Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5536
Скачиваний: 25
44
теңдікпен анықталған v векторы осы кеңістікте жатады, мұндағы
λ
γ
β
α
,...,
,
,
-нақты сандар. Осы v векторды x, y, z, …, u
векторларының сызықты комбинациясы деп атайды.
Айталық x, y, z, …, u векторларының сызықты
комбинациясы 0 ноль вектор болсын, яғни
α
x+
β
y+
γ
z+…+
λ
u= 0. (1)
Анықтама. (1) теңдік барлық
α
=
β
=
γ
=…=
λ
=0 болған
кезде ғана орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тəуелсіз
деп аталады. Ал егер (1) теңдік
α
,
β
,
γ
,…,
λ
сандарының ең
болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса х, y, z, …, u
векторлары сызықты тəуелді деп аталады.
Мынадай тұжырымның дұрыстығына көз жеткізу қиын
емес: Егер x, y, z, …, u векторлар сызықты тəуелді болса, онда
бұл
векторлардың
біреуі
басқаларының
сызықты
комбинациясы арқылы жіктеледі. Жəне керісінше, егер x, y, z,
…,
u
векторлардың
біреуі
басқаларының
сызықты
комбинациясы арқылы жіктелсе, онда бұл векторлар
сызықты тəуелді болады.
Жазықтықтағы коллинеар емес екі вектор сызықты тəуелсіз
векторға мысал болады. Шынында да, жазықтықтағы
→
x
жəне
→
y
векторлары үшін (1) теңдік
α
→
x
+
β
→
y
=0
тек
α
=
β
=0 болғанда ғана орындалады. Ал, олай демесек,
мысалы
0
≠
β
болса, онда
→
y
=-
β
α
→
x
болып,
→
x
пен
→
y
векторларының коллинеарлығын білдірген болар еді. Ал бірақ
жазықтықтағы кез келген үш вектор сызықты тəуелді болады.
Векторлық кеңістіктің қасиеттері:
1. Егер x, y, z, …, u векторларының ішінде ноль-вектор бар
болса, онда бұл векторлар сызықты тəуелді болады. Шынында
да, егер, мысалы, x=0 болса, онда (1) теңдік
α
=1,
β
=
γ
=…=
λ
=0 болғанда орындалады.
45
2. Егер x, y, z, …, u векторларының қандай да бір бөлігі
сызықты тəуелді болса, онда бұл векторлардың бəрі сызықты
тəуелді болады. Шынында да, мысалы, y, z, …, u векторлары
сызықты тəуелді болсын десек
β
y+
γ
z+…+
λ
u=0
теңдік
β
,
γ
,…,
λ
сандарының бəрі бір мезгілде нолге тең болмағанда
орындалып тұр деген сөз. Олай болса бұл теңдік сол
β
,
γ
,…,
λ
сандары жəне
α
=0 санымен де орындалады.
Мысал қарастырайық. x=(3,2,-1), y=(2,-1,3), z=(1,3,-4)
векторлары сызықты тəуелді ме ?
Шешуі. x, y, z векторлары сызықты тəуелді болады, егер
α
x+
β
y+
γ
z= 0
теңдігі
α
,
β
,
γ
сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше
болғанда орындалса. x, y, z векторларын бағана түрінде жазып,
теңдікті ашып жазайық:
α
−
1
2
3
+
β
−
3
1
2
+
γ
−
4
3
1
= 0
Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:
Жүйе біртекті, яғни оның нолдік шешімі əруақытта бар. Жүйені
Гаусс əдісімен шешіп жүйенің нолдік емес шексіз көп шешімін
табуға болады:
С
С
=
−
=
β
α
,
,
С
=
γ
,
мұндағы С-ерікті нақты сан.
=
−
+
−
=
+
−
=
+
+
0
4
3
0
3
2
0
2
3
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
46
Сонымен, берілген векторлар үшін (1) теңдік
α
,
β
,
γ
сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда
(айталық,
1
,
1
=
−
=
β
α
,
1
=
γ
(С=1)) орындалып тұр, олай
болса берілген векторлар сызықты тəуелді.
Анықтама. Егер R сызықты кеңістікте n сызықты
тəуелсіз вектор бар болып, ал осы кеңістіктің кез келген n+1
векторы сызықты тəуелді болса, онда R кеңістікті n өлшемді
деп атайды. Кейде кеңістік өлшемі n-ге тең дейді де, dim(R)=n
деп немесе R
n
деп жазады.
Анықтама. п өлшемді векторлық кеңістіктің п сызықты
тəуелсіз векторларының жиыны базис деп аталады.
Мынадай тұжырымдар дұрыс болады:
1. Егер қандай да бір векторлар базис құрса, онда осы
векторлардың
координаталарынан
құрылған
анықтауыш
нолден өзгеше болады.
2. п өлшемді векторлық кеңістіктің əр бір векторы базистік
векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жазылады жəне
бұл жазу жалғыз болады. Сонда, егер
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
- кеңістіктің
базисі болса, онда кез келген x
∈
R векторы жалғыз түрде былай
жазылады:
n
n
e
x
e
x
e
x
x
+
+
+
=
...
2
2
1
1
.
Демек
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
базисінде х векторы
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
сандарымен
жалғыз түрде анықталады.
n
x
x
x
...,
,
,
2
1
сандар х векторының осы
базистегі координаталары деп аталады.
Мысал. x=(1;3;0), y=(-1;2;1), z=(1;-1;2) векторлары базис
құра ма? Егер құрса u=(2;0;1) векторын (x,y,z) базисі бойынша
жікте (яғни, u векторын x, y, z векторларының сызықты
комбинациясы арқылы жазу керек).
Шешуі. Бірінші тұжырым бойынша x, y, z векторлары базис құрса,
онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш
нолден өзгеше болуы керек:
47
0
14
2
1
1
1
2
1
0
3
1
≠
=
−
−
Демек, x, y, z векторлары базис құрады екен.
Екінші тұжырым бойынша u векторы (x,y,z) базисте
жіктеледі жəне ол жіктелу жалғыз болады:
z
u
y
u
x
u
u
3
2
1
+
+
=
.
x, y, z, u векторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып
жазайық:
1
u
0
3
1
+
2
u
−
1
2
1
+
3
u
−
2
1
1
=
1
0
2
Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:
=
+
−
=
+
+
−
=
+
1
2
0
2
2
3
3
2
1
3
2
1
2
1
u
u
u
u
u
u
u
u
Осы жүйені шешіп u векторының (x, y, z) базисіндегі (
1
u
,
2
u
,
3
u
)
координаталарын табамыз. Үш белгісізді үш теңдеуден тұрған
жүйені жүйе шешудің кез келген əдісімен шешуге болады. Сонда
мынадай жалғыз шешім аламыз:
14
9
1
=
u
,
14
8
2
−
=
u
,
14
11
3
=
u
.
Сонымен,
z
y
x
u
14
11
14
8
14
9
+
−
=
.
ЕВКЛИД КЕҢІСТІГІ
R векторлық кеңістігігінде векторды санға көбейту жəне екі
векторды қосу амалымен, тағы да өлшем жəне базис ұғымымен
48
таныстық. Енді вектор ұзындығын жəне екі вектор арасындағы
бұрышты өлшеуге мүмкіндік беретін жаңа ұғым енгіземіз.
Анықтама.
)
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
x
=
жəне
)
...,
,
,
(
2
1
n
y
y
y
y
=
векторларының скаляр көбейтіндісі деп мынадай санды
айтамыз:
i
n
i
i
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
∑
=
=
+
+
+
=
1
2
2
1
1
...
)
,
(
Скаляр көбейтудің қасиеттері:
1.
(x,y)=(y,x);
2.
(x,y+z)=(x,y)+(x,z);
3.
(
α
x,y)=
α
(x,y);
4.
егер х нолдік емес вектор болса, онда (x,y)>0, ал х нолдік
вектор болса, онда (x,y)=0;
Анықтама. Осы төрт қасиетті қанағаттандыратын
векторларды скаляр көбейту амалы енгізілген векторлық кеңістік
евклид кеңістігі деп аталады.
Евклид кеңістігіндегі х векторының ұзындығы(нормасы) деп
мынадай шаманы айтамыз:
2
2
2
2
1
...
n
x
x
x
x
+
+
+
=
х жəне у векторларының арасындағы бұрыш мынадай
теңдікпен анықталады:
y
x
y
x
)
,
(
cos
=
ϕ
,
мұндағы
π
ϕ
<
<
0
.
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі нолге тең болса ол
векторлар ортогональ болады.
п өлшемді евклид кеңістігінің
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
векторлары қос-
қостан ортогональ жəне əр вектордың ұзындығы бірге тең болса, ол
векторлар ортонормаль базис құрады.