Файл: Математический анализ.pdf

Точно так же доказывается непрерывность других обратных тригонометрических функций.
Очевидным следствием рассмотренных утверждений и свойств является теорема.
Теорема 1.14.7. Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
1.15. Асимптотическое поведение функций. O-символика
1.15.1. Определения и примеры. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки x
0
(или при x → ∞) удобно бывает заменить исследуемую функцию на более простую (или более изученную функцию), которая в окрестности исследуемой точки x
0
с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции. Так, функция sin x при x → 0 ведет себя как функция x, а x + 1
x при x → ∞ как 1.
Когда изучаемая функция не определена в некоторой точке x
0
(например,
sin x x
при x
0
= 0), то при исследовании ее поведения в окрестности x
0
говорят, что интере- суются асимптотикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки.
Дадим теперь точные определения некоторых понятий, относящихся к асимпто- тическому поведению функций при x → x
0
Определение 1.15.1. Говорят, что функция α : E → R есть бесконечно малая при x → x
0
,
x ∈ E, если lim x→x
0
α(x) = 0.
Пример 1.15.1. Функция sin x — бесконечно малая при x → 0, а функция x + 1
x
2
— бесконечно малая при x → ∞.
Легко доказать следующую теорему (предлагается сделать это самостоятельно).
Теорема 1.15.1. Если α : E → R и β : E → R — бесконечно малые функции при x → x
0
,
x ∈ E, то их сумма α + β, произведение α · β также есть бесконечно малые при x → x
0
,
x ∈ E.
Определение 1.15.2. Говорят, что функция f : E → R есть бесконечно малая по сравнению с функцией g : E → R при x → x
0
,
x ∈ E, если существует такая проколотая окрестность o
U
E
(x
0
), что f (x) = α(x) · g(x),
x ∈
o
U
E
(x
0
),
где α(x) — бесконечно малая при x → x
0
,
x ∈ E.
Обозначают этот факт следующим образом: f = o(g) при x → x
0
,
x ∈ E. Обо- значение f = o(g) читается "f есть о малое от g". В случае, если x
0
= ∞, в качестве окрестности U(∞) рассматривается множество
U (∞) = {x ∈ R :
|x| > M, где M ∈ R},
U
E
(∞) = U(∞) ∩ E.
Пример 1.15.2. Проверить справедливость формул:
x
2
= o(x) при x → 0, так как α(x) = x;
– 53 –

1
x
2
= o

1
x

при x → ∞, так как α(x) =
1
x
;
x = o(x
2
) при x → ∞, так как α(x) =
1
x
Решение. Эти формулы являются прямым следствием определений.
Замечание 1.15.1. Если g(x) 6= 0, x ∈
o
U
E
(x
0
), то условие f (x) = α(x)g(x)
можно заменить условием lim x→x
0
f (x)
g(x)
= 0.
Определение 1.15.3. Если f = o(g) при x → x
0
,
x ∈ E, а g — бесконечно малая функция при x → x
0
,
x ∈ E, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g при x → x
0
,
x ∈ E.
Пример 1.15.3. Показать, что функция sin
2
x есть бесконечно малая более вы- сокого порядка по сравнению с x при x → 0.
Решение. Данное свойство верно, так как sin
2
x = o(x) при x → 0.
Определение 1.15.4. Функцию f : E → R называют бесконечно большой при x → x
0
,
x ∈ E, если lim x→x
0
f (x) = ∞.
Теорема 1.15.2. Если функция f — бесконечно большая при x → x
0
, x ∈ E, то функция 1/f есть бесконечно малая при x → x
0
,
x ∈ E. Если α(x) — бесконечно малая при x → x
0
,
x ∈ E и α(x) 6= 0, то 1/α есть бесконечно большая при x →
x
0
,
x ∈ E.
Доказательство легко провести самостоятельно.
Определение 1.15.5. Если функции f и g есть бесконечно большие при x → x
0
,
x ∈ E и f = o(g) при x → x
0
,
x ∈ E, то говорят, что g есть бесконечно большая функция более высокого порядка по сравнению с f при x → x
0
, x ∈ E.
Пример 1.15.4. Показать, что функция
1
x
2
есть бесконечно большая более вы- сокого порядка по сравнению с
1
x при x → 0.
Решение. Данное свойство верно, так как
1
x
= o

1
x
2

при x → 0.
Определение 1.15.6. Говорят, что функция f : E → R ограничена по срав- нению с функцией g : E → R при x → x
0
, если существует такая проколотая окрестность o
U
E
(x
0
), что f (x) = β(x) · g(x),
x ∈
o
U
E
(x
0
),
где β(x) есть финально ограниченная функция при x → x
0
Обозначается этот факт следующим образом: f = O(g) при x → x
0
, x ∈ E.
Обозначение f = O(g) читается "f есть O большое от g".
Пример 1.15.5. Показать, что функция x + 1 = O (x + 1)
2

при x → 1.
Решение. Данное свойство верно, так как функция β(x) =
1
x + 1
— финально ограничена при x → 1.
– 54 –

Функция x ·

1
x
+ sin x

= O(x) при x → ∞, так как β(x) =
1
x
+ sin x есть финально ограниченная функция при x → ∞.
Определение 1.15.7. Говорят, что функции f и g одного порядка при x → x
0
,
x ∈ E, если f = O(g) при x → x
0
,
x ∈ E,
и g = O(f ) при x → x
0
,
x ∈ E.
Обозначают этот факт следующим образом: f ≍ g при x → x
0
,
x ∈ E.
Пример 1.15.6. Показать, что Функции (2 + sin x) · x и x одного порядка при x → ∞.
Решение. Действительно, (2+sin x)·x = O(x) при x → ∞, так как β(x) =
1 2 + sin x
,
а 2 + sin x 6= 0.
Но функции (1+sin x)·x и x не являются функциями одного порядка при x → ∞,
так как x 6= O ((1 + sin x) · x) при x → ∞. В этом случае функция β(x) =
1 1 + sin x не финально ограничена при x → ∞, потому что знаменатель 1 + sin x принимает нулевые значения в точках −
π
2
+ 2πn, n = 1, 2, . . . .
Определение 1.15.7 можно записать в другой равносильной форме.
Функции f и g одного порядка при x → x
0
,
x ∈ E, если существуют числа
C
1
> 0,
C
2
> 0 и проколотая окрестность o
U
E
(x
0
), такие что
C
1
|g(x)| 6 |f(x)| 6 C
2
|g(x)| , x ∈
o
U
E
(x
0
)
или
1
C
2
|f(x)| 6 |g(x)| 6 1
C
1
|f(x)| , x ∈
o
U
E
(x
0
).
Определение 1.15.8. Говорят, что функция f(x) эквивалентна функции g(x)
при x → x
0
, x ∈ E, если существует проколотая окрестность o
U
E
(x
0
), такая что f (x) = γ(x) · g(x),
x ∈
o
U
E
(x
0
),
где lim x→x
0
γ(x) = 1.
Если g(x) 6= 0 для x ∈
o
U
E
(x
0
), то условие эквивалентности функций можно записать с помощью равенства lim x→x
0
f (x)
g(x)
= 1.
Для записи того, что функции эквивалентны при x → x
0
, x ∈ E, используют следующее обозначение:
f ∼ g при x → x
0
,
x ∈ E
или f ∼
x→x
0
g.
Пример 1.15.7. Проверить свойства
3x
3
+ x
2
− 1 ∼ 3x
3
при x → ∞, x ∈ R;
sin x ∼ x при x → 0, x ∈ R.
Решение. Очевидно.
Докажите самостоятельно теорему.
– 55 –

Теорема 1.15.3. Если f ∼
x→x
0
g, а g ∼
x→x
0
h, то f ∼
x→x
0
h.
1.15.2. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.
Теорема 1.15.4. Если f ∼
x→x
0
f
1
, то lim x→x
0
f (x) · g(x) = lim x→x
0
f
1
(x) · g(x),
если один из этих пределов существует.
Доказательство. Существует o
U
E
(x
0
), для точек которой f (x) = γ(x)f
1
(x) и lim x→x
0
γ(x) = 1. Тогда lim x→x
0
f (x) · g(x) = lim x→x
0
γ(x)f
1
(x)f (x) =
= lim x→x
0
γ(x) · lim x→x
0
f
1
(x)f (x) = lim x→x
0
f
1
(x)g(x),
причем если, например, допустить существование предела lim x→x
0
f (x)g(x), то суще- ствование предела lim x→x
0
f
1
(x)g(x) следует из равенства f
1
(x)g(x) =
f (x) · g(x)
γ(x)
,
x ∈
o
U
E
(x
0
)
и теоремы о пределе частного двух функций f(x)g(x) и γ(x).
2
Доказанная теорема бывает очень полезна при вычислении пределов. Заметим,
что теорема верна для произведения f(x) · g(x), но не верна для суммы f(x) + g(x),
о чем часто забывают.
Пример 1.15.8. Найти предел функции lim x→∞
3
√
x
2
+ x
5/3
x
2/3
+ 3
Решение. Имеем lim x→∞
3
√
x
2
+ x
5/3
x
2/3
+ 3
= lim x→∞
x
2/3
x
2/3
= 1

3
p x
2
+ x
5/3
∼
x→∞
x
2/3
,
x
2/3
+ 3 ∼
x→∞
x
2/3

Упражнение 1.15.1. Показать, что lim x→∞
(
3
p x
2
+ x
5/3
− x
2/3
− 3) 6= lim x→∞
(x
2/3
− x
2/3
) = 0,
lim x→∞
(
3
p x
2
+ x
5/3
− x
2/3
− 3) = ∞.
Приведем список наиболее употребляемых при вычислении пределов эквивалент- ных функций:
a) sin x ∼ x при x → 0,
b) tg x ∼ x при x → 0,
c) ln (1 + x) ∼ x при x → 0,
d) e x
− 1 ∼ x при x → 0,
e) (1 + x)
µ
− 1 ∼ µx при x → 0,
g) arcsin x ∼ x при x → 0,
h) arctg x ∼ x при x → 0.
Соотношения a) и b) уже известны

lim x→0
tg x x
= lim x→0
sin x x
·
1
cos x
= 1

– 56 –

Для доказательства соотношений c), d), e) необходимо понятие непрерывности функ- ции. Действительно, для c), например,
lim x→0
ln (1 + x)
x
= lim x→0
ln (1 + x)
1
x = ln lim x→0
(1 + x)
1
x = ln e = 1.
Второе равенство в этой цепочке (lim x→0
ln f (x) = ln lim x→0
f (x)) основано на непрерывно- сти функции ln x.
Отметим, наконец, часто используемые в математическом анализе правила об- ращения с символами o, O. Эти правила, на первый взгляд, выглядят несколько неожиданно.
Теорема 1.15.5. При x → x
0
,
x ∈ E справедливы равенства:
a) o(f ) + o(f ) = o(f );
b) o(f ) тем более есть O(f );
c) o(f ) + O(f ) = O(f );
d) O(f ) + O(f ) = O(f );
e)
o(f (x))
g(x)
= o

f (x)
g(x)

и
O (f (x))
g(x)
= O

f (x)
g(x)

, если g(x) 6= 0.
Доказательство. Докажем утверждения a) и b).
a) Пусть g
1
(x) = o (f (x)) и g
2
(x) = o (f (x)), т.е. g
1
(x) = α
1
(x) · f(x) и g
2
(x) =
α
2
(x) · f(x) для x ∈
o
U
E
(x
0
) и α
1
(x) → 0, α
2
(x) → 0 при x → x
0
, x ∈ E. Тогда o(f ) + o(f ) = g
1
(x) + g
2
(x) = α
1
(x) · f(x) + α
2
(x) · f(x) =
= (α
1
(x) + α
2
(x)) f (x) = o(f ),
так как α(x) = α
1
(x) + α
2
(x) → 0 при x → x
0
,
x ∈ E.
b) Пусть так же, как в пункте a) g
1
(x) = o (f (x)) и g
1
(x) = α
1
(x) · f(x). Тогда функция α
1
(x) может играть роль финально ограниченной функции β(x) при x → x
0
из определения 1.15.4. Таким образом, g
1
(x) = O (f (x)) при x → x
0
,
x ∈ E.
2
Остальные утверждения следует доказать самостоятельно.
– 57 –

Глава 2
Дифференциальное исчисление функций одного переменного
В результате изучения данной главы читатель должен уметь вычислять про- изводные и дифференциалы элементарных функций, исследовать функции на мо- нотонность, экстремумы, выпуклость, строить графики функций. Знать основные определения, формулы и теорем дифференциального исчисления и его приложений к исследованию функций: производную и ее геометрический смысл, дифференциал,
правила дифференцирования, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, формулу
Тейлора, правило Лопиталя. Владеть методами исследования и построения графи- ков функций с помощью производных.
2.1. Производная и дифференцируемость функции
Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (a, b), a < b, и точка x
0
∈ (a, b).
Определение 2.1.1. Приращением аргумента функции f в точке x
0
называют любое число ∆x, такое что (x
0
+ ∆x) ∈ (a, b). Приращением функции f в точке x
0
,
отвечающим приращению аргумента ∆x, называют разность
∆f = f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
).
Рассмотрим предел lim
∆x→0
∆f
∆x
= lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
(2.1.1)
Определение 2.1.2. Если предел (2.1.1) существует и конечен, то его называ- ют производной функции f (x) в точке x
0
и обозначают f
′
(x
0
) = Df (x
0
) =
df dx
(x
0
).
Пример 2.1.1. Найти производную постоянной функции.
Решение. Пусть y = c (c — постоянная). Тогда ∆y = 0 для любого ∆x, поэтому y
′
= 0.
Пример 2.1.2. Найти производную синуса.
Решение. Пусть y = sin x. Имеем
∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 cos

x +
∆x
2

sin
∆x
2
,
поэтому lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
cos

x +
∆x
2

· lim
∆x→0
sin
∆x
2
∆x
2
= cos x.
Таким образом,
(sin x)
′
= cos x.
58

Упражнение 2.1.1. Доказать равенство
(cos x)
′
= − sin x.
Упражнение 2.1.2. Доказать равенство (a x
)
′
= a x
· ln a. В частности (e x
)
′
= e x
Определение 2.1.3. Функция f называется дифференцируемой в точке x
0
, если
∆f = f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
) = A∆x + o(∆x),
∆x → 0.
(2.1.2)
Теорема 2.1.1. Функция f дифференцируема в точке x
0
тогда и только то- гда, когда в этой точке у функции f существует конечная производная, при этом константа A в формуле (2.1.2) равна f
′
(x
0
).
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x
0
, т.е. выполнено условие (2.1.2). Тогда lim
∆x→0
∆f
∆x
= A + lim
∆x→0
o(∆x)
∆x
= A.
Поэтому производная f
′
(x
0
) существует и равна A.
Достаточность. Пусть существует производная f
′
(x
0
), т.е. существует пре- дел (2.1.1). Тогда
∆f
∆x
= f
′
(x
0
) + α(∆x),
где lim
∆x→0
α(∆x) = 0.
Получаем, что в некоторой окрестности точки x
0
имеет место равенство
∆f = f
′
(x
0
) · ∆x + α(∆x) · ∆x = f
′
(x
0
) · ∆x + o(∆x), ∆x → 0.
Таким образом, выполнено условие (2.1.2) при A = f
′
(x
0
).
2
Определение 2.1.4. Если функция f дифференцируема в точке x
0
, то выраже- ние
A∆x = f
′
(x
0
)∆x называют дифференциалом функции f в точке x
0
и обозначают df (x
0
).
Если A 6= 0, то дифференцируемость функции f в точке x
0
означает, что с точно- стью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента ∆x,
приращение функции ∆f является линейной функцией от ∆x. Можно сказать, что дифференциал функции это главная линейная часть приращения функции.
Таким образом, на выражение для производной df dx можно смотреть как на от- ношение дифференциалов функции f и аргумента x, поскольку очевидно, что для функции y = x производная равна 1 и, следовательно, dy = dx = ∆x.
Итак, получаем, что df = f
′
(x
0
) dx.
Пример 2.1.3. Найти дифференциал функции y = x
3
Решение. В этом случае
∆y = (x
0
+ ∆x)
3
− x
3 0
= 3x
2 0
∆x + 3x
0
(∆x)
2
+ (∆x)
3
Линейная часть приращения функции равна 3x
2 0
∆x, поэтому dy = 3x
2 0
· dx.
Теорема 2.1.2. Если функция f дифференцируема в точке x
0
, то она и непре- рывна в этой точке.
– 59 –

Доказательство. Пусть функция f дифференцируема в точке x
0
, т.е. выполнено условие (2.1.2). Тогда lim
∆x→0
∆f = A lim
∆x→0
∆x + lim
∆x→0
o(∆x) = 0,
что и означает непрерывность функции.
2
Эта теорема не допускает обращения. Функция y = |x| непрерывна во всех точках вещественной оси, в частности, в точке x
0
= 0, но, как показано далее, недифферен- цируема в точке 0.
Введем понятие односторонней производной.
Определение 2.1.5. Левосторонней производной функции f в точке x
0
назы- вают предел lim
∆x→−0
∆f
∆x
= f
′
−
(x
0
) = f
′
(x
0
− 0),
правосторонней производной функции f в точке x
0
называют предел lim
∆x→+0
∆f
∆x
= f
′
+
(x
0
) = f
′
(x
0
+ 0).
Очевидно, для того, чтобы у функции f существовала (конечная) производная в точке x
0
, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали обе односто- ронние производные и они были равны между собой, при этом f
′
−
(x
0
) = f
′
+
(x
0
) = f
′
(x
0
).
Пример 2.1.4. Показать, что функция y = |x| не дифференцируема в точке 0.
Решение. Действительно, эта функция имеет односторонние производные в точке x = 0, но они не равны между собой: y
′
−
(0) = −1, y
′
+
(0) = +1. Таким образом,
функция |x| не дифференцируема в точке 0.
Рассмотрим движение точки по прямой линии (на которой положение точки опре- деляется координатой y), представляющее взятое с определенным знаком расстоя- ние от неподвижной начальной точки 0. Движение задано, если известна величина y = f (t) как функция времени t.
Для того чтобы прийти к понятию скорости в точке t
0
, рассмотрим отношение f (t) − f(t
0
)
t − t
0
,
представляющее собой среднюю скорость движения на промежутке [t
0
, t].
Определение 2.1.6. Определим (мгновенную) скорость движения в точке t
0
как предел lim t→t
0
f (t) − f(t
0
)
t − t
0
= v(t
0
).
Другими словами, мгновенная скорость является производной v(t
0
) = f
′
(t
0
).
2.2. Касательная. Геометрический смысл производной
2.2.1. Геометрический смысл производной. Найдем геометрический смысл производной. Построим график функции f в окрестности точки (x
0
, f (x
0
)) = M . Для произвольного приращения ∆x рассмотрим точку N = (x
0
+ ∆x, f (x
0
+ ∆x)), при- надлежащую графику функции. Проведем через точки M и N секущую (рис. 2.2.1).
Пусть теперь точка N стремится к точке M (т.е. ∆x → 0).
– 60 –

Определение 2.2.1. Если секущая стремится занять определенное положение,
то это предельное положение называется касательной к графику функции f в точке x
0
(рис. 2.2.2).
Теорема 2.2.1. Если функция f является дифференцируемой в точке x
0
, то в этой точке у функции f существует касательная, причем уравнение касательной имеет вид
Y − f(x
0
) = f
′
(x
0
)(X − x
0
).
O
x
0
x
0
+ ∆x y
0
y
0
+ ∆y x
y
M
S
N
α
Рис 2.2.1. Секущая
O
x
0
y
0
x y
M
β
Рис 2.2.2. Касательная
Как известно, коэффициент f
′
(x
0
) в уравнении касательной равен тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Таким образом, производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.
Пример 2.2.1. Найти касательную к параболе y = x
2
в точке (1, 1).
– 61 –

Решение. Производная y
′
= 2x и в точке x = 1 она равна 2. Искомая касательная тогда примет вид y − 1 = 2(x − 1) или y = 2x − 1.
Если функция f дифференцируема в точке x
0
, то из формулы (2.1.2) получаем f (x) = f (x
0
) + f
′
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
),
x → x
0
,
и значит (обозначая y кас
= f
′
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)), имеем f (x) − y кас
= o(x − x
0
),
x → x
0
Таким образом, касательная к графику функции обладает тем свойством, что раз- ность ординат графика и этой касательной есть величина бесконечно малая более высокого порядка при x → x
0
по сравнению с приращением аргумента.
Обратно: если существует невертикальная прямая y
пр
= A(x − x
0
) + f (x
0
),
проходящая через через точку (x
0
, f (x
0
)) и такая, что f (x) − y пр
= o(x − x
0
),
x → x
0
,
то эта прямая является касательной к графику функции в точке (x
0
, f (x
0
).
Упражнение 2.2.1. Найти касательные у функции y = |x| в любой точке x
0
∈ R.
Упражнение 2.2.2. Показать, что касательная к эллипсу x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
в точке (x
0
, y
0
) имеет уравнение xx
0
a
2
+
yy
0
b
2
= 1.
2.2.2. Некоторые применения. Рассмотрим пример.
Пример 2.2.2. При каких p и q парабола y = x
2