Файл: Практикум по математическому анализу.pdf

Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, 

заключенная между точками (-1;1) и (1;1). Так как l = 1, то  

Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям: 

Так как рассматриваемая функция – четная, то 

m

b

=0. Следовательно,  

 
 
 
3.  Разложить  в  ряд  Фурье  периодическую  функцию,  заданную  на 

полупериоде [0;2] уравнением 

.

2

/

)

(

2

x

x

x

f





 Функция  может  быть  разложена  в  ряд  Фурье  бесчисленным 

количеством  способов.  Рассмотрим  два  наиболее  важных  варианта 
разложения. 

1) Доопределим функцию f(x) на сегменте [-2;0] четным образом (рис. 

31). Имеем l = 2, 

Интегрируем по частям: 

Еще раз интегрируем по частям:  

Итак,  

2) Доопределим функцию f(x) на сегменте [-2;0] нечетным образом: 

Итак,  

 
4.  Разложить  в  ряд  Фурье  периодическую  функцию  с  периодом  2l, 

заданную на сегменте [-l;l] следующим образом: 

 
 Находим 
 

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:  

Откуда 

Определяем коэффициенты 

m

b

: 

К первому интегралу применяем интегрирование по частям: 

Имеем 

Если 

Следовательно, 

Задания для самосоятельного решения: 

Разложить  в  ряд  Фурье  периодическую  функцию  f(x)  с  периодом  Т, 

заданную на указанном сегменте:  

 
1. f(x)=x; T=2π; [-π; π]. 
 
2. f(x)=

3

x

; T= 2π; [-π; π]. 

 
3.    f(x)=

2

x

;  T=2π;  [0;  π].  Продолжить  f(x)  на  сегмент  [-π;  0]  нечетным 

образом.