ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2470
Скачиваний: 1
2) Если
n
x
- бесконечно большая последовательность, члены которой
отличны от нуля, то
n
n
x
1
- бесконечно малая последовательность.
Практические задания:
1. Найти область определения функции:
а)
)
1
2
ln(
2
3
1
)
(
2
x
x
x
x
f
б)f(x)=
2
2
3
2
x
x
x
в)f (x)=
3
3
1
х
х
lg(
3
2
х
)
2. Для функции найти ей обратную
а)
5
2
x
y
б)
2
3
x
y
в)
x
y
5
4
3.Найти значение функции при данных значениях переменной:
f (x)=
x
x
x
2
)
5
lg(
, х=4; х=с
4.Исследовать функцию на четность, нечетность
f(x)=
)
1
ln(
sin
2
3
4
x
x
x
х
5.Даны функции, заполните таблицу:
1)y=3x
2
+sin x; 2) y+ln xy=cos
y
x
; 3)y=tg(x
2
+7x);
4)y=cos(2x+3); 5) y=(5x
3
+2x)ln x; 6)
x
y
+5
x+y
=ln y;
7) y=cos(x
3
+2y)-sin3x; 8)y=arccos(
3
5
2
3
2
х
х
х
); 9)y-3x
2
+cos3x=5.
Функция
задана
в
явном виде
Функция задана
в неявном виде
Функция
является
сложной
Функция не
является
сложной
6. Вычислить пределы числовых последовательностей
1.
.
)
3
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
lim
2
2
2
2
n
n
n
n
n
2.
.
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
lim
4
4
4
4
n
n
n
n
n
7. Вычислить пределы числовых последовательностей
1.
.
7
)
(
1
9
5
lim
2
4
8
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
2.
.
1
3
3
1
1
lim
4
5
3
3
2
n
n
n
n
n
8. Вычислить пределы числовых последовательностей
1.
)
1
1
(
lim
2
2
n
n
n
n
. 2.
)
3
)
2
(
(
lim
2
n
n
n
n
n
.
9. Вычислить пределы числовых последовательностей
1.
.
1
1
lim
n
n
n
n
2.
.
1
2
3
2
lim
1
n
n
n
n
Задания для самосоятельного решения:
1.
.
1
lim
4
2
2
n
n
n
n
2.
.
3
1
lim
2
n
n
n
n
3.
n
n
n
n
n
n
)
)
5
(
8
lim
2
5
.
4.
)
2
3
(
lim
2
n
n
n
n
. 5.
.
1
1
1
1
lim
3
3
3
n
n
n
n
n
6.
.
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
lim
3
3
4
4
n
n
n
n
n
Предел функции в точке
1. Техника вычисления предела функции в точке
2.Техника вычисления предела функции на бесконечности.
Теоретическая часть:
Рассмотрим функцию
y=f(x).
Придавая переменной
х
различные значения,
получим
х
1
; х
2
; х
3
;...х
n
...-
последовательность значений аргумента. Ей
соответствует:
f(x
1
);f(x
2
);
f(х
3
);
…; f(x
n
);…
-
последовательность
соответствующих значений функции.
Если из того, что любая последовательность значений аргумента, взятая из
области определения функции и
-окрестности точки
х
0
(х
n
х
0
)
сходится к
х
0
(x
х
0
)
следует, что последовательность соответствующих значений функции
сходится к числу
А (f(х)
А),
то число
А
называется
пределом функции
f(x)
в точке
х
0
.
Обозначение:
A
f(x)
lim
x
n
0
.
Если
0
0
f(x)
lim
x
n
, то функция
f(х)
называется
бесконечно малой
в
окрестности точки
х
0
.
Например: функция
у=х-4
при
х
4
является бесконечно малой.
Если
f(x)
lim
x
n
0
или
f(x)
lim
x
n
0
, то функция называется
бесконечно большой
в окрестности точки
х
0.
Замечание
. Данные выше определения справедливы и при
x
±
.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно
малых функций в окрестности некоторой точки есть функция
бесконечно малая в окрестности той же точки;
2) произведение любого конечного числа бесконечно малых функций в
окрестности некоторой точки есть функция, бесконечно малая в окрестности
той же точки;
3) произведение бесконечно малой функции в окрестности некоторой
точки на функцию ограниченную, есть функция, бесконечно малая в
окрестности той же точки.
Бесконечно малые функции в окрестности некоторой точки
х
0
(
х
) и
(
х
) называются
бесконечно малыми одного порядка малости,
если
0
0
c
)
x
(
(x)
lim
x
x
.
Если
с
=0 то
(
х
) называется
бесконечно малой функцией более
высокого порядка малости
по сравнению с
(
х
). Бесконечно малые
функции
(
х
) и
(
х
) называются
эквивалентными
в окрестности точки
х
0
,
если
1
0
)
x
(
(x)
lim
x
x
. Обозначение:
)
x
(
~
)
x
(
.
Предел бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится,
если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией т.е.
)
x
(
~
)
x
(
),
x
(
f
~
)
x
(
f
если
,
)
x
(
)
x
(
f
)
x
(
)
x
(
f
lim
lim
x
x
1
1
1
1
.
При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими
основными
теоремами о пределах
:
если
)
x
(
f
lim
0
x
x
и
)
x
(
q
lim
0
x
x
существуют и конечны, то
1)
c
c
lim
0
x
x
, где
c=const.
2)
)
x
(
f
lim
c
f(x)
c
lim
x
x
x
x
0
0
.
3)
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
0
0
0
4)
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
0
0
0
5)
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
0
0
0
, если
0
)
x
(
q
lim
0
x
x
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их
пределов, приводит к
неопределенностям
.
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей явля-
ются:
1) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента
(для отношения многочленов при
х
);
3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно
больших;
4) применение первого замечательного предела
1
0
x
x
sin
lim
x
и второго
замечательного предела
e
x
x
x
x
x
x
lim
lim
1
1
1
1
Кроме того, при вычислении пределов полезно запомнить следующее:
)
x
(
)
x
(
f
lim
a
x
=0, если
c
)
x
(
f
lim
a
x
,
)
x
(
lim
a
x
, т.е.
с
=0
)
x
(
)
x
(
f
lim
a
x
=
, если
c
)
x
(
f
lim
a
x
,
)
x
(
lim
a
x
0, т.е.
0
с
=
)
x
(
)
x
(
f
lim
a
x
=0, если
0
)
x
(
f
lim
a
x
,
с
)
x
(
lim
a
x
, т.е.
с
0
=0
)
x
(
)
x
(
f
lim
a
x
=
, если
)
x
(
f
lim
a
x
,
с
)
x
(
lim
a
x
, т.е.
с
=
Может также понадобится таблица бесконечно малых в окрестности
х
0
функций, эквивалентных данным.
0
2
1
2
3
1
2
1
1
3
1
1
1
2
2
2
3
x
при
x
~
x
cos
mx
~
mx
arcsin
x
sin
~
x
cos
x
~
x
mx
~
mx
arctg
x
~
x
mx
~
mx
sain
mx
~
tgmx
Практическая часть:
1. Найти пределы функций:
.
1
x
3
x
lim
)
4
;
x
sin
x
3
x
cos
1
lim
)
3
;
4
x
x
7
1
x
lim
)
2
;
x
;
3
x
;
2
x
при
15
x
4
x
3
3
x
5
x
2
lim
)
1
2
x
x
0
x
4
x
0
0
0
2
2
x
x
0
Решение
1а)
15
x
4
x
3
3
x
5
x
2
lim
2
2
2
x
=(так как функция непрерывна при х=2)=
.
11
5
15
8
12
3
10
8
1б)
.
0
0
15
x
4
x
3
3
x
5
x
2
lim
2
2
3
x
Разложим числитель и знаменатель на
множители.
).
1
x
2
)(
3
x
(
)
2
1
x
)(
3
x
(
2
3
x
5
x
2
.
2
1
x
,
3
x
;
4
7
5
4
24
25
5
x
;
0
3
x
5
x
2
2
2
1
2
,
1
2
).
5
x
3
)(
3
x
(
)
3
5
x
)(
3
x
(
3
15
x
4
x
3
.
3
5
x
,
3
x
;
6
14
4
6
180
16
4
x
;
0
15
x
4
x
3
2
2
1
2
,
1
2
Получим
.
2
1
)
5
x
3
)(
3
x
(
)
1
x
2
)(
3
x
(
lim
15
x
4
x
3
3
x
5
x
2
lim
3
x
2
2
3
x
1в)
.
3
2
)
x
15
x
4
3
(
x
)
x
3
x
5
2
(
x
lim
15
x
4
x
3
3
x
5
x
2
lim
2
2
2
2
x
2
2
x
2)
0
0
4
x
x
7
1
x
lim
4
x
(Домножим числитель и знаменатель на
сумму корней)