. Выбирается метод нелинейного математического программирования и в соответствии с ним разрабатывается алгоритм оптимизации критериаль- ной функции как части целевой функции.
5. Создается расчетная программа, и производятся расчеты до выполне- ния определенных условий.
Изложим последовательность решения обратной задачи кинематики с использованием методов нелинейного математического программирова- ния.
Вернемся к выражению (5.2):
T
T
T
T
T
n
,
1
n i
,
1
i
12 01
n
0
Каждая матрица i
,
1
i
T
является функцией одной обобщенной координаты i
q
, которая в свою очередь, есть функция времени, то есть
)
t
(
q
T
T
i i
,
1
i i
,
1
i
Тогда матрица Т
0n есть функция всех обобщенных координат и времени:
t
;
q
,...,
q
,
q
,
q
T
T
n
3 2
1
Q
n
0
Q
n
0
Следовательно, и каждый из шести наддиагональных элементов этой матри- цы, определяющих положение схвата в пространстве абсолютных координат, так- же является функцией всех обобщенных координат манипулятора
)
t
;
q
,...,
q
,
q
,
q
(
a a
n
3 2
1
Q
jr
Q
jr
,
)
4
,
3
,
2
r
;
3
,
2
,
1
j
(
Пусть задан закон движения схвата, то есть заданы законы изменения его координат и углы ориентации:
)
t
(
f y
x
);
t
(
f z
y
);
t
(
f z
x
)
t
(
z z
);
t
(
y y
);
t
(
x x
3
n
/\
0 2
n
/\
0 1
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
(8.1)
Тогда можно записать матрицу - задатчик положений и ориентации схвата.
82 1
0 0
0
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
T
П
34
П
24
П
23
П
14
П
13
П
12
П
n
0
, (8.2) где:
]
z y
cos[
)
t
(
a
];
z x
cos[
)
t
(
a
];
y x
cos[
)
t
(
a n
/\
0
П
23
n
/\
0
П
13
n
/\
0
П
12
;
).
t
(
z
)
t
(
a
);
t
(
y
)
t
(
a
);
t
(
x
)
t
(
a n
0
П
34
n
0
П
24
n
0
П
14
Положим, что в некоторый k-й момент времени t k
(k=0,…, K) заданное по- ложение схвата:
)
t
(
a
,...,
a
),
t
(
a k
k
,
П
34
k
,
П
13
k k
,
П
12
совпадает с фактическим его по- ложением (рис. 8.6), обеспечиваемым текущими значениями k
i q
обобщенных ко- ординат (К – число заданных точек, не включая 0-ю).
Тогда
0
)
t
;
q
,...,
q
(
T
)
t
(
T
k k
n k
1
k
,
Q
n
0
k k
,
П
n
0
, (i = 1,…n) (8.3) то есть
0
a
)
t
(
a
,...,
0
a
)
t
(
a
,
0
a
)
t
(
a k
,
Q
34
k
,
П
34
k
,
Q
13
k
,
П
13
k
,
Q
12
k
,
П
12
В следующий (k+1)-й момент времени t k+1 элементы матрицы – задатчика (8.2) примут новые значения
)
t
(
a
),...,
t
(
a
),
t
(
a
1
k
,
П
34 1
k
,
П
13 1
k
,
П
12
, рассчитанные по зависи- мостям (8.1). Для этого момента времени матрица-задатчик в общем виде может быть представлена как
)
t
(
T
1
k
1
k
,
П
n
0
Подставив эти новые значения в матрицу
1
k
,
П
n
0
T
выражения (8.3), получим
0
)
t
;
q
,...,
q
(
T
)
t
(
T
k k
n k
1
k
,
Q
n
0 1
k
1
k
,
П
n
0
(8.4)
Неравенство матриц
1
k
,
П
n
0
T
и k
,
Q
n
0
T
объясняется тем, что обобщенные коор- динаты в матрице k
,
Q
n
0
T
остались теми же, что были в момент t k
Решение обратной задачи кинематики манипуляторов для общего случая за- ключается в том, чтобы определить численными методами, в частности, методами нелинейного математического программирования, такие новые значения обоб-
83 щенных координат в матрице
Q
n
0
T
, при которых бы неравенство (8.4) преврати- лось в равенство (8.3).
Рисунок 8.6 – Заданная траектория схвата
Значения обобщенных координат, при которых обеспечивается равенство мат- риц
П
n
0
T
и
Q
n
0
T
, принимаются за значения
1
k i
q
, соответствующие моменту времени t
k+1
После этого (k+1)-е положение заменяется на k-е и задается очередное новое положение манипулятора, то есть в полученное равенство вновь вносится рассо- гласование, которое должно быть устранено после определения очередных значе- ний обобщенных координат. Процесс продолжается пока не будут определены зна- чения обобщенных координат для всех требуемых К положений манипулятора на заданной траектории.
Сформируем критериальную функцию. Так как целью решения являет- ся поиск таких значений обобщенных координат, при которых разность между за- данным положением схвата и его фактическим положением равнялась нулю, то в качестве критерия R следует принять параметр, отражающий эту разность.
Например:
,
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
R
2
m n
m
1 34 1
k
34 2
m n
m
1 24 1
k
24 2
m n
m
1 23 1
k
23 2
m n
m
1 14 1
k
14 2
m n
m
1 13 1
k
13 2
m n
m
1 12 1
k
12
где m
i q значение i-й обобщенной координаты на шаге m вычислительного процесса в ходе поиска новых значений обобщенных координат; индекс П, здесь и
84 в дальнейшем, опускается. Возможная траектория вычислительного процесса
(штриховая линия) представлена на рисунке 8.7.
Рисунок 8.7 – Гипотетическая траектория вычислительного процесса
(штриховая линия)
Обобщенные координаты q i не могут принимать совершенно произвольные значения, так как перемещение по каждой степени подвижности может быть толь- ко в определенных границах (рис. 8.8): max i
i min i
q q
q
(i=1,…,n).
Рисунок 8.8 – Ограничения на движения звеньев манипулятора по обобщенным координатам
85
В связи с этим для автоматического обеспечения возможного диапазона изменений обобщенных координат вводятся штрафные функции в виде сле- дующих ограничений на значения q i
:
,
0
q q
если
),
q q
(
W
;
0
q q
если
,
0
F
,
0
q q
если
),
q q
(
W
;
0
q q
если
,
0
F
i max i
max i
i i
,
2
i max i
i
,
2
min i
i i
min i
i
,
1
min i
i i
,
1
где i
,
1
W , i
,
2
W - весовые коэффициенты штрафных функций, которыми можно регулировать их крутизну. Кроме указанных могут быть и другие ограничения.
В качестве целевой функции можно использовать функцию, явля- ющуюся суммой критериальной и частных штрафных функций:
F
F
R
)
q
,...,
q
(
Z
n i
1
i i
,
2
n i
1
i i
,
1
n
1
Примем в качестве метода поиска новых значений обобщенных координат q i
градиентный метод, выражающийся следующей зависимостью:
),
n
,...,
1
i
(
,
q
)
q
,...,
q
,...,
q
(
Z
)
q
,...,
q q
,...,
q
(
Z
h q
q i
m n
m i
m
1
m n
i m
i m
1
i m
i
1
m i
где i
h
- шаг по i-й обобщенной координате; i
q
- малое приращение i-й обобщенной координаты, используемое при определении частной производной по q i
Важно отметить, что в качестве первого приближения
)
1
m
(
q m
i
использу- ется полученное на предыдущем шаге значение k
i q
, то есть в начальный мо- мент полагают q
q k
i
1
i
1. Каким образом можно использовать результирующую матрицу поло- жения схвата в пространстве для определения его абсолютных скоростей?
2. Запишите матрицы дифференцирования для вращательной и поступа- тельной кинематических пар.
74 3. Запишите итоговые формулы для расчета скоростей для вращательной и поступательной кинематических пар.
4. Запишите формулу для расчета абсолютной линейной скорости схва- та.
Лекция 8. Обратная задача кинематики манипуляционных систем с
последовательной кинематикой при контурном управлении
8.1. Постановка обратной задачи кинематики манипуляционных
систем
Обратная задача кинематики манипуляторов является одной из основ- ных задач кинематического и динамического анализа и синтеза манипулято- ров.
Она решается при контурном управлении роботом, когда схват должен перемещаться по заданной в пространстве и времени траектории, и заключает- ся в определении значений обобщенных координат манипулятора по заданно- му положению схвата. В результате решения обратной задачи должны быть опре- делены в аналитической или табличной форме зависимости
,
t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x
;
U
q q
;.
t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x
;
U
q q
;
t
;
y x
,
z y
,
z x
,
z
,
y
,
x
;
U
q q
n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
n n
n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
i i
n
/\
0
n
/\
0
n
/\
0
n
0
n
0
n
0 1
1
где
U
,...,
,
a
,
S
/
(
1 1
1 1
,...,
,
a
,
S
/
i i
i i
).
,
a
,
S
/
n n
n n
Необходимо иметь в виду, что в вектор U параметров кинематических пар для конкретного манипулятора необходимо включать параметр, не явля-
75 ющийся обобщенной координатой, т.е. либо угол поворота i
при поступа- тельной кинематической паре, либо перемещение i
S
при вращательной ки- нематической паре (в векторе U это отражено косой чертой).
При работе манипулятора положение схвата непрерывно меняется по задан- ному закону движения. При этом центр схвата будет описывать требуемую тра- екторию, а схват (звено n) будет ориентирован в пространстве вполне определен- ным образом, то есть обратная задача решается по заданным зависимостям
).
t
(
f y
x
);
t
(
f z
y
);
t
(
f z
x
);
t
(
z z
);
t
(
y y
);
t
(
x x
3
n
/\
0 2
n
/\
0 1
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
Примеры заданных траекторий:
раскрой листового материала (рис. 8.1, а);
сварка непрерывных швов на сложной пространственной поверхности
(рис. 8.1, б). а) б)
Рисунок 8.1 – Движение схвата по заданной траектории
Для обеспечения требуемого (заданного) положения схвата в абсолютном пространстве в общем случае необходимо шесть степеней подвижности, три из которых – переносные – должны обеспечивать заданное положение цен- тра схвата, то есть заданные значения координат
),
t
(
z z
);
t
(
y y
);
t
(
x x
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
а другие три – ориентирующие - за-
76 данную ориентацию схвата, закрепленного на n-м звене:
);
t
(
f z
x
1
n
/\
0
);
t
(
f z
y
2
n
/\
0
).
t
(
f y
x
3
n
/\
0
Если число степеней подвижности манипулятора меньше шести, то схват не сможет занять произвольное положение и на его положение и ори- ентацию будут наложены ограничения.
Если число степеней подвижности больше шести или больше заданных условий, то манипулятор приобретает свойство маневренности, в результате которой схват может занять требуемое положение при различных положени- ях промежуточных звеньев (рис.8.2).
Рисунок 8.2 – Возможные положения звеньев манипулятора при наличии из- быточной степени подвижности
Избыточные степени подвижности можно использовать для удовлетворе- ния каких-либо дополнительных условий, например, для обхода препятствий.
В дальнейшем, если специально не оговорено, будут рассматриваться слу- чаи, когда число степеней подвижности манипулятора равно числу условий на движение схвата.
77
8.2. Решение обратной задачи прямыми геометрическими методами
Рассмотрим три примера простейших манипуляторов, в которых обрат- ная задача кинематики может быть решена прямыми методами на основе геометрических представлений.
Пример 1. Манипулятор с прямоугольной системой координат (рис. 8.3).
Рисунок 8.3 – Манипулятор с прямоугольной системой координат
Задано: n = 3; x
03
(t); y
03
(t); z
03
(t).
Определить: q
1
(t); q
2
(t); q
3
(t).
Непосредственно по рис. 8.3 можно установить, что:
Равенство обобщенных координат требуемым координатам схвата явля- ется важным и основным преимуществом манипуляторов с прямоугольной системой координат, так как не требует сложных вычислений при определе- нии управляющих воздействий.
).
t
(
x
)
t
(
q
);
t
(
y
)
t
(
q
);
t
(
z
)
t
(
q n
0 3
n
0 2
n
0 1
78
Пример 2. Манипулятор с цилиндрической системой координат (рис.
8.4).
Рисунок 8.4 – Манипулятор с цилиндрической системой координат
Задано: n = 3; x
03
(t); y
03
(t); z
03
(t).
Определить: q
1
(t); q
2
(t); q
3
(t).
По рис. 8.4 можно получить:
)
t
(
q
)
t
(
y arcsin
)
t
(
q
;
)
t
(
y
)
t
(
x
)
t
(
q
);
t
(
z
)
t
(
q
3 03 1
2 03 2
03 3
03 2
Пример 3. Манипулятор с угловой (ангулярной) системой координат
(рис. 8.5).
79
Рисунок 8.5 – Манипулятор с угловой (ангулярной) системой координат
Задано: x
02
(t), y
02
(t).
Определить: q
1
(t), q
2
(t).
Данную задачу можно решить, как и раньше, из чисто геометрических со- ображений:
,
)
t
(
q
;
b b
2
b b
arccos
)
t
(
q
1 2
1 2
2 2
1 2
2
где:
Однако в этом случае может оказаться полезным и более общий подход, заключающийся в составление уравнений, связывающих обобщенные и аб- солютные координаты манипулятора, в частности, такими уравнениями мо- гут быть аналитические зависимости проекций характерных точек манипуля- тора. b
2
b b
arccos
;
)
t
(
x arccos
;
)
t
(
y
)
t
(
x
1 2
1 2
2 2
02 2
02 2
02
80
Запишем уравнения проекций характерной точки А
2
схвата рассматри- ваемого манипулятора на оси координат:
).
q q
sin(
b q
sin b
)
t
(
y
);
q q
cos(
b q
cos b
)
t
(
x
2 1
2 1
1 02 2
1 2
1 1
02
Решая эту систему уравнений относительно q
1
и q
2
, можно определить требуемые законы движения по обобщенным координатам q
1
(t) и q
2
(t) уже в определенной степени абстрагируясь от конкретной схемы манипулятора.
Два последних примера показывают, что даже для простейших манипу- ляторов определение требуемых по заданной траектории движения схвата за- конов изменения обобщенных координат связано с решением нелинейных зависимостей и может представлять определенные трудности.
8.3. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов на основе
нелинейного математического программирования
К настоящему времени прямого решения обратной задачи для манипу- ляторов общего вида не существует. В общем случае обратная задача кине- матики манипуляторов решается алгоритмически численными методами.
Рассмотрим порядок решения обратной задачи с использованием мето- дов нелинейного математического программирования, в частности, одного из наиболее распространенных – градиентного метода.
Нелинейное математическое программирование имеет следующий алго- ритм:
1. Составляется или определяется критериальная функция как функция некоторых свободных параметров (в данном случае – как функция обобщен- ных координат манипулятора).
2. Формируется штрафная функция, выражающая дополнительные условия (ограничения) проектирования и также зависящая от свободных па- раметров (от обобщенных координат).
81 3. Составляется целевая функция, в которую входят определенным об- разом критериальная и штрафная функции.
4. Выбирается метод нелинейного математического программирования и в соответствии с ним разрабатывается алгоритм оптимизации критериаль- ной функции как части целевой функции.
5. Создается расчетная программа, и производятся расчеты до выполне- ния определенных условий.
Изложим последовательность решения обратной задачи кинематики с использованием методов нелинейного математического программирова- ния.
Вернемся к выражению (5.2):
T
T
T
T
T
n
,
1
n i
,
1
i
12 01
n
0
Каждая матрица i
,
1
i
T
является функцией одной обобщенной координаты i
q
, которая в свою очередь, есть функция времени, то есть
)
t
(
q
T
T
i i
,
1
i i
,
1
i
Тогда матрица Т
0n есть функция всех обобщенных координат и времени:
t
;
q
,...,
q
,
q
,
q
T
T
n
3 2
1
Q
n
0
Q
n
0
Следовательно, и каждый из шести наддиагональных элементов этой матри- цы, определяющих положение схвата в пространстве абсолютных координат, так- же является функцией всех обобщенных координат манипулятора
)
t
;
q
,...,
q
,
q
,
q
(
a a
n
3 2
1
Q
jr
Q
jr
,
)
4
,
3
,
2
r
;
3
,
2
,
1
j
(
Пусть задан закон движения схвата, то есть заданы законы изменения его координат и углы ориентации:
)
t
(
f y
x
);
t
(
f z
y
);
t
(
f z
x
)
t
(
z z
);
t
(
y y
);
t
(
x x
3
n
/\
0 2
n
/\
0 1
n
/\
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
(8.1)
Тогда можно записать матрицу - задатчик положений и ориентации схвата.
82 1
0 0
0
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
)
t
(
a
T
П
34
П
24
П
23
П
14
П
13
П
12
П
n
0
, (8.2) где:
]
z y
cos[
)
t
(
a
];
z x
cos[
)
t
(
a
];
y x
cos[
)
t
(
a n
/\
0
П
23
n
/\
0
П
13
n
/\
0
П
12
;
).
t
(
z
)
t
(
a
);
t
(
y
)
t
(
a
);
t
(
x
)
t
(
a n
0
П
34
n
0
П
24
n
0
П
14
Положим, что в некоторый k-й момент времени t k
(k=0,…, K) заданное по- ложение схвата:
)
t
(
a
,...,
a
),
t
(
a k
k
,
П
34
k
,
П
13
k k
,
П
12
совпадает с фактическим его по- ложением (рис. 8.6), обеспечиваемым текущими значениями k
i q
обобщенных ко- ординат (К – число заданных точек, не включая 0-ю).
Тогда
0
)
t
;
q
,...,
q
(
T
)
t
(
T
k k
n k
1
k
,
Q
n
0
k k
,
П
n
0
, (i = 1,…n) (8.3) то есть
0
a
)
t
(
a
,...,
0
a
)
t
(
a
,
0
a
)
t
(
a k
,
Q
34
k
,
П
34
k
,
Q
13
k
,
П
13
k
,
Q
12
k
,
П
12
В следующий (k+1)-й момент времени t k+1 элементы матрицы – задатчика (8.2) примут новые значения
)
t
(
a
),...,
t
(
a
),
t
(
a
1
k
,
П
34 1
k
,
П
13 1
k
,
П
12
, рассчитанные по зависи- мостям (8.1). Для этого момента времени матрица-задатчик в общем виде может быть представлена как
)
t
(
T
1
k
1
k
,
П
n
0
Подставив эти новые значения в матрицу
1
k
,
П
n
0
T
выражения (8.3), получим
0
)
t
;
q
,...,
q
(
T
)
t
(
T
k k
n k
1
k
,
Q
n
0 1
k
1
k
,
П
n
0
(8.4)
Неравенство матриц
1
k
,
П
n
0
T
и k
,
Q
n
0
T
объясняется тем, что обобщенные коор- динаты в матрице k
,
Q
n
0
T
остались теми же, что были в момент t k
Решение обратной задачи кинематики манипуляторов для общего случая за- ключается в том, чтобы определить численными методами, в частности, методами нелинейного математического программирования, такие новые значения обоб-
83 щенных координат в матрице
Q
n
0
T
, при которых бы неравенство (8.4) преврати- лось в равенство (8.3).
Рисунок 8.6 – Заданная траектория схвата
Значения обобщенных координат, при которых обеспечивается равенство мат- риц
П
n
0
T
и
Q
n
0
T
, принимаются за значения
1
k i
q
, соответствующие моменту времени t
k+1
После этого (k+1)-е положение заменяется на k-е и задается очередное новое положение манипулятора, то есть в полученное равенство вновь вносится рассо- гласование, которое должно быть устранено после определения очередных значе- ний обобщенных координат. Процесс продолжается пока не будут определены зна- чения обобщенных координат для всех требуемых К положений манипулятора на заданной траектории.
Сформируем критериальную функцию. Так как целью решения являет- ся поиск таких значений обобщенных координат, при которых разность между за- данным положением схвата и его фактическим положением равнялась нулю, то в качестве критерия R следует принять параметр, отражающий эту разность.
Например:
,
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
)
q
,...,
q
(
a
)
t
(
a
R
2
m n
m
1 34 1
k
34 2
m n
m
1 24 1
k
24 2
m n
m
1 23 1
k
23 2
m n
m
1 14 1
k
14 2
m n
m
1 13 1
k
13 2
m n
m
1 12 1
k
12
где m
i q значение i-й обобщенной координаты на шаге m вычислительного процесса в ходе поиска новых значений обобщенных координат; индекс П, здесь и
84 в дальнейшем, опускается. Возможная траектория вычислительного процесса
(штриховая линия) представлена на рисунке 8.7.
Рисунок 8.7 – Гипотетическая траектория вычислительного процесса
(штриховая линия)
Обобщенные координаты q i не могут принимать совершенно произвольные значения, так как перемещение по каждой степени подвижности может быть толь- ко в определенных границах (рис. 8.8): max i
i min i
q q
q
(i=1,…,n).
Рисунок 8.8 – Ограничения на движения звеньев манипулятора по обобщенным координатам
85
В связи с этим для автоматического обеспечения возможного диапазона изменений обобщенных координат вводятся штрафные функции в виде сле- дующих ограничений на значения q i
:
,
0
q q
если
),
q q
(
W
;
0
q q
если
,
0
F
,
0
q q
если
),
q q
(
W
;
0
q q
если
,
0
F
i max i
max i
i i
,
2
i max i
i
,
2
min i
i i
min i
i
,
1
min i
i i
,
1
где i
,
1
W , i
,
2
W - весовые коэффициенты штрафных функций, которыми можно регулировать их крутизну. Кроме указанных могут быть и другие ограничения.
В качестве целевой функции можно использовать функцию, явля- ющуюся суммой критериальной и частных штрафных функций:
F
F
R
)
q
,...,
q
(
Z
n i
1
i i
,
2
n i
1
i i
,
1
n
1
Примем в качестве метода поиска новых значений обобщенных координат q i
градиентный метод, выражающийся следующей зависимостью:
),
n
,...,
1
i
(
,
q
)
q
,...,
q
,...,
q
(
Z
)
q
,...,
q q
,...,
q
(
Z
h q
q i
m n
m i
m
1
m n
i m
i m
1
i m
i
1
m i
где i
h
- шаг по i-й обобщенной координате; i
q
- малое приращение i-й обобщенной координаты, используемое при определении частной производной по q i
Важно отметить, что в качестве первого приближения
)
1
m
(
q m
i
использу- ется полученное на предыдущем шаге значение k
i q
, то есть в начальный мо- мент полагают q
q k
i
1
i