Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5537
Скачиваний: 25
29
Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n
болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.
Енді жүйені шешу мəселесіне көшейік.
ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ КРАМЕР ƏДІСІ
Бұл əдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең
болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай
болады:
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
=
+
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
(4)
Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда
жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның
анықтауышын
∆
деп белгілейік:
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
∆
Крамер ережесі.
∆
-жүйе анықтауышы, ал
j
∆
-
∆
анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан
пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер
0
≠
∆
болса
жүйенің жалғыз шешімі бар болады жəне мынадай формуламен
табылады:
∆
∆
=
j
j
x
(i=1,2,…,n) (5)
(5)
формуланы Крамер формуласы деп атайды.
Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік
30
=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
7
2
2
3
2
2
9
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Шешуі. Алдымен
∆
анықтауышты есептейміз,
13
2
2
3
1
2
1
3
1
2
=
−
=
∆
.
j
∆
(j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік
13
2
2
7
1
2
2
3
1
9
1
−
=
−
−
=
∆
,
26
2
7
3
1
2
1
3
9
2
2
=
−
=
∆
,
39
7
2
3
2
2
1
9
1
2
3
=
−
−
=
∆
Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:
1
13
13
1
1
−
=
−
=
∆
∆
=
x
,
2
13
26
2
2
=
=
∆
∆
=
x
,
3
13
39
3
3
=
=
∆
∆
=
x
.
Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе
анықталған екен.
ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ КЕРІ МАТРИЦАЛЫҚ ƏДІСІ
Бұл əдіс те жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны
тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Жүйенің матрицалық
жазылуын қарастырайық:
31
АХ=В,
мұндағы
=
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
,
=
n
b
x
x
Х
...
2
1
,
=
n
b
b
b
В
...
2
1
.
Айталық А ерекше емес матрица болсын, яғни матрица
анықтауышы нолге тең емес, олай болса əр уақытта
1
−
A
кері
матрицасы бар болады. Теңдеуді сол жағынан кері матрицаға
көбейтейік,
1
−
A
АХ=
1
−
A
В
1
−
A
А=E болатындықтан,
ЕХ=
1
−
A
В,
кез келген матрицаның бірлік матрицаға көбейтіндісі сол
матрицаның өзіне тең болатындықтан, ЕХ=Х:
Х=
1
−
A
В.
Сонымен, кері матрицалық əдіс бойынша жүйенің шешімін
табу үшін бос мүшелерден құралған матрицаны жүйе
матрицасының кері матрицасына көбейту керек екен.
Жоғарыда карастырылған
=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
7
2
2
3
2
2
9
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
жүйені осы əдіс бойынша шешіп көрейік.
Шешуі.
0
13
2
2
3
1
2
1
3
1
2
≠
=
−
=
∆
болғандықтан, жүйе матрицасы
ерекше емес. Осы матрицаның кері матрицасын табамыз:
32
−
−
−
−
=
−
5
1
8
1
5
1
7
4
6
13
1
1
A
.
Енді Х=
1
−
A
В теңдікті қолданып белгісіздерді табамыз:
=
⋅
=
=
−
В
A
x
x
x
Х
1
3
2
1
=
−
⋅
−
−
−
−
7
2
9
5
1
8
1
5
1
7
4
6
13
1
=
−
+
+
+
+
−
−
=
35
2
72
7
10
9
49
8
54
13
1
=
−
39
26
13
13
1
−
3
2
1
.
Сонымен,
1
1
−
=
x
,
2
2
=
x
,
3
3
=
x
шешімдері табылды.
ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ ГАУСС ƏДІСІ
n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
.
Гаусс əдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер
көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп,
айнымалыларды біртіндеп табатын əдіс. Гаусс түрлендірулері
мынадай:
1.
Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу;
2.
Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту;
3.
Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа
теңдеуге сəйкесінше қосу;
33
4.
0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау.
Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның
кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса
жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,
|
|
|
|
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
1
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
m
b
b
b
...
2
1
.
Осы матрицаны түрлендірулер нəтижесінде мынадай түрге
келтіреміз:
+
+
+
+
0
...
0
...
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
...
0
0
...
0
...
0
0
1
3
1
3
33
2
1
2
22
1
1
1
11
rn
r
r
rr
n
r
n
r
n
r
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
|
|
|
|
|
|
|
|
+
m
r
r
b
b
b
b
b
b
...
...
1
2
2
1
Матрицаның элементтері
ij
a
арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын
мəнінде олар түрлендірулер нəтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер
жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр.
Соңғы матрицаға сəйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:
=
−
−
−
=
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
m
r
r
n
rn
r
rr
r
rr
n
n
r
r
n
n
r
r
n
n
r
r
b
b
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
0
0
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
3
3
1
1
3
3
33
2
2
1
1
2
2
22
1
1
1
1
1
1
11
(6)