Файл: Математический анализ.pdf

Аналогично, класс функций C
n
(a, b) состоит из функций f , определенных на ин- тервале (a, b), таких что они сами и все их производные до порядка n включительно непрерывны на данном интервале. Для удобства полагают, что C
0
(a, b) = C(a, b), т.е.
совпадает с классом всех непрерывных функций на (a, b). Говорят также, что функ- ция f принадлежит классу C
∞
(a, b), если она имеет на интервале (a, b) производные любого порядка.
Рассмотрим некоторые арифметические операции над производными n-го поряд- ка.
1. Если функции f и g имеют производные n-го порядка в точке x, то функции f ± g также имеют производные n-го порядка в этой точке и
(f ± g)
(n)
(x) = f
(n)
(x) ± g
(n)
(x).
2. Постоянный множитель можно выносить за знак n-й производной, т.е.
(cf )
(n)
(x) = c · f
(n)
(x).
3. Если функции f и g имеют производные n-го порядка в точке x, то функция fg также имеет производную n-го порядка в этой точке и справедливо правило Лейбница
(f g)
(n)
(x) =
n
X
j=0
C
j n
f
(n−j)
(x) g
(j)
(x),
где, как обычно, C
j n
— биномиальные коэффициенты. Это формула напоминает фор- мулу бинома Ньютона.
Доказательство свойств 1 и 2 следует непосредственно из определения производ- ной, а свойство 3 получается методом полной математической индукции.
Пример 2.5.4. Пусть функция y = x
3
sin x. Найти y
(10)
Решение. Имеем по формуле Лейбница
(x
3
sin x)
(10)
= x
3
sin(x + 10π/2) + 10 · 3x
2
sin(x + 9π/2)+
+10 · 9 · 3x sin(x + 8π/2) + 10 · 9 · 8 sin(x + 7π/2) =
= −x
3
sin x + 30x
2
cos x + 270x sin x − 720 cos x.
Для нахождения старших производных сложной, обратной и параметрически за- данной функций последовательно применяются формулы для нахождения первой производной соответствующей функции.
Пример 2.5.5. Пусть функция y = y(x) имеет вторую производную на интервале
I, а функция z = z(y) имеет вторую производную на интервале J и образ интервала I
при отображении y лежит в J. Найти вторую производную сложной функции z(y(x)).
Решение. Сложная функция z(y(x)) имеет вторую производную на интервале I
и она равна z
′′
xx
= (z
′
x
)
′
x
= (z
′
y
· y
′
x
)
′
x
= z
′′
yx
· y
′
x
+ z
′
y
· y
′′
xx
= z
′′
yy
· (y
′
x
)
2
+ z
′
y
· y
′′
xx
Также находится вторая производная функции, заданной параметрически.
Пример 2.5.6. Функция
(
x = cos t,
y = sin t,
t ∈ [0, 2π].
Найти вторую производную этой функции.
– 72 –

Решение. Имеем y
′
x
=
y
′
t x
′
t
= − ctg t. А
y
′′
xx
= −
d ctg t dx
= −
(ctg t)
′
t
(cos t)
′
t
= −
1
sin
3
t в силу инвариантности формы дифференциала первого порядка.
Теорема 2.5.1. Производная любого порядка от элементарной функции явля- ется элементарной функцией.
Доказательство теоремы следует из правил дифференцирования и из таблицы производных.
2.5.2. Дифференциалы высших порядков. Аналогично определяются диф- ференциалы высших порядков. Если функция f дифференцируема на (a, b), то df = f
′
(x) dx. Поэтому дифференциал второго порядка определяется так:
d
2
f = d(df ).
Если аргумент x является независимой переменной, то данное равенство можно про- должить —
d
2
f = d(f
′
(x)dx) = f
′′
(x)(dx)
2
= f
′′
(x)dx
2
,
поскольку dx в данном случае служит приращением аргумента и не зависит от x.
Точно так же определяется дифференциал n-го порядка:
d n
f = d(d n−1
f ).
И в том случае, когда x — независимая переменная, имеем d
n f = f
(n)
(x)(dx)
n
= f
(n)
(x) dx n
(2.5.1)
Таким образом, на обозначение Лейбница для старших производных можно смот- реть как на отношение двух выражений.
Мы видим также, что дифференциалы n-го порядка определены, во всяком слу- чае, для функций класса C
n
(a, b).
Обсудим вопрос о вычислении дифференциалов высших порядков в том случае,
когда переменная x, в свою очередь, является некоторой функцией x = g(t), причем функция g определена на некотором интервале (c, d), имеет на нем производные n-го порядка и ее множество значений содержит область определения функции f(x).
Мы видели, что форма дифференциала первого порядка инвариантна.
В отличие от дифференциала первого порядка форма дифференциала второго
(или более высокого порядка) не будет инвариантной. Таким образом, вообще гово- ря, формула (2.5.1) для n > 1 не верна, если x является функцией от другого пере- менного. Это связано с тем, что при вычислении дифференциала второго порядка добавится новый член:
d
2
f = d(df ) = d(f
′
(x) dx) =
= d(f
′
(x))dx + f
′
(x)d(dx) = f
′′
(x)(dx)
2
+ d
2
x,
и, если d
2
x = g
′′
(t)dt не равен тождественно нулю, то формула (2.5.1) станет неверна.
Правда, если функция g — линейная по t, то d
2
g ≡ 0, поэтому формула (2.5.1)
остается верной.
Теорема 2.5.2. Если функция g(t) является линейной по t, т.е. g = Mt + N,
то справедлива формула d
n f (g(t)) = f
(n)
(g(t))(dg(t))
n
– 73 –

2.6. Теоремы о среднем в дифференциальном исчислении
2.6.1. Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) задана в окрестности точки x
0
(т.е. в некотором интервале U, содержащем точку x
0
).
Теорема 2.6.1 (Ферма). Если в точке x
0
функция f достигает наибольшего или наименьшего значения на интервале и дифференцируема в x
0
, то f
′
(x
0
) = 0.
Доказательство. Пусть, для определенности функция f принимает при x = x
0
наибольшее значение в окрестности U(x
0
) = {x : |x − x
0
| < r}, т.е. для всех x ∈ U(x
0
)
выполняется неравенство f(x) 6 f(x
0
). Тогда для x < x
0
имеем f (x) − f(x
0
)
x − x
0
>
0,
(2.6.1)
а для x > x
0
, соответственно,
f (x) − f(x
0
)
x − x
0 6
0.
(2.6.2)
Так как по условию теоремы в точке x
0
функция u имеет производную, то пере- ходя в неравенствах (2.6.1) и (2.6.2) к пределу соответственно при x → x
0
− 0 и при x → x
0
+ 0, получим f
′
(x
0
) > 0 и f
′
(x
0
) 6 0, т.е.f
′
(x
0
) = 0.
2
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при x = x
0
функция принимает наибольшее или наименьшее значения на некоторой окрестности точки x
0
, то касательная к графику функции в точке (x
0
, f (x
0
)) параллельна оси
(рис. 2.6.1).
Рис 2.6.1. Геометрическая интерпретация теоремы Ферма
Следствие 2.6.1 (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x
0
и дифференцируема в этой точке. Если x
0
—
точка экстремума, то f
′
(x
0
) = 0.
Отметим также, что обращение производной в нуль является необходимым усло- вием экстремума, но не достаточным. Например, для функции f(x) = x
3
имеем f
′
(0) = 0, но в точке x = 0 экстремума нет.
2.6.2. Теорема Ролля. Построение здания дифференциального исчисления в значительной своей части основано на так называемых "теоремах о среднем значе- нии". Первая из них это
– 74 –

Теорема 2.6.2 (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], диф- ференцируема в каждой точке x ∈ (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения (f (a) = f (b)), то найдется точка c ∈ (a, b) (которую называют средней или промежуточной точкой), такая что f
′
(c) = 0.
Доказательство. Воспользуемся тем, что функция, непрерывная на отрезке, при- нимает наибольшее M = max f(x) и наименьшее m = min f(x) значения в некоторых точках отрезка. Тогда для всех x ∈ [a, b] выполняется неравенство m 6 f (x) 6 M.
Если m = M, то функция f постоянна и, следовательно, f
′
(x) ≡ 0 на отрезке [a, b],
т.е. в качестве точки c можно взять любую точку интервала (a, b).
Если m 6= M, то из условия f(a) = f(b) следует, что хотя бы одно из значений m или M не принимается на концах отрезка [a, b]. Пусть этим значением является M,
т.е. существует точка c ∈ (a, b) такая, что f(c) = M. Это означает, что в точке x = c функция принимает наибольшее значение на интервале (a, b) и по теореме Ферма f
′
(c) = 0.
2
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах отрезка одинако- вые значения, существует точка, в которой касательная параллельна на оси абсцисс
(рис. 2.6.2).
Рис 2.6.2. Геометрическая интерпретация теоремы Ролля
Замечание 2.6.1. В теореме Ролля все условия, наложенные на функцию f,
существенны. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций,
для которых не выполняется одно из трех условий, и для которых не существует точки c такой, что f
′
(c) = 0.
Функция f (x) =
(
x,
0 6 x < 1,
0,
x = 1.
Дифференцируема на (0, 1), принимает равные значения на концах промежутка [0, 1],
но не непрерывна на [0, 1]. Утверждение теоремы Ролля не выполнено (рис. 2.6.3).
– 75 –

Рис 2.6.3. График функции f(x)
Функция f(x) = |x|, x ∈ [−1; 1], непрерывна на [0, 1], принимает равные значения на концах промежутка, но не дифференцируема в одной точке 0 (рис. 2.6.4).
Рис 2.6.4. График функции y = |x|
Функция f(x) = x, x ∈ [0; 1] непрерывна и дифференцируема на [0, 1], но ее зна- чения на концах промежутка не совпадают.
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [a, b], то функция F (x) = f(x)−f(a) равна нулю на его концах F (b)−F (a) = 0 и F
′
(x) = f
′
(x).
Поэтому справедливо следствие теоремы Ролля:
Следствие 2.6.2. Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда ле- жит ходя бы один нуль ее производной.
Обобщением теоремы Ролля является следующее утверждение.
Следствие 2.6.3. Если функция f имеет в некотором интервале все произ- водные до порядка n, принимает равные значения в n + 1 различной точке этого интервала, тогда найдется такая точка c, в которой f
(n)
(c) = 0.
– 76 –

2.6.3. Теорема Лагранжа. Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Ролля.
Теорема 2.6.3 (Лагранж). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и име- ет конечную производную во всех точках интервала (a, b), тогда найдется точка c ∈ (a, b), в которой f
′
(c) =
f (b) − f(a)
b − a
(2.6.3)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f (x) − λx, и подберем λ таким образом, чтобы F (b) = F (a). Легко видеть,что искомое значение для λ следует взять равным f (b) − f(a)
b − a
Для функции F (x) выполнены все условия теоремы Ролля. Действительно,
1) функция F (x) непрерывна на отрезке [a, b] как линейная комбинация непре- рывных функций f(x) и x;
2) функция F (x) дифференцируема во всех точках интервала (a, b) как линейная комбинация дифференцируемых функций;
3) на концах отрезка [a, b] значения функции F (x) равны в силу выбора λ.
Поэтому существует точка c ∈ (a, b), для которой F
′
(c) = 0. Учитывая, что
F
′
(x) = f
′
(x) − λ = f
′
(x) −
f (b) − f(a)
b − a
,
(2.6.4)
получим f
′
(c) =
f (b) − f(a)
b − a
(2.6.5)
2
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: если мы проведем прямую, соединяющую точки (a, f(a)) и (b, f(b)), которые лежат на графике
Γ функции f , то найдется точка на графике функции, касательная в которой к Γ
параллельна данной прямой (рис. 2.6.5).
Рис 2.6.5. Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа
Часто формулу Лагранжа (2.6.3) называют формулой конечных приращений и рассматривают ее в следующей ситуации. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[x, x+h], дифференцируема внутри этого отрезка, тогда найдется число θ, 0 < θ < 1,
такое, что f (x + h) − f(x) = f
′
(x + θh) · h.
(2.6.6)
– 77 –

Формула (2.6.6) есть формула конечных приращений. C ее помощью легко дока- зывается утверждение.
Следствие 2.6.4. Если функция f дифференцируема на интервале (a, b) и f
′
(x) ≡ 0, то функция f ≡ const.
Доказательство. Действительно, для любых точек x
1
, x
2
∈ (a, b) таких, что x
1
< x
2
, функция f удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [x
1
, x
2
] и,
значит,
f (x
2
) − f(x
1
) = f
′
(c)(x
2
− x
1
),
где x
1
< c < x
2
Но f
′
(c) = 0, значит f (x
1
) = f (x
2
) для любых точек из отрезка [a, b], что и означает,
что функция постоянна.
2
Следствие 2.6.5. Если функции f и g дифференцируемы в точках интервала
(a, b) и в этих точках f
′
= g
′
, тогда эти функции отличаются в рассматриваемом интервале на константу:
f − g = c.
Доказательство. Действительно, функция F = f − g удовлетворяет условиям следствия 1, в частности f
′
− g
′
= F
′
= 0 в точках интервала (a, b) и поэтому F = c.
2 2.6.4. Теорема Коши. Важным обобщением теоремы Лагранжа является за- мечательная "формула Коши".
Теорема 2.6.4 (Коши). Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a, b], диф- ференцируемы в любой точке x ∈ (a, b), причем g
′
(x) 6= 0 для всех точек x ∈ (a, b),
тогда найдется точка c ∈ (a, b) такая, что f (b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
Замечание 2.6.2. Из условия g
′
(x) 6= 0 теоремы следует, что g(a) 6= g(b), т.е.
левая часть формулы определена корректно. В самом деле, если бы g(a) = g(b),
то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы "средняя" точка c такая, что g
′
(c) = 0, a < c < b.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = f (x) − λg(x),
где число λ выберем таким образом, чтобы F (a) = f(b), т.е. чтобы f (a) − λg(a) = f(b) − λg(b).
Для этого нужно взять
λ =
f (b) − f(a)
g(b) − g(a)
Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка c, a < c < b, что F
′
(c) = 0. Но F
′
(x) = f
′
(x) − λg
′
(x), а поэтому f
′
(c) − λg
′
(c) = 0,
откуда следует, что
λ =
f
′
(c)
g
′
(c)
и утверждение теоремы Коши тем самым доказано.
2
– 78 –

Замечание 2.6.3. Формула конечных приращений Лагранжа является част- ным случаем формулы Коши (в последней следует положить g(x) = x). Кроме того, формула Коши справедлива и для a > b.
Следствие 2.6.6. Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a, b), диф- ференцируема во всех точках интервала (a, b), у производной f
′
существует конеч- ный предел справа в точке x = a. Тогда в этой точке у функции f существует правосторонняя производная f
′
+
(a).
Следствие доказывается с использованием теоремы Лагранжа. Точно такое же утверждение справедливо для правой точки интервала.
Следствие 2.6.7 (теорема Дарбу). Если функция y = f(x) дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то производная f
′
(x) не может иметь на (a, b)
точек разрыва первого рода.
2.7. Правило Лопиталя
2.7.1. Неопределенность вида
0 0
. С помощью производных можно раскры- вать неопределенности вида
0 0
и ∞
∞
. Как мы видели раньше, другие типы неопреде- ленностей сводятся к этим. Начнем со следующего утверждения.
Пусть функции f и g определены и дифференцируемы на интервале (a, b) и точка x
0
∈ (a, b).
Теорема 2.7.1 (правило Лопиталя). Если f(x
0
) = g(x
0
) = 0, а g
′
(x
0
) 6= 0, то lim x→x
0
f (x)
g(x)
=
f
′
(x
0
)
g
′
(x
0
)
Обобщением теоремы 2.7.1 служит следующее утверждение.
Теорема 2.7.2 (правило Лопиталя). Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a, b), пределы lim x→a+0
f (x) = lim x→a+0
g(x) = 0,
производная g
′
(x) 6= 0 для всех x ∈ (a, b) и существует конечный или определенного знака бесконечный предел lim x→a+0
f
′
(x)
g
′
(x)
= K.
Тогда существует предел lim x→a+0
f (x)
g(x)
,
и он тоже равен K, т.е.
lim x→a+0
f (x)
g(x)
= lim x→a+0
f
′
(x)
g
′
(x)
Доказательство. В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке a. Доопределим их, положив f (a) = g(a) = 0. Теперь f и g непрерывны в точке a и удовлетворяют условиям теоремы Коши (теорема 2.6.4) о среднем значении на любом отрезке [x, a], a < x < b.
– 79 –

Поэтому для каждого x, a < x < b, существует такое c ∈ (a, x), что f (x)
g(x)
=
f (x) − f(a)
g(x) − g(a)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
,
(2.7.1)
причем lim x→a+0
c(x) = a.
Поэтому, если существует lim x→a+0
f
′
(x)
g
′
(x)
= K,
то существует и lim x→a+0
f (x)
g(x)
= K.
2
В этих теоремах точка a может принимать значение ±∞. Теорему 2.7.2 можно применять, последовательно вычисляя производные.
Пример 2.7.1. Найти предел lim x→0 1 − cos x x
2
Решение. Имеем lim x→0 1 − cos x x
2
= lim x→0
sin x
2x
=
= lim x→0
cos x
2
=
1 2
Может быть и такая ситуация: предел отношения производных не существует, а предел отношения функций существует.
Пример 2.7.2. Найти предел lim x→∞
x + sin x x + cos x
Решение. Очевидно,
lim x→∞
x + sin x x + cos x
= 1,
а lim x→∞
1 + cos x
1 − sin x не существует.
Таким образом, нельзя утверждать (как часто говорят), что всегда предел отно- шения функций равен пределу отношения производных.
2.7.2. Неопределенность вида ∞
∞
Теорема 2.7.3 (правило Лопиталя). Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a, b), пределы lim x→a+0
f (x) = ∞,
lim x→a+0
g(x) = ∞,
производная g
′
(x) 6= 0 на (a, b) и существует конечный или определенного знака бесконечный предел lim x→a+0
f
′
(x)
g
′
(x)
= K.
Тогда существует и предел lim x→a+0
f (x)
g(x)
= K.
– 80 –

В теореме 2.7.3, так же как в теореме 2.7.2, точка a может принимать значения
±∞.
Пример 2.7.3. Найти предел lim x→+0
x lnx.
Решение. Имеем lim x→+0
x lnx = lim x→+0
lnx
1/x
=
= − lim x→+0 1/x
1/x
2
= − lim x→+0
x = 0.
Может случиться, что применение правила Лопиталя не упрощает задачу отыс- кания пределов функции. Рассмотрим lim x→+∞
x
√
1 + x
2
= lim x→+∞
x
′
(
√
1 + x
2
)
′
= lim x→+∞
√
1 + x
2
x
,
т.е. получается предел дроби, обратной данной. Тем самым задача осталась той же.
Вместе с тем заданный предел легко находится элементарно:
lim x→+∞
x
√
1 + x
2
= lim x→+∞
1
r
1 +
1
x
2
= 1.
Неопределенности 0 0
, ∞
0
, 1
∞
можно раскрыть, предварительно прологарифми- ровав соответствующие функции.
Пример 2.7.4. Найти предел x x
при x → +0.
Решение. Используем предел из примера 2.7.3
lim x→+0
x ln x = 0.
Отсюда lim x→+0
x x
= lim x→+0
e x ln x
= 1.
2.8. Формула Тейлора
2.8.1. Многочлен Тейлора. Начнем со случая, когда функция является мно- гочленом степени n следующего вида:
f (x) = a n
(x − x
0
)
n
+ a n−1
(x − x
0
)
n−1
+ · · · + a
1
(x − x
0
) + a
0
Постараемся найти коэффициенты функции f, используя производные. Для этого подставим в функцию значение x = x
0
, получим f (x
0
) = a
0
Затем продифференцируем функцию f и подставим в производную значение x = x
0
Получим f
′
(x
0
) = a
1
= 1! a
1
Проделаем ту же операцию с первой производной, имеем f
′′
(x
0
) = 2a
2
= 2! a
2
На n-м шаге получаем f
(n)
(x
0
) = n! a n
Таким образом,
a
0
= f (x
0
), a
1
= f
′
(x
0
), . . . , a n
=
f
(n)
(x
0
)
n!
– 81 –