Файл: Математический анализ.pdf

Данное преобразование можно записать в матричной форме
X = QY,
(11.17.3)
если через Y обозначить вектор-столбец из неизвестных y
1
, y
2
, . . . , y n
Подставляя (11.17.3) в (11.17.2), получим f = Y
′
(Q
′
AQ)Y = Y
′
BY,
где
B = Q
′
AQ.
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 11.17.1. Квадратичная форма от n неизвестных, имеющая матрицу
A, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей Q пре- вращается в квадратичную форму от новых неизвестных, причем матрицей этой формы служит произведение Q
′
AQ.
Если выполняется невырожденное преобразование, то матрица Q — невырожде- на, поэтому ранг квадратичной формы f после выполнения невырожденного преоб- разования не меняется.
11.17.2. Приведение к каноническому виду. Займемся задачей о приведе- нии квадратичной формы f линейным преобразованием к сумме квадратов новых неизвестных, т.е. к виду, когда коэффициенты при произведениях различных неиз- вестных становятся равными 0. Такой вид квадратичной формы называется канони- ческим.
Предположим, что квадратичная форма f уже приведена невырожденным ли- нейным преобразованием к виду f = b
1
y
2 1
+ b
2
y
2 2
+ . . . + b n
y
2
n
,
(11.17.4)
где y
1
, y
2
, . . . , y n
— новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов b i
могут рав- няться нулю. Заметим, что число коэффициентов b i
, отличных от нуля, равно рангу квадратичной формы и, следовательно, не зависит от способа выбора линейного пре- образования.
Теорема 11.17.2. Всякая квадратичная форма f может быть приведена неко- торым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду (11.17.4).
Если при этом рассматривалась действительная квадратичная форма, то данное линейное преобразование можно выбрать с действительными коэффициентами.
Доказательство. Эта теорема, очевидно, верна для квадратичных форм от од- ного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид a
11
x
2 1
,
являющийся каноническим. Следовательно, можно вести доказательство индукци- ей по числу неизвестных. Будем доказывать теорему для квадратичных форм от n неизвестных, предполагая ее уже доказанной для квадратичных форм от меньшего числа неизвестных.
Пусть дана квадратичная форма f =
n
X
i,j=1
a ij x
i x
j
– 442 –

Найдем невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из f квад- рат одного из неизвестных. Этой цели легко достичь, если среди коэффициентов a
11
, a
22
, . . . , a nn есть отличные от нуля.
Пусть, например, a
11 6= 0. Тогда, как легко проверить, выражение
1
a
11
(a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n x
n
)
2
будет квадратичной формой, содержащей такие же члены с неизвестным x
1
, как и наша форма f. А разность f −
1
a
11
(a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n x
n
)
2
= g является квадратичной формой, содержащей лишь неизвестные x
2
, x
3
, . . . , x n
. Отсю- да f =
1
a
11
(a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n x
n
)
2
+ g.
Если мы введем обозначения y
1
= a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n x
n
,
y i
= x i
, i = 2, 3, . . . , n,
то получим f =
1
a
11
y
2 1
+ g,
где g — квадратичная форма от неизвестных y
2
, y
3
, . . . , y n
. Данное выражение являет- ся искомым, поскольку оно получено из формы f невырожденным преобразованием неизвестных.
Если же все коэффициенты a ii
= 0, то предварительно нужно совершить вспомо- гательное линейное преобразование, приводящее к появлению в нашей форме квад- ратов переменных. Например, если a
12 6= 0, то можно совершить невырожденное преобразование x
1
= z
1
− z
2
, x
2
= z
1
+ z
2
, x i
= z i
, i = 3, 4, . . . , n.
Таким образом, шаг индукции сделан, и теорема доказана.
2
Метод доказательства данной теоремы носит название метода Лагранжа выде- ления полного квадрата. Этот метод вполне конструктивен.
Пример 11.17.1. Привести к каноническому виду квадратичную форму f = 2x
1
x
2
− 6x
2
x
3
+ 2x
3
x
1
Решение. Из-за отсутствия квадратов сделаем линейное преобразование x
1
= y
1
− y
2
, x
2
= y
1
+ y
2
, x
3
= y
3
,
после чего получим f = 2y
2 1
− 2y
2 2
− 4y
1
y
3
− 8y
2
y
3
Выделяем квадрат от одного неизвестного, полагая z
1
= 2y
1
− 2y
3
, z
2
= y
2
, z
3
= y
3
Имеем f =
1 2
z
2 1
− 2z
2 2
− 2z
2 3
− 8z
3
z
3
Применим этот способ еще раз, выполняя преобразование t
1
= z
1
, t
2
= −2z
2
− 4z
3
, t
3
= z
3
– 443 –

Получаем f =
1 2
t
2 1
−
1 2
t
2 2
+ 6t
2 3
Взяв теперь произведение всех этих линейных преобразований, имеем x
1
=
1 2
t
1
+
1 2
t
2
+ 3t
3
, x
2
=
1 2
t
1
−
1 2
t
2
− t
3
, x
3
= t
3
Канонический вид, к которому приводится квадратичная форма, конечно, не яв- ляется однозначным. Мы уже отмечали, что число квадратов переменных в канони- ческом виде (11.17.4), отличных от нуля, равно рангу этой формы и, следовательно,
не зависит от способа приведения формы к сумме квадратов.
11.17.3. Приведение к нормальному виду. Для комплексных квадратичных форм ничего больше сказать нельзя, поскольку невырожденным преобразованием можно ее привести к нормальному виду, т.е. к виду f = z
2 1
+ z
2 2
+ . . . + z
2
r
,
(11.17.5)
где r — ранг квадратичной формы.
Положение становится более сложным в действительном случае, если допускать преобразования лишь с действительными коэффициентами. Уже не всякую квадра- тичную форму можно привести к виду (11.17.5), так как это могло бы потребовать извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Определение 11.17.3. Назовем нормальным видом действительной квадра- тичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1
или −1.
Теорема 11.17.2 показывает, что всякую действительную квадратичную форму невырожденным действительным линейным преобразованием можно привести к нор- мальному виду.
Теорема 11.17.3 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде действительной квадратич- ной формы не зависит от способа приведения ее к этому виду.
Определение 11.17.4. Число положительных квадратов в нормальном виде действительной квадратичной формы называется положительным индексом инер- ции этой формы, число отрицательных квадратов — отрицательным индексом инерции, а разность между ними — сигнатурой квадратичной формы.
Следствие 11.17.1. Две действительных квадратичных формы от n неизвест- ных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденным действитель- ным линейным преобразованием, когда эти формы имеют одинаковые ранги и оди- наковые сигнатуры.
11.17.4. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий
Сильвестра. Дадим следующее определение.
Определение 11.17.5. Квадратичная действительная форма f от n неизвест- ных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов, другими словами, ее ранг и по- ложительный индекс инерции равны числу неизвестных.
– 444 –

Теорема 11.17.4. Действительная квадратичная форма f положительно опре- делена тогда и только тогда, когда для любых действительных значений неизвест- ных, хотя бы одно из которых отлично от 0, ее значение положительно.
Эта теорема, по сути, не дает критерия того, является ли данная форма положи- тельно определенной. Дадим такой критерий.
Рассмотрим квадратную матрицу A вида
A =




a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn



 .
Определение 11.17.6. Выражения
∆
1
= a
11
, ∆
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
, . . . ,
∆
k
=
a
11
a
12
. . . a
1k a
21
a
22
. . . a
2k a
k1
a k2
. . . a kk
, . . . , ∆
n
=
a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn называются главными минорами матрицы A.
Теорема 11.17.5 (критерий Сильвестра). Квадратичная действительная фор- ма f от n неизвестных положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой квадратичной формы положительны.
Доказательство. При n = 1 теорема верна, так как форма в этом случае име- ет вид ax
2 1
и ее положительная определенность эквивалентна положительности ко- эффициента a. Далее теорему будем доказывать индукцией по числу переменных.
Предположим, что для квадратичных форм от n − 1 неизвестных теорема доказана.
Докажем ее для форм от n неизвестных.
Сделаем следующее замечание.
Если квадратичная форма f с матрицей A подвергается невырожденному линей- ному преобразованию с действительной матрицей Q, то знак определителя формы
(т.е. знак определителя матрицы A) не меняется.
Действительно, после преобразования получаем квадратичную форму с матрицей

Пусть форма f положительно определена. Форма g также будет положительно определенной, так как она получается из f подстановкой x n
= 0. Поэтому по индук- тивному предположению все главные миноры формы g положительны, так что и все главные миноры формы f, кроме последнего, также положительны. Положитель- ность последнего минора ∆
n формы f вытекает из следующего соображения: форма f невырожденным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов. Тогда определитель полученной формы положителен.
Следовательно, положителен и определитель формы f, т.е. ∆
n
> 0.
Пусть теперь строго положительны все главные миноры формы f. Отсюда вы- текает, что все главные миноры формы g также положительны, и по индуктивному предположению она положительно определена. Поэтому существует невырожденное преобразование неизвестных x
1
, x
2
, . . . , x n−1
, которое приводит форму g к сумме n−1
положительного квадрата от новых неизвестных y
1
, y
2
, . . . , y n−1
. Дополним это преоб- разование до преобразования n неизвестных, полагая x n
= y n
. Тогда форма f примет вид f =
n−1
X
i=1
y
2
i
+ 2
n−1
X
i=1
b in y
i y
n
+ b nn y
2
n
Так как y
2
i
+ 2b in y
i y
n
= (y i
+ b in y
n
)
2
− b
2
in y
2
n
,
то невырожденное преобразование z
i
= y i
+ b in y
n
, i = 1, 2, . . . , n − 1, z n
= y n
,
приводит форму f к каноническому виду f =
n−1
X
i=1
z
2
i
+ cz
2
n
(11.17.6)
Осталось показать, что c > 0. Определитель формы (11.17.6) равен c. Он дол- жен быть положительным, так как правая часть (11.17.6) получается из формы f невырожденным преобразованием, а ∆
n
= |A| > 0 по условию.
2
Пример 11.17.2. Показать, что квадратичная форма f = 5x
2 1
+ x
2 2
+ 5x
2 3
+ 4x
1
x
2
− 8x
1
x
3
− 4x
2
x
3
положительно определена.
Решение. Это следует из того, что
∆
1
= 5 > 0, ∆
2
=
5 2 2 1
= 1 > 0, ∆
3
=
5 2 − 4 2
1 − 2
− 4 − 2 5
= 1 > 0.
По аналогии с положительно определенными формами можно ввести понятие от- рицательно определенных форм, т.е. таких действительных невырожденных квадра- тичных форм, нормальный вид которых состоит только из отрицательных квадратов неизвестных.
Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых содержит квад- раты одного знака, называются полуопределенными.
Наконец, действительные квадратичные формы, нормальный вид которых содер- жит квадраты разных знаков, называются неопределенными.
Очевидно, если форма f отрицательно определена, то форма (−f) положительно определена. Поэтому из критерия Сильвестра получаем
– 446 –

Следствие 11.17.2. Для того чтобы действительная квадратичная форма от n неизвестных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чередовали свой знак, начиная с положительного, т.е.
∆
1
> 0, −∆
2
> 0, ∆
3
> 0, . . . , (−1)
n
∆
n
> 0.
11.17.5. Приведение к нормальному виду ортогональным преобразова- нием. Вернемся к вопросу о приведении квадратичной формы к нормальному виду.
Сначала приведем один результат для симметрических матриц.
Теорема 11.17.6. Для всякой симметрической матрицы A можно найти та- кую ортогональную матрицу Q, которая приводит A к диагональному виду, т.е.
матрица Q
−1
AQ, полученная преобразованием матрицы A, будет диагональной.
Доказательство. Пусть дана симметрическая матрица A порядка n и пусть e
1
, e
2
, . . . , e n
— некоторый ортонормированный базис в евклидовом пространстве E
n
Матрица A задает в этом базисе некоторое симметрическое преобразование ϕ про- странства E
n
В следствии 11.16.1 мы доказали, что для симметрического преобразования ϕ су- ществует ортонормированная база f
1
, f
2
, . . . , f n
, состоящая из собственных векторов данного преобразования. Тогда в этой базе преобразование ϕ задается диагональной матрицей B, поскольку f
i
ϕ = λ
i f
i
,
i = 1, 2, . . . , n.
Тогда
B = Q
−1
AQ,
(11.17.7)
где Q — матрица перехода от базы f к базе e:
e = Qf.
2
Поскольку матрица Q ортогональна (как матрица, осуществляющая переход от одного ортонормированного базиса к другому), то Q
−1
= Q
′
и равенство (11.17.7)
принимает вид
B = Q
′
AQ.
Но именно так преобразуется матрица квадратичной формы (см. § 11.17), под- вергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей Q. Таким образом,
получаем следующее уточнение теоремы о приведении квадратичной формы к кано- ническому виду (теорема 11.17.2 из лекции 11.17).
Теорема 11.17.7. Всякая действительная квадратичная форма f некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к канониче- скому виду.
По сути дела, этот канонический вид будет определяться однозначно, так как элементами матрицы этого канонического вида, стоящими на главной диагонали,
будут характеристические корни матрицы квадратичной формы f.
Для практического нахождения такой ортогональной матрицы нужно найти соб- ственные числа и собственные векторы матрицы A квадратичной формы f.
Лемма 11.17.1. Собственные векторы симметрического преобразования ϕ, от- вечающие различным собственным числам, ортогональны.
– 447 –