ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2502
Скачиваний: 1
2
1
n
n
n
n
2
2
n
e
c
lim
;
2
1
c
ln
lim
...
n
4
1
n
3
1
2
1
n
...
n
4
1
n
3
1
2
1
n
c
ln
Известно, что ряд
1
n
s
n
1
сходится при s>1 и расходится при s
1.
Поэтому ряд
1
n
2
n
1
сходится. Применим предельный признак сравнения. Пусть
даны два ряда
а
1
+а
2
+а
3
+…+ а
n
+…
(1)
b
1
+b
2
+b
3
+…+ b
n
+…
(2)
Тогда если существует конечный и отличный от нуля предел
k
b
a
lim
n
n
n
, то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
Положим
тогда
,
n
1
b
;
1
n
c
1
n
1
e
n
1
n
a
2
n
2
n
2
n
n
n
.
0
e
1
n
n
c
lim
b
a
lim
2
1
2
2
n
n
n
n
n
Следовательно ряд сходится.
2. х=-1/е. Подставим в степенной ряд. Получим
1
n
2
n
n
n
1
n
)
1
(
e
n
1
n
. Ряд из абсолютных величин членов этого ряда
совпадает со сходящимся рядом, рассмотренным в пункте 1. Следовательно,
он сходится и, причем, абсолютно.
Ответ: Область сходимости степенного ряда
.
e
1
;
e
1
2.
Найти область сходимости степенного ряда.
1
n
n
n
.
x
1
n
5
Решение:
Радиус сходимости найдем по формуле
.
a
a
lim
R
1
n
n
n
5
1
1
n
2
n
5
1
lim
a
a
lim
R
1
n
2
n
5
1
5
2
n
1
n
5
a
a
;
2
n
5
a
;
1
n
5
a
n
1
n
n
n
1
n
n
1
n
n
1
n
1
n
n
n
Следовательно искомый предел равен 1/5.Таким образом радиус
сходимости
5
1
R
. Интервал сходимости
.
5
1
;
5
1
Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала
сходимости.
1. х=1/5. Подставим в ряд.
1
n
n
1
n
n
.
1
n
1
5
1
.
1
n
5
Ряд расходится как гармонический.
2. х=-1/5. Подставим в степенной ряд. Получим
1
n
n
n
1
n
n
.
1
n
)
1
(
5
1
.
1
n
5
Ряд
знакочередующийся.
Так
как
абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к
нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.
Ответ: Область сходимости степенного ряда
).
5
1
;
5
1
[
3. Найти область сходимости степенного ряда.
1
n
n
n
.
n
2
x
Решение:
Радиус сходимости найдем по формуле
.
a
a
lim
R
1
n
n
n
2
)
n
1
1
(
2
lim
a
a
lim
R
)
n
1
1
(
2
n
2
)
1
n
(
2
a
a
;
)
1
n
(
2
1
a
;
n
2
1
a
n
1
n
n
n
n
1
n
1
n
n
1
n
1
n
n
n
Следовательно искомый предел равен 2.Таким образом радиус
сходимости
2
R
. Интервал сходимости
.
2
;
2
4. Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала
сходимости.
1. х=2. Подставим в ряд.
1
n
1
n
n
n
.
n
1
n
2
2
Ряд расходится как гармонический.
2. х=-2. Подставим в степенной ряд. Получим
1
n
1
n
n
n
n
.
n
)
1
(
n
2
)
2
(
Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные величины членов этого
ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд
сходится.
Ответ: Область сходимости степенного ряда
).
2
;
2
[
4. Найти область сходимости степенного ряда.
1
n
3
n
2
n
.
n
2
x
Решение:
Радиус сходимости найдем по формуле
.
a
a
lim
R
1
n
n
n
4
n
1
n
4
lim
a
a
lim
R
n
1
n
4
1
1
n
2
n
2
1
a
a
;
1
n
2
1
a
;
n
2
1
a
3
n
1
n
n
n
3
3
2
n
2
3
n
2
1
n
n
3
2
n
2
1
n
3
n
2
n
Следовательно искомый предел равен 4.Таким образом радиус
сходимости
4
R
. Интервал сходимости
.
4
;
4
Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала
сходимости.
1. х=4. Подставим в ряд.
1
n
1
n
3
3
n
2
n
.
n
1
n
2
4
Ряд расходится как обобщенный
гармонический при s=1/3<1.
2. х=-4. Подставим в степенной ряд. Получим
1
n
1
n
3
n
3
n
2
n
.
n
)
1
(
n
2
)
4
(
Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные
величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по
признаку Лейбница ряд сходится.
Ответ: Область сходимости степенного ряда
).
4
;
4
[
5. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, раскладывая
подынтегральную функцию в ряд и затем интегрируя почленно.
5
,
0
0
.
dx
х
x
sin
Решение:
Разложим подынтегральное выражение в ряд. Воспользуемся
табличным разложением
)!
1
n
2
(
х
)
1
(
!
5
х
!
3
х
х
х
sin
1
n
2
n
5
3
Разделим обе части на x. Получим
)!
1
n
2
(
x
)
1
(
!
5
x
!
3
x
1
х
x
sin
n
2
n
4
2
Интегрируем это равенство от 0 до 0,5=1/2
...
19200
1
144
1
2
1
0
2
/
1
)
1
n
2
(
)!
1
n
2
(
x
)
1
(
5
!
5
x
3
!
3
x
х
dx
х
x
sin
1
n
2
n
5
3
5
,
0
0
Получили знакочередующийся ряд. Если мы ограничимся двумя
слагаемыми, то ошибка не превзойдет первого отброшенного члена
001
,
0
19200
1
Поэтому с точностью до 0,001
5
,
0
0
493
,
0
144
1
2
1
dx
х
x
sin
Ответ: с точностью до 0,001
5
,
0
0
493
,
0
dx
х
x
sin
.
6. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, раскладывая
подынтегральную функцию в ряд и затем интегрируя почленно.
5
,
0
0
.
xdx
cos
х
Решение:
Разложим подынтегральное выражение в ряд. Воспользуемся
табличным разложением
)!
n
2
(
x
)
1
(
!
4
x
!
2
x
1
x
cos
n
2
n
4
2