ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 1120
Скачиваний: 2
6
11.
А
(
В
С
) = (
А
В
)
С
.
Определение
.
Матрицы
А
и
В
называются
перестановочными
,
если
АВ
=
ВА
.
Пример
.
4
3
2
1
3
3
2
0
=
3
3
2
0
4
3
2
1
=
18
12
8
6
.
Определение
.
Квадратная
матрица
вида
nn
ij
а
a
а
0
0
0
0
0
0
11
называется
диагональной
,
если
a
ij
= 0
для
i
≠
j = 1, 2, …,n.
Из
определения
сложения
и
умножения
матриц
следует
nn
ii
0
0
0
0
0
0
11
+
nn
ii
0
0
0
0
0
0
11
=
nn
nn
ii
ii
0
0
0
0
0
0
11
11
;
nn
ii
0
0
0
0
0
0
11
nn
ii
0
0
0
0
0
0
11
=
nn
nn
ii
ii
0
0
0
0
0
0
11
11
Определение
.
Диагональная
матрица
n-
порядка
,
у
которой
все
диагональные
элементы
равны
единице
,
называется
единичной
и
обозначается
E
n
или
Е
.
Например
,
Е
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Непосредственным
вычислением
можно
показать
,
что
АЕ
=
ЕА
=
А
.
Покажите
это
самостоятельно
для
матриц
А
=
1
2
3
1
3
0
3
2
1
и
Е
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
Определение
.
Матрица
А
Т
=
nm
n
m
a
a
a
a
.
.
.
.
.
1
1
11
,
полученная
из
матрицы
А
=
mn
m
n
a
a
a
a
.
.
.
.
.
1
1
11
заменой
строк
столбцами
,
называется
транспонированной
по
отношению
к
матрице
А
.
Например
,
если
А
=
4
3
2
1
,
то
А
Т
=
4
2
3
1
Для
произвольных
:
матриц
А
,
В
и
чисел
α
,
β
справедливы
соотношения
:
(
α
А
+
β
В
)
Т
=
α
А
Т
+
β
В
Т
и
(
А
В
)
Т
=
В
Т
А
Т
.
Проверьте
данные
соотношения
для
матриц
:
А
=
2
4
3
1
и
В
=
3
2
1
2
и
чисел
α
= 3,
β
= – 2.
Определение
.
Квадратная
матрица
А
называется
обратимой
,
если
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
7
существует
квадратная
матрица
Х
такая
,
что
А
Х
=
Х
А
=
Е
.
Определение
.
Любая
матрица
Х
такая
,
что
А
Х
=
Х
А
=
Е
,
называется
обратной
к
матрице
А
или
обращением
матрицы
А
и
обозначается
А
–1
.
Определение
.
Матрица
называется
невырожденной
,
если
она
имеет
обратную
матрицу
,
в
протвном
случае
матрица
называется
вырожденной
.
Из
определения
обратной
матрицы
следует
,
что
А
А
–1
=
А
–1
А
=
Е
,
а
также
(
А
–1
)
–1
=
А
.
Операции
транспонирования
и
обращения
связаны
соотношением
(
А
–1
)
Т
= (
А
Т
)
–1
.
Пусть
дана
квадратная
матрица
А
.
Тогда
для
нахождения
матрицы
обратной
к
матрице
А
формируется
столько
систем
линейных
уравнений
,
каков
порядок
матрицы
А
.
Причем
правая
часть
каждой
системы
уравнений
представляет
собой
единичный
вектор
с
единицей
,
соответствующей
порядковому
номеру
сформированной
системы
уравнения
.
Для
решения
такого
набора
систем
линейных
уравнений
их
записывают
в
одну
таблицу
.
Такая
таблица
будет
состоять
из
матрицы
А
и
единичной
матрицы
Е
,
записанной
справа
от
матрицы
А
.
Далее
все
системы
линейных
уравнений
решают
одновременно
методом
Гаусса
,
с
которым
мы
познакомимся
в
разделе
3.
Как
только
в
процессе
решения
матрица
А
превратиться
в
единичную
матрицу
,
так
на
том
месте
,
где
была
вначале
процедуры
выписана
единичная
матрица
,
появится
матрица
А
–1
,
обратная
к
матрице
А
.
Если
же
матрица
вырожденная
,
то
на
одном
из
шагов
процесса
нахождения
обратной
матрицы
методом
Гаусса
будет
обнаружено
противоречивое
уравнение
.
Ответьте
на
вопросы
1.
Какую
форму
записи
нескольких
чисел
называют
матрицей
этих
чисел
?
2.
Можно
ли
n-
мерный
вектор
назвать
матрицей
?
3.
При
каких
условиях
матрица
А
с
элементами
а
ij
,
где
i = 1, 2, …, m
1
, j = 1, 2,
…, n
1
,
и
матрица
В
с
элементами
b
ij
,
где
i = 1, 2, …, m
2
, j = 1, 2, …, n
2
,
будут
равными
?
4.
Если
матрица
А
с
элементами
а
ij
,
где
i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n,
есть
результат
умножения
матрицы
В
с
элементами
b
ij
,
где
i = 1, 2, …, m , j =
1, 2, …, n,
на
число
,
равное
нулю
,
то
чему
равны
величины
элементов
а
ij
,
a
11
, a
mn
?
5.
Чему
равна
величина
элемента
c
ij
матрицы
С
,
которая
является
результатом
сложения
матрицы
А
с
элементами
а
ij
,
где
i = 1, 2, …, m
1
, j = 1, 2, …, n
1
,
и
матрицы
В
с
элементами
b
ij
,
где
i = 1, 2, …, m
2
, j = 1, 2, …, n
2
;
укажите
также
в
каких
пределах
при
этом
изменяются
индексы
элемента
c
ij
?
6.
Какие
свойства
операции
сложения
матриц
совпадают
со
свойствами
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
8
операции
сложения
чисел
?
7.
Чему
равна
величина
элемента
c
ij
матрицы
С
,
которая
является
результатом
умножения
матрицы
А
с
элементами
а
ij
,
где
i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n,
справа
на
матрицу
В
с
элементами
b
ij
,
где
i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, k,
а
также
укажите
в
каких
пределах
при
этом
изменяются
индексы
элемента
c
ij
?
8.
Какие
свойства
операции
умножения
матриц
совпадают
со
свойствами
операции
умножения
чисел
?
9.
При
каких
условиях
матрица
А
с
элементами
а
ij
= 0 ,
для
всех
i
j
где
i = 1,
2, …, m , j = 1, 2, …, n,
может
быть
диагональной
?
10.
Всегда
ли
матрица
с
диагональными
элементами
,
равными
единице
,
является
единичной
матрицей
?
11.
Какие
действия
необходимо
проделать
с
элементами
данной
матрицы
,
чтобы
получить
транспонированную
матрицу
к
данной
матрице
?
12.
Все
ли
матрицы
являются
обратимыми
?
13.
Какая
матрица
может
быть
обратной
к
данной
матрице
А
?
Решите
самостоятельно
1.
Даны
матрицы
:
А
=
3
2
2
1
,
Е
=
1
0
0
1
,
В
=
4
1
2
3
,
С
=
3
1
4
2
2
6
4
3
2
, D =
1
0
1
Вычислить
:
А
2
+ 5
А
– 4
Е
,
В
2
– 2
А
+3
Е
;
А
3
;
В
4
;
АВ
;
ВА
;
АЕ
;
ВЕ
;
С
D
.
Вычислить
и
сравнить
:
А
2
–
В
2
и
(
А
–
В
)
(
А
+
В
); (
А
–
В
)
2
и
А
2
– 2
АВ
+
В
2
.
2.
Укажите
пару
матриц
второго
порядка
А
и
В
таких
,
что
А
Е
,
В
Е
и
А
–
В
= 3
Е
.
3.
Студент
имеет
возможность
получить
дополнительный
доход
за
час
работы
репетитором
– $6,
посыльным
– $3
и
оператором
,
отвечая
на
телефонные
звонки
, – $4.
Количество
часов
,
которое
студент
может
использовать
для
подработки
каждую
неделю
месяца
,
задано
таблицей
Работа
№недели
1 2 3 4
репетитор
4
8 6 5
посыльный
3
3 4 0
оператор
5
8 6 4
Если
данную
таблицу
распределения
часов
работы
студента
обозначить
через
матрицу
А
,
а
через
В
= (6, 3, 4)
обозначить
матрицу
тарифов
,
то
какой
содержательный
смысл
несет
в
себе
матрица
,
являющейся
произведением
данных
матриц
–
ВА
?
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
9
4.
Инвестор
купил
пакет
акций
4-
х
компаний
– 100
акций
компании
К
1
, 80 –
К
2
, 120 –
К
3
и
50 –
К
4
по
ценам
100, 200, 60
и
150
д
.
е
.,
соответственно
.
Выпишите
матрицу
числа
,
купленных
акций
,
и
матрицу
цен
акций
,
а
затем
найдите
общие
затраты
инвестора
через
произведение
этих
матриц
.
После
увеличения
на
110%
цен
на
акции
всех
компаний
инвестор
продал
половину
акций
каждой
компании
.
Выпишите
матрицу
доходов
от
продажи
акций
каждой
компании
.
5.
Доказать
,
что
В
=
С
,
если
А
,
А
Е
и
АВ
=
АС
.
6.
Доказать
,
что
В
=
Е
,
если
А
,
А
Е
и
АВ
=
А
.
7.
Доказать
,
что
если
матрицы
В
и
С
являются
обратными
для
матрицы
А
,
то
В
=
С
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
10
1.2.
Определитель
матрицы
,
минор
и
алгебраическое
дополнение
Определение
.
Определителем
(
детерминантом
-det
)
квадратной
матрицы
второго
порядка
А
=
22
21
12
11
a
a
a
a
называют
число
–
Δ
,
полученное
по
следующему
правилу
:
Δ
= det
А
=
22
21
12
11
a
a
a
a
=
а
11
а
22
–
а
12
а
21
.
Определение
.
Определителем
(
детерминантом
)
квадратной
матрицы
третьего
порядка
А
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
называют
число
–
Δ
,
полученное
по
следующему
правилу
:
Δ
= det A = det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
а
11
а
22
а
33
+
а
12
а
23
а
31
+
а
13
а
21
а
32
–
а
31
а
22
а
13
–
а
32
а
23
а
11
–
а
33
а
21
а
12
.
Определение
.
Минором
–
M
ij
элемента
a
ij
квадратной
матрицы
n-
го
порядка
называется
определитель
матрицы
(n–1)-
го
порядка
,
полученной
из
исходной
матрицы
вычеркиванием
i-
ой
строки
и
j-
го
столбца
.
Например
,
для
элемента
a
12
матрицы
А
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
минором
будет
М
12
=det
33
31
23
21
a
a
a
a
.
Определение
.
Алгебраическим
дополнением
– A
ij
элемента
a
ij
матрицы
n-
го
порядка
называют
минор
этого
элемента
,
умноженный
на
(–1)
i+j
.
Например
,
для
элемента
a
12
матрицы
А
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
алгебраическим
дополнением
будет
А
12
=
М
12
(– 1)
1+2
.
Основные
свойства
определителей
1.
Определитель
матрицы
может
быть
представлен
в
виде
суммы
произведений
элементов
одной
строки
(
столбца
)
матрицы
на
соответствующие
этим
элементам
алгебраические
дополнения
.
Например
,
Δ
= det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
а
11
А
11
+
а
12
А
12
+
а
13
А
13
= … =
а
13
А
13
+
а
23
А
23
+
а
33
А
33
.
2.
Значение
определителя
матрицы
А
не
изменится
,
если
строки
матрицы
сделать
столбцами
и
,
наоборот
,
столбцы
матрицы
сделать
строками
,
т
.
е
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.