ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 1126
Скачиваний: 2
11
det A = det A
T
.
Доказательство
можно
провести
для
определителя
3-
го
порядка
используя
его
определение
или
свойство
1.
Замечание
.
Из
свойства
2
следует
,
что
столбцы
и
строки
определителя
матрицы
равносильны
.
Поэтому
последующие
свойства
определителей
будем
формулировать
только
для
столбцов
.
3.
Если
поменять
местами
два
столбца
матрицы
,
то
абсолютная
величина
определителя
матрицы
не
изменится
,
а
знак
изменится
на
противоположенный
.
Например
,
для
определителя
матрицы
3-
го
порядка
,
используя
его
определение
,
можно
доказать
,
что
det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= – det
33
31
23
23
21
22
13
11
12
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
4.
Определитель
матрицы
А
11
с
двумя
одинаковыми
столбцами
равен
нулю
.
Например
,
пусть
в
матрице
3-
го
порядка
одинаковы
два
первых
столбца
.
Тогда
det
33
31
31
23
21
21
13
11
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
Δ
.
Поменяв
местами
эти
столбцы
,
по
свойству
3
получим
det
33
31
31
23
21
21
13
11
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= –
Δ
.
Откуда
следует
,
что
Δ
= –
Δ
2
Δ
= 0
Δ
= 0.
5.
Общий
множитель
одного
столбца
определителя
матрицы
A
λ
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
можно
вынести
за
знак
определителя
.
Например
,
используя
свойство
1
можно
показать
,
что
detA
λ
= det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
λ
det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
λ
detA.
Следствие
.
Если
элементы
одного
столбца
матрицы
умножить
на
число
,
то
значение
определителя
этой
матрицы
увеличится
во
столько
же
раз
.
6.
Определитель
матрицы
,
у
которой
элементы
двух
столбцов
пропорциональны
,
равен
нулю
.
Например
,
пусть
в
матрице
3-
го
порядка
элементы
первых
двух
столбцов
пропорциональны
,
т
.
е
.
λ
=
а
11
/a
12
= a
21
/a
22
= a
31
/a
32
.
Тогда
а
11
=
λ
a
12
, a
21
=
λ
a
22
,
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
12
a
31
=
λ
a
32
.
Следовательно
, det A
λ
=
λ
detA
11
=
λ
0=0.
7.
Если
каждый
элемент
одного
столбца
матрицы
есть
сумма
2-
х
некоторых
элементов
,
то
определитель
такой
матрицы
может
быть
представлен
как
сумма
определителей
двух
матриц
.
Например
,
если
у
определителя
матрицы
3-
го
порядка
элементы
первого
столбца
равны
сумме
двух
элементов
,
то
,
разложив
этот
определитель
по
первому
столбцу
,
используя
свойство
1,
получим
det
33
32
31
31
23
22
21
21
13
12
11
11
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
= det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ det
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
b
a
a
b
a
a
b
.
8.
Значение
определителя
матрицы
не
изменится
,
если
к
элементам
некоторого
столбца
матрицы
прибавить
элементы
другого
столбца
,
умноженные
на
одно
и
то
же
число
.
▲
После
замены
элементов
столбца
исходной
матрицы
суммой
элементов
этого
столбца
и
элементов
другого
столбца
,
умноженных
на
некоторое
число
,
определитель
такой
матрицы
по
свойству
7
можно
представить
в
виде
суммы
двух
определителей
,
один
из
которых
равен
нулю
,
так
как
имеет
два
одинаковых
столбца
,
а
другой
равен
определителю
исходной
матрицы
.
■
9.
Если
один
из
столбцов
матрицы
является
линейной
комбинацией
некоторых
других
столбцов
этой
матрицы
,
то
определитель
такой
матрицы
равен
нулю
.
Например
,
элементы
3-
го
столбца
исходной
матрицы
3-
го
порядка
являются
линейной
комбинацией
элементов
первых
двух
столбцов
той
же
матрицы
,
т
.
е
. a
i3
=
λ
1
a
i1
+
λ
2
a
i2
, i=1,2,3.
Тогда
определитель
исходной
матрицы
по
свойству
7
представим
в
виде
суммы
определителей
двух
матриц
,
которые
равны
нулю
,
так
как
имеют
одинаковые
столбцы
после
вынесения
общего
множителя
за
знак
определителя
.
Следовательно
,
определитель
исходной
матрицы
равен
нулю
.
10.
Определитель
матрицы
,
у
которой
каждый
элемент
некоторого
столбца
равен
нулю
,
будет
равен
нулю
.
▲
Используя
свойство
1,
разложить
определитель
матрицы
по
столбцу
,
каждый
элемент
которого
равен
нулю
.
■
Ответьте
на
вопросы
1.
Каждая
ли
матрица
имеет
определитель
?
2.
Как
вычислить
определитель
матрицы
2-
го
и
3-
го
порядка
?
3.
Как
вычислить
минор
элемента
a
ij
матрицы
n-
го
порядка
?
4.
Как
вычислить
алгебраическое
дополнение
элемента
a
ij
матрицы
n-
го
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
13
порядка
?
5.
Перечислите
основные
свойства
определителя
матрицы
.
6.
Как
вычисляется
определитель
матрицы
,
порядок
которой
больше
3-
х
?
7.
Изменится
ли
величина
определителя
матрицы
,
если
в
матрице
заменить
строки
столбцами
?
8.
Изменится
ли
величина
определителя
матрицы
,
если
в
матрице
поменять
местами
две
строки
?
9.
Как
изменится
величина
определителя
матрицы
,
если
матрицу
умножить
на
число
,
не
равное
нулю
?
10.
Перечислите
виды
матриц
,
определители
которых
равны
нулю
.
Решите
самостоятельно
1.
Вычислите
определители
следующих
матриц
:
4
6
3
2
,
2
3
5
4
,
b
b
b
b
0
0
0
1
1
,
a
a
n
a
n
a
a
m
a
m
a
a
a
2
,
12
9
8
4
3
2
7
6
5
,
4
13
21
2
4
6
1
3
5
,
3
1
2
0
2
0
1
1
1
1
0
2
0
2
1
3
,
6
4
3
4
4
3
2
1
5
4
3
2
4
4
2
2
.
2.
Решить
уравнения
:
det
1
1
1
2
3
4
9
2
х
х
= 0 ; det
5
2
2
1
2
20
16
1
2
х
х
= 0 .
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
14
1.3.
Системы
линейных
уравнений
Пусть
дана
система
из
m
линейных
уравнений
с
n
неизвестными
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+…+ a
1j
x
j
+…+ a
1n
x
n
= b
1,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+…+ a
2j
x
j
+…+ a
2n
x
n
= b
2
,
………………………………………….,
(1)
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+…+ a
ij
x
j
+….+ a
in
x
n
= b
i
,
………………………………………….,
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+…+a
mj
x
j
+…+ a
mn
x
n
= b
m
.
где
x
j
–
неизвестное
,
j = 1, 2, …, n;
a
ij
–
коэффициент
при
j-
м
неизвестном
в
i-
м
уравнении
i = 1, 2, …, m;
b
i
–
свободный
член
i-
го
уравнения
.
Обозначим
матрицу
условий
,
вектор
неизвестных
и
вектор
свободных
членов
системы
линейных
уравнений
(
далее
кратко
СЛУ
)
соответственно
:
x
1
b
1
=
А
, ... =X, . .. = B.
x
n
b
m
Тогда
матричная
форма
записи
СЛУ
(1)
будет
иметь
вид
АХ
=
В
.
Если
обозначить
А
1
= (
а
11
, … ,
а
1n
), … ,
А
m
= (
а
m1
, … , a
mn
),
то
векторная
форма
записи
СЛУ
(1)
имеет
вид
А
1
Х
= b
1
,
……..
А
m
X = b
m
а
11
a
1n
Если
же
… =A
1
, … , …. = A
n
,
то
A
1
x
1
+ A
2
x
2
+ … + A
n
x
n
= B.
а
m1
a
mn
Определение
.
Решением
СЛУ
(1)
называется
такой
набор
из
n
чисел
{k
1
,
… , k
n
},
или
такой
n-
мерный
вектор
К
= ( k
1
, … , k
n
),
что
каждое
уравнение
СЛУ
(1)
обращается
в
верное
числовое
равенство
после
замены
в
нем
неизвестных
x
j
соответствующими
числами
k
j
,
где
j = 1, 2, …, n.
Определение
.
Если
СЛУ
(1)
не
имеет
ни
одного
решения
,
то
она
называется
несовместной
.
Определение
.
Если
СЛУ
(1)
обладает
хотя
бы
одним
решением
,
то
она
называется
совместной
.
Определение
.
Совместная
СЛУ
называется
определенной
,
если
она
обладает
одним
единственным
решением
,
и
неопределенной
,
если
решений
более
,
чем
одно
.
Определение
.
Две
СЛУ
называются
равносильными
,
если
они
имеют
одни
и
те
же
решения
.
a
11
. . .
a
1n
. . . .
.
a
m1
. . .
a
mn
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
15
Определение
.
Если
в
i-
м
уравнении
коэффициенты
при
всех
неизвестных
и
свободный
член
равны
нулю
,
т
.
е
.
а
i1
=
а
i2
= …. =
а
in
= b
i
= 0,
то
любой
n-
мерный
вектор
является
решением
этого
уравнения
,
поэтому
такое
уравнение
называется
тривиальным
.
Определение
.
Если
в
i-
м
уравнении
коэффициенты
при
всех
неизвестных
равны
нулю
,
т
.
е
.
а
i1
=
а
i2
= …. =
а
in
= 0,
а
свободный
член
не
равен
нулю
,
т
.
е
. b
i
≠
0,
то
не
возможно
найти
n-
мерный
вектор
,
который
является
решением
этого
уравнения
,
поэтому
такое
уравнение
называется
противоречивым
.
Теорема
.
Система
линейных
уравнений
,
содержащая
тривиальное
уравнение
,
равносильна
той
же
системе
без
тривиального
уравнения
.
▲
Рассмотрим
систему
линейных
уравнений
(1)
и
ту
же
систему
(2),
но
без
тривиального
уравнения
.
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+…+ a
1j
x
j
+…+ a
1n
x
n
= b
1,
……………………………………… (2)
(1) a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+…+a
mj
x
j
+…+ a
mn
x
n
= b
m
.
0 x
1
+ 0 x
2
+ … + 0 x
j
+….+ 0 x
n
= 0,
Пусть
вектор
К
= (k
1
, … , k
n
)
является
решением
системы
(1),
тогда
этот
вектор
является
и
решением
системы
(2).
Обратно
,
пусть
вектор
L = (
ℓ
1
, … ,
ℓ
n
)
является
решением
системы
(2).
Так
как
n-
мерный
вектор
L
является
и
решением
тривиального
уравнения
,
то
он
является
решением
системы
(1).
Таким
образом
система
линейных
уравнений
,
содержащая
тривиальное
уравнение
,
равносильна
этой
же
системе
без
тривиального
уравнения
.
■
Следствие
.
При
решении
систем
линейных
уравнений
тривиальное
уравнение
можно
не
рассматривать
(
вычеркивать
).
Определение
.
Неизвестное
х
j
называется
разрешенным
,
если
в
системе
линейных
уравнений
(1)
существует
s-
е
уравнение
,
содержащее
это
неизвестное
с
коэффициентом
а
sj
=1,
а
в
остальных
уравнениях
системы
(1)
коэффициенты
при
этом
неизвестном
равны
нулю
,
т
.
е
.
а
ij
=0
при
i
≠
s.
Пример
. x
1
+2x
4
–2x
5
– x
6
= 3
(*) x
2
+3x
4
–x
5
+x
7
= 5,
x
3
+x
4
–15x
5
– 4x
6
= –2.
где
x
1
,
x
2
, x
3
, x
7
–
разрешенные
неизвестные
.
Определение
.
Система
линейных
уравнений
называется
разрешенной
,
если
каждое
уравнение
системы
содержит
хотя
бы
одно
разрешенное
неизвестное
.
Пример
.
Система
(*)
является
разрешенной
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.