Файл: Математический анализ.pdf

1
, . . . , x n
} для любого n.
2 1.7.3. Предельный переход и арифметические операции.
Определение 1.7.9. Если {x n
}, {y n
} — две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным называются последовательности
{x n
+ y n
}, {x n
· y n
},

x n
y n

(отношение определено, если y
n
6= 0).
Теорема 1.7.2. Пусть {x n
}, {y n
} — две числовые последовательности. Если lim x n
= A, lim y n
= B, то a) lim (x n
+ y n
) = A + B;
b) lim x n
· y n
= A · B;
c) lim x
n y
n
=
A
B
,
B 6= 0, y n
6= 0.
Доказательство теоремы предоставляется читателю.
1.7.4. Предельный переход и неравенства.
Теорема 1.7.3. Пусть {x n
}, {y n
} — две сходящиеся последовательности, при- чем lim n→∞
x n
= A, lim n→∞
y n
= B.
Если A < B, то существует такой номер N ∈ N, что для любых n > N выполня- ется неравенство x n
< y n
Доказательство. Возьмем число C, такое что A < C < B (см. свойство I
3
дей- ствительных чисел.) По определению предела найдем числа N
′
и N
′′
так, чтобы при любом n > N
′
было выполнено |x n
− A| < C − A и при любом n > N
′′
также выпол- нялось |y n
− B| < B − C. Тогда при n > N = max {N
′
, N
′′
} получим x
n
< A + (C − A) = C < B − (B − C) < y n
. 2
Теорема 1.7.4 (о зажатой последовательности). Пусть последовательности
{x n
}, {y n
}, {z n
} таковы, что при любом n > N ∈ N имеет место соотношение x
n
6
y n
6
z n
. Если при этом последовательности {x n
}, {z n
} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {y n
} также сходится к этому пределу.
Доказательство. Пусть lim n→∞
x n
= lim n→∞
z n
= A. Для ε > 0 найдем числа N
′
и N
′′
так, чтобы при любом n > N
′
иметь A − ε < x n
и при любом n > N
′′
выполнялось z
n
< A + ε.
Тогда при n > N = max{N
′
, N
′′
} получим
A − ε < x n
6
y n
6
z n
< A + ε
или |y n
− A| < ε, т.е. lim n→∞
y n
= A.
2
Эту теорему иногда называют "правилом двух милиционеров".
Следствие 1.7.1. Пусть lim n→∞
x n
= A и lim n→∞
y n
= B. Если существует номер N
такой, что при любом n > N :
a) x n
> y n
, то A > B;
b) x n
>
y n
, то A > B;
c) x n
> B, то A > B;
d) x n
>
B, то A > B.
– 24 –

---

---

---

---

1
∈ N так, что |x n
1
− x| < 1;
n
2
∈ N (n
1
< n
2
) так, что |x n
2
− x| <
1 2
; . . . ; n k
∈ N
(n k−1
< n k
) так, что |x n
k
− x| <
1
k
; . . . Ясно, что lim k→∞
x n
k
= x.
2
Определение 1.9.2. Будем писать x
n
→ +∞

lim n→∞
x n
= +∞

и говорить, что последовательность {x n
} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа c найдется номер N ∈ N, такой что x n
> c при любом n > N .
Аналогично даются определения для случая x n
→ −∞, x n
→ ∞.
Последовательность {2
n
} стремится к +∞, последовательность {−2
n
} стремится к −∞, последовательность {(−2)
n
} стремится к ∞. Последовательность {n
(−1)
n
} не стремится ни к +∞, ни к −∞, ни просто к бесконечности, но является неограничен- ной.
1.9.2. Верхний и нижний пределы. Пусть задана последовательность {x k
}.
Построим новую последовательность {a n
}, a n
= inf k>n x
k
, предполагая, что {x k
} огра- ничена снизу. Ясно, что {a n
} возрастает и, следовательно, lim n→∞
a n
есть либо конечное число, либо символ +∞.
Определение 1.9.3. Число l (или символ +∞) называется нижним пределом последовательности {x k
}, если l = lim n→∞
a n
= lim n→∞
inf k>n x
k

или lim n→∞
a n
= +∞

Для последовательности {x k
}, неограниченной снизу, полагаем, что нижний пре- дел равен −∞. Нижний предел обозначается символом lim k→∞
x k
– 31 –

---