Файл: Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2021

Просмотров: 1120

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

6

11.

 

А

 

 (

В

 

 

С

) = (

А

 

 

В

 

С

Определение

.

  

Матрицы

 

А

 

и

 

В

 

называются

 

перестановочными

если

 

АВ

 = 

ВА

Пример

.    

4

3

2

1

   

3

3

2

0

  =  

3

3

2

0

   

4

3

2

1

  =  

18

12

8

6

 . 

Определение

.

 

Квадратная

 

матрица

 

вида

 

nn

ij

а

a

а

0

0

0

0

0

0

11

   

называется

 

диагональной

если

 

a

ij

 = 0  

для

  

 i  

 j = 1, 2, …,n. 

Из

 

определения

 

сложения

 

и

 

умножения

 

матриц

 

следует

 

  

nn

ii

0

0

0

0

0

0

11

  +  

nn

ii

0

0

0

0

0

0

11

   =  

nn

nn

ii

ii

0

0

0

0

0

0

11

11

  

nn

ii

0

0

0

0

0

0

11

   

  

nn

ii

0

0

0

0

0

0

11

   =     

nn

nn

ii

ii

0

0

0

0

0

0

11

11

  

Определение

Диагональная

 

матрица

 n-

порядка

у

 

которой

 

все

 

диагональные

 

элементы

 

равны

 

единице

называется

 

единичной

 

и

 

обозначается

  

E

n

 

или

  

Е

Например

,  

Е

 =  

1

0

0

0

1

0

0

0

1

   

Непосредственным

 

вычислением

 

можно

 

показать

что

 

АЕ

 = 

ЕА

 = 

А

Покажите

 

это

 

самостоятельно

 

для

 

матриц

    

А

 =   

1

2

3

1

3

0

3

2

1

   

и

  

Е

 =    

1

0

0

0

1

0

0

0

1

  . 

Определение

.

  

Матрица

 

А

Т

 

=   

nm

n

m

a

a

a

a

.

.

.

.

.

1

1

11

 , 

полученная

 

из

 

матрицы

  

   

А

 =     

mn

m

n

a

a

a

a

.

.

.

.

.

1

1

11

 

заменой

 

строк

 

столбцами

называется

 

транспонированной

 

по

 

отношению

 

к

 

матрице

 

А

Например

,

 

если

  

А

 =  

4

3

2

1

 , 

то

 

А

Т

 =  

4

2

3

1

 

Для

 

произвольных

матриц

 

А

В

 

и

 

чисел

 

α

β

 

справедливы

 

соотношения

:  

(

α

 

 

А

 + 

β

 

 

В

)

Т

 = 

α

 

 

А

Т

 

β

 

 

В

Т

   

и

    (

А

 

 

В

)

Т

В

Т

 

 

А

Т

Проверьте

 

данные

 

соотношения

 

для

 

матриц

:  

А

 =  

2

4

3

1

   

и

  

В

 =  

3

2

1

2

   

и

 

чисел

 

α

 = 3, 

β

 = – 2. 

Определение

Квадратная

 

матрица

 

А

 

называется

 

обратимой

если

 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

7

существует

 

квадратная

 

матрица

 

Х

  

такая

что

 

А

Х

 = 

Х

А

 =

Е

Определение

Любая

 

матрица

 

Х

 

такая

что

 

А

Х

 = 

Х

А

  =

Е

называется

 

обратной

 

к

 

матрице

 

А

 

или

 

обращением

 

матрицы

 

А

 

и

 

обозначается

 

А

–1

Определение

Матрица

 

называется

 

невырожденной

если

 

она

 

имеет

 

обратную

 

матрицу

в

 

протвном

 

случае

 

матрица

 

называется

 

вырожденной

.  

Из

 

определения

 

обратной

 

матрицы

 

следует

что

 

А

А

–1 

 = 

А

–1 

А

    = 

Е

а

 

также

  (

А

–1

)

–1 

 =  

А

.  

Операции

 

транспонирования

 

и

 

обращения

 

связаны

 

соотношением

    (

А

–1

)

Т

= (

А

Т

)

–1

Пусть

 

дана

 

квадратная

 

матрица

 

А

.  

Тогда

 

для

 

нахождения

 

матрицы

 

обратной

 

к

 

матрице

 

А

 

формируется

 

столько

 

систем

 

линейных

 

уравнений

каков

 

порядок

 

матрицы

 

А

Причем

 

правая

 

часть

 

каждой

 

системы

 

уравнений

 

представляет

 

собой

 

единичный

 

вектор

 

с

 

единицей

соответствующей

 

порядковому

 

номеру

 

сформированной

 

системы

 

уравнения

Для

 

решения

 

такого

 

набора

 

систем

 

линейных

 

уравнений

 

их

 

записывают

 

в

 

одну

 

таблицу

Такая

 

таблица

 

будет

 

состоять

 

из

 

матрицы

 

А

 

и

 

единичной

 

матрицы

 

Е

записанной

 

справа

 

от

 

матрицы

 

А

Далее

 

все

 

системы

 

линейных

 

уравнений

 

решают

 

одновременно

 

методом

 

Гаусса

с

 

которым

 

мы

 

познакомимся

 

в

 

разделе

 3. 

Как

 

только

 

в

 

процессе

 

решения

 

матрица

 

А

 

превратиться

 

в

 

единичную

 

матрицу

так

 

на

 

том

 

месте

где

 

была

 

вначале

 

процедуры

 

выписана

 

единичная

 

матрица

появится

 

матрица

 

А

–1

,  

обратная

 

к

 

матрице

 

А

Если

 

же

 

матрица

 

вырожденная

то

 

на

 

одном

 

из

 

шагов

 

процесса

 

нахождения

 

обратной

 

матрицы

 

методом

 

Гаусса

 

будет

 

обнаружено

 

противоречивое

 

уравнение

 

Ответьте

 

на

 

вопросы

 

1.

 

Какую

 

форму

 

записи

 

нескольких

 

чисел

 

называют

 

матрицей

 

этих

 

чисел

2.

 

Можно

 

ли

   n-

мерный

 

вектор

 

назвать

 

матрицей

3.

 

При

 

каких

 

условиях

 

матрица

 

А

 

с

 

элементами

 

а

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m

1

, j = 1, 2, 

…, n

1

и

 

матрица

  

В

 

с

 

элементами

 b

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m

2

 , j = 1, 2, …, n

2

,  

будут

 

равными

4.

 

Если

 

матрица

  

А

  

с

 

элементами

 

а

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n,  

есть

 

результат

 

умножения

 

матрицы

  

В

  

с

 

элементами

 b

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m , j = 

1, 2, …, n,  

на

 

число

равное

 

нулю

то

 

чему

 

равны

 

величины

 

элементов

 

а

ij

a

11

, a

mn

5.

 

Чему

 

равна

 

величина

 

элемента

  c

ij 

 

матрицы

 

С

которая

 

является

 

результатом

 

сложения

 

матрицы

  

А

 

с

 

элементами

 

а

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m

1

 , j = 1, 2, …, n

1

,   

и

  

матрицы

  

В

  

с

 

элементами

 b

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m

2

 , j = 1, 2, …, n

2

укажите

 

также

 

в

 

каких

 

пределах

 

при

 

этом

 

изменяются

 

индексы

 

элемента

 c

ij

?   

6.

 

Какие

 

свойства

 

операции

 

сложения

 

матриц

 

совпадают

 

со

 

свойствами

 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

8

операции

 

сложения

 

чисел

7.

 

Чему

 

равна

 

величина

 

элемента

  c

ij 

 

матрицы

 

С

которая

 

является

 

результатом

 

умножения

 

матрицы

  

А

 

с

 

элементами

 

а

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n,   

справа

 

на

  

матрицу

  

В

 

с

 

элементами

 b

ij

 , 

где

 i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, k, 

а

 

также

 

укажите

  

в

 

каких

 

пределах

 

при

 

этом

 

изменяются

 

индексы

 

элемента

 

c

ij

?   

8.

 

Какие

 

свойства

 

операции

 

умножения

 

матриц

 

совпадают

 

со

 

свойствами

 

операции

 

умножения

 

чисел

9.

 

При

 

каких

 

условиях

 

матрица

   

А

  

с

 

элементами

 

а

ij 

= 0 , 

для

 

всех

 i 

 j  

где

 i = 1, 

2, …, m , j = 1, 2, …, n, 

может

 

быть

 

диагональной

10.

 

Всегда

 

ли

 

матрица

 

с

 

диагональными

 

элементами

равными

 

единице

является

 

единичной

 

матрицей

11.

 

Какие

 

действия

 

необходимо

 

проделать

 

с

 

элементами

 

данной

 

матрицы

чтобы

 

получить

 

транспонированную

 

матрицу

  

к

 

данной

 

матрице

12.

 

Все

 

ли

  

матрицы

 

являются

 

обратимыми

13.

 

Какая

 

матрица

 

может

 

быть

 

обратной

 

к

 

данной

 

матрице

  

А

 

Решите

 

самостоятельно

 

1.

 

Даны

 

матрицы

А

 =  

3

2

2

1

 ,  

Е

 = 

1

0

0

1

В

 =  

4

1

2

3

 , 

С

 =  

3

1

4

2

2

6

4

3

2

 , D =  

1

0

1

 

 

Вычислить

:  

А

+ 5

А

 – 4

Е

,  

В

– 2

А

 +3

Е

;  

А

3

В

4

;  

АВ

;  

ВА

;  

АЕ

;  

ВЕ

;  

С

D

 

Вычислить

 

и

 

сравнить

А

– 

В

2

 

и

  (

А

В

 (

А

+

В

);  (

А

В

)

2

 

и

 

А

2

 – 2

АВ

 +

В

2

 . 

2.

 

Укажите

 

пару

 

матриц

 

второго

 

порядка

 

А

 

и

 

В

 

таких

что

 

А

 

 

Е

В

 

 

Е

 

и

 

 

А

В

 = 3

Е

3.

 

Студент

 

имеет

 

возможность

   

получить

 

дополнительный

 

доход

 

за

 

час

 

работы

 

репетитором

 – $6, 

посыльным

 – $3 

и

 

оператором

отвечая

 

на

 

телефонные

 

звонки

, – $4. 

Количество

 

часов

которое

 

студент

 

может

 

использовать

 

для

 

подработки

 

каждую

 

неделю

 

месяца

задано

 

таблицей

  

Работа

              

№недели

1  2 3 4

репетитор

  4 

8 6 5

посыльный

  3 

3 4 0

оператор

  5 

8 6 4

Если

 

данную

 

таблицу

 

распределения

 

часов

 

работы

 

студента

 

обозначить

 

через

 

матрицу

 

А

а

 

через

 

В

 = (6, 3, 4) 

обозначить

 

матрицу

 

тарифов

то

 

какой

 

содержательный

 

смысл

 

несет

 

в

 

себе

 

матрица

являющейся

 

произведением

 

данных

 

матриц

 –  

ВА

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

9

4.

 

Инвестор

 

купил

 

пакет

 

акций

 4-

х

 

компаний

 – 100 

акций

 

компании

 

К

1

, 80 – 

К

2

, 120 – 

К

3

 

и

 50 – 

К

4

 

по

 

ценам

 100, 200, 60 

и

 150 

д

.

е

., 

соответственно

Выпишите

 

матрицу

 

числа

купленных

 

акций

и

 

матрицу

 

цен

 

акций

а

 

затем

 

найдите

 

общие

 

затраты

 

инвестора

 

через

 

произведение

 

этих

 

матриц

После

 

увеличения

 

на

 110% 

цен

 

на

 

акции

 

всех

 

компаний

 

инвестор

 

продал

 

половину

 

акций

 

каждой

 

компании

Выпишите

 

матрицу

 

доходов

 

от

 

продажи

 

акций

 

каждой

 

компании

5.

 

Доказать

что

 

В

=

С

если

 

А

 



 , 

А

 

 

Е

 

и

 

АВ

=

АС

6.

 

Доказать

что

 

В

=

Е

если

 

А

 



,  

А

 

 

Е

 

и

 

АВ

=

А

7.

 

Доказать

что

 

если

 

матрицы

 

В

 

и

 

С

 

являются

 

обратными

 

для

 

матрицы

 

А

то

 

В

 = 

С

 
 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

10

1.2.  

Определитель

 

матрицы

минор

 

и

  

алгебраическое

 

дополнение

 

Определение

Определителем

 

(

детерминантом

-det

квадратной

 

матрицы

 

второго

 

порядка

 

А

 = 

22

21

12

11

a

a

a

a

   

называют

 

число

  –

Δ

полученное

 

по

 

следующему

 

правилу

Δ

 = det 

А

 = 

22

21

12

11

a

a

a

a

 =  

а

11

а

22

 – 

а

12

а

21

Определение

.  

Определителем

  (

детерминантом

квадратной

 

матрицы

 

третьего

 

порядка

 

А

 = 

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

называют

 

число

 – 

Δ

полученное

 

по

 

следующему

 

правилу

:  

Δ

 = det A = det 

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 = 

а

11

а

22

а

33

 + 

а

12

а

23

а

31

 + 

а

13

а

21

а

32

 – 

а

31

а

22

а

13

 – 

а

32

а

23

а

11

 – 

а

33

а

21

а

12

Определение

Минором

  –

  M

ij

 

элемента

  a

ij

   

квадратной

 

матрицы

    n-

го

 

порядка

 

называется

 

определитель

 

матрицы

  (n–1)-

го

 

порядка

полученной

 

из

 

исходной

 

матрицы

 

вычеркиванием

  i-

ой

 

строки

 

и

  j-

го

 

столбца

Например

,  

для

 

элемента

 a

12

 

матрицы

 

А

 = 

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

минором

 

будет

  

М

12

 =det 

33

31

23

21

a

a

a

a

 . 

Определение

.  

Алгебраическим

 

дополнением

 – A

ij

 

элемента

  a

ij

  

матрицы

  n-

го

 

порядка

 

называют

 

минор

 

этого

 

элемента

умноженный

 

на

 (–1)

i+j

Например

для

 

элемента

  a

12

 

матрицы

 

А

 = 

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

алгебраическим

 

дополнением

 

будет

 

А

12

 = 

М

12

 

 (– 1)

1+2

 

Основные

 

свойства

 

определителей

 

1.

 

Определитель

 

матрицы

 

может

 

быть

 

представлен

 

в

 

виде

 

суммы

 

произведений

 

элементов

 

одной

 

строки

  (

столбца

матрицы

 

на

 

соответствующие

 

этим

 

элементам

 

алгебраические

 

дополнения

Например

Δ

 = det 

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 = 

а

11

А

11 

а

12

А

12 

а

13

А

13 

= … =

а

13

А

13 

а

23

А

23 

а

33

А

33

2.

 

Значение

 

определителя

 

матрицы

 

А

 

не

 

изменится

если

 

строки

 

матрицы

 

сделать

 

столбцами

 

и

наоборот

столбцы

 

матрицы

 

сделать

 

строками

т

.

е

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.