ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2468
Скачиваний: 1
Практикум
по математическому
анализу
Функция. Способы задания. Классификация функций.
Числовая последовательность
1.Способы задания функций. График функции.
2.Классификация функций.
3.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Теоретическая часть:
Функция одной переменной: основные понятия
Множество действительных чисел
х
, удовлетворяющих неравенству
а≤х≤b
,
называется
отрезком
и обозначается [
a;b
].
Множество действительных чисел
х
, удовлетворяющих неравенству
a<х<b
, называется
интервалом
и обозначается
(а; b).
Интервал
)
x
;
-
x
(
, где
> 0 называется
- окрестностью точки
х
.
Тогда
- окрестностью +
называется (
;+
);
- окрестностью -
называется (-
; -
);
- окрестностью
называется (-
; -
)U(
;+
).
Величины в математике делятся на постоянные и переменные.
Постоянной
называется величина, которая в условиях данного
эксперимента сохраняет одно и то же значение.
Переменной
называется величина, которая в условиях данного
эксперимента может принимать различные значения.
Рассмотрим две переменные величины
х
и
у
и пусть
у
зависит от
х
.
Зависимость
у
от
х,
при которой каждому значению переменной
х
соответствует единственное, вполне определенное, значение переменной
у
,
называется
функциональной.
Пусть даны два множества Х и У.
Определение:
Функцией, отображающей
Х
в
Y
, называется
соответствие, при котором каждому элементу
х
є
Х
соответствует
единственный элемент
у
є
Y
. Обозначается это так:
Y
X
f
:
. Множество
Х
называется областью определения функции, множество
Y
– областью
значений функций. Значение функции в точке
х
обозначается
f(x)
.
Способы задания функции бывают следующие:
1) аналитический способ;
2) графическое задание;
3) табличный способ;
4) перечисление множества пар вида
x
f
x
;
и так далее.
Функция определяет однозначное соответствие в одну сторону, но не
требуется, чтобы обратное соответствие в одну сторону, но не требуется,
чтобы обратное соответствие тоже было однозначным. Однако, если
соответствие
Y
X
f
:
, определяемое данной функцией, является взаимно
однозначным, то функция называется обратимой, а соответствие
X
Y
называется обратной функцией и обозначается
1
f
.
Приняты обозначения: область определения -
f
D
; множество значений -
f
. При этом всегда
Y
D
f
f
f
, где
Y
– область значений.
Если функция усмотрена из конкретной практической задачи, то ее
область определения может быть заранее не дана. И тогда ее установить из
данной задачи.
Если функция задана формулой и практическое происхождение
формулы неясно, а также область определения функции не указана, то
условились под областью определения этой функции понимать область
определения соответствующего аналитического выражения.
Классификация функций
Определение:
Функция
f
называется неубывающей (невозрастающей)
на множестве
Х
, если для любых
х
1
и
х
2
Х
х
Х
х
2
1
,
. Из того, что
1
2
x
х
следует, что
1
2
1
2
x
f
x
f
x
f
x
f
.
)
(
x
f
-
неубывающая
(невозрастающая)
на
2
1
,
x
x
X
def
)
(
1
2
1
2
1
2
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
X
x
X
x
.
Невозрастающие и неубывающие функции называются
монотонными.
Если в предыдущем определении между значениями функции будет
стоять знак строгого неравенства, то функция будет называться
возрастающей и убывающей (функция тогда называется строго монотонной).
Определение:
Функция f называется ограниченной на множестве Х,
если множество ее значений f(x), принимаемых на данном множестве Х,
является ограниченным.
Определение:
Функция f называется четной (нечетной), если
выполняется:
1) Область определения симметрична относительно точки х=0, т.е.
:
x
f
f
D
x
D
x
.
2)
)
(
)
(
)
(
)
(
:
x
f
x
f
x
f
x
f
D
x
f
График четной функции симметричен относительно оси ОY (осевая
симметрия). График нечетной функции симметричен относительно начала
координат (центральная симметрия).
Определение:
Функция f называется периодической с периодом T>0,
если:
1)
f
f
D
T
x
D
x
x
:
2)
x
f
T
x
f
D
x
x
f
)
(
:
.
Числовая последовательность. Предел числовой
последовательности
Определение:
Числовой последовательностью называется функция,
заданная на множестве всех натуральных числе:
...
,
1
,
...,
,
3
,
2
,
1
n
f
n
f
f
f
f
или
n
n
n
x
x
x
x
x
x
...
,
,
...,
,
,
,
1
3
2
1
n
x
- общий член последовательности.
Способы задания последовательности могут быть такие же, как и у
других функций:
1. Аналитический. Например,
...
,
1
...,
,
4
3
,
3
2
,
2
1
.
.
,
1
n
n
x
е
т
n
n
x
n
n
2. «Кусочный». Например,
...
,
0
,
5
1
,
0
,
3
1
,
0
,
1
.
.
,
0
,
1
n
n
x
е
т
четное
n
если
нечетное
n
если
n
x
В отличие от других функций для последовательности есть
своеобразный
способ
задания
–
рекуррентный.
Например,
;
2
1
x
n
n
x
x
2
1
N
n
т.е.
Рассмотрим примеры:
1)
n
x
n
n
1
1
(рис. 21)
...
;
6
1
;
5
1
;
4
1
;
3
1
;
2
1
;
1
n
x
Какую бы малую окрестность точки х=0 мы ни взяли, вне этой
окрестности окажется лишь конечное число членов. Другой такой точки нет.
Точка х=0 является пределом этой последовательности. Запишем это так:
0
1
1
lim
n
n
.
2)
...
4
;
3
;
2
;
1
.
.
,
n
n
x
е
т
n
x
Эта последовательность предела не имеет.
3)
1
1
n
n
x
n
n
...
;
7
6
;
6
5
;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
n
x
. Члены последовательности как угодно близко
подходят к точкам 1 и -1.
Однако вне окрестности точки х=1 имеется бесконечное число членов
данной последовательности. Поэтому 1 не является пределом этой
последовательности, аналогично -1 тоже не является пределом.
Определение 1:
Число а называется
пределом последовательности
n
x
,
если какую бы малую окрестность точки а мы ни взяли, вне этой окрестности
будет находиться лишь конечное число членов последовательности. Запишем
это так:
a
x
n
lim
или
a
x
n
.
Если последовательность имеет предел, то она называется
сходящейся
.
В противном случае –
расходящейся
.
Определение:
Точка а называется пределом последовательности
n
x
,
если какую бы малую окрестность этой точки мы ни взяли, все члены
последовательности. Начиная с некоторого номера, попадут в эту
окрестность, т.е.
,
,
lim
a
U
x
N
n
n
N
a
U
a
x
n
def
n
или
a
x
N
n
n
N
a
x
n
def
n
0
lim
1.
Теорема:
Всякая сходящаяся последовательность может иметь только
один предел.
Если из данной последовательности удалить часть ее членов, так что в
последовательности останется бесконечное число членов, и, если оставшиеся
члены заново пронумеровать в прежнем порядке, то получится новая
последовательность, которая называется
подпоследовательностью
данной
последовательности.
2.
Теорема:
Если последовательность сходится, то любая ее
подпоследовательность также сходится к тому же пределу.
3.
Теорема:
Всякая
сходящаяся
последовательность
является
ограниченной.
Замечание.
Обратное утверждение неверно. Последовательность может
быть ограниченная, но расходящаяся. Например,
n
n
x
1
.
4.
Теорема:
Пусть даны
n
n
у
и
x
)
(
. Причем
n
n
y
x
n
:
, и пусть
b
y
a
x
n
n
,
. Тогда справедливо
b
a
.
5
. Теорема:
Пусть
n
n
n
z
y
x
. Если крайние последовательности
n
n
z
x
,
имеют одинаковый предел, то и промежуточная последовательность
n
y
также сходится и имеет тот же предел.
Определение:
Последовательность
n
называется
бесконечно малой,
если она стремится к 0.
Определение: Под окрестностью +∞
мы будем понимать любой
интервал вида
,
Е
, где
0
Е
, под
окрестностью -∞
интервал
E
,
, а
под окрестностью ∞
- объединение интервалов
,
,
E
E
. Неравенство
E
x
означает: «х принадлежит Е – окрестности ∞».
Определение:
Последовательность
n
x
называется
бесконечно большой
,
если какую бы окрестность бесконечности мы ни взяли, вне этой окрестности
останется лишь конечное число членов в последовательности.
Записывается это так:
n
x
lim
или
n
x
. Бесконечно большая
последовательность является расходящейся.
Всякая
бесконечно
большая
последовательность
является
неограниченной. Обратное утверждение неверно, т.е. последовательность
может быть неограниченной, но не стремиться к бесконечности.
Например:
1)
...
;
1
;
4
;
1
;
3
;
1
;
2
;
1
2)
n
x
n
n
1
1
, т.е.
...
;
12
;
0
;
8
;
0
;
4
;
0
n
x
Теорема:
1) Если
n
- бесконечно малая последовательность, члены
которой отличны от нуля, то
n
n
x
1
- бесконечно большая.