ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2482
Скачиваний: 1
Умножим обе части этого равенства на х. Получим
)!
n
2
(
x
)
1
(
!
4
x
!
2
x
х
x
cos
х
1
n
2
n
5
3
Интегрируем это равенство от 0 до 0,5=1/2
9216
1
128
1
8
1
0
2
1
)
2
n
2
(
)!
n
2
(
x
6
24
x
4
2
x
2
x
хсosxdx
2
n
2
6
4
2
5
,
0
0
Получили знакочередующийся ряд. Если мы ограничимся двумя
слагаемыми, то ошибка не превзойдет первого отброшенного члена
001
,
0
9216
1
Поэтому с точностью до 0,001
5
,
0
0
117
,
0
128
1
8
1
xсosxdx
Ответ: с точностью до 0,001
5
,
0
0
117
,
0
xсosxdx
.
Задания для самосоятельного решения:
1. Найти области сходимости ряда
2. Найти области сходимости ряда
3. Найти области сходимости ряда
Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье
1. Ортонормированные системы.
2. Коэффициенты, ряд Фурье.
3.Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.
4. Разложение функции в ряд Фурье по «неправильному
промежутку»
Теоретическая часть:
Определение:
ма
интегрируе
x
x
f
]
;
[
),
(
ряд вида (2)
,
sin
cos
2
1
0
n
n
n
nx
b
nx
a
a
где
dx
x
f
a
)
(
1
0
,
)
(
1
a
n
Cosnxdx
x
f
,
,
)
(
1
1
Sinnxdx
x
f
b
и
называется рядом Фурье функции f(x).
Если (2) – ряд Фурье f(x), то f(x) ~
.
sin
cos
2
1
0
n
n
n
nx
b
nx
a
a
Заметим, что: ряд Фурье определен для любой интегрируемой функции
на [
;
]. Если этот ряд сходится то его сумма есть периодическая функция
Т=2π. В этом смысле этот ряд естественно считать рядом Фурье для Т=2π –
периодической функции которая получаеся из данной периодическим
продолжением с интервалом [
;
] на R. В x=π она может быть задана
произведением, ряд Фурье от этого не меняется.
Определение:
X
x
x
f
)
(
кусочно-монотонна
)
(
]
[
];
[
x
f
T
i
i
i
i
X
- монотонна.
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Лемма:
]
;
[
),
(
l
l
x
x
f
чётная, интегрируемая (нечётная)
=>
l
l
l
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
)
(
Рассмотрим чётную функцию
0
0
)
(
2
]
;
[
),
(
dx
x
f
a
x
x
f
0
)
(
2
Cosnxdx
x
f
a
n
,
b
n
= 0
Т.к.
n
)
(
x
f
Сosnx –чётная, а
)
(
x
f
Sinnx- нечетная. => ряд Фурье для
чётной функции:
1
0
2
2
~
)
(
n
n
nx
Cos
a
a
x
f
По аналогии для нечётной функции ряд Фурье: а
0
=0; a
n
=0;
0
)
(
2
Sinnxdx
x
f
b
n
1
2
~
)
(
n
n
nx
Sin
b
x
f
Иногда требуется некоторую функцию f(x), определённую на [-π;0]
или[0; π] разложить в ряд Фурье только по косинусам или только по
синусам. Если данную функцию продолжить на [-π;π] чётным образом то по
косинусам, если нечётным – то по синусам.
Разложение функций заданных на отрезке вида [а,а+2π]
Заметим, что любую 2 π периодическую функцию достаточно задать на
некотором отрезке длины 2 π. В остальных точках она будет определена в
силу периодичности. Найдём формулы, выражающие коэффициенты Фурье
этой функции через её значения на произвольном отрезке длины 2π, т.е. на
любом [а; а+2 π].
Лемма:
f(x) – ограничена, периодична с периодом Т>0 и имеет
конечное число точек разрыва на любом промежутке длины Т, то:
Т
а
Т
R
x
dx
x
f
dx
x
f
0
0
.
,
)
(
)
(
Пусть f(x) – 2π-периодическая функция, а
0
, а
n
, b
n
– её коэффициенты
Фурье. По лемме имеем: интеграл от f(x) по
[а; а+2π] один и тот же ,
следоательно:
.
;
)
(
1
;
)
(
1
;
)
(
1
*
2
2
2
0
R
a
Sinnxdx
x
f
b
Cosnxdx
x
f
a
dx
x
f
а
а
а
n
а
а
n
а
а
Пусть на [а; а+2π] задана f(x). Продолжим её периодически с периодом
2π на все R (может быть для этого придётся изменить значение f(x) в одной
или обеих точках а и а + 2π). Ряд Фурье полученной 2π-периодической
функции называется рядом Фурье данной функции f(x),
]
2
;
[
a
a
х
.
Ряды Фурье для периодических функций с произвольным
периодом Т=2l, l>0
Любая периодическая функция f(x): Т=2l, l>0, заменой
t
l
х
преобразуется в φ(t)=f(
t
l
) cT=2π:
φ(t+2π)=f
))
2
(
(
t
l
=
).
(
)
(
)
2
(
t
t
l
f
l
t
l
f
Если
1
0
1
0
).
(
sin
cos
2
~
)
(
;
sin
cos
2
~
)
(
]
;
[
:
)
(
0
],
;
[
),
(
n
n
n
n
n
n
x
f
для
Фурье
ряд
x
l
n
b
x
l
n
a
a
x
f
x
l
t
nt
b
nt
a
a
t
t
t
l
l
l
x
x
f
По аналогии имеем:
Теорема:
Если 2l – периодическая функция f(x) ограничена и кусочно-
монотонна на [-l;l], l>0, то её ряд Фурье сходится к
)).
(
(
,
2
)
0
(
)
0
(
x
f
к
сходится
ряд
й
непр
точке
в
R
x
x
f
x
f
Практическая часть:
1.
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом 2π,
заданную в интервале (-π;π) уравнением f(x)= π+x.
Графиком этой функции в интервале (-π;π) является отрезок,
соединяющий точки (-π;0) и (-π;2π). На рис. 29 изображен график функции
y=S(x), где S(x) – сумма ряда Фурье функции f(x). Эта сумма является
периодической функцией с периодом 2π и совпадает с функцией f(x) на
сегменте [-π;π].
Определим коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
.
1
)
(
1
)
(
1
0
xdx
dx
dx
x
dx
x
f
a
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции,
взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким
образом
.
2
0
dx
a
Далее, находим коэффициенты
m
a
. Имеем
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная
функция второго интеграла является нечетной как произведение четной
функции на нечетную). Итак,
m
a
=0, т.е.
.
0
...
3
2
1
a
a
a
Найдем коэффициенты
m
b
:
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго
интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким
образом,
Интегрируя по частям, получим u=x, dv=sinmx dx, du=dx, v= –(1/m) cos
mx, т.е.
Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид
2.
Разложить в ряд Фурье периодическую функциюf(x) с периодом 2,
заданную на сегменте [-1;1] уравнением
2
)
(
x
x
f
(рис. 30)