Файл: Математический анализ.pdf

Доказательство. Пусть bϕ = λb,
cϕ = µc,
λ 6= µ,
тогда
(bϕ, c) = (λb, c) = λ(b, c),
а
(b, cϕ) = (b, µc) = µ(b, c).
Но, поскольку
(bϕ, c) = (b, cϕ),
то мы имеем
λ(b, c) = µ(b, c),
т.е.
(b, c) = 0.
2
Пример 11.17.3. Привести к каноническому виду квадратичную форму f = 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
− 2x
1
x
4
− 2x
2
x
3
+ 2x
2
x
4
+ 2x
3
x
4
Решение. Матрица A этой формы имеет вид
A =




0 1
1 − 1 1
0 − 1 1
1 − 1 0
1
− 1 1
1 0



 .
Ее характеристический многочлен равен
|A − λE| = (λ − 1)
3
(λ + 3).
Так что мы можем написать канонический вид формы f f = y
2 1
+ y
2 2
+ y
2 3
− 3y
2 4
Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее такое приведение. Сначала ищем собственные векторы. Для λ = 1 имеем следующую систему уравнений:







−x
1
+ x
2
+ x
3
− x
4
= 0,
x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 0,
x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 0,
−x
1
+ x
2
+ x
3
− x
4
= 0.
Ранг этой системы равен 1, поэтому она имеет три линейно независимых решения,
например, векторы:
b
1
= (1, 1, 0, 0),
b
2
= (1, 0, 1, 0),
b
3
= (−1, 0, 0, 1).
Ортогонализируя эту систему векторов, получим:
c
1
= b
1
= (1, 1, 0, 0),
c
2
= −
1 2
c
1
+ b
2
=

1 2
, −
1 2
, 1, 0

,
c
3
=
1 2
c
1
+
1 3
c
2
+ b
3
=

−
1 3
,
1 3
,
1 3
, 1

– 448 –

Для λ = −3 имеем следующую систему уравнений:







3x
1
+ x
2
+ x
3
− x
4
= 0,
x
1
+ 3x
2
− x
3
+ x
4
= 0,
x
1
− x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 0,
−x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 0.
Ранг этой системы равен 3. Ее ненулевым решением служит вектор c
4
= (1, −1, −1, 1).
Система векторов c
1
, c
2
, c
3
, c
4
ортогональна. Нормируя ее, придем к ортонормирован- ной системе векторов:
d
1
=

1
√
2
,
1
√
2
, 0, 0

,
d
2
=
1
√
6
, −
1
√
6
,
r
2 3
, 0
!
,
d
3
=
−
1 2
√
3
,
1 2
√
3
,
1 2
√
3
,
√
3 2
!
,
d
4
=

1 2
, −
1 2
, −
1 2
,
1 2

Таким образом, форма f приводится к каноническому виду ортогональным преоб- разованием:
y
1
=
1
√
2
x
1
+
1
√
2
x
2
,
y
2
=
1
√
6
x
1
−
1
√
6
x
2
+
r
2 3
x
3
,
y
3
= −
1 2
√
3
x
1
+
1 2
√
3
x
2
+
1 2
√
3
x
3
+
√
3 2
x
4
,
y
4
=
1 2
x
1
−
1 2
x
2
−
1 2
x
3
+
1 2
x
4
В заключение рассмотрим один результат о приведении к каноническому виду двух квадратичных форм.
Теорема 11.17.8. Пусть f и g — пара действительных квадратичных форм от n неизвестных, причем вторая из них положительно определена. Тогда суще- ствует невырожденное линейное действительное преобразование неизвестных, од- новременно приводящее форму g к нормальному виду, а форму f — к каноническому виду.
11.18. Элементы функционального анализа
Известно, что в линейном пространстве конечной размерности существует базис
(конечный набор элементов этого пространства) и любой другой элемент может быть разложен по этому базису. Существуют и бесконечномерные линейные пространства.
Нахождение базиса для таких пространств, разложение произвольного элемента по базису, развитие соответствующих методов можно производить с помощью функци- онального анализа, рассматривая понятие сходимости в таких пространствах.
– 449 –

11.18.1. Определения нормы и сходимости. Пусть V — (действительное)
линейное пространство (см. § 11.12).
Определение 11.18.1. Линейное пространство V называется нормированным,
если выполнены два условия:
1) каждому элементу a ∈ V поставлено в соответствие вещественное число,
называемое его нормой и обозначаемое kak;
2) это число kak удовлетворяет следующим аксиомам:
а) kak > 0, если a 6= 0;
kak = 0, если a = 0.
б) kλak = |λ|kak, для любых a ∈ V и λ ∈ R.
в) ka + bk 6 kak + kbk для любых a, b ∈ V .
Нулевой элемент пространства V и число нуль мы обозначаем одним символом
0. Из контекста всегда будет ясно, о чем идет речь.
Рассмотрим примеры нормированных пространств.
Пример 11.18.1. Пространство функций {f}, непрерывных на отрезке [a, b]. Мы его обозначали C[a, b]. Положим kfk = sup x∈[a,b]
|f(x)| = max x∈[a,b]
|f(x). Показать, что это пространтсво нормированное.
Решение. По первой и второй теоремам Вейерштрасса (теоремы 1.14.3 и 1.14.4)
непрерывная функция f — ограничена на [a, b] и достигает своего максимального и минимального значения. Поэтому понятие нормы корректно определено.
Ясно, что все условия для нормы выполнены. Так что C[a, b] с такой нормой становится нормированным пространством.
Пример 11.18.2. Рассмотрим линейное пространство (см. пример 11.12.1) чис- ловых последовательностей {a}, a = (α
1
, . . . , α
n
, . . .) с условием, что ряд
∞
X
n=1
|α
n
| < ∞,
т.е. сходится. Определим норму a так kak =
∞
X
n=1
|α
n
|.
Показать, что это пространство нармированное.
Решение. Свойства модуля и признак сравнения рядов показывают, что введен- ное число kak удовлетворяет всем свойствам нормы. Данное пространство с данной нормой обозначается l
1
С помощью понятия нормы можно ввести определение сходимости по норме в V .
Определение 11.18.2. Последовательность элементов {a n
} из V сходится к элементу a ∈ V , если числовая последовательность ka n
−ak стремится к нулю при n → ∞. Записывают это так lim n→∞
a n
= a или a n
→ a при n → ∞.
Определение 11.18.3. Элемент a называется пределом последовательности.
Если этот предел существует, то последовательность называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.
Свойства предела последовательности во многом аналогичны свойствам предела числовой последовательности и доказываются точно также. Перечислим некоторые из них.
– 450 –

1. Сходящаяся последовательность {a n
} ограничена, т.е. sup n∈N
ka n
k < ∞.
2. Сходящаяся последовательность не может имет двух или более различных пре- делов.
3. Сумма двух сходящихся последовательностей сходится к сумме пределов этих последовательностей.
4. Если a n
→ a при n → ∞, а числовая последовательность λ
n
→ λ при n → ∞,
λ
n a
n
→ λa при n → ∞.
5. Если последовательность a n
сходится к a, то числовая последовательность ka n
k сходится к kak при n → ∞.
В примере 11.18.1 сходимость по норме есть не что иное, как равномерная сходи- мость функций.
11.18.2. Банаховы пространства. Ранее мы видели какую большую роль иг- рает критерий Кощи сходимости. Можно привести примеры пространств, для ко- торых этот критерий не выплняется (самый простой пример — пространство Q ра- циональных чисел). Поэтому наряду с нормированными пространствами вводится понятие банаховых пространств.
Определение 11.18.4. Последовательность {a n
} из V называется фундамен- тальной или последовательностью Коши, если для любого ε > 0 найдется номер
N ∈ N, что для всех номеров n, m > N выполняется неравенство ka n
− a m
k < ε.
Из свойств нормы нетрудно получить, что сходящаяся последовательность явля- ется фундаментальной.
Определение 11.18.5. Линейное нормированное пространство V называется полным или банаховым, если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится.
Пример 11.18.3. Показать, что пространство C[a, b] является банаховым про- странством.
Решение. Действительно, критерий Коши 6.2.1 равномерной сходимости показы- вает, что у фундаментальной последовательности функций есть предельная функ- ция. А поскольку предельная функция для равномерно сходящейся последовательно- сти непрерыных функций является функцией непрерывной, то эта предельная функ- ция лежит в C[a, b].
Пример 11.18.4. Показать, что пространство l
1
также банахово.
Решение. Рассмотрим фундаментальную последовательность {a n
} из l
1
. Пусть a
n
= {α
n
1
, . . . , α
n k
, . . .}. Условие фундаментальности дает, что для любого ε > 0 най- дется N ∈ N, что при n, m > N справедливо неравенство ka n
− a m
k < ε.
Так как, очевидно, что ka n
− a m
k > |α
n k
− α
m k
| для любого k ∈ N, то все число- вые последовательности {α
n k
} — фундаментальны. По критерию Коши для числовых последовательностей они сходятся, т.е. существуют пределы lim n→∞
α
n k
= α
k
,
k ∈ N.
Обозначим a = {α
1
, . . . , α
k
, . . .}. Покажем, что a — предел a n
и a ∈ l
1
. Используем еще раз условие фундаментальности, сформулированное выше, тогда получим ka n
− a m
k =
∞
X
k=1
|α
n k
− α
m k
| < ε.
– 451 –

Поэтому все частичные суммы s
X
k=1
|α
n k
− α
m k
| < ε для всех s ∈ N.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при m → ∞, имеем s
X
k=1
|α
n k
− α
k
| 6 ε для всех s ∈ N.
Это означает, что частичные суммы ряда с неотрицательными членами
∞
X
k=1
|α
n k
− α
k
|
ограничены сверху числом ε, поэтому данный ряд сходится и его сумма меньше либо равна ε. Данный ряд представлет собой норму ka n
− ak. Так что lim n→∞
a n
= a.
Поскольку нормы сходящейся последовательности равномерно ограничены, то отсюда получаем, что a ∈ l
1 11.18.3. Полные евклидовы пространства. В §11.15 мы определили скаляр- ное произведение в евклидовых пространствах E и изучили некоторые его свойства.
Более того мы определили длину вектора в нем. С точки зрения нормированных пространств эта длина не что иное как норма и в дальнейшем мы ее и будем так обозначать kxk =
p
(x, x),
x ∈ E.
Определение 11.18.6. Полным евклидовым пространством называется полное нормированное пространство с нормой, определяемой скалярным произведением.
Полные евклидовы пространства часто называют гильбертовыми.
Пример 11.18.5. C
R
[a, b] = {f(x)}, f(x) — непрерывная на отрезке [a, b] функ- ция. Введем скалярное произведение по формуле
(f, g) =
b
Z
a f (x) · g(x) dx.
(11.18.1)
Показать, что данное пространство евклидовое.
Решение. Легко видеть, что для этого определения выполнены все аксиомы ска- лярного произведения (см. § 11.15), поэтому линейное пространство C
R
[a, b] — евкли- дово.
Норма элемента f и аксиома в) для нормы в пространства C
R
[a, b] записываются в виде kfk =
v u
u u
t b
Z
a f
2
(x) dx,
v u
u u
t b
Z
a
(f + g)
2 6
v u
u u
t b
Z
a f
2
(x) dx +
v u
u u
t b
Z
a g
2
(x) dx.
Мы не можем обозначить это пространство через C[a, b], поскольку в C[a, b] вве- дена другая норма. Так что в одном и том же линейном пространстве можно вводить разные нормы.
Отметим также, что пространство C
R
[a, b] не является полным по данной норме.
Например, всякая кусочно-непрерывная функция является пределом последователь- ности непрерывных функций.
– 452 –

Пример 11.18.6. Рассмотрим пространство l
2
, состоящее из последовательно- стей a = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
, . . . ) с условием
∞
P
n=1
α
2
n
< ∞. Определим скалярное произве- дение по формуле
(a, b) =
∞
X
i=1
α
i
β
i
,
b = (β
1
, . . . , β
n
, . . .).
Показать, что пространство l
2
евклидовое.
Решение. Действительно, неравенство Шварца показывает, что s
X
n=1
|α
n
| · |β
n
| 6
s
X
n=1
α
2
n
·
s
X
n=1
β
2
n
6
∞
X
n=1
α
2
n
·
∞
X
n=1
β
2
n
,
поэтому ряд в определении скалярного произведения сходится абсолютно. Все остальные свойства скалярного произведения выполняются очевидным образом.

Пример 11.18.8. Показать, что функциональная последовательность sin x, sin 2x, . . . , sin nx, . . . ,
x ∈ [0, π],
образует ортогональную систему в C
R
[0, π] (но не нормированную!). Норма любого элемента этой последовательности равна k sin xk =
v u
u u
t
π
Z
0
sin
2
nx dx =
r
π
2
Решение. См. предыдущий пример.
Разделив все элементы последовательности на число r
π
2
, получим ортонорми- рованную систему.
Упражнение 11.18.1. Показать, что полиномы Лежандра на промежутке [−1, 1]
P
0
(x) = 1, P
n
(x) =
1 2
n n!
d n

(x
2
− 1)
n

dx n
,
n = 1, 2, . . . ,
образуют ортогональную систему в пространстве C
R
[−1, 1]. Норма
P
n
(x)
=
r
2 2n + 1
,
n = 0, 1, 2, . . . .
11.18.5. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной системе.
Определение 11.18.8. Рядом Фурье элемента a ∈ E (E — евклидово простран- ство) по ортонормированной системе
ψ
1
, ψ
2
, . . . , ψ
n
, . . .
(11.18.5)
называется ряд вида:
∞
X
n=1
c n
ψ
n
,
(11.18.6)
где через c n
обозначены постоянные числа (коэффициенты Фурье элемента a) c n
=
(a, ψ
n
).
Ряд Фурье по тригонометрической системе функций на промежутке [−π, π]
1
√
2π
,
cos x
√
π
,
sin x
√
π
,
cos 2x
√
π
,
sin 2x
√
π
, . . .
есть частный случай общего ряда (11.18.6).
Числа c n
, n = 1, 2, . . . — это, естественно, с точностью до постоянного множи- теля коэффициенты Фурье тригонометрического ряда a k
, k = 0, 1, 2, . . . , или b k
,
k = 1, 2, . . . . Например,
c
3
=
π
Z
−π
f (x)
sin x
√
π
dx =
1
√
π
π
Z
−π
f (x) sin x dx =
π
√
π
b
1
=
√
πb
1
Будем далее обозначать через S
n
, n = 1, 2, . . . , частичные суммы общего ряда
Фурье (11.18.6)
S
n
=
n
X
k=1
c k
ψ
k
,
– 454 –

а через T
n
, n = 1, 2, . . . — произвольную линейную комбинацию первых n элементов ортонормированной системы (11.18.5).
Тогда легко сформулировать аналог теоремы 6.16.1 (§ 6.16).
Теорема 11.18.1. Наименьшее отклонение от элемента a по норме данного евклидового пространства среди всех сумм T
n
=
n
P
k=1
d k
ψ
k имеет частичная сумма ряда Фурье, т.е.
ka −
n
X
k=1
c k
ψ
k k =
inf
{(d
1
,d
2
,...,d n
)}
ka −
n
X
k=1
d k
ψ
k k.
Доказательство этой теоремы практически полностью аналогично доказатель- ству теоремы 6.16.1.
2
Как следствие получаем неравенство Бесселя.
Следствие 11.18.3. Справедливо неравенство Бесселя
∞
X
k=1
c
2
k
6
kak
2
(11.18.7)
В частности, lim k→∞
c k
= 0.
Из неравенства Бесселя получаем, что последовательность (c
1
, . . . , c k
, . . .) ∈ l
2 11.18.6. Полные и замкнутые системы.
Определение 11.18.9. Система элементов {ψ
n
}, n = 1, 2, . . . , называется пол- ной по норме пространства E, если для любого элемента a ∈ E и любого числа ε > 0
существует конечная линейная комбинация элементов системы такая, что kf −
p
X
k=1
c k
ψ
n k
k < ε.
Вопрос существования полных ортонормированных систем решается в более про- двинутых курсах, чем курс математического анализа.
Тем не менее можно сказать, что существование полной системы элементов расса- триваемого типа говорит о сепарабельности пространства E, поскольку она счетная.
Из этой системы элементов всегда можно удалить линейно зависимые элементы. Да- лее, процесс ортогонализации Грама-Шмидта показывает, что полную систему эле- ментов можно заменить на полную ортогональную систему, а нормируя ее элементы,
на полную ортонормированную систему. Так что справедливо утверждение.
Теорема 11.18.2. Во всяком сепарабельном евклидовом пространстве суще- ствует полная ортогональная (счетная) система элементов.
Конкретные же примеры полных систем в функциональных пространствах по- строены в § 6.15 (см., например, теорему 6.15.7, замечание 6.15.1).
Сформулируем сейчас теоремы, отражающие общие фундаментальные свойства полных систем.
Теорема 11.18.3. Если ортонормированная система {ψ
n
}, n = 1, 2, . . . , являет- ся полной по норме пространства E, то для любого элемента a ∈ E неравенство
– 455 –