Файл: Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2021

Просмотров: 1126

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

11

det  A = det A

T

Доказательство

 

можно

 

провести

 

для

 

определителя

 3-

го

 

порядка

  

используя

 

его

 

определение

 

или

 

свойство

 1. 

Замечание

Из

 

свойства

 2 

следует

что

 

столбцы

 

и

 

строки

 

определителя

 

матрицы

 

равносильны

Поэтому

 

последующие

 

свойства

 

определителей

 

будем

 

формулировать

 

только

 

для

 

столбцов

3.

 

Если

 

поменять

 

местами

 

два

 

столбца

 

матрицы

то

 

абсолютная

 

величина

 

определителя

 

матрицы

   

не

 

изменится

а

 

знак

 

изменится

 

на

 

противоположенный

.  

Например

для

 

определителя

 

матрицы

 3-

го

 

порядка

 , 

используя

 

его

 

определение

можно

 

доказать

что

 

det   

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

  =  – det  

33

31

23

23

21

22

13

11

12

a

a

a

a

a

a

a

a

a

4.

 

Определитель

 

матрицы

 

А

11

 

с

 

двумя

 

одинаковыми

 

столбцами

 

равен

 

нулю

Например

пусть

 

в

 

матрице

 3-

го

 

порядка

 

одинаковы

 

два

 

первых

 

столбца

Тогда

 

det  

33

31

31

23

21

21

13

11

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

  = 

Δ

Поменяв

 

местами

 

эти

 

столбцы

по

 

свойству

 3 

получим

  

det  

33

31

31

23

21

21

13

11

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 = –

Δ

Откуда

 

следует

что

    

Δ

 = – 

Δ

  

 2

Δ

 = 0  

 

Δ

 = 0. 

5.

 

Общий

 

множитель

 

одного

 

столбца

 

определителя

  

матрицы

  

A

λ

 

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

можно

 

вынести

 

за

 

знак

 

определителя

Например

используя

 

свойство

 1 

можно

 

показать

что

 detA

λ

 = det  

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

   

λ

det    

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 = 

λ

detA. 

Следствие

Если

 

элементы

 

одного

 

столбца

 

матрицы

 

умножить

 

на

 

число

то

 

значение

 

определителя

 

этой

 

матрицы

 

увеличится

 

во

 

столько

 

же

 

раз

6.

 

Определитель

 

матрицы

у

 

которой

 

элементы

 

двух

 

столбцов

 

пропорциональны

равен

 

нулю

Например

пусть

 

в

 

матрице

 3-

го

 

порядка

 

элементы

 

первых

 

двух

 

столбцов

 

пропорциональны

т

.

е

.  

λ

 = 

а

11

/a

12

 = a

21

/a

22

 = a

31

/a

32

.

Тогда

  

а

11

 = 

λ

a

12

 , a

21

 = 

λ

a

22

 , 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

12

a

31 

λ

a

32

Следовательно

, det A

λ

 = 

λ

 detA

11

  = 

λ

0=0. 

7.

 

Если

 

каждый

 

элемент

 

одного

 

столбца

 

матрицы

 

есть

 

сумма

 2-

х

 

некоторых

 

элементов

то

 

определитель

 

такой

 

матрицы

 

может

 

быть

 

представлен

   

как

 

сумма

 

определителей

 

двух

 

матриц

Например

если

 

у

 

определителя

 

матрицы

 3-

го

 

порядка

 

элементы

 

первого

 

столбца

 

равны

 

сумме

 

двух

 

элементов

то

разложив

   

этот

 

определитель

 

по

 

первому

 

столбцу

используя

 

свойство

 1, 

получим

  

det   

33

32

31

31

23

22

21

21

13

12

11

11

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

  =  det  

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 + det  

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

b

a

a

b

a

a

b

 . 

8.

 

Значение

 

определителя

 

матрицы

 

не

 

изменится

если

 

к

 

элементам

 

некоторого

 

столбца

 

матрицы

 

прибавить

 

элементы

 

другого

 

столбца

умноженные

 

на

 

одно

 

и

 

то

 

же

 

число

 

После

 

замены

 

элементов

 

столбца

 

исходной

 

матрицы

 

суммой

 

элементов

 

этого

 

столбца

 

и

 

элементов

 

другого

 

столбца

умноженных

 

на

 

некоторое

 

число

определитель

 

такой

 

матрицы

 

по

 

свойству

 7 

можно

 

представить

 

в

 

виде

 

суммы

 

двух

 

определителей

один

 

из

 

которых

 

равен

 

нулю

так

 

как

 

имеет

 

два

 

одинаковых

 

столбца

а

 

другой

  

равен

 

определителю

 

исходной

 

матрицы

.

 

9.

 

Если

 

один

 

из

 

столбцов

 

матрицы

 

является

 

линейной

 

комбинацией

 

некоторых

 

других

 

столбцов

 

этой

 

матрицы

то

  

определитель

 

такой

 

матрицы

 

равен

 

нулю

Например

элементы

 3-

го

 

столбца

 

исходной

 

матрицы

 3-

го

 

порядка

 

являются

 

линейной

 

комбинацией

 

элементов

 

первых

 

двух

 

столбцов

 

той

 

же

 

матрицы

т

.

е

. a

i3

 = 

λ

1

 a

i1

 + 

λ

2

 a

i2

, i=1,2,3. 

Тогда

 

определитель

 

исходной

 

матрицы

 

по

 

свойству

 7 

представим

 

в

 

виде

 

суммы

 

определителей

 

двух

 

матриц

которые

 

равны

 

нулю

так

 

как

 

имеют

 

одинаковые

 

столбцы

 

после

 

вынесения

 

общего

 

множителя

 

за

 

знак

 

определителя

Следовательно

определитель

 

исходной

 

матрицы

 

равен

 

нулю

.  

10.

 

Определитель

 

матрицы

у

 

которой

 

каждый

 

элемент

 

некоторого

 

столбца

 

равен

 

нулю

будет

 

равен

 

нулю

 

Используя

 

свойство

 1, 

разложить

 

определитель

 

матрицы

 

по

 

столбцу

каждый

 

элемент

 

которого

 

равен

 

нулю

.

 

 

Ответьте

 

на

 

вопросы

 

1.

 

Каждая

 

ли

 

матрица

 

имеет

 

определитель

2.

 

Как

 

вычислить

 

определитель

 

матрицы

 2-

го

 

и

 3-

го

 

порядка

3.

 

Как

 

вычислить

 

минор

 

элемента

  a

ij

 

матрицы

 n-

го

 

порядка

4.

 

Как

 

вычислить

 

алгебраическое

 

дополнение

 

элемента

    a

ij

 

матрицы

 n-

го

 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

13

порядка

5.

 

Перечислите

 

основные

 

свойства

 

определителя

 

матрицы

6.

 

Как

 

вычисляется

 

определитель

 

матрицы

порядок

 

которой

 

больше

 3-

х

7.

 

Изменится

 

ли

 

величина

 

определителя

 

матрицы

если

 

в

 

матрице

 

заменить

 

строки

 

столбцами

8.

 

Изменится

 

ли

 

величина

 

определителя

 

матрицы

если

 

в

 

матрице

 

поменять

 

местами

 

две

 

строки

9.

 

Как

 

изменится

 

величина

 

определителя

 

матрицы

если

 

матрицу

 

умножить

 

на

 

число

не

 

равное

 

нулю

10.

 

Перечислите

 

виды

 

матриц

определители

 

которых

 

равны

 

нулю

 

Решите

 

самостоятельно

 

1.

 

Вычислите

 

определители

 

следующих

 

матриц

 

4

6

3

2

 ,   

2

3

5

4

 ,   

b

b

b

b

0

0

0

1

1

,    

a

a

n

a

n

a

a

m

a

m

a

a

a

2

 ,    

12

9

8

4

3

2

7

6

5

 ,    

4

13

21

2

4

6

1

3

5

 ,   

 

3

1

2

0

2

0

1

1

1

1

0

2

0

2

1

3

  ,     

6

4

3

4

4

3

2

1

5

4

3

2

4

4

2

2

   . 

2.

 

Решить

 

уравнения

:  

det  

1

1

1

2

3

4

9

2

х

х

  = 0 ;    det 

5

2

2

1

2

20

16

1

2

х

х

  = 0 . 

 
 
 
 
 
 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

14

1.3.  

Системы

 

линейных

 

уравнений

 

Пусть

 

дана

 

система

 

из

  m  

линейных

  

уравнений

 

с

 n  

неизвестными

 

a

11

 x

1

 + a

12

 x

2

 +…+ a

1j

 x

j

 +…+ a

1n

 x

n

 = b

1,

                          

a

21

 x

1

 + a

22

 x

2

 +…+ a

2j

 x

j

 +…+ a

2n

 x

n

 = b

2

,          

 

………………………………………….,                                           

 

(1)

 

        a

i1

 x

1

 + a

i2

 x

2

 +…+ a

ij

 x

j

 +….+ a

in

 x

 = b

i

,     

………………………………………….,              
a

m1

 x

1

+ a

m2

 x

2

 +…+a

mj

x

j

 +…+ a

mn

x

n

 = b

m

.            

где

 

x

j

 – 

неизвестное

 j = 1, 2, …, n;  

a

ij

 – 

коэффициент

 

при

 j-

м

 

неизвестном

 

в

  

i-

м

 

уравнении

 i = 1, 2, …, m; 

b

i

 

– 

свободный

 

член

 

i-

го

 

уравнения

Обозначим

   

матрицу

 

условий

вектор

   

неизвестных

 

и

 

вектор

 

свободных

 

членов

 

системы

 

линейных

 

уравнений

 (

далее

 

кратко

 

СЛУ

соответственно

       x

1

                   b

А

,          ...     =X,        . ..   = B. 

       x

n

                   b

m

  

 

Тогда

 

матричная

 

форма

 

записи

 

СЛУ

 (1) 

будет

 

иметь

 

вид

 

АХ

 = 

В

Если

 

обозначить

 

А

1

 = (

а

11

, … , 

а

1n

), … , 

А

m

 = (

а

m1

, … , a

mn

), 

то

 

векторная

 

форма

 

записи

 

СЛУ

 (1) 

имеет

 

вид

   

                                     

А

1

Х

 = b

1

                                     ……..    
                                     

А

m

X = b

m

    

                

а

11

                    a

1n 

Если

 

же

   …  =A

1

, … ,  ….   = A

n

 ,  

то

  A

x

1

 + A

2

 x

2

 + … + A

n

 x

n

 = B. 

                

а

m1

                   a

mn

 

Определение

.

 

Решением

 

СЛУ

 (1) 

называется

 

такой

 

набор

 

из

 n 

чисел

 {k

1

… , k

n

}, 

или

 

такой

 n-

мерный

 

вектор

 

К

 = ( k

1

, … , k

n

 ), 

что

 

каждое

 

уравнение

 

СЛУ

 (1) 

обращается

 

в

 

верное

 

числовое

 

равенство

 

после

 

замены

 

в

 

нем

 

неизвестных

 x

j

 

соответствующими

 

числами

 k

j

где

 j = 1, 2, …, n.  

Определение

Если

 

СЛУ

 (1) 

не

 

имеет

 

ни

 

одного

 

решения

то

 

она

 

называется

 

несовместной

Определение

Если

 

СЛУ

 (1) 

обладает

 

хотя

 

бы

 

одним

 

решением

то

 

она

 

называется

 

совместной

Определение

Совместная

 

СЛУ

 

называется

 

определенной

если

 

она

 

обладает

 

одним

 

единственным

 

решением

и

 

неопределенной

если

 

решений

 

более

чем

 

одно

.   

Определение

Две

 

СЛУ

 

называются

 

равносильными

если

 

они

 

имеют

 

одни

 

и

 

те

 

же

 

решения

a

11 

. . . 

a

1n 

.  . . . 

a

m1 

. . . 

a

mn 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

15

Определение

.

   

Если

 

в

  i-

м

 

уравнении

 

коэффициенты

 

при

 

всех

 

неизвестных

 

и

 

свободный

 

член

 

равны

 

нулю

т

.

е

.  

а

i1

 = 

а

i2

 = …. = 

а

in

 = b

i

 = 0, 

то

 

любой

    n-

мерный

 

вектор

 

является

 

решением

 

этого

 

уравнения

поэтому

 

такое

 

уравнение

 

называется

 

тривиальным

.  

Определение

.

   

Если

 

в

  i-

м

 

уравнении

 

коэффициенты

 

при

 

всех

 

неизвестных

 

равны

 

нулю

т

.

е

.  

а

i1

 = 

а

i2

 = …. = 

а

in

 = 0, 

а

 

свободный

 

член

 

не

 

равен

 

нулю

т

.

е

. b

i

 

 0, 

то

 

не

 

возможно

 

найти

    n-

мерный

 

вектор

который

 

является

 

решением

 

этого

 

уравнения

поэтому

 

такое

 

уравнение

 

называется

 

противоречивым

.  

Теорема

Система

 

линейных

 

уравнений

содержащая

 

тривиальное

 

уравнение

равносильна

 

той

 

же

 

системе

 

без

 

тривиального

 

уравнения

.

  

  

Рассмотрим

 

систему

 

линейных

 

уравнений

 (1) 

и

 

ту

 

же

 

систему

 (2), 

но

 

без

 

тривиального

 

уравнения

a

11

 x

1

 + a

12

 x

2

 +…+ a

1j

 x

j

 +…+ a

1n

 x

n

 = b

1,

                       

………………………………………              (2)   

 

(1)          a

m1

 x

1

+ a

m2

 x

2

 +…+a

mj

x

j

 +…+ a

mn

x

n

 = b

m

.                

0 x

1

 + 0 x

2

 +  …   + 0 x

j

 +….+ 0 x

 = 0,    

Пусть

 

вектор

 

К

 = (k

1

, … , k

n

является

 

решением

 

системы

 (1), 

тогда

 

этот

 

вектор

 

является

 

и

 

решением

 

системы

 (2). 

Обратно

пусть

 

вектор

 L = ( 

1

, … , 

n

является

 

решением

 

системы

 (2). 

Так

 

как

  n-

мерный

  

вектор

 L 

является

  

и

 

решением

 

тривиального

 

уравнения

то

 

он

 

является

 

решением

 

системы

 (1). 

Таким

 

образом

 

система

 

линейных

 

уравнений

 , 

содержащая

 

тривиальное

 

уравнение

равносильна

 

этой

 

же

 

системе

 

без

 

тривиального

 

уравнения

.

 

Следствие

.

 

При

 

решении

 

систем

 

линейных

 

уравнений

 

тривиальное

 

уравнение

 

можно

 

не

 

рассматривать

 (

вычеркивать

). 

Определение

.

  

Неизвестное

  

х

j

 

называется

 

разрешенным

если

 

в

 

системе

 

линейных

 

уравнений

 (1) 

существует

 s-

е

 

уравнение

содержащее

 

это

 

неизвестное

 

с

 

коэффициентом

 

а

sj

 =1, 

а

 

в

 

остальных

 

уравнениях

 

системы

 (1) 

коэффициенты

 

при

 

этом

 

неизвестном

 

равны

 

нулю

т

.

е

а

ij 

=0 

при

  i 

 s. 

Пример

.    x

1

 +2x

4

 –2x

5

– x

6

  = 3

 

(*)       x

2

 +3x

4

 –x

5

 +x

7

  = 5,                

         x

3

 +x

4

 –15x

5

 – 4x

6

 = –2. 

где

    x

1

 

x

2

,  x

3

,  x

 –  

разрешенные

 

неизвестные

Определение

Система

 

линейных

 

уравнений

 

называется

 

разрешенной

если

 

каждое

 

уравнение

 

системы

 

содержит

 

хотя

 

бы

 

одно

 

разрешенное

 

неизвестное

Пример

.

 

Система

 (*) 

является

 

разрешенной

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.