ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.06.2021
Просмотров: 1053
Скачиваний: 3
2
1
1
2
2
1
2
1
2
T
T
I
I
a
a
.
Проверка размерности:
А
м
·
Ом
м
·
Ом
К
К
А
]
I
[
2
2
.
Вычисления:
)
А
(
9
,
7
10
·
2
,
96
10
·
7
,
25
·
115
,
0
334
,
0
10
10
·
3
·
1
I
8
8
2
3
3
2
.
Ответ: I
2
= 7,9 А.
48
3.2 Фотоэффект. Эффект Комптона.
Приступая к решению задач необходимо изучить §§ 9, 11 по
учебному пособию Савельева И.В. "Курс общей физики", т.3.
Здесь рассмотрены задачи на взаимодействие фотонов с от-
дельными электронами. Это взаимодействие подчиняется зако-
нам сохранения импульса и энергии.
Закон сохранения энергии, записанный для взаимодействия
фотона с электроном в металле, есть уравнение Эйнштейна для
фотоэффекта
2
mv
A
h
2
в
,
где h = 6,63·10
–34
Дж·с – постоянная Планка,
– частота падаю-
щего света, Ав = h
кр
– работа выхода электрона из металла (
кр
–
красная граница), m = 9,11·10
–31
кг – масса электрона, v – ско-
рость электрона,
з
2
qU
2
mv
– кинетическая энергия электрона
(q = 1,6·10
–19
Кл – заряд электрона, U
з
– запирающее напряже-
ние).
Совместное применение законов сохранения энергии и им-
пульса для взаимодействия фотона со свободным электроном да-
ет формулу Комптона
)
cos
1
(
mc
h
0
,
где
0
– длина волны падающего излучения,
– длина волны рас-
сеянного излучения,
– угол рассеяния, с = 3·10
8
м/с– скорость
света.
При решении задач необходимо учитывать, является ли рас-
сматриваемая в задаче микрочастица (электрон) классической
или релятивистской. Для этого нужно сравнить ее скорость v со
скоростью света или кинетическую энергию частицы Т с ее энер-
гией покоя E
0
= m
0
с
2
, если v << c или Т << Е
0
, то частица является
классической, если сравниваемые величины соизмеримы, то ча-
стица будет релятивистской.
49
Пример 21.
Определить скорость фотоэлектронов, вырываемых с
поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной
волны 0,155 мкм; 2)
-лучами с длиной волны 2,47 пм.
Решение:
Рассмотрим уравнение Эйнштейна для фо-
тоэффекта
= А + Т,
где
– энергия фотона, падающего на поверх-
ность металла и передаваемая фотоэлектрону,
А – работа выхода фотоэлектрона из металла,
Т – кинетическая энергия, которой обладает фотоэлектрон,
покинувший металл.
Энергия фотона вычисляется по формуле
hc
h
,
Дано:
1
= 0,155·10
–6
м
2
= 2,47·10
–12
м
v
1
= ? v
2
= ?
где h = 6,63·10
–34
Дж·с – постоянная Планка,
с = 3·10
8
м/с– скорость света,
- длина волны.
Работу выхода для серебра определим по таблице А = 4,7 эВ.
В зависимости от того, какая энергия сообщается электрону
фотоном, кинетическая энергия электрона может быть выражена
или по классической формуле
2
mv
T
2
,
или по релятивистской формуле
Т = Е – Е
0
,
где E – полная энергия электрона,
Е
0
= m
0
c
2
= 0,51 МэВ = 0,51·10
6
эВ – энергия покоя электро-
на.
Если энергия фотона
<< Е
0
много меньше энергии покоя
электрона, то применима классическая формула, если же
срав-
нима с энергией покоя электрона Е
0
, то кинетическая энергия
определяется по релятивистской формуле.
50
1) Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей:
Дж
10
·
8
,
12
м
10
·
155
,
0
с
/
м
10
·
3
·
с
·
Дж
10
·
63
,
6
hc
19
6
8
34
1
1
,
)
эВ
(
8
10
·
6
,
1
10
·
8
,
12
19
19
1
,
т.к. 1эВ = 1,6·10
–19
Дж.
Полученная энергия 8 эВ << 0,51 МэВ, следовательно, кинети-
ческую энергию фотоэлектрона можно выразить классической
формулой и записать:
2
mv
A
2
1
1
,
m
)
A
(
2
v
1
1
,
с
м
с
·
кг
м
·
кг
кг
Дж
]
v
[
2
2
1
,
с
м
10
·
08
,
1
10
·
11
,
9
10
)·
7
,
4
8
(
2
v
6
31
19
1
.
2) вычислим энергию фотона
-лучей:
Дж
10
·
803
,
0
м
10
·
47
,
2
с
/
м
10
·
3
·
с
·
Дж
10
·
63
,
6
hc
13
12
8
34
2
2
,
)
МэВ
(
51
,
0
)
эВ
(
10
·
51
,
0
10
·
6
,
1
10
·
803
,
0
6
19
13
2
.
Энергия фотона
2
, равна энергии покоя электрона Е
0
, следова-
тельно, кинетическая энергия фотоэлектронов должна быть вы-
ражена релятивистской формулой Т = Е – Е
0
.
Полная энергия Е частицы определяется формулой
2
2
2
0
c
v
1
c
m
E
51
1
c
v
1
1
c
m
T
2
2
2
0
.
Работа выхода электрона из серебра (4,7 эВ) значительно
меньше энергии фотона и энергии покоя электрона, следователь-
но, работой выхода можно пренебречь, и уравнение Эйнштейна
запишется в виде:
1
c
v
1
1
c
m
2
2
2
0
2
.
Учитывая, что
2
= Е
0
= m
0
с
2
, можно записать:
1
c
v
1
1
1
2
2
,
с
м
10
·
6
,
2
с
м
10
·
3
·
2
73
,
1
c
2
3
v
8
8
2
.
Ответ: v
1
= 1,08·10
6
м/с, v
2
= 2,6·10
8
м/с.
Пример 22.
На катод фотоэлемента падают монохроматические
лучи с длиной волны
= 150 нм. Красная граница фотоэффекта
0
= 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разно-
сти потенциалов U
min
, которую нужно приложить к фотоэлемен-
ту, чтобы прекратить фототок.
Решение:
Для того, чтобы прекратился фототок, необ-
ходимо, чтобы электроны, вылетающие из ка-
тода под действием света с длиной волны
, не
достигали анода. Это возможно в том случае,
если между анодом и катодом фотоэлемента приложена задержи-
вающая разность потенциалов. Электроны, вылетающие из като-
да и имеющие кинетическую энергию Т, расходуют ее на совер-
шение работы по преодолению задерживающего поля.
Работа в электростатическом поле определяется формулой
A = qU,
52
где q – заряд электрона,
U – разность потенциалов, проходимая электроном.
На основании вышесказанного:
qU
min
= T
max
.
На основании уравнения Эйнштейна энергия фотона
, переда-
ваемая электрону, расходуется на работу выхода А и кинетиче-
скую энергию фотоэлектрона Т:
= А + Т
max
.
Энергия фотона определяется формулой
hc
.
Зная красную границу фотоэффекта, можно определить работу
выхода. Красной границей фотоэффекта называется минимальная
частота
0
или максимальная длина волны
0
, при которых фото-
эффект еще возможен, т.е.
0
0
hc
h
A
.
Подставим значения
, Т
max
и А в уравнение Эйнштейна, полу-
чим:
min
0
qU
hc
hc
.
Отсюда найдем U
min
0
0
min
1
1
q
hc
hc
hc
q
1
U
,
Проверка размерности:
В
Кл
Дж
м
·
Кл
с
/
м
·
с
·
Дж
]
U
[
min
,
Вычисления:
)
В
(
1
,
2
10
·
2
,
0
1
10
·
15
,
0
1
10
·
6
,
1
10
·
3
·
10
·
63
,
6
U
6
6
19
8
34
min
.
Ответ: U
min
= 2,1 В.
53
Пример 23.
Рентгеновские лучи с .длиной волны
1
= 20 пм ис-
пытывают комптоновское рассеяние на свободных электронах
под углом
= 90°. Найти: 1) изменение .длины волны рентгенов-
ских лучей при рассеянии; 2) энергию электрона отдачи; 3) им-
пульс электрона отдачи; 4) направление движения электрона от-
дачи.
Дано:
= 150·10
–9
м
0
= 200·10
–9
м
U
min
= ?
Решение:
1) Изменение длины волны рентгеновских
лучей при рассеянии дает формула Комптона
)
cos
1
(
mc
h
1
2
,
где h = 6,63·10
–34
Дж·с – постоянная Планка,
m = 9,11·10
–31
кг – масса электрона,
с = 3·10
8
м/с– скорость света,
1
– длина волны падающего излучения,
2
– длина волны рассеянного излучения,
– угол рассеяния.
м
м
·
кг
с
с
м
·
кг
с
/
м
·
кг
с
·
Дж
]
[
2
2
2
.
)
м
(
10
·
46
,
2
)
90
cos
1
(
10
·
3
·
10
·
11
,
9
10
·
63
,
6
12
0
8
31
34
.
2) На основании закона сохранении энергии
1
=
2
+ Т,
где
1
– энергия фотона до рассеяния,
2
– энергия фотона после рассеяния,
Т – кинетическая энергия электрона отдачи
Т =
1
–
2
.
Энергии фотонов определяются формулами
1
1
hc
,
2
2
hc
,
где
1
– длина волны падающего излучения,
2
=
1
+
– длина волны рассеянного излучения,
)
(
hc
1
1
hc
hc
hc
T
1
1
1
1
1
1
.
Дж
с
м
м
·
м
м
·
с
·
Дж
]
T
[
.
)
Дж
(
10
·
1
,
1
)
10
·
46
,
2
10
·
20
(
10
·
20
10
·
46
,
2
·
10
·
3
·
10
·
63
,
6
Т
15
12
12
12
12
8
34
.
3) Прежде чем определить импульс электрона отдачи, нужно
сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя:
Е
0
= 0,51 МэВ = 82·10
–15
Дж,
01
,
0
10
·
82
10
·
1
,
1
E
T
15
15
0
,
т.е. T << E
0
, следовательно, электрон можно считать классиче-
ской частицей и использовать формулы:
p
э
= mv,
m
2
p
2
mv
T
2
э
2
.
mT
2
p
э
.
с
м
·
кг
с
м
·
кг
·
кг
Дж
·
кг
]
p
[
2
2
э
.
с
м
·
кг
10
·
5
,
4
10
·
1
,
1
·
10
·
11
,
9
·
2
p
23
15
31
э
.
Для определения направления движения электрона отдачи ис-
пользуем закон сохранения импульса:
э
2
1
p
p
p
.
Из чертежа видно что
э
1
p
p
cos
,
23
12
34
1
1
1
10
·
3
,
3
10
·
20
10
·
63
,
6
h
с
р
,
55
74
,
0
10
·
5
,
4
10
·
3
,
3
cos
23
23
или
= 42
0
.
Ответ: 1)
= 2,46·10
–12
м, 2) Т = 1,1·10
–15
Дж,
3) р
э
= 4,5·10
–23
кг·м/с, 4)
= 42
0
.
Пример 24.
Фотон с энергией
1
0,75 МэВ рассеялся на свобод-
ном электроне под углом
= 60
0
. Принимая, что кинетическая
Дано:
1
= 20·10
–12
м
= 90°
1)
= ?
2) Т = ?
3) р
э
= ?
4)
= ?
энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пре-
небрежимо малы, определить: 1) энергию
2
рассеянного фотона,
2) кинетическую энергию T электрона отдачи.
Решение:
Энергию рассеянного фотона найдем , преоб-
разовав формулу Комптона
)
cos
1
(
mc
h
1
2
,
где
1
– длина волны падающего фотона,
2
– длина волны рассе-
янного фотона,
– угол рассеяния, m – масса электрона.
Учитывая, что
hc
и следовательно
hc
получим
cos
1
mc
h
hc
hc
1
2
,
cos
1
mc
1
1
1
2
1
2
,
где Е
0
mc
2
0,51 МэВ – энергия покоя электрона.
МэВ
43
,
0
1
60
cos
1
МэВ
51
,
0
МэВ
75
,
0
МэВ
75
,
0
1
cos
1
E
0
1
1
2
.
Кинетическая энергия электрона отдачи равна разности между
энергией
1
падающего фотона и энергией
2
рассеянного фотона:
T
1
-
2
0,75 МэВ – 0,43 МэВ = 0,32 МэВ.
Ответ:
2
= 0,43 МэВ, Т = 0,32 МэВ.
56
4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
4.1. Волновые свойства микрочастиц.
Соотношения неопределенностей.
Эту тему рекомендуется научить по §§ 18–20 учебного пособия
Савельева И.В. "Курс общей физики", т.3.
Нередко для решения задач на гипотезу де Бройля требуется
выразить импульс частицы через ее кинетическую энергию (или
наоборот). При этом надо различать случаи классических и реля-
тивистских частиц.
При решении задач на соотношения неопределенностей нужно
учесть, что если в задаче стоит вопрос об оценке наименьшей
ошибки или неточности одной из величин, входящих в эти соот-
ношения, то фактически нужно найти неопределенность этой ве-
личины, т.к. имеется в виду неточность в измерениях, связанная
не с несовершенством экспериментальной техники, а с объектив-
ными свойствами исследуемой системы.
Пример 26.
Какую ускоряющую разность потенциалов U должен
пройти электрон, чтобы его длина волны де Бройля
была равна
1)
1
= 0,1 нм, 2)
2
= 0,1 пм?
Решение:
Длина волны де Бройля выражается формулой
p
h
,
где h – постоянная Планка, p – импульс частицы.
Импульс электрона можно выразить через кинетическую энер-
гию электронов. Связь импульса с кинетической энергией раз-
лична для классического случая (когда кинетическая энергия ча-
стицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского
случая (когда кинетическая энергия частицы сравнима с ее энер-
гией покоя).
57
В классическом случае
mT
2
p
,
mT
2
h
, (1)
где m – масса покоя частицы, для электрона m = 9,11·10
–31
кг.
В релятивистском случае
Дано:
1
0,75 МэВ
= 60
0
2
? Т = ?
Дано:
1
= 10
–10
м
2
= 10
–13
м
1) U
1
= ?
2) U
2
= ?