ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 299
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Отметим немаловажное обстоятельство – структура последовательной
КФ не зависит от наличия кратных корней характеристического полинома. а) б) в)
Рис. 5.9.15. Реализации простых дробей I порядка а) , б)
W
при
( )
i
p
1,
i
; в)
W
при
m
=
p
( )
i
1,
i m
n
= +
Рис. 5.9.16. Граф последовательной КФ системы (5.9.25)
Матричное описание последовательной КФ рассмотрим на реализации двух крайних случаев: и
0
m
=
1
m n
= − . Пусть
0
m
= , тогда
0 0
1 1
1 0
1 2
n
n
n
n
W( p )
p
p
...
p
( p
)( p
)...( p
)
β
β
α
α
α
λ
λ
λ
−
−
=
=
+
+ +
+
−
−
−
. (5.9.26)
Реализация КФ будет представлять собой последовательное соединение апериодических звеньев I порядка, описываемое следующей системой уравнений
1 1 1 2
2 2 1
0 1
n
n
n n
n
x
x
U
x
x
x
Y
x
....................
x
x
x
λ
λ
β
λ
−
=
+
⎧
⎪ =
+
⎪
=
⎨
⎪
⎪ =
+
⎩
Матричная запись этой системы
d
AX
BU
Y CX
dt
=
+
=
характеризуется матрицами
177
1 2
3 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
T
n
...
....
A
...
,
B
,
C
... ... ... ... ... ...
...
...
...
0
λ
λ
λ
λ
β
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Если
, то
1
m n
= −
1 0
1 1
1 1
1 1
0 1
1
m
m
n
n
n
n
n
p
...
p
p
p
W( p )
...
p
p
...
p
p
p
p
β
β
β
µ
µ
n
n
β
α
α
α
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
+ +
+
−
−
=
=
+
+ +
+
−
−
−
Уравнения в пространстве состояний в общем случае имеют вид
1 1 1 2
2 2 1 1 3
3 3 1 1 2 2 1
1 1 2 2 1
1
i
i
n
n
n
n n
n
n
x
x
U
x
x
x
U
x
x
x
x
U
Y
x
..........................................
x
x
x
x
...
x
U
i
λ
λ
ν
ν
λ µ
λ
ν
ν
β
λ
ν
ν
ν
−
−
−
=
+
⎧
⎪ =
+
+
⎪
= −
⎪ =
+
+
+
⎨
=
⎪
⎪
=
+
+
+ +
+
⎪⎩
Матричная запись системы в этом случае характеризуется матрицами
1 1
2 1
2 3
1 2
3 1
1 0
0 ...
0 0
0 1
0 ...
0 0
0 1
0 0 ,
,
0 1
1
T
n
n
n
A
B
v
C
λ
ν
λ
ν ν
λ
ν
ν
ν
λ
β
−
−
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
. (5.9.27)
Таким образом, матрица A последовательной канонической формы при имеет треугольный вид, а при
1
m n
= −
0
m
=
– двухдиагональный.
Случаи
1
характеризуются промежуточной структурой матриц
1
m n
≤ ≤ −
A, B, C
. Наличие у передаточной функции комплексных нулей или полюсов усложняет структуру реализации последовательной канонической формы. В этом случае кроме блоков I порядка появляются и блоки II порядка с передаточными функциями одного из трех типов:
2 1
0 1
W( p )
p
p
α
α
=
+
+
,
2 1
0
i
p
W( p )
p
p
µ
α
α
−
=
+
+
,
2 1
0 2
1 0
p
p
W ( p )
p
p
β
β
α
α
+
+
=
+
+
178
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
6. Математические модели динамических систем в
форме проблемных матриц
Решение многих задач анализа и синтеза многосвязных систем сопряжено с целым рядом особенностей и трудностей, при разрешении которых традиционные подходы малоэффективны.
Одним из современных концепций решения подобных задач является формализация математических моделей линейных динамических систем, которая позволяла бы наиболее полно использовать достижения современной алгебры.
В новой концепции, называемой технологией вложения систем, таким формализованным представлением моделей систем являются матема- тические объекты в виде специфических матриц, называемых проблемными
матрицами, или, кратко, проматрицами. Проматрица в полной мере описывает структуру и свойства исследуемой линейной системы, и на ее основе можно ставить и решать различные задачи теории систем.
6.1. Математическая модель линейной системы в форме
проматрицы
Вначале рассмотрим задачу моделирования динамической системы.
Пусть такая система состоит из одной подсистемы – объекта управления.
Ставится задача описать ее структуру и свойства. Задача моделирования является среди прочих простейшей, в других случаях система будет состоять из нескольких подсистем.
Под задачей моделирования будем понимать представление заданной модели системы в такой форме, которая наиболее полно отражает все си- стемные свойства этой модели и которая удобна для использования существующих методов анализа динамических систем.
Рассмотрим динамическую систему в пространстве состояний, представленную в операторной форме:
0
( )
( )
( )
( ),
( )
( )
( ).
px p
Ax p
Bu p
x p
y p
Cx p
Du p
=
+
+
=
+
(6.1.1) где и
– изображения входного и выходного векторов;
,1
( )
s
u
p
,1
( )
m
y
p
,1
( )
s
u t
,1
( )
m
y
t
,1
( )
n
x
p – изображение вектора состояний
,1
( )
n
x t ;
0
x
– вектор
179
начальных условий; постоянные матрицы
,
n n
A ,
,
n s
B ,
,
,
m n
C
,
m s
D характеризуют динамические свойства системы.
В общем случае количество уравнений в формуле (6.1.1) не совпадает с числом фигурирующих в ней переменных. Это связано с наличием внешнего воздействия
,не зависящего от других переменных. Системная матрица
Розенброка, соответствующая (6.1.1), имеет размер
( )
u t
(
) (
)
n m
n s
+
× +
⎡
⎤
⎣
⎦ , т.е. является прямоугольной. Это обстоятельство создает большие затруднения при анализе такой системы с помощью методов, основанных на алгебраических процедурах вычисления определителей, собственных значе- ний и собственных векторов квадратных числовых матриц.
Для составления проматрицы дополним эту систему уравнением
(регуляризирующим тождеством, пополнением) вида
)
(
)
(
p
u
p
u
=
, (6.1.2) не влияющим на содержание задачи, представленной уравнениями (6.1.1).
Затем полученную систему уравнений
0
(
) ( )
( )
( )
( )
( ),
( )
( )
n
pI
A x p
Bu p
x
y p
Cx p
Du p
u p
u p
−
=
=
+
=
+
m
(6.1.3) запишем в блочно-матричном виде:
,
0
,1
,
,
0
( )
( )
0 0
0
( )
( )
n
n m
m
s n
s m
s
pI
A
B
x p
x
C
I
D
y p
I
u p
u p
⎡
⎤
−
−
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
(3.1.4)
Определение 6.1
.
Матрица-столбец, составленная из субвекторов,
представляющих собой вектор входных воздействий
, вектор выходных
реакций
и вектор внутренних переменных
( )
u p
( )
y p
( )
x p системы,
( )
( )
( )
( )
x p
Y p
y p
u p
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(6.1.5)
называется
обобщенным выходом системы
, а матрица-столбец,
составленная из субвекторов, представляющих собой вектор входных
воздействий
, вектор начальных условий
( )
u p
0
x
и нулевой вектор
,
,1 0
m
0
,1 0
( )
m
x
U p
u p
⎡
⎤
⎢
⎥ =
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
( ) (6.1.6)
180
,
n n
A ,
,
n s
B ,
,
,
m n
C
,
m s
D характеризуют динамические свойства системы.
В общем случае количество уравнений в формуле (6.1.1) не совпадает с числом фигурирующих в ней переменных. Это связано с наличием внешнего воздействия
,не зависящего от других переменных. Системная матрица
Розенброка, соответствующая (6.1.1), имеет размер
( )
u t
(
) (
)
n m
n s
+
× +
⎡
⎤
⎣
⎦ , т.е. является прямоугольной. Это обстоятельство создает большие затруднения при анализе такой системы с помощью методов, основанных на алгебраических процедурах вычисления определителей, собственных значе- ний и собственных векторов квадратных числовых матриц.
Для составления проматрицы дополним эту систему уравнением
(регуляризирующим тождеством, пополнением) вида
)
(
)
(
p
u
p
u
=
, (6.1.2) не влияющим на содержание задачи, представленной уравнениями (6.1.1).
Затем полученную систему уравнений
0
(
) ( )
( )
( )
( )
( ),
( )
( )
n
pI
A x p
Bu p
x
y p
Cx p
Du p
u p
u p
−
=
=
+
=
+
m
(6.1.3) запишем в блочно-матричном виде:
,
0
,1
,
,
0
( )
( )
0 0
0
( )
( )
n
n m
m
s n
s m
s
pI
A
B
x p
x
C
I
D
y p
I
u p
u p
⎡
⎤
−
−
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
(3.1.4)
Определение 6.1
.
Матрица-столбец, составленная из субвекторов,
представляющих собой вектор входных воздействий
, вектор выходных
реакций
и вектор внутренних переменных
( )
u p
( )
y p
( )
x p системы,
( )
( )
( )
( )
x p
Y p
y p
u p
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(6.1.5)
называется
обобщенным выходом системы
, а матрица-столбец,
составленная из субвекторов, представляющих собой вектор входных
воздействий
, вектор начальных условий
( )
u p
0
x
и нулевой вектор
,
,1 0
m
0
,1 0
( )
m
x
U p
u p
⎡
⎤
⎢
⎥ =
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
( ) (6.1.6)
180
называется
обобщенным входом системы
.
Очевидно, что последовательности субвекторов обобщенного выхода и обобщенного входа связаны с порядком следования уравнений
(6.1.3). При составлении уравнений типа (6.1.3) рекомендуется выбирать такую очередность уравнений модели (субвекторов обобщенного входа
)и слагаемых в уравнениях (субвекторов обобщенного выхода
)
системы, чтобы блочная матрица полиномиальных коэффициентов имела правильную структуру, при которой главная диагональ содержит только невырожденные блоки. Это существенно упростит дальнейшие исследования динамических систем.
( )
Y p
( )
U p
( )
U p
( )
Y p
Перепишем уравнение (6.1.4) в виде
( ) ( )
( )
p Y p
U p
Ω
=
. (6.1.7)
Определение 6.2.
Блочно-матричное уравнение (3.1.7), связывающее
обобщенный вход
и обобщенный выход
системы, называется
обобщенным уравнением линейной системы.
( )
U p
( )
Y p
Определение 6.3. Квадратная полиномиальная матрица
, которая
обобщенному выходу
ставит в соответствие обобщенный вход
системы по формуле (6.1.7), называется
проблемной матрицей
или,
кратко,
проматрицей
рассматриваемой системы в конкретной задаче.
( )
p
Ω
( )
Y p
( )
U p
Таким образом, в задаче моделирования в соответствии с формулой
(6.1.4) проматрица размера
(
) (
)
n m s
n m s
+ + ×
+ +
⎡
⎤
⎣
⎦ имеет вид
,
,
,
,
,
,
0
( )
0 0
n
n n
n m
n s
m n
m
m s
s n
s m
s
pI
A
B
p
C
I
D
I
,
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
Ω
=
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(6.1.8)
Определение 6.4.
Блочная матрица (6.1.8) называется проматрицей
моделирования для объекта, заданного в пространстве состояний
постоянными матрицами
A
, ,
C , .
B
D
Анализ обобщенного уравнения динамики линейной системы 6.1.7) и матриц (6.1.5), (6.1.6), (6.1.8) показывает следующее:
1)
структура обобщенных входов и выходов
(размещение субвекторов) однозначно связана со структурой проматрицы
( )
U p
( )
Y p
( )
p
Ω
(размещение и содержание блоков). Поэтому в большинстве случаев для полного представления структуры системы достаточно приводить только
181
проматрицу, что позволяет говорить о математической модели системы в форме проматрицы;
2)
проматрица обладает обобщающим характером, поскольку любой исследуемый элемент линейной динамической системы обязательно является элементом или составной частью элемента проматрицы;
3)
для каждой решаемой задачи проматрица
( )
p
Ω
будет иметь свое название, структуру и элементы, определяемые содержанием этой задачи;
4)
формулировка и решение каждой задачи сводится к разрешению про- матрицы относительно некоторых ее элементов (или нужной комбинации этих элементов с другими).
Общие свойства проматрицы
:
1.
Квадратность.
2.
Невырожденность
Эти свойства квадратности и невырожденности (т.е.
0
)
(
det
≠
Ω p
) обеспечивают проматрице любой задачи двустороннюю обратимость, так что обратная к ней матрица всегда единственна. В основе этого важнейшего свойства проматриц лежит введенное дополнительное регуляризирующее тождество (6.1.2).
3.
Автономность
, т.е. все уравнения (коэффициенты исходных уравнений) представлены в проматрице самостоятельными строками- уравнениями.
4.
Разреженность,
т.е. большое количество нулевых элементов проматрицы, что может значительно облегчить выполнение вычислительных процедур.
5.
Универсальность
– применимость для любой формы модели, т.е. в любой задаче исследуемую или синтезируемую систему можно представить в форме обобщенного уравнения (6.1.8) и, следовательно, соответствующей проматрицы.
Продемонстрируем последнее свойство на примере все той же задачи моделирования, но с другими представлениями модели системы.
Пусть имеется запись системы в форме левой факторизации
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
p
y
p
u
p
B
p
y
p
A
L
L
+
=
Дополним ее формальным регуляризирующим тождеством
)
(
)
(
p
u
p
u
=
182
2)
проматрица обладает обобщающим характером, поскольку любой исследуемый элемент линейной динамической системы обязательно является элементом или составной частью элемента проматрицы;
3)
для каждой решаемой задачи проматрица
( )
p
Ω
будет иметь свое название, структуру и элементы, определяемые содержанием этой задачи;
4)
формулировка и решение каждой задачи сводится к разрешению про- матрицы относительно некоторых ее элементов (или нужной комбинации этих элементов с другими).
Общие свойства проматрицы
:
1.
Квадратность.
2.
Невырожденность
Эти свойства квадратности и невырожденности (т.е.
0
)
(
det
≠
Ω p
) обеспечивают проматрице любой задачи двустороннюю обратимость, так что обратная к ней матрица всегда единственна. В основе этого важнейшего свойства проматриц лежит введенное дополнительное регуляризирующее тождество (6.1.2).
3.
Автономность
, т.е. все уравнения (коэффициенты исходных уравнений) представлены в проматрице самостоятельными строками- уравнениями.
4.
Разреженность,
т.е. большое количество нулевых элементов проматрицы, что может значительно облегчить выполнение вычислительных процедур.
5.
Универсальность
– применимость для любой формы модели, т.е. в любой задаче исследуемую или синтезируемую систему можно представить в форме обобщенного уравнения (6.1.8) и, следовательно, соответствующей проматрицы.
Продемонстрируем последнее свойство на примере все той же задачи моделирования, но с другими представлениями модели системы.
Пусть имеется запись системы в форме левой факторизации
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
p
y
p
u
p
B
p
y
p
A
L
L
+
=
Дополним ее формальным регуляризирующим тождеством
)
(
)
(
p
u
p
u
=
182
Объединяя уравнения, получаем
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
p
U
p
Y
p
S
L
L
p
u
p
y
p
u
p
y
I
p
B
p
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
Ω
(6.1.9) уравнение с проматрицей для левой факторизации.
Определение 6.5. Блочная матрица
( )
( )
( )
0
L
L
S
A p
B p
p
I
−
⎡
⎤
Ω
= ⎢
⎥
⎣
⎦
(6.1.10)
называется
проматрицей задачи моделирования
для объекта, заданного в
форме левой факторизации парой полиномиальных матриц (
( )
L
A p
,
).
( )
L
B p
Аналогично для случая правой факторизации можно получить
0
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
R
R
A p v p
u p
v p
y p
B p v p
=
+
=
(6.1.11)
Допишем к формуле (6.1.11) регуляризирующее тождество (6.1.2) и запишем полученную систему в виде обобщенного уравнения линейной системы
,
0
,
,
,
,
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0 0
0
( )
(
R
s m
s
R
m
m s
m
s s
s m
s
1
)
A p
I
v p
v
B p
I
y p
p
I
u p
u p
⎡
⎤
−
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
, где матрица определяется тождеством
( )
p
Ω
,
,
,
,
( )
0
( )
( )
0 0
0
R
s m
s
R
m
m s
s s
s m
s
A p
I
p
B p
I
I
⎡
⎤
−
⎢
⎥
Ω
= −
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
. (6.1.12)
Определение 6.6. Блочная матрица (3.1.12) называется
проматрицей
задачи моделирования
для объекта, заданного в форме правой
факторизации парой полиномиальных матриц (
( )
R
A p
,
).
( )
R
B p
При нулевых начальных условиях
0
( ) 0
v p
=
систему (6.1.12) можно представить матричным уравнением
,
,1
( )
( )
0
( )
0
( )
( )
R
s m
m
R
m
u p
A p
v p
B p
I
y p
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Здесь матрица полиномиальных коэффициентов всегда обратима в силу обратимости по определению матричного знаменателя
( )
R
A p
. Поэтому даже
183
без регуляризирующего тождества (6.1.2) это уравнение можно рассматривать как обобщенное уравнение динамики системы. В этом случае проматрица моделирования системы (6.1.11) будет определяться тождеством
,
( )
0
( )
( )
R
s
R
m
A p
p
m
B p
I
⎡
⎤
′
Ω
= ⎢−
⎣
⎦
⎥ . (3.1.13)
Проматрица (6.1.13) является наиболее компактным вариантом представления динамических систем, модели которых записаны в форме правой факторизации (но с нулевыми начальными условиями).
6.2. Проматрицы типовых соединений систем
Достаточно часто динамическую систему удается представить как совокупность подсистем, объединенных по некоторым правилам. Рассмот- рим составные многосвязные темы, возникающие в результате типового соединения двух динамических подсистем. Математические модели подсистем могут быть различными по форме, но наиболее компактные записи получаются в случае использования операторных уравнений в форме левой факторизации
0 1
1 1
1 1
0 2
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
A p y p
B p u p
y p
A p y p
B p u p
y p
=
+
=
+
. (6.2.1)
Количество входов
1
s
,
2
s
и выходов
, обеих подсистем должны быть согласованы в соответствии с каждым типом их соединения.
1
m
2
m
Параллельное соединение (рис.6.2.1). Для параллельного соединения подсистем (6.2.1) характерно совпадение количества входов и количества выходов, т.е.
1 2
s
s
=
и
Рис.6.2.1. Структура параллельного соединения двух подсистем
В этом случае уравнения взаимо зи между подсистемами можно запи
1 2
m
m
=
свя сать следующим образом:
184
,
( )
0
( )
( )
R
s
R
m
A p
p
m
B p
I
⎡
⎤
′
Ω
= ⎢−
⎣
⎦
⎥ . (3.1.13)
Проматрица (6.1.13) является наиболее компактным вариантом представления динамических систем, модели которых записаны в форме правой факторизации (но с нулевыми начальными условиями).
6.2. Проматрицы типовых соединений систем
Достаточно часто динамическую систему удается представить как совокупность подсистем, объединенных по некоторым правилам. Рассмот- рим составные многосвязные темы, возникающие в результате типового соединения двух динамических подсистем. Математические модели подсистем могут быть различными по форме, но наиболее компактные записи получаются в случае использования операторных уравнений в форме левой факторизации
0 1
1 1
1 1
0 2
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
A p y p
B p u p
y p
A p y p
B p u p
y p
=
+
=
+
. (6.2.1)
Количество входов
1
s
,
2
s
и выходов
, обеих подсистем должны быть согласованы в соответствии с каждым типом их соединения.
1
m
2
m
Параллельное соединение (рис.6.2.1). Для параллельного соединения подсистем (6.2.1) характерно совпадение количества входов и количества выходов, т.е.
1 2
s
s
=
и
Рис.6.2.1. Структура параллельного соединения двух подсистем
В этом случае уравнения взаимо зи между подсистемами можно запи
1 2
m
m
=
свя сать следующим образом:
184