ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.06.2021
Просмотров: 1044
Скачиваний: 3
8
откуда:
max
F
W
2
A
.
Циклическая частота:
T
2
.
Проверка размерности:
м
Н
Дж
A
,
с
рад
.
Вычисляя, получим: A
0,05 м,
рад/с.
Искомое уравнение гармонического колебания:
3
t
·cos
05
,
0
x
м.
Ответ:
3
t
·cos
05
,
0
x
м.
Пример 2.
Уравнение изменения силы тока в колебательном кон-
туре со временем дается в виде i(t)
– 0,02·sin(400
t) A. Индук-
тивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость
контура; 3) максимальное напряжение на конденсаторе; 4) мак-
симальную энергию магнитного поля катушки индуктивности;
5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.
Решение:
Из уравнения колебаний силы то-
ка:
i(t)
- 0,02·sin(400
t)
следует, что максимальное (ампли-
тудное) значение силы тока:
I
m
0,02 A,
частота колебаний:
400
рад/с.
9
1) Период колебаний
)
c
(
10
·
5
400
2
2
T
3
.
2)
LC
1
2
, следовательно
L
1
C
2
.
Проверим размерность:
Ф
В
Кл
с
·
В
А
·
с
Гн
·
с
1
C
2
2
.
)
мкФ
(
63
,
0
)
Ф
(
10
·
3
,
6
1
)
400
(
1
C
7
2
.
3) Напряжение на конденсаторе:
C
)
t
(
q
)
t
(
u
.
Пусть
)
t
cos(
q
)
t
(
q
0
m
, тогда из определения силы тока
следует:
)
t
sin(
I
)
t
sin(
q
dt
dq
i
0
m
0
m
,
т.е. амплитуды колебаний заряда и тока связаны соотношением:
I
m
=
q
m
или
m
m
I
q
.
Уравнение колебаний напряжения:
)
t
cos(
U
)
t
cos(
C
q
C
q
u
0
m
0
m
,
где
C
I
C
q
U
m
m
m
– максимальное напряжение на конденсаторе
(амплитуда напряжения).
Размерность:
В
Кл
В
·
Кл
Кл
В
·
с
·
А
Ф
·
с
А
]
U
[
1
m
.
Вычисления:
)
В
(
2
,
25
10
3
,
6
400
02
,
0
U
7
m
.
Дано:
i(t)
– 0,02·sin(400
t) A
L = 1 Гн
1) T = ?, 2) C = ?,
3) U
m
= ?,
4) W
Lmax
= ?, 5) W
Cmax
= ?
10
4) Энергия магнитного поля
2
Li
W
2
L
, максимальная энергия
магнитного поля
2
LI
W
2
max
max
L
.
Дж
Вт·с
В·А·с
А
В·с·А
Гн·А
]
[W
2
2
Lmax
)
мДж
(
2
,
0
)
Дж
(
10
·
2
2
02
,
0
1
W
4
2
max
L
.
5) Энергия электрического поля
2
Cu
W
2
C
, максимальная энер-
гия электрического поля
2
CU
W
max
2
max
C
.
Дж
В
·
Кл
В
В
·
Кл
В
·
Ф
]
W
[
2
2
max
C
.
)
мДж
(
2
,
0
)
Дж
(
10
·
2
2
2
,
25
10
3
,
6
W
4
2
7
max
C
.
Ответ: 1) Т = 5мс, 2) С = 0,63 мкФ, 3) U
m
= 25,2 В,
4) W
L max
= 0,2 мДж, 5) W
C max
= 0,2 мДж.
Пример 3.
Собственная частота колебаний контура
0
= 8 кГц,
добротность контура Q
72. В контуре возбуждаются затухаю-
щие колебания. Найти закон убывания запасенной в контуре
энергии W со временем, если в начальный момент времени энер-
гия, запасенная в контуре равна 50 мкДж.
Решение:
Уравнение затухающих колебаний заряда
на конденсаторе:
0
t
0
t
cos
e
q
)
t
(
q
,
где
2
2
0
– циклическая частота зату-
хающих колебаний,
0
– собственная циклическая частота конту-
ра,
– коэффициент затухания.
11
Получим уравнение затухающих колебаний силы тока. Для
простоты положим начальную фазу равной нулю (
0
= 0).
t
cos
e
q
)
t
(
q
t
0
,
t
sin
e
t
cos
e
q
t
cos
e
q
dt
d
dt
dq
i
t
t
0
t
0
t
sin
t
cos
e
q
2
2
2
2
t
0
2
2
t
sin
t
cos
e
q
0
0
t
0
0
.
Пусть
0
sin
,
0
cos
,
tg
, тогда:
t
sin
e
q
t
·sin
cos
t
·cos
sin
e
q
i
t
0
0
t
0
0
.
Уравнение затухающих колебаний силы тока:
t
sin
e
q
i
t
0
0
.
Энергия, запасенная в конденсаторе:
))
t
2
cos(
1
(
e
W
2
1
)
t
(
cos
e
C
2
q
C
2
q
W
t
2
0
2
t
2
2
0
2
C
.
Энергия, запасенная в катушке индуктивности:
))
2
t
2
cos(
1
(
e
W
2
1
)
t
(
sin
e
2
q
L
2
Li
W
t
2
0
2
t
2
2
0
2
0
2
L
,
где
0
2
0
2
0
2
0
2
0
W
C
2
q
LC
2
Lq
2
q
L
,
т.к. собственная частота контура
LC
1
0
.
Полная энергия контура:
2
)
2
t
2
cos(
)
t
2
cos(
1
e
W
W
W
W
t
2
0
L
C
)
t
2
·sin(
sin
1
e
W
t
2
0
.
Дано:
0
= 8·10
3
Гц
Q = 72
W
0
= 50·10
–6
Дж
W(t) = ?
12
Уравнение изменения полной энергии контура:
)
t
2
sin(
1
e
W
W
0
t
2
0
.
Если коэффициент затухания мал по сравнению с собственной
частотой контура
1
0
, то запасенная в контуре энергия убы-
вает во времени по закону
t
2
0
e
W
W
(
при выполнении кон-
трольной работы эту формулу можно брать за исходную
).
Найдем коэффициент затухания
, предполагая что
0
>>
.
Добротность контура при малом затухании:
Q
,
где
T - логарифмический декремент затухания, T - период
затухающих колебаний.
0
0
0
2
2
0
1
2
2
2
2
2
T
,
где
0
2
0
– связь циклической и линейной частот.
Добротность:
0
T
Q
,
Коэффициент затухания:
349
72
3,14·8·10
Q
πν
β
3
0
.
Проверим выполняется ли условие
0
>>
:
1
007
,
0
144
1
Q
2
1
Q
2
2
0
0
0
0
.
Условие
0
>>
выполняется.
Подставим числа в выражение для энергии:
(мкДж)
50·e
(Дж)
·e
50·10
W
700t
700t
6
.
Ответ:
мкДж
e
·
50
W
t
7
,
0
.
13
Пример 4.
Электрическая цепь состоит из активного сопротив-
ления R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L,
соединенных последовательно с генератором переменного
напряжения. ЭДС генератора изменяется по закону е =
Е
m
·cos(ωt). Найти зависимость от времени силы тока i(t), напря-
жения на активном сопротивлении u
R
(t), напряжения на конден-
саторе u
C
(t) и напряжения на катушке u
L
(t).
Решение:
Пусть заряд конденсатора меня-
ется по закону:
)
t
cos(
q
q
m
,
где q
m
– амплитуда заряда, ω – ча-
стота ЭДС, φ – разность фаз между ЭДС и зарядом.
Сила тока:
t
cos
I
2
t
cos
I
)
t
sin(
q
dt
dq
i
m
m
m
,
где
m
m
q
I
– амплитуда тока,
2
– разность фаз между ЭДС и током.
Напряжение на активном сопротивлении:
t
cos
U
t
cos
RI
i·
R
u
Rm
m
R
,
где
m
Rm
RI
U
– амплитуда напряжения на активном сопротив-
лении.
Колебания тока и напряжения на активном сопротивлении
происходят в одинаковой фазе.
Напряжение на конденсаторе:
2
t
cos
U
)
t
cos(
C
q
C
q
u
Cm
m
C
,
где
m
C
m
m
Cm
I
X
q
·
C
1
C
q
U
–амплитуда напряжения на кон-
денсаторе,
C
1
X
C
– емкостное сопротивление,
2
.
Дано:
R, C, L
е = Е
m
·cos(ωt)
i(t), u
R
(t), u
C
(t), u
L
(t) = ?
14
Колебания напряжения на емкостном сопротивлении отстают
по фазе на
2
от колебаний тока.
Напряжение на катушке индуктивности:
2
t
cos
U
)
t
sin(
LI
dt
di
L
u
Lm
m
L
,
где
m
L
m
Lm
I
X
LI
U
–амплитуда напряжения на катушке ин-
дуктивности,
Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опе-
режают по фазе на
2
колебания тока.
Построим векторную диаграмму и найдем амплитуду тока
m
I
и разность фаз
между током и ЭДС.
L
R
C
u
u
u
e
2
Cm
Lm
2
Rm
2
m
)
U
U
(
U
E
)
)
X
X
(
R
(
I
E
2
C
L
2
2
m
2
m
Амплитуда силы тока:
2
2
m
m
C
1
L
R
E
I
.
Разность фаз:
R
C
1
L
tg
.
Ответ:
t
cos
I
i
m
,
t
cos
U
u
Rm
R
, где
m
Rm
RI
U
,
2
t
cos
U
u
Cm
C
, где
C
I
U
m
Cm
,
2
t
cos
U
u
Lm
L
, где
m
Lm
LI
U
.
15
1.2. Сложение колебаний.
Рекомендуется изучить §§ 55-57 учебного пособия И.В. Саве-
льева "Курс общей физики" т. 1. М. Наука, 1982 г.
При сложении двух одинаково направленных гармонических
колебаний одинакового периода
)
t
cos(
A
x
1
1
1
,
)
t
cos(
A
x
2
2
2
получается гармоническое колебание того же периода
)
t
cos(
A
x
,
амплитуда А и начальная фаза
которого определяется уравне-
ниями:
)
cos(
A
A
2
A
A
A
2
1
2
1
2
2
2
1
,
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
A
cos
A
sin
A
sin
A
tg
,
где А
1
и А
2
– амплитуды слагаемых колебаний,
1
и
2
- начальные фазы слагаемых колебаний.
При сложении N (N > 2)
одинаково
направленных
гармонических
колебаний
равных периодов, амплитуду
и начальную фазу результи-
рующего колебания можно
находить применяя метод
векторных диаграмм.
В результате задач такого
типа необходимо получить вид функций, описывающих измене-
ние смещения (для контура q, u), скорости (для контура i), уско-
рения.
В задачах на определение траектории точки, участвующей в
двух взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключить
время из уравнений складываемых колебаний и найти уравнение,
которое описывает результирующее колебание.
16
Пример 5.
Найти амплитуду и начальную фазу гармонического
колебания, полученного при сложении двух гармонических коле-
баний одинакового направления и одинаковой частоты, уравне-
ния которых
3
2
t
sin
02
,
0
x
1
м и
3
t
cos
03
,
0
x
2
м.
Написать уравнение результирующего колебания.
Решение:
Согласно принципу суперпозиции:
x
x
1
+x
2
.
Сложение колебаний произведем ме-
тодом векторной диаграммы. Для этого,
используя тригонометрическую формулу
приведения
2
cos
sin
,
уравнения складываемых колебаний выразим через функцию ко-
синуса и запишем их в канонической форме:
6
t
cos
02
,
0
2
3
2
t
cos
02
,
0
3
2
t
sin
02
,
0
x
1
,
3
t
cos
03
,
0
x
2
.
Построим векторную диаграмму (см. стр. 16) для t
0. Учтем,
что A
1
0,02 м, A
2
0,03 м,
0
1
30
6
,
0
2
60
3
.
Результирующее колебание имеет ту же частоту
и ам-
плитуду
A , которая равна геометрической сумме амплитуд скла-
дываемых колебаний
A
1
A
+
2
A
.
Согласно теореме косинусов:
A
)
cos(
A
A
2
A
A
1
2
2
1
2
2
2
1
.
17
Начальная фаза результирующего колебания:
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
A
cos
A
sin
A
sin
A
arctg
.
Представим числовые значения и произведем вычисления:
A
)
30
60
cos(
03
,
0
02
,
0
2
03
,
0
02
,
0
2
2
0,05 м,
23
,
0
42
60
cos
02
,
0
30
cos
03
,
0
60
sin
02
,
0
30
sin
03
,
0
arctg
.
Уравнение результирующего колебания:
x
0,05cos(
t
0,23
).
Ответ: x
0,05cos(
t
0,23
) м.
Пример 6.
Точка участвует одновременно в двух гармонических
колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями x
cos
t и y
cos
t
2
.
Определить уравнение траектории точки и построить ее на чер-
теже, показав направление движения точки.
Решение:
По условию задачи:
x
t
cos
t
cos
A
1
1
,
y
t
2
cos
t
cos
A
2
2
,
т.е. A
1
A
2
1,
1
2
2
.
Для определения уравнения траектории точки необходимо
найти связь между y и x, исключив время t. Применим формулу
косинуса кратных углов:
cos2
cos
2
– sin
2
1 – 2sin
2
= 2cos
2
– 1.
Используя это соотношение , можно написать:
cos
t
1
t
2
cos
2
2
.
Учитывая заданные уравнения, получим:
x
2y
2
– 1.
Дано:
3
2
t
sin
02
,
0
x
1
3
t
cos
03
,
0
x
2
x(t) = ?
Дано:
x
cos
t
y
cos
t
2
y = f(x)