ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.06.2021
Просмотров: 1050
Скачиваний: 3
)
E
2
T
(
T
c
1
p
0
,
)
E
2
T
(
T
hc
0
, (2)
где с = 3 10
8
м/с – скорость света, Е
0
= mc
2
– энергия покоя, для
электрона Е
0
= 0,51 МэВ.
Чтобы решить вопрос, какую формулу, классическую или ре-
лятивистскую, использовать в решении определим порядок дли-
ны волны де Бройля электрона для релятивистского случая
)
м
(
10
·
42
,
2
10
·
3
·
10
·
11
,
9
10
·
63
,
6
mc
h
12
8
31
34
рел
.
Для классического случая должно быть
>>
рел
, иначе случай
релятивистский.
Для
1
= 10
–10
м условие
1
>>
рел
выполняется, поэтому в
первом случае можно использовать классическую формулу (1).
Для
2
= 10
–13
м условие
1
>>
рел
не выполняется, поэтому во
втором случае нужно использовать релятивистскую формулу (2).
Определим кинетическую энергию электрона. Если поле уско-
ряющее то работа, совершаемая полем по перемещению электро-
на, идет на увеличение кинетической энергии электрона, т.е.
А =
Т = Т
2
– Т
1
.
Будем считать, что начальной кинетической энергией электро-
на можно пренебречь, тогда
Т = А.
Работа в электрического поля по перемещению заряда:
А = qU,
58
где q – заряд частицы, U – пройденная частицей ускоряющая раз-
ность потенциалов. Следовательно
Т = qU.
Подставим полученное значение кинетической энергии в фор-
мулы (1) и (2) и определим из этих формул U
1
и U
2
.
1) Классический случай
1
1
mqU
2
h
,
2
1
2
1
mq
2
h
U
,
В
Кл
Дж
м
·
кг
·
Кл
с
Дж
]
U
[
2
2
2
1
,
)
В
(
150
10
·
10
·
6
,
1
·
10
·
11
,
9
·
2
)
10
·
63
,
6
(
U
20
19
31
2
34
1
.
)
E
2
qU
(
qU
hc
0
2
2
2
,
2) Релятивистский случай
1
E
hc
1
q
E
U
2
2
0
0
2
,
В
1
с
м
·
м
·
Дж
с
·
Дж
1
Кл
Дж
]
U
[
2
2
,
6
2
13
19
6
8
34
19
19
6
2
10
·
12
1
10
·
10
·
6
,
1
·
10
·
51
,
0
10
·
3
·
10
·
63
,
6
1
10
·
6
,
1
10
·
6
,
1
·
10
·
51
,
0
U
Ответ: 1) U
1
= 150 В, 2) U
2
= 12 МВ.
59
Пример 26.
Оценить относительную неопределенность импульса
частицы, у которой неопределенность координаты в 2·10
3
раза
больше ее длины волны де Бройля.
Решение:
Соотношение неопределенностей для координа-
ты и импульса имеет вид
х·
р
х
h,
где h – постоянная Планка,
х – неопределенность координаты,
р
х
– неопределенность проекции импульса на ось х.
По условию задачи
х = 2·10
3
,
где
– длина волны де Бройля для рассматриваемой частицы.
Длина волны де Бройля зависит от импульса частицы и опре-
деляется формулой
x
p
h
.
Неопределенность координаты:
x
3
p
h
10
·
2
x
.
Соотношение неопределенностей:
h
p
p
h
10
·
2
p
x
x
x
3
x
.
Искомая величина:
4
3
x
x
10
·
5
10
·
2
1
p
p
.
Ответ:
4
x
x
10
·
5
p
p
.
60
4.2. Строение атома.
Эту тему рекомендуется изучить по §§ 12-17, 26-37 учебного по-
собия Савельева И.В. "Курс общей физики", т.3.
Состояние атома водорода определяют четыре квантовых чис-
ла: главное, орбитальное, магнитное и спиновое.
1) Главное квантовое число n = 1, 2, 3, … определяет энергию
электрона в атоме водорода:
2
2
2
2
2
0
2
4
n
n
эВ
6
,
13
n
hcR
n
32
me
E
.
2) Орбитальное квантовое число
l
= 0, 1, 2, …, (n-1) определяет
орбитальный момент импульса электрона:
)
1
(
L
l
l
.
3) Магнитное квантовое число m = 0,
1,
2, …,
l
определяет
проекцию орбитальный момент импульса на выбранное направ-
ление (ось z):
m
L
z
.
4) Спиновое квантовое число
2
1
s
определяет проекцию
спина электрона выбранное направления (ось z):
s
S
z
.
Спектр излучения (или поглощения) атома водорода определя-
ется формулой Бальмера:
2
2
n
1
k
1
R
1
,
где k и n – номера энергетических уровней (орбит),
R = 1,1·10
7
м
–1
– постоянная Ридберга.
k = 1, n = 2, 3, 4, … – ультрафиолетовая серия Лаймана,
k = 2, n = 3, 4, 5, … – видимая серия Бальмера,
k = 3, n = 4, 5, 6, … – инфракрасная серия Пашена, и т.д.
61
Пример 27.
Вычислить для атома водорода радиус первой боров-
ской орбиты и скорость электрона на ней.
Дано:
х = 2·10
3
?
p
p
x
x
Решение:
Согласно правилу квантования Бора радиус n-ой боровской
орбиты и скорость электрона на ней связаны соотношением
n
r
mv
n
n
,
где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3 ...),
с
·
Дж
10
·
05
,
1
2
h
34
– постоянная Планка,
m – масса электрона,
r
n
– радиус n-ой орбиты,
v
n
– скорость электрона на n-ой орбите.
Чтобы иметь еще одно уравнение, связывающее r
n
и v
n
, запи-
шем 2-ой закон Ньютона для электрона, движущегося под дей-
ствием кулоновской силы притяжения ядра (протона) по круго-
вой орбите:
m
a
= F,
где
n
2
n
r
v
a
– центростремительное ускорение электрона,
2
n
2
0
r
e
4
1
F
– сила Кулона.
Решая систему уравнений:
n
r
mv
n
n
,
2
n
2
0
n
2
n
r
e
4
1
r
mv
,
найдем радиус и скорость:
2
2
2
0
n
me
n
·
4
r
,
n
·
4
e
v
0
2
n
.
Ответ: при n = 1 получим r
1
= 0,53·10
–10
м, v
1
= 2,2·10
6
м/с.
62
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
L = 0,1 Гн и конденсатора емкостью C = 40 мкФ. Максимальный
заряд конденсатора Q
m
= 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением
контура, записать уравнения изменения силы тока в цепи и изме-
нения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.
2. Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку
индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, со временем изменя-
ется по закону
i
= –0,1·sin200
t (А). Определить: 1) период коле-
баний; 2) емкость конденсатора; 3) максимальное напряжение на
обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного
поля; 5) максимальную энергию электрического поля.
3. Уравнение изменения со временем напряжения на обклад-
ках конденсатора в колебательном контуре U = 50·cos10
4
t (В).
Емкость конденсатора С = 0,1 мкФ. Найти: 1) период колебаний,
2) индуктивность контура, 3) закон изменения со временем силы
тока в цепи, 4) длину волны, соответствующую этому контуру.
4. Найти отношение энергии магнитного поля колебательного
контура к энергии его электрического поля для t = T/8.
5. В контуре совершаются гармонические колебания, уравне-
ние которых имеет вид q = 0,1·cos2t (мКл). В момент, когда
напряжение на конденсаторе достигает значения u
c
= 80 В, кон-
тур обладает энергией W
эл
= 2 мДж. Найти этот момент времени t
и соответствующую ему фазу колебаний.
6. Колебательный контур содержит соленоид (длина
l
= 5 см,
площадь поперечного сечения S
1
= 1,5 см
2
, число витков N =
500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами d =
1,5 мм, площадь пластин S
2
= 100 см
2
). Определить частоту
собственных колебаний контура.
7. Колебательный контур содержит катушку с общим числом
витков N = 100 индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор ем-
костью C = 1 нФ. Максимальное напряжение U
m
на обкладках
конденсатора составляет 100 В. Определить максимальный маг-
нитный поток, пронизывающий катушку.
63
8. Полная энергия тела, совершающего гармонические колеба-
ния, равна 30 мкДж, максимальная сила, действующая на тело,
равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если пе-
риод колебаний равен 2 с и начальная фаза 60
0
.
9. Написать уравнение гармонического колебания, если мак-
симальное ускорение 50 см/с, период колебаний 2 с и смещение
от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
10. Точка совершает гармонические колебания. Период коле-
баний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти
скорость точки в момент времени, когда смещение точки от по-
ложения равновесия равно 25 мм.
11. К вертикально висящей пружине подвешен груз. При этом
пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпус-
кая его, заставляют груз совершать колебания. Найти коэффици-
ент затухания
, если: 1) колебания прекратились через 10 сек
(считать, что колебания прекратились, если их амплитуда упала
до 1% от начальной величины); 2) груз возвращается в положе-
ние равновесия апериодически.
12. За время, в течение которого система совершает N = 50
полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить
добротность Q системы.
13. Определить логарифмический декремент затухания, при
котором энергия колебательного контура за N = 5 полных коле-
баний уменьшается в n = 8 раз.
14. Частота затухающих колебаний
в колебательном контуре
с добротностью Q = 2500 равна 550 кГц. Определить время, за
которое амплитуда тока в этом контуре уменьшится в 4 раза.
15. Амплитуда затухающих колебаний математического маят-
ника за 1 мин уменьшилась в 2 раза. Во сколько раз она умень-
шится за 3 мин?
16. Колебательный контур содержит катушку индуктивности L
= 25 мГ, конденсатор C = 10 мкФ и резистор R = 1 Ом. Конденса-
тор заряжен Q
m
= 1 мКл. Определить: 1) период колебаний кон-
тура, 2) логарифмический декремент затухания, 3) уравнение из-
менения напряжения на обкладках конденсатора от времени.
64
17. Чему равен логарифмический декремент затухания мате-
матического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний
уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.
18. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С= 0,2 мкФ и катушки индуктивностью L = 5 мГн. 1) При каком
логарифмическом декременте затухания разность потенциалов на
обкладках конденсатора за 1 мс уменьшится в три раза? Чему при
этом равно сопротивление контура?
19. Колебательный контур имеет емкость C = 1 нФ и индук-
тивность L = 5 мГн. Логарифмический декремент затухания ра-
вен 0,005. За сколько времени потеряется вследствие затухания
99% энергии контура?
20. В контуре, добротность которого равна Q = 50 и частота
колебаний
0
= 5,5 кГц, возбуждаются колебания. Через сколько
времени энергия, запасенная в контуре, уменьшается в n = 2 раза?
21. Определить разность фаз двух одинаково направленных
гармонических колебаний одинаковых частоты и амплитуды, ес-
ли амплитуда их результирующего колебания равна амплитудам
складываемых колебаний.
22. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических
колебаний одинакового периода T = 4 с и одинаковой амплитуды
A = 5 см составляет
.Написать уравнение движения, получа-
ющегося в результате сложения этих колебаний, если начальная
фаза одного из них равна нулю. Представить векторную диа-
грамму сложения амплитуд.
23. Складываются два гармонических колебания одного
направления х
1
= 3·cos2
t см и х
2
= 3·cos(2
t +
см. Опреде-
лить для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) началь-
ную фазу. Записать уравнение результирующего колебания и
представить векторную диаграмму сложения амплитуд.
24. Точка участвует в двух колебаниях, происходящих по од-
ной прямой: х
1
= А
1
sin
1
t и х
2
= A
2
cos
2
t, где A
1
=3 см, A
2
= 4 см,
1
2
с
-1
. Найти амплитуду A сложного движения, его часто-
ту и начальную фазу; написать уравнение движения.
65
25. Точка участвует в двух одинаково направленных колеба-
ниях: х
1
= A
1
sin
t и х
2
= A
2
cos
t, где А
1
= 1 см, А
2
= 2 см,
с
-
1
. Определить амплитуду А результирующего колебания, его ча-
стоту
и начальную фазу
0
. Найти уравнение этого движения.
26. Точка участвует одновременно в двух взаимно-
перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = A
1
sin
1
t
и у = A
2
cos
2
t, где А
1
= 8 см, А
2
= 4 см,
1
=
2
= 2 с
-1
. Написать
уравнение траектории и построить ее на чертеже; показать
направление движения точки.
27. Точка участвует одновременно в двух взаимно-
перпендикулярных колебаниях х = sin
t и у = 2sin (
t +
.
Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением
масштаба.
28. Точка участвует одновременно в двух взаимно-
перпендикулярных колебаниях х = sin
t и у = 4sin(
t +
. Найти
траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением мас-
штаба.
29. Точка совершает одновременно два колебания, происхо-
дящих по взаимно-перпендикулярным направлениям и выражае-
мых уравнениями: х =A
1
sin
1
t и у = A
2
cos
2
t, где A
1
= 2 см,
1
=
1 с
-1
, A
2
= 2 см,
2
= 2 с
-1
. Найти уравнение траектории, построить
ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.
30. Точка участвует в двух взаимно-перпендикулярных коле-
баниях, выражаемых уравнениями: х = A
1
cos
1
t и у = A
2
sin
2
t,
где A
1
= 4 см, A
2
= 6 см,
1
2
2
. Найти уравнение траектории
точки и построить ее на чертеже; показать направление движения
точки.
31. Какую разносить фаз будут иметь колебания двух точек,
находящихся на расстоянии соответственно 10 м и 16 м от источ-
ника колебаний? Период колебаний 0,04 сек и скорость распро-
странения колебаний 300 м/с.
32. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на лу-
че и отстоящих на расстоянии 2 м друг от друга, если длина вол-
ны равна 1 м.
66
33. Звуковые колебания, имеющие частоту
= 500 Гц и ампли-
туду A = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны
=
70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний, 2) макси-
мальную скорость частиц воздуха.
34. Уравнение колебаний дано в виде х = sin2,5
t см. Найти
смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки,
находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний, для
момента t = 1 с после начала колебаний. Скорость распростране-
ния колебаний равна 100 м/с.
35. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоя-
щей от источника колебаний на расстоянии
l
=
, для момента
t= T/6. Амплитуда колебания А = 0,05 м.
36. Смещение от положения равновесия точки, находящейся
на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент t = T/6 рав-
но половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.
37. Над цилиндрическим сосудом высотой 1 м звучит камер-
тон, имеющий собственную частоту колебаний
0
= 340 Гц. В со-
суд медленно наливают воду. При каких положениях уровня во-
ды в сосуде звучание камертона значительно усиливается?
38. Найти скорость V распространения волн в упругой среде,
если разность фаз
колебаний двух точек, отстоящих друг от
друга на
x = 15 см, равна
. Частота колебаний
= 35 Гц.
39. Волна распространяется в упругой среде со скоростью V =
150 м/с. Определить частоту
колебаний, если минимальное рас-
стояние
x между точками среды, фазы колебаний которых про-
тивоположны, равно 0,75 м.
40. Труба, длина которой
l
= 1 м, заполнена воздухом и откры-
та с одного конца. Принимая скорость звука V = 340 м/с, опреде-
лить, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать
стоячая звуковая волна.
41. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними
интерференционными полосами в опыте Юнга, если зеленый све-
тофильтр (
1
= 0,5 мкм) заменить красным (
2
= 0,65 мкм)?
67