ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 2240
Скачиваний: 2
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
УДК
330.4 (075.8)
ББК
22.1
я
.7
Ч
49
Рецензент
к
.
ф
.-
м
.
н
.,
доцент
Н
.
Т
.
Анисимова
Чуйко
А
.
С
.
Ч
49
Линейная
алгебра
:
учебное
пособие
[
электронный
ресурс
] /
Чуйко
А
.
С
. –
М
.:
ЧОУ
ВПО
МБИ
, 2014. – 134
с
.
Содержит
основные
сведения
из
линейной
алгебры
,
которые
используются
студентами
экономических
факультетов
на
этапах
дальнейшего
обучения
.
Содержание
и
объем
материала
пособия
соответствует
учебной
программе
дисциплины
«
Линейная
алгебра
»
на
финансовом
факультете
.
Понятия
,
утверждения
и
следствия
из
них
иллюстрируются
примерами
.
Ответы
на
вопросы
и
решение
задач
,
приведенные
в
конце
разделов
,
помогут
усвоить
материал
дисциплины
.
Пособие
предназначено
для
студентов
заочной
и
других
форм
обучения
по
направлению
080100.62 «
Экономика
» (
бакалавр
).
УДК
330.4 (075.8)
ББК
22.1
я
.7
Рекомендовано
Редакционно
-
издательским
советом
МБИ
©
ЧОУ
ВПО
МБИ
, 2014
©
Чуйко
А
.
С
., 2014
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
3
Содержание
Раздел
1.
ЭЛЕМЕНТЫ
ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ
.............................................
4
1.1.
Матрицы
и
действия
над
ними
.................................................................... 4
1.2.
Определитель
матрицы
,
минор
и
алгебраическое
дополнение
............. 10
1.3.
Системы
линейных
уравнений
.................................................................. 14
1.4.
Системы
векторов
....................................................................................... 25
Приложение
А
...................................................................................................... 32
Приложение
В
....................................................................................................... 35
Раздел
2.
Элементы
линейной
оптимизации
.....................................................
40
2.1.
Введение
в
линейную
оптимизацию
......................................................... 40
2.2.
Общая
задача
линейного
программирования
.......................................... 47
2.3.
Примеры
задач
линейного
программирования
........................................ 50
2.4.
Опорное
решение
канонической
задачи
линейного
программирования
...................................................................................... 54
2.5.
Базис
опорного
решения
............................................................................. 59
2.6.
Оптимальное
решение
канонической
задачи
линейного
программирования
...................................................................................... 67
2.7.
Симплекс
таблицы
и
их
свойства
.............................................................. 71
2.8.
Решение
симплекс
методом
канонической
задачи
линейного
программирования
....................................................................................... 78
2.9.
Метод
искусственного
базиса
для
нахождения
начального
опорного
решения
........................................................................................................ 85
2.10.
Взаимно
двойственные
задачи
линейного
программирования
.............. 91
2.11.
Экономическое
содержание
симплекс
алгоритма
и
двойственности
... 103
2.12.
Транспортная
задача
линейного
программирования
............................ 112
Приложение
С
..................................................................................................... 122
Учебно
-
методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины
...........
133
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
4
Раздел
1.
ЭЛЕМЕНТЫ
ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ
Определение
.
Раздел
математики
–
алгебра
изучает
действия
над
объектами
произвольной
природы
.
1.1.
Матрицы
и
действия
над
ними
Определение
.
Произвольная
система
чисел
,
расположенных
в
виде
прямоугольной
таблицы
,
которая
содержит
m
строк
и
n
столбцов
,
называется
(m,n)
–
мерной
матрицей
(
или
,
просто
,
матрицей
)
чисел
и
обозначается
A[
m
x
n
]
или
а
11
а
12
…
а
1j
…
а
1n
а
21
а
22
…
а
2j
…
а
2n
……………………. =
А
,
а
i1
а
i2
….
а
ij
…
а
in
…………………….
а
m1
а
m2
…
а
vj
…
а
mn
где
а
ij
–
элемент
матрицы
,
стоящий
на
i
строке
в
j
столбце
.
Определение
.
Если
число
строк
матрицы
совпадает
с
числом
ее
столбцов
,
т
.
е
.
m = n
,
то
матрица
называется
квадратной
,
а
число
ее
строк
(
столбцов
)
называют
порядком
квадратной
матрицы
.
Пример
:
А
= (
а
11
) –
матрица
первого
порядка
,
А
=
22
21
12
11
a
a
a
a
–
матрица
2-
го
порядка
.
Определение
.
Матрица
,
состоящая
из
одной
строки
(
или
одного
столбца
),
называется
матрицей
строкой
(
столбцом
).
Таким
образом
,
n
-
мерный
вектор
есть
матрица
строка
(
столбец
)
из
n
элементов
.
Определение
.
Две
матрицы
: A[m
1
x n
1
]
и
B[m
2
x n
2
]
называются
равными
,
если
у
них
равны
числа
строк
и
равны
числа
столбцов
,
а
также
равны
соответствующие
элементы
матриц
,
т
.
е
.
А
=
В
m
1
= m
2
= m, n
1
= n
2
= n,
a
ij
=
b
ij
,
i, j = 1,2,…,n.
Основные
операции
над
матрицами
умножение
числа
на
матрицу
или
матрицы
на
число
;
сложение
двух
матриц
;
перемножение
двух
матриц
.
Определение
.
Чтобы
умножить
число
α
на
матрицу
А
или
матрицу
А
на
число
α
,
нужно
умножить
на
число
α
все
элементы
матрицы
А
.
Пример
α
А
=
α
22
21
12
11
12
a
a
a
a
=
22
21
12
11
12
a
a
a
a
=
22
21
12
11
12
a
a
a
a
=
22
21
12
11
a
a
a
a
α
=
А
α
Определение
.
Нулевой
матрицей
–
Ө
называют
матрицу
,
все
элементы
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
5
которой
равны
нулю
.
Из
определения
операции
умножения
числа
на
матрицу
следует
что
:
1.
1
A = A
1 = A;
2.
0
A = A
0 =
Ө
;
3.
(
α
β
)
A =
α
(
β
A) =
α
(A
β
) = (
α
A)
β
= (A
α
)
β
= A
(
α
β
);
4.
(
α
+
β
)
A =
α
A +
β
A = A ·
α
+ A·
β
= A
(
α
+
β
) –
дистрибутивность
.
Определение
.
Суммой
двух
матриц
А
[m
1
x n
1
]
и
В
[m
2
x n
2
],
имеющих
равные
числа
строк
и
равные
числа
столбцов
,
называют
матрицу
,
имеющую
те
же
числа
строк
и
те
же
числа
столбцов
,
что
и
матрицы
А
и
В
,
и
элементы
,
равные
суммам
соответствующих
элементов
матриц
А
и
В
,
т
.
е
. m
1
= m
2
= m,
n
1
= n
2
= n , c
ij
= a
ij
+ b
ij
,
для
i = 1,2,…, m, j = 1,2,…,n.
Пример
.
1
2
0
3
1
2
+
3
5
1
2
4
3
=
4
3
1
1
5
5
Из
определения
операции
сложения
матриц
следует
что
:
5.
А
+ (
В
+
С
) = (
А
+
В
) +
С
–
ассоциативность
;
6.
А
+
В
=
В
+
А
–
коммутативность
;
7.
α
(
А
+
В
) =
α
А
+
α
В
=
А
α
+
В
α
= (
А
+
В
)
α
–
дистрибутивность
;
8.
А
+
Ө
=
Ө
+
А
=
А
.
Если
обозначить
(–1)
А
= –
А
,
то
А
+ (–
А
) =
Ө
, (–
α
)
А
= –
α
А
,
– (
А
+
В
) = –
А
–
В
, – (–
А
) =
А
,
В
+ (–
А
) =
В
–
А
.
Определение
.
Пусть
даны
две
матрицы
А
[m x n]
и
В
[n x
],
при
чем
число
столбцов
матрицы
А
равно
числу
строк
матрицы
В
.
Тогда
матрица
С
[m x
]
с
элементами
: c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2 j
+ …+ a
in
b
nj
, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,
,
(
т
.
е
. i-
я
строка
матрицы
А
,
умноженная
скалярно
на
j-
й
столбец
матрицы
В
,
дает
c
ij
элемент
матрицы
С
,
стоящий
i-
й
строке
и
j-
м
столбце
)
называется
произведением
матрицы
А
на
матрицу
В
(
справа
)
и
обозначается
С
=
А
В
.
Пример
.
1
2
3
3
2
1
1
2
1
0
2
1
=
1
*
1
1
*
)
2
(
2
*
3
2
*
1
0
*
)
2
(
1
*
3
1
*
3
1
*
2
2
*
1
2
*
3
0
*
2
1
*
1
=
5
5
7
7
Пример
.
1
1
2
1
1
2
2
3
=
3
5
4
7
;
2
2
2
3
1
1
2
1
=
5
3
8
5
Следовательно
,
в
общем
случае
А
В
≠
В
А
.
Из
определения
операции
произведения
матриц
следует
,
что
:
9.
α
(
А
В
) = (
α
А
)
В
= (
А
α
)
В
=
А
(
α
В
) =
А
(
В
α
) = (
А
В
)
α
;
10.
(
А
+
В
)
С
=
А
С
+
В
С
и
С
(
А
+
В
) =
С
А
+ C
В
(
А
+
В
)
(
С
+D) =
А
С
+
В
С
+
А
D +
В
D
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.