Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2023

Просмотров: 241

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

В. В. Тюрнев ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ СВЧ Красноярск 2006 Digitally signed by В.В. ТюрневDN: cn=В.В. Тюрнев, c=RU,o=Институт физики, ou=лаб.ЭДСВЧЭ, email=tyurnev@iph.krasn.ruReason: I am the author of this documentDate: 2006.07.15 19:37:12+08'00' МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Красноярский государственный технический университет Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН В. В. Тюрнев ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ СВЧ Рекомендовано Сибирским региональным отделением УМО высших учебных заведений РФ по образованию в области радиотехники, электроники биомедицинской техники и автоматизации для межвузовского использования в качестве учебного пособия студентов, обучающихся по направлениям подготовки 552500 – «Радиотехника», 654200 – «Радиотехника» специальности 071500 «Радиофизика и электроника» Красноярск 2006 2УДК 621.3.029.6(07) Т 98 Рецензенты: кафедра радиофизики Красноярского государственного университета (зав. кафедрой заслуженный деятель науки Российской Федерации доктор физико-математических наук профессор Г. А. Петраковский); Н. Д. Малютин, доктор технических наук, профессор кафедры радиоэлектронных технологий и экологического мониторинга Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. Тюрнев В. В. Т 98 Теория цепей СВЧ: Учеб. пособие // В. В. Тюрнев. Красноярск: ИПЦ КГТУ (рукопись изд. 2), 2006, 199 с. ISBN 5–7636–0506–3 Изложены теоретические основы анализа и синтеза цепей СВЧ. Подробно рас-смотрены микрополосковые цепи, прямой метод синтеза фильтров СВЧ, основанный на использовании фильтров-прототипов нижних частот и эквивалентных схем, а также современная теория коэффициентов связи резонаторов. Студентам, обучающимся по направлениям подготовки 552500 – «Радиотехника», 654200 – «Радиотехника» специальности № 071500 – «Радиофизика и электроника». Может быть полезно аспирантам и специалистам в области техники СВЧ. УДК 621.3.029.06(07) ISBN 5-7636-0506-3 © КГТУ, 2006 © В.В. Тюрнев, 2006 3ВВЕДЕНИЕ Диапазон сверхвысоких частот располагается между радиодиапазоном и оптическим диапазоном и охватывает частоты, которым соответствуют электромагнитные волны длинойот 1 м до 1 мм. Это частоты от 300 МГц до 300 ГГц*. За рубежом волны СВЧ называют микроволнами (англ. micro- waves). Диапазон СВЧ делят на три поддиапазона: дециметровый, санти- метровый и миллиметровый. Иногда к диапазону СВЧ относят также метро- вые и субмиллиметровые волны. Поддиапазоны имеют и другие названия. Метровый поддиапазон (30–300 МГц) называют очень высокими частотами (ОВЧ), дециметровый (0.3–3 ГГц) – ультравысокими частотами (УВЧ), сантиметровый (3–30 ГГц) – сверхвысокими частотами (СВЧ), миллимет- ровый (30–300 ГГц) – крайневысокими частотами (КВЧ), субмиллиметровый (0.3–3 ТГц) – гипервысокими частотами (ГВЧ). В устройствах диапазона СВЧ в полной мере проявляются волновые свойства электромагнитных колебаний. Здесь уже перестают работать урав- нения электро- и магнитостатики и вытекающее из них правило Кирхгофа для замкнутого контура, используемые в теории цепей радиодиапазона, но еще не начали работать законы геометрической оптики. Это связано с тем, что схемы диапазона СВЧ содержат элементы, размеры которых могут быть соизмеримы с длиной волны. Поэтому строгое описание схем диапазона СВЧ возможно только на основе электродинамических уравнений Максвелла. Электрические схемы радиодиапазона содержат в основном элемен - ты с сосредоточенными пар аметрами (lumped elements), которые можно считать точечными по сравнению с длиной волны. Это могут быть конденсаторы, дроссели, резисторы, соединительные проводники и т. д. Для схем СВЧ характерно наличие элементов с распределенными пара- метрами (distributed elements). К ним относятся отрезки линий передачи, резонаторы и другие протяженные элементы. Физические свойства таких объектов обычно характеризуют величинами, отнесенными на единицу дли- ны или на единицу площади. В диапазоне СВЧ емкость и индуктивность проводников часто нельзя рассматривать одну без другой. * Напомним, что 1 МГц = 10 6 Гц, 1 ГГц = 10 9 Гц, 1 ТГц = 10 12 Гц. 41. ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ СВЧ1.1. Типы линий передачи Линия передачи СВЧ есть устройство, ограничивающее область распространения электромагнитных колебаний и направляющее поток элек- тромагнитной энергии СВЧ в заданном направлении [1]. Линии передачи мо- гут содержать проводники и диэлектрическое заполнение (см. рис. 1.1) [2]. е жз га б вд Рис. 1.1. Основные типы линий передачи: а – двухпроводная; б – диэлектрическая; в – коаксиальная; г – симметричная полосковая; д – микрополосковая; е – щелевая; ж – копланарная; з – прямоугольный волновод Порядок св язн ости – это геометрическая характеристика попереч- ного сечения линии передачи, определяемая числом проводящих поверхно- стей [1]. В зависимости от количества проводящих поверхностей, линии пе- редачи подразделяют на односвязные линии, двухсвязные, трехсвязные и многосвязные. Линии нулевой связности не имеют проводящих поверхно- стей. Их называют диэлект рически ми линиями передачи. Р е г у л я р н а я линия передачи – это линия, у которой в продольном направлении неизменны поперечное сечение и электромагнитные свойства заполняющих сред [1]. Если у линии передачи отсутствует хотя бы одно из условий регулярности, то такая линия называется нерегулярной. О д н о р о д н о й линией передачи называют линию, заполненную однородной средой, то есть средой с неизменными электромагнитными свойствами в каждой точке объема, который она заполняет [1]. Наоборот, неоднородная линия передачи – это линия, заполненная неоднородной средой, то есть средой, в которой существуют две или более области, имеющие разные электромагнитные свойства. Линию передачи без диэлек- трического заполнения называют возд ушной . 5Линия передачи может быть как открытой, так и экранированной. В о т к р ы т о й линии передачи электромагнитное поле волны находится не только внутри линии, но и вблизи нее [1]. В экранированной линии выходу электромагнитного поля за ее пределы препятствует металлический экран. 1.2. Общие сведения о волнах в линиях передачи В любой линии передачи можно возбуждать различные типы гармони- ческих волн, отличающиеся структурой электромагнитного поля в попереч- ном сечении. Бегущей волной называют электромагнитную волну опре- деленного типа, распространяющуюся в линии передачи только в одном направлении [1]. Для каждой из бегущих волн существует своя критическая част ота ωcr, ниже которой она распространяться не может, а лишь локализуется вблизи своего источника. Критическую частоту ωcr называют еще частотой отсечки . Электромагнитная волна, имеющая наименьшую критическую частоту в данной линии передачи, называется волной основного типа или основной волной. Волной высшего типа называют волну, критическая частота которой выше критической частоты основной волны. Диапазон частот, в котором возможно распространение волн основного типа без распространения волн высших типов называют основным диапазоно м частот линии передачи [1]. Важнейшим параметром любой бегущей гармонической волны явля- ется волновое число kz, описывающее зависимость напряженностей E и H электромагнитного поля от продольной координаты z линии передачи: tiziktizikzzyxtzyxyxtzyxω−ω−==e),(),,,(,e),(),,,(HHEE(1.1) Волновое число kz также называют постоянной распространен ия . В общем случае kz – комплексная функция частоты ω, то есть kz(ω) = kz′ + ikz″, где kz′ и kz″ – вещественные функции частоты. Величину kz′ называют коэф- фициентом фазы , а величину kz″ – коэффициентом затухания. В отсутствие поглощения энергии, то есть при вещественной диэлектриче- ской и магнитной проницаемости заполняющей среды, мнимая часть волно- вого числа kz″ = 0, если частота волны ω> ωcr, и kz″ > 0, если ω< ωcr. Вместо 6волнового числа kz часто используют коэффициент распрост ранения γ, определяемый формулой γ = ikz. Фазовая скорость гармонической волны связана с вещественной частью волнового числа соотношением*v =ω/kz′ . (1.2) В общем случае фазовая скорость волны в линии передачи является функцией частоты. Свойство линии передачи, характеризующее изменение фазовой скорости v в зависимости от частоты ω, называют дисперсией линии пере- дачи. Скорость передачи сигналов в линии передачи называют групповой скоростью vg. Эта скорость может отличаться от фазовой скорости v, если линия обладает дисперсией. Групповая скорость связана с волновым числом k′ формулой vg= dω/dkz′. (1.3) Падающей волн ой называют бегущую волну, распространяющуюся от выбранного начального сечения вдоль направления распространения. Отраженной волной называют бегущую волну, вызванную отражением от нерегулярности в линии передачи и распространяющуюся в направлении обратном падающей волне. Стоячей волной называют периодическое из- менение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль линии передачи, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн [1]. Одной из характеристик электромагнитного поля бегущей волны явля- ется характеристическое сопротивление. Им называют отношение Zс= Eτ/Hτ, (1.4) где Eτ и Hτ – поперечные составляющие напряженностей электрического и магнитного поля бегущей волны. Эту величину не следует путать с волновым сопротивлением∗∗* Жирным шрифтом выделены номера формул, которые рекомендуется запомнить. ∗∗ По-английски волновое сопротивление есть characteristic impedance. 7Волновое сопротивление линии передачи есть отношение Z = Uп а д/Iп а д, (1.5) где Uп а д и Iп а д− напряжение и ток падающей волны. Его не следует путать и с входным сопротивлением линии передачи [1]. Входное сопротивление линии передачи есть отношение Z(z) = U(z)/ I(z), (1.6) где U(z) и I(z) – комплексные амплитуды напряжения и тока в сечении ли- нии передачи, заданном координатой z. Очевидно, что входное сопротивле- ние будет совпадать с волновым сопротивлением только при отсутствии от- раженной волны. 1.3. Общие уравнения для электромагнитных волн Получим ряд общих уравнений для электромагнитных волн в произ- вольной линии передачи и на их основе установим некоторые свойства этих волн. Будем исходить из уравнений Максвелла для участка линии передачи, заполненного материалом с относительной диэлектрической прони- цаемостью rε , относительной магнитной проницаемостью μr и про- водимостью σ. Для простоты будем считать материал изотропным. Тогда rε , μr и σ будут не тензорными, а скалярными величинами. Уравнения Максв елла имеют вид [3–4] t∂∂−=BErot, (1.7) jDH+∂∂=trot, (1.8) divD= ρ, (1.9) 0div=B, (1.10) где индукции D и B связаны с напряженностями E и H уравнениями EDrεε= 0, (1.11) HBrμμ=0, (1.12) а ток проводимости j связан с σ уравнением j =σE. (1.13) 8Здесь ε0 и μ0 – абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространст ва . Будем рассматривать гармонические колебания электромагнит- ного поля titizyxtzyxzyxtzyxω−ω−==e),,(),,,(,e),,(),,,(HHEE. (1.14) Подставляя (1.14) в (1.7)−(1.8) и используя комплексную диэлек- трическую проницаемость )/(0ωεσ+ε=εirr, (1.15) получаем HEriμωμ=0rot, (1.16) EHriεωε−=0rot. (1.17) Вычислим ротор от левой и правой части уравнения (1.16), а затем под- ставим в него равенство (1.17). Используя общее тождество FFFΔ−=)(div grad rot rot (1.18) для произвольного вектора F, получаем EEE2)(div gradk=Δ−. (1.19) где krrμε=k0, (1.20) k0=ω/c (1.21) − волновое число электромагнитной волны в свободном пространстве; 0 01με=c− скорость света. С учетом равенства (1.17) и тождества 0rot div=F (1.22) уравнение (1.19) принимает вид уравнения Гельмгольца 0 2=+ΔEE k. (1.23) Аналогичным образом можно получить уравнение 0 2=+ΔHH k. (1.24) Таким образом, электрическая и магнитная составляющие гармониче- ских электромагнитных колебаний удовлетворяют уравнению Гельмгольца. 9Далее будем рассматривать гармонические колебания, являющиеся волной с волновым числом kz, бегущей вдоль оси z. Учитывая (1.1), запишем уравнения (1.16) и (1.17) покомпонентно: ,,,,,0 00 00 0zrxyzrxyyrzxzyrzxzxryzzxryzzEiyHxHHiyExEEixHHikHixEEikEiHikyHHiEikyEεωε−=∂∂−∂∂μωμ=∂∂−∂∂εωε−=∂∂−μωμ=∂∂−εωε−=−∂∂μωμ=−∂∂ (1.25) Выразим поперечные составляющие бегущей волны через две про- дольные. Для этого в первом уравнении левого столбца исключим состав- ляющую Ey с помощью второго уравнения правого столбца: xHkyEHkkizzzrxz∂∂−∂∂ωεε=−0 22)(. (1.26) Аналогичным образом получаем выражения для остальных попереч- ных компонент yHkxEHkkizzzryz∂∂−∂∂εωε−=−0 22)(, (1.27) xHyEkEkkizrzzyz∂∂μωμ+∂∂−=−0 22)(, (1.28) yHxEkEkkizrzzxz∂∂μωμ−∂∂−=−0 22)(. (1.29) Таким образом, поперечн ые составляющие электрического и маг- нитного поля бегущей волны всегда можно выразить через продольные составляющие. Сами же продольные составляющие с точностью до неопре- деленных коэффициентов могут быть получены независимо одна от другой решением уравнений (1.23) и (1.24). При этом значение одного из неопреде- ленных коэффициентов можно задать произвольно, а значения остальных – найти из электродинамических граничных условий. На границе двух сред, ни одна из которых не является идеальным про- водником (σ ≠ ∞), электродинамические граничные условия опре- деляются уравнениями 10 0)2()2()1()1(=ε−εnrnrEE, (  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22

6.37) Существует несколько схем практической реализации инверторов со- противлений. На рис. 6.11 изображена одна из них. Она содержит три индук- тивности, соединенные по Т-схеме. Две из этих индуктивностей, располо- женные горизонтально, имеют отрицательные значения. На практике отрица- тельная величина индуктивности реализуется соответствующим уменьшени- ем последовательной индуктивности нагрузки на входе и выходе инвертора. Схемы ФНЧ, получающиеся заменой в схемах на рис. 6.7 параллель- ных емкостей на последовательные индуктивности и обратной заменой, изо- бражены на рис. 6.12. Вводя в схему фильтра инверторы сопротивлений или проводимостей, значения последовательных индуктивностей Li и параллельных емкостей Ci(i = 1, 2, … , n), а также значения сопротивления и проводимости генератора RA, GA и нагрузки RB, GB, можно задавать произвольно, если параметры инверторов будут следующими: ,,,,,1 1,1 11,1 01 01 11,1 11,1 01 01++++++++++======nnBnnniiiiiiAnnBnnniiiiiiAggGCJggCCJggCGJggRLKggLLKggLRK (6.38) Докажем справедливость формул для параметра Ki, i +1. Для этого на схеме ФНЧ, приведенной на рис. 6.12, выделим звено, содержащее две по- следовательные индуктивности Li и Li, i+1, соединенные инвертором сопро- тивления Ki, i +1, и изобразим его на рис. 6.13, где также представим соответ- ствующие ему LC-звенья двух дуальных схем, приведенных на рис. 6.7. 109Сравним значения входных сопротивлений звеньев, изображенных на рис. 6.13, а и б. Для определенности будем считать, что правое плечо LC-звена на рис. 6.13, б разомкнуто. Тогда дуальное ему LC-звено на рис. 6.13, в будет иметь короткозамкнутое правое плечо. А значит, и звено на рис. 6.13, а, образованное последовательными индуктивностями и К-инвер- тором, также будет иметь короткозамкнутое правое плечо. L1K01RA K12L2K23LnKn, n+1RBC1J01GA J12C2J23CnJn, n+1GBРис. 6.12. Фильтры-прототипы нижних частот с инверторами сопротивлений LiKi ,i +1Li +1gigi +1gi gi +1ZiZ′iа бв ••••••Рис. 6.13. К выводу формул (6.38) Согласно схемам на рис. 6.13, а и б для входных сопротивлений имеем ,1 21,++Ω−+Ω−=′iiiiiLiKLiZ (6.39) 1 1+Ω−+Ω−=iiigigiZ (6.40) Сопротивления Z′i и Zi должны совпадать на любой частоте Ω с точностью до постоянного множителя Li/gi, характеризующего изменение уровня сопро- тивления. Поэтому отношение вторых слагаемых в формулах (6.39), (6.40) должно равняться отношению первых слагаемых. Отсюда получаем значение для параметра Ki, i +1, выражаемое формулой (6.38). Аналогичным образом получаются значения для остальных параметров в формуле (6.38). 110Функцию затухания полосно-пропускающего фильтра L(ω) получают из функции затухания фильтра нижних частот L(Ω) с помощью какого-либо подходящего частотного преобразования. Чаще всего используют преобразо- вание вида ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ωω−ωω=ΩΩ0 01 1w, (6.41) где w0 12ωω−ω=(6.42) – относительная ширина полосы пропускания; 2 10ωω=ω(6.43) − ее центральная частота; ω1, ω2 – граничные частоты полосы пропускания, отвечающие уровню затухания L(Ω1). Вид АЧХ, получающейся при исполь- зовании преобразования (6.41), приведен на рис. 6.14. Частотное преобразование (6.41) соответствует преобразованию ФНЧ на рис. 6.7 в ППФ на рис. 6.15, содержащий чередующиеся параллельные и последовательные LC-контуры. Причем резонансные частоты всех LC-кон- туров равны ω0Применение частотного преобразования (6.41) в отношении схем ФНЧ на рис. 6.10 соответствует их замене на схемы ППФ, приведенные на рис. 6.16 и рис. 6.17. ω1L0ΔLω1ω0ω2 0Рис. 6.14. АЧХ полосно-пропускающего фильтра (n = 7) 111Рис. 6.15 Схема ППФ на параллельных и последовательных LC-контурах Рис. 6.16. Схема ППФ, содержащего последовательные LC-контуры и инверторы сопротивлений Выразим параметры L′i и C′i на рис. 6.16 через параметры Li на рис. 6.12. Для этого реактивное сопротивление i-й последовательной индук- тивности на рис. 6.12 приравняем с учетом формулы (6.41) реактивному сопротивлению i-го последовательного контура на рис. 6.16: iiiiCiLiLwiLi′ω−+′ω−=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ωω−ωω−=Ω−1 10 0Отсюда находим iiiiLwCLwL1 00 1,Ωω=′ωΩ=′. (6.44) Рис. 6.17. Схема ППФ, содержащего параллельные LC-контуры и инверторы проводимости Аналогичным образом находим параметры схемы на рис. 6.17: iiiiCwLCwC1 00 1,Ωω=′′ωΩ=′′. (6.45) Схемы ППФ на резонаторах СВЧ можно получить из схем на рис. 6.16 и рис. 6.17 заменой последовательных LC-контуров на последовательные ре- зонаторы СВЧ, а параллельных LC-контуров на параллельные резонаторы СВЧ. 112Прежде чем осуществить замену LC-контуров, напомним их электри- ческие свойства. Последовательные и параллельные LC-контуры являются двухполюсниками. Комплексное сопротивление Z последовательного конту- ра и комплексная проводимость Y параллельного контура выражаются фор- мулами (3.18) и (3.19). На резонансной частоте ω0= 1/ LC реактивное сопротивление X(ω) последовательного контура и реактивная проводимость B(ω) параллельного контура обращаются в нуль. Как уже говорилось, поведение реактансов X(ω) и B(ω) вблизи резонансной частоты ω0 характеризуют параметрами крутизны x и b, определяемыми формулами (3.16) и (3.17). Из формул (3.18) и (3.19) следует, что параметры крутизны реактансов контуров ,LCbCLx==(6.46) На рис. 6.18 и рис. 6.19 приведены две дуальные схемы ППФ, полу- чающиеся заменой LC-контуров в схемах на рис. 6.16 и рис. 6.17 на резона- торы СВЧ. Очевидно, что новые схемы ППФ по своим частотным характери- стикам будут тождественны своим прототипам, если реактансы резонаторов СВЧ совпадут с реактансами соответствующих LC-контуров. Однако из-за различия свойств LC-контуров и резонаторов СВЧ такое совпадение можно обеспечить только в ограниченной полосе частот. Поэтому потребуем совпа- дение реактансов прежде всего в полосе пропускания, то есть вблизи резо- нансной частоты ω0. Для этого помимо совпадения резонансных частот необходимо обеспечить совпадение параметров крутизны реактансов. Рис. 6.18. Схема ППФ, содержащего последовательные резонаторы СВЧ и инверторы сопротивлений Рис. 6.19. Схема ППФ, содержащего параллельные резонаторы СВЧ и инверторы проводимости 113Выразим параметры инверторов Ki, i+1 и Ji, i+1 через параметры крутиз- ны реактансов xi и bi. Для этого сначала выразим последовательные индук- тивности Li и параллельные емкости Ci через реактансы xi и bi. Согласно формулам (6.44)–(6.46) имеем ,1 1Ω=Ω=wbCwxLiiii (6.47) Подставляя (6.47) в (6.38), получаем ,,,,,1 11,1 11 1,1 01 101 11 1,1 11 1,1 01 101++++++++++Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=nnBnnniiiiiiAnnBnnniiiiiiAggGbwJggbbwJggbGwJggRxwKggxxwKggxRwK (6.48) Напомним, что в случае нормированных параметров gi граничная частота Ω1= 1 (см. формулу (6.30). Таким образом, в полосно-пропускающих фильтрах, приведенных на рис. 6.18 и рис. 6.19, все резонаторы СВЧ должны быть настроены на частоту ω0, определяемую формулой (6.43). Значения параметров крутизны xi или bi, а также параметров RA, RB или GA, GB могут быть заданы произвольно, руко- водствуясь только соображениями удобства проектирования. Требуемая форма характеристики достигается за счет определенного выбора параметров инверторов Ki, i +1 или Ji, i +1, выражаемого формулами (6.48). Точность формул (6.48), то есть степень совпадения АЧХ спроектиро- ванного фильтра с выбранной аппроксимирующей характеристикой, полно- стью определяется тем, в сколь широкой полосе частот реактансы резонато- ров СВЧ совпадают с реактансами LC-контуров фильтра-прототипа, а пара- метры инверторов остаются постоянными. Точность формул (6.48) возраста- ет с уменьшением полосы частот. В некоторых случаях хорошие результаты могут быть получены для w≤ 0.2 при использовании полуволновых резона- торов и для w≤ 0.4 при использовании четвертьволновых МПР. Резонаторы СВЧ в схемах ППФ на рис. 6.18 и рис. 6.19 включены как последовательные или параллельные двухполюсники. Реальные же резонато- ры СВЧ чаще включают в схему как четырехполюсник, в котором одна пара полюсов является входным портом, а другая пара – выходным. Поэтому тре- буется уточнить, чем же является реактивная проводимость B(ω) для парал- 114лельного резонатора СВЧ и реактивное сопротивление X(ω) для последова- тельного резонатора при включении резонаторов как четырехполюсник. Для этого обратимся к последовательным и параллельным LC-контурам в схемах на рис. 6.16 и рис. 6.17. Изобразим контуры в виде четырехполюсников, как показано на рис. 6.20. Y =−iB(ω)Z =− i X (ω) аб КЗХХ Рис. 6.20. Последовательный (а) и параллельный (б) LC-контур как четырехполюсник Отождествляя LC-контур с резонатором СВЧ в схемах на рис. 6.20, видим, что реактивное сопротивление X(ω) для последовательного резонато- ра СВЧ равно мнимой части его входного сопротивления Z|КЗ при коротко- замкнутом выходе, а реактивная проводимость B(ω) параллельного резонато- ра СВЧ равна мнимой части входной проводимости Y |ХХ при разомкнутом выходе. 6.5. Микрополосковые фильтры на параллельно связанных резонаторах Простейший микрополосковый ППФ на параллельно связанных резо- наторах представляет собой цепочку из n электромагнитно связанных парал- лельных отрезков МПЛ, каждый последующий из которых смещен относи- тельно предыдущего на половину своей длины. Вид сверху на полосковые проводники такого фильтра изображен на рис. 6.21. 1 2n…Вход Выход Рис. 6.21. Микрополосковый ППФ с четвертьволновыми связями между МПР 115Каждый отрезок МПЛ в фильтре является микрополосковым резонато- ром. Оба конца полоскового проводника МПР обычно разомкнуты. Его пер- вая резонансная частота ω1 равна центральной частоте полосы пропускания. Ширина W полосковых проводников в фильтре может скачкообразно изме- няться. Полосно-пропускающий фильтр, конструкция которого изображена на рис. 6.21, впервые была реализована не на микрополосковых, а на симмет- ричных полосковых линиях. Метод конструирования этого фильтра в полос- ковом исполнении предложил S. B. Cohn. Затем его метод был обобщен дру- гими авторами для микрополоскового исполнения. Схему рассматриваемого микрополоскового фильтра (МПФ) можно представить в виде каскадного соединения нескольких отрезков пар связан- ных МПЛ, изображенных на рис. 4.13. Длина этих отрезков равна половине длины резонатора, а их электрическая длина на частоте ω1 приблизительно равна π/2. Поэтому связь между соседними резонаторами называют чет- вертьволновой. Отрезок i-й пары (i = 0, 1, 2, ... , n) вблизи частоты ω1 эквивалентен, как мы увидим ниже, двум отрезкам одиночных МПЛ, соединенным инвертором проводимости с электрической длиной θi n v= −90° (см. рис. 6.22). θe, θoZe, ZoθiθiZiZiабJi, i +1−90°Рис. 6.22. Отрезок пары связанных МПЛ (а) и его эквивалентная схема (б) J12Jn,n +1 Z1Z1Z2Zn +1π/2π/2π/2π/2−90°−90° Z0π/2 J01Z0π/2 −90°J01 J12 Рис. 6.23. Эквивалентная схема МПФ, изображенного на рис. 6.21 Тогда эквивалентная схема всего МПФ получится каскадным соедине- нием эквивалентных схем отдельных отрезков связанных МПЛ, как показано на рис. 6.23. 116Очевидно, что в эквивалентной схеме МПФ любая каскадно-соединен- ная пара отрезков МПЛ, расположенная между двумя ближайшими инверто- рами проводимости, является полуволновым резонатором. Поэтому, согласно (6.10), суммарная электрическая длина составного МПР на частоте ω1 долж- на равняться π, если предполагать равенство электрических длин составляю- щих отрезков. Отсюда все отрезки на резонансной частоте должны иметь электрическую длину θi=π/2. Установим связь между остальными параметрами двух схем на рис. 6.22. Для этого сначала необходимо записать матрицу передачи эквивалентной схемы. Перемножая матрицы передачи составляющих элементов схемы (4.5) и (6.37), получаем [ ],sin cos1cos sin cos sin sin cos1 22 22 22⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ−θ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ−θ−θθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=iiiiiiiiiiiiiiiJZJZJJZiJJZiJZJZA (6.49) где для краткости у параметра Ji, i +1 опущены индексы. Потребуем равенства матриц передачи двух четырехполюсников, изо- браженных на рис. 6.20, вблизи частоты ω1. Элементы этих матриц заданы формулами (4.103) и (6.49). Так как оба четырехполюсника являются сим- метричными и взаимными, то достаточно потребовать равенства лишь двух из четырех элементов. Приравнивая элементы A и C матриц передачи, полу- чаем ooeeooeeiiiiZZZZJZJZθθθ+θ=θθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−−1 1sin sin ctg ctg sin cos1, (6.50) ooeeiiiZZJJZθ−θ=θ−θ−−1 12 22sin sin2cos sin1. (6.51) Замечаем, что функция в левой части равенства (6.50) обращается в нуль на резонансной частоте, так как электрическая длина θi=π/2 при ω = ω1. Поэтому и функция в правой части равенства должна обращаться в нуль на этой же частоте. Отсюда получаем уравнение для определения резо- нансных значений электрических длин θe и θo: 117[]0ctg ctg1=θ+θω=ωooeeZZ. (6.52) Получим теперь условие выполнения равенства (6.50) вблизи частоты ω1Для этого приравняем на частоте ω1 производные функций в правой и левой части равенства (6.50). Учитывая, что dθi/dω = π/(2ω1),dθe/dω = θe/ω1,dθo/dω = θo/ω1, (6.53) получаем 1 12 2sin sin sin sin1 2ω=ωω=ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ+θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ−θ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+πoooeeeooeeiiZZZZZJZJ. (6.54) Функция в левой части равенства (6.51) не обращается в нуль на резо- нансной частоте. Более того, ее производная равна нулю. Поэтому можно ограничиться требованием выполнения этого равенства лишь на частоте ω1В результате получаем 2 2sin sin1iooeeJZZZ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ−θω=ω. (6.55) Уравнения (6.54) и (6.55) можно преобразовать к виду ,sin sin sin sin2)1(1 1,2 21,ω=ω++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθ+θθθθ++π=eeeooooiiiiiiieZJZJZZ (6.56) sin sin sin sin2)1(1 1,2 21,ω=ω++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθ+θθθθ−+π=oeeooeeiiiiiiioZJZJZZ (6.57) Теперь для i-го инвертора проводимости найдем значения его парамет- ра Ji, i +1. Согласно формуле (6.11) записываем параметры крутизны реактан- сов резонаторов, связываемых инвертором Ji, i +1: 2 11 21 4,4iiiiiiiiZZZbZZZb++−+π=+π=. (6.58) 118Подставляя (6.58) в (6.48) и полагая Ω1= 1, получаем формулы для па- раметров инверторов проводимости 1 01 0 1 1,1 1,1 11,4( 1) ( 1),4 14AAiiiii iii inBn nBnnZ GwJGg g1Z YZ YwJYg gZ GwJGg g−++++++π=++π=+π= (6.59) Таким образом, нами получены все формулы, необходимые для синтеза полосно-пропускающего МПФ с четвертьволновыми связями между резона- торами. Первоначально эти формулы в упрощенном виде были получены для частного случая, при котором все резонаторы фильтра имеют одинаковые волновые сопротивления: RA= Z1= Z2= … = Zn−1= RB= Z0. (6.60) В этом случае формулы синтеза несколько упрощаются, но, главное, сущест- венно упрощается сам расчет, так как каждый участок связанных МПЛ рас- считывается независимо от других. Это достигается ценою того, что ширину полосковых проводников уже нельзя задавать произвольно. Поэтому полос- ковые проводники обязательно будут иметь скачки ширины (см. рис. 6.24). Итак, формулы (6.59), (6.56), (6.57) и (6.52) после наложения условий (6.60) принимают вид 2,2,2 11 01,1 10 1,1 01 001wggZJwggZJwggZJnnnniiiiπ=π=π=+−++−+−, (6.61) ,sin sin sin sin2)1(1 01,2 02 1,0ω=ω++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθ+θθθθ++π=eeeooooiiiieZJZJZZ (6.62) 119 1sin sin sin sin2)1(0 1,2 02 1,0ω=ω++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθ+θθθθ−+π=oeeooeeiiiioZJZJZZ, (6.63) []0ctg ctg1=θ+θω=ωooeeZZ. (6.64) Расчет фильтра производится в определенной последовательности. Предполагаются заданными центральная частота полосы пропускания ω1, ее относительная ширина w, параметр неравномерности затухания η, волновое сопротивление тракта СВЧ Z0, число резонаторов n, толщина подложки h и относительная диэлектрическая проницаемость подложки εr. Также предпо- лагается наличие программы по расчету следующих параметров связанных МПЛ: Ze(εr, W, S, h), Zo(εr, W, S, h), εe(εr, W, S, h), εo(εr, W, S, h). Требуется найти размеры полосковых проводников. WiSiliВходВыход Рис. 6.24. Фильтр на одинаковых регулярных МПР с четвертьволновыми связями Сначала по формулам (6.32), (6.33) или (6.36) вычисляют параметры giфильтра-прототипа нижних частот, а по формулам (6.61) находят параметры Ji, i +1. Затем последовательно для каждого участка связанных МПЛ решают систему нелинейных уравнений (6.62)–(6.64). В результате находят значения ряда параметров, в том числе значения ширины полосковых проводников Wi, зазора между ними Si, эффективных относительных диэлектрических прони- цаемостей для четных и нечетных волн εe и εo. Наконец, по формуле (4.6) вычисляют длину li четвертьволнового отрезка связанных МПЛ. Система уравнений (6.62)–(6.64) решается методом последовательных приближений, то есть последовательными итерациями. Сначала задают на- чальные значения параметров Wi, Si, θe и θo. Например: Wi= W0, Si= h, 120θe=θo=π/2, где W0 – ширина полоскового проводника одиночной МПЛ с волновым сопротивлением Z0После этого циклически выполняют следующие действия. Для текущих значений Wi и Si рассчитывают среднее значение волновых сопротивлений Za= (Ze+ Zo)/2, их относительную разность δZ = (Ze−Zo)/Za и значения εe и εoЗатем значения Za и δZ сравнивают с соответствующими величинами, вычис- ленными по формулам (6.62), (6.63), и производят коррекцию параметров Wiи Si следующим образом. Если отношение kW= Za(Wi, Si)/Za(Ji, i +1,θe,θo) отличается от единицы, то параметру Wi присваивают новое значение kWWi, так как волновое сопро- тивление МПЛ при Wi≥ h приблизительно пропорционально Wi−1. Если отношение kS=δZ(Wi, Si) /δZ(Ji, i +1, θe, θo) отличается от единицы, то пара- метру Si присваивают новое значение kSSi, так относительная разность вол- новых сопротивлений при Si≥ h приблизительно пропорциональна Si−1. Если была произведена коррекция хотя бы одного из параметров Wi или Si, то на- чинается новый цикл. В противном случае при текущих значениях εe и εoчисленно решается трансцендентное уравнение (6.64) относительно θe и θoЕсли новые значения θe и θo отличаются от их прежних значений, то начи- нается новый цикл. В противном случае система уравнений (6.62)–(6.64) счи- тается решенной. В случае узкополосных фильтров, когда θe≈ π/2 ≈ θo, вместо системы трех уравнений (6.62)–(6.64) часто решают более простую систему из двух уравнений, имеющую вид )(1,)(1 20,0,0 20,0,0 11 11ZJZJZZZJZJZZiiioiiieii+++++−≈++≈ (6.65) При этом длина связанных проводников l =λg/4, где λg – длина волны на частоте ω1 в эквивалентной полосковой линии с относительной диэлектриче- ской проницаемостью 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ε+ε≈εoeooeeequZZZZ. (6.66) 121Отметим, что синтез фильтра на МПР с четвертьволновыми связями возможен и без наложения условий (6.60). Вместо них можно, в частности, наложить условие постоянства ширины Wi для всех полосковых проводни- ков. В этом случае параметры Zi следует рассматривать как функции аргу- ментов Wi и Si, а систему уравнений (6.59), (6.56), (6.57) и (6.52) решать со- вместно для всех участков связанных МПЛ. Рассмотрим теперь фильтр, показанный на рис. 6.25, у которого вход- ной и выходной резонаторы имеют кондуктивную связь с внешним трактом СВЧ. Ранее, то есть при четвертьволновой электромагнитной связи (рис. 6.24), параметры крутизны b1 и bn входного и выходного резонаторов были связаны с параметрами J01 и Jn , n + 1 оконечных инверторов формулами (6.48). Очевид- но, что оконечные инверторы в схеме на рис. 6.19, обеспечивающие требуе- мую связь фильтра по входу и выходу, не будут инвертировать волновые проводимости GA и GB внешнего тракта СВЧ, если параметры инверторов J01= GA и Jn, n +1= GB (см. формулу на рис. 6.10, б). В этом случае оконечные инверторы можно просто исключить. Тогда схема на рис. 6.24 превратится в схему на рис. 6.25. Поэтому схемы на рис. 6.24 и рис. 6.25 будут эквивалент- ны, если wggGbwggGbnnBnA1 10 1,+==. (6.67) Расстояние lc, отделяющее точку кондуктивного подключения от конца полоскового проводника (см. рис. 6.25), находят следующим образом. Снача- ла по формуле (6.67) вычисляют параметр крутизны реактанса. Затем решают уравнение (6.14). Его корнем при заданной резонансной частоте является lcWiSililсlсl0Вход Выход Рис. 6.25. Кондуктивное подключение МПФ на одинаковых регулярных МПР с четвертьволновыми связями 122В случае одинаковых регулярных резонаторов, то есть при выполнении условий (6.60), формула (6.14) на частоте первого резонанса принимает про- стой вид cYbθπ=2 0cos2. (6.68) Поэтому длина lc может быть вычислена по формуле )2/(arccos2 10 0ggwllcππ=, (6.69) где l0 – длина четвертьволновой ступени оконечного резонатора, не взаимо- действующей с соседним МПР. 1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22

7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи. Резонансная частота Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие двух одинаковых ре- гулярных микрополосковых резонаторов при произвольной длине области lс(см. рис. 7.12). 0−l1l lсz l1lс= xl 1 2Рис. 7.12. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи Введем относительную длину области связи x = lс/l. (7.32) Резонансные частоты таких резонаторов удовлетворяют уравнению , 0sin sin )()cos cos1(2tg)cos sin cos sin( tg sin sin4][][2 21 21 11=θθ+−θθ+θ++θθ+θθθ+θθoeoeoeoeoeoeoeoeZZZZZZZZ (7.33) где clclcoocee/, /εω=θεω=θ – электрические длины области связи на частоте ω для четных и нечетных волн соответственно; cl /1 11εω=θ− элек- трическая длина одиночных несвязанных участков. Уравнение (7.33) может быть получено путем вычисления ABCD- матрицы соответствующего составного четырехполюсника с помощью фор- мул (6.3) и (6.4). Частным случаем уравнения (7.33) при lc= l являются урав- 149нения (7.25). В случае lc= 0 из (7.33) следует, что частоты четных и нечетных колебаний вырождены и удовлетворяют условию θ1=πn. На рис. 7.13 по формуле (7.20) построены зависимости коэффициента связи МПР на частоте полуволновых колебаний (n = 1) от относительной длины области связи для нескольких значений диэлектрической проницаемо- сти подложки. Частоты полуволновых четных и нечетных связанных колеба- ний находились численным решением уравнения (7.33). Рис. 7.13. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 1) Видно, что все кривые пересекаются в одной точке. Координата этой точки xc= 0.646 является корнем уравнения πxc+ tg(πxc) = 0. (7.34) Пересечение кривых k(x) в одной точке говорит о том, что при x = xc коэффициент связи резонаторов не зависит от диэлектрической проницаемо- сти подложки. Очевидно, что это возможно только в том случае, когда коэф- фициент емкостной связи резонаторов kC|x= xc= 0. Другими словами, при x = xc связь между резонаторами становится чисто индуктивной. 150Для начала получим простые приближенные аналитические выражения для функций kL(x) и kC(x), полагая, что эти функции пропорциональны соот- ветственно энергиям индуктивного и емкостного взаимодействий ∫∫−==xlmCxlmLdzzuzuCxWdzziziLxW0 21 12 02 112)()()(, )()()(. (7.35) Распределение токов и напряжений вдоль проводников обоих резона- торов на частоте полуволнового резонанса (n=1) аппроксимируем функциями ])1/([ cos)(),/(cos)(,])1/([ sin)(),/(sin)(2 21 12 21 1xlzUzulzUzuxlzIzilzIzi−+π=π=−+π=π= (7.36) После выполнения интегрирования в (7.35) получаем )( cos)( sin1)(, )( cos)(sin1)(][][xxxKxkxxxKxkCCLLπ+ππ≈π−ππ≈ (7.37) Коэффициенты пропорциональности в (7.37) выбраны из условия, что- бы при x =1 эти формулы переходили в формулы (7.30). Видим, что из второй строки формулы (7.37) получается уравнение (7.34) для определения xcНа рис. 7.14 приведены зависимости kL(x) и kC(x), построенные по формулам (7.37). Видно, что на частоте полуволнового резонанса коэффици- ент индуктивной связи kL(x) всегда положителен, а коэффициент емкостной связи kC(x) положителен только при x < xcРис. 7.14. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 1) 151Вычислив по формулам (7.37) коэффициенты kL(x) и kC(x), можно найти коэффициент связи k(x), не прибегая к формуле (7.20) и не решая трансцендентного уравнения (7.33). Его можно вычислить по формуле (7.24). Правомерность использования формулы (7.24) при любых значениях x , а не только при x =1 подтверждается численными расчетами для конкретных случаев. Рис. 7.15. Относительная погрешность расчета коэффициента связи по формулам (7.37) и (7.24) на частоте полуволнового резонанса (n = 1) Расчетные кривые, представленные на рис. 7.15, являются одним из та- ких доказательств. Они показывают зависимости относительной погрешно- сти расчета k(x) по формулам (7.37) и (7.24) от длины области связи для трех значений εr. Величина Δk вычислялась как разность приближенного и точно- го значения k(x), рассчитанного по формулам (7.20) и (7.33). Видно, что во всем диапазоне значений x относительная погрешность Δk/k составляет по- рядка 1 %. С одной стороны, это говорит о высокой точности приближенных формул (7.37), а с другой – о правомерности использования формулы (7.24) при x≠1. Аналогичным образом могут быть получены формулы для коэффици- ентов индуктивной и емкостной связи на частотах высших мод колебаний. На частоте о д н о в о л н о в ы х колебаний (n = 2) эти формулы имеют вид )2(cos)2(sin2 1,)2(cos)2(sin2 1][][xxxπKkxxxπKkCCLLπ+π−≈π−π−≈ (7.38) 152Забегая вперед, заметим, что приближенные формулы (7.37) и (7.38) становятся точными в пределе KL, KC→ 0. Коэффициент связи k(x) для о д н о в о л н о в ы х колебаний может быть по-прежнему вычислен по формуле (7.24). Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от относительной длины области связи (n = 2) На рис. 7.16 для второй моды колебаний (n = 2) построены нормиро- ванные зависимости коэффициентов индуктивной и емкостной связи от дли- ны области связи. Эти зависимости существенно отличаются от соответст- вующих кривых, построенных для первой моды колебаний (см. рис. 7.14). Коэффициент kL(x) меняет свой знак в точке x = 0.715, а коэффициент kC(x) меняет свой знак дважды. Минимум коэффициента kL(x) располагается в точке x = 0.5 а его величина kL min= –0.5KL. Первый минимум коэффициента kC(x) располагается в точке x = 0.165, имея величину kC m in1= –0.22 KC. Вто- рой минимум располагается в точке x = 1, имея величину kC mi n2= –KC. Мак- симум коэффициента kC(x) расположен в точке x = 0.58, а его величина kC ma x= 0.59KCНа рис. 7.17 для нескольких значений εr построены зависимости коэф- фициента связи резонаторов от относительной длины их области связи на частоте одноволнового резонанса. Видно, что кривые на этом рисунке существенно отличаются от соответствующих кривых для первой моды 153колебаний (см. рис. 7.13). Во-первых, коэффициент k(x) для второй моды колебаний может быть, в зависимости от смещения резонаторов, как по- ложительным, так и отрицательным. Во-вторых, существует не один, а два значения x, при которых коэффициент связи не зависит от εr. Это точки xc1= 0.323 и xc2= 0.782. В них коэффициент kC= 0. В-третьих, для каждого εrсуществует такое значение x = xk, при котором k = 0. Причем с увеличением εr от 1 до ∞ значение xk изменяется от 0.50 до 0.75. При длине области связи x = xk емкостное взаимодействие полностью компенсируется индуктивным. Следует отметить, что величина xk зависит не только от εr, но и от W, S и h. Рис. 7.17. Зависимость коэффициента связи от относительной длины области связи (n = 2) При рассмотрении высших мод колебаний (n > 1) в связанных микро- полосковых резонаторах следует помнить, что квазистатическое приближе- ние дает хороший результат только когда поперечные размеры резонаторов W, S, h значительно меньше длины волны в резонаторе λgТаким образом, коэффициент связи k для симметричной пары парал- лельно связанных микрополосковых резонаторов характеризует степень рас- щепления резонансных частот четных ωe и нечетных ωo связанных колеба- ний, описываемую формулой (7.20). Это расщепление вызывается как индук- тивным, так и емкостным взаимодействиями резонаторов. Степень индук- тивного взаимодействия резонаторов характеризуется коэффициентом kL, 154емкостного – коэффициентом kC. Эти коэффициенты могут быть вычислены по приближенным формулам (7.37), (7.38). Коэффициент k является «сум- мой» коэффициентов kL и kC, причем суммирование производится по форму- ле (7.24). 7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи Определения коэффициента связи резонаторов СВЧ, приведенные вы- ше, не удобны для практического применения. Так, использование формул (7.5) и (7.7) для связанных резонаторов требует предварительного нахожде- ния параметров эквивалентной схемы. Кроме того, эти формулы и формула (7.20) задают значение коэффициента связи k лишь на резонансной частоте, в то время как связь между резонаторами фильтра существует на всех частотах ω, где коэффициент прохождения мощности СВЧ отличен от нуля. Используя энергетический подход, сформулируем физическое опреде- ление коэффициента связи резонаторов, позволяющее исследовать частот- ную зависимость k(ω). Для этого рассмотрим пару связанных колебательных контуров, включенную между генератором и нагрузкой (см. рис. 7.18). CmI1I2U1U2L2L1C2C1R2R1∼ ЄLmРис. 7.18. Связанные колебательные контуры, включенные между генератором и нагрузкой Пусть ЭДС генератора изменяется по закону Є(t) = Є0exp (−iωt). Тогда комплексные напряжения и токи в индуктивностях контуров будут удовле- творять уравнениям U1=−iω(L1I1+ LmI2), (7.39) U2=−iω(L2I2+ LmI1), (7.40) ][2 22 22 21RUUCiICiUUm+ω−ω=−. (7.41) 155Из уравнений (7.39)−(7.41) находим коэффициент передачи по напряжению из первого контура во второй: 2 12 22 22 12 21 12 ][])([1 ][ω−ω++−ω−−=LLLRiCCCLLLLLUUmmmmm. (7.42) Видно, что коэффициент передачи обращается в нуль на частоте ])[2 21(mmmpCLLLL−=ω (7.43) и имеет максимум модуля вблизи резонансной частоты второго контура ])(1[ )(1 21 22 22LLLCCLmm−+=ω. (7.44) Замечаем, что на резонансной частоте ω2 коэффициент передачи является мнимым числом: ][ ])(1[)(2 21 22 12 21 22mmmmmCCLLLLCLLCCiRUU+−−+=ω=ω (7.45) Очевидно, что резонансная частота первого контура ])(1[ )(1 21 21 11LLLCCLmm−+=ω. (7.46) Запишем выражение для электромагнитной энергии, запасаемой всеми элементами связанных контуров. Начнем с энергии электрического поля: (2 12 21 22 22 11 21 21Re)(Re)(Re)(UUCUCUCtWmC−++=). (7.47) Выделяя для комплексных напряжений U1(t), U2(t) амплитуды |U1|, |U2| и на- чальные фазы ϕ1= arg(U1)|t= 0, ϕ2= arg(U2)|t= 0, выражение (7.47) записываем в виде )()(tWWtWCCC+=, где )(cos)()(2 12 12 12 22 41 21 14 1ϕ−ϕ−+++=UUCUCCUCCWmmmC (7.48) − постоянная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть усредненной по времени энергией; 156)2(cos)(2cos)()(2cos)()(2 12 12 12 22 24 11 21 14 1ϕ−ϕ−ω−−ϕ−ω++ϕ−ω+=tUUCtUCCtUCCtWmmmC (7.49) − переменная составляющая энергии электрического поля, которую будем называть колеблющейся энергией. Усредненная энергия W¯C, согласно (7.48), CCCCWWWW12 22 11++=, где 2 22 41 22 21 14 111)(,)(UCCWUCCWmCmC+=+= (7.50) − усредненные энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности; )(Re2*1 21 12UUCWmC−= (7.51) − усредненная энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно. Напротив, колеблющаяся энергия W C, согласно (7.49), )()()()(12 22 11tWtWtWtWCCCC++=, где )(Re)()(),(Re)()(2 22 41 22 21 14 111UCCtWUCCtWmCmC+=+= (7.52) − колеблющиеся энергии электрического поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности; )(Re)(2 12 112UUCtWmC−= (7.53) − колеблющаяся энергия электрического поля, запасаемая первым и вторым контуром совместно. Запишем теперь энергию магнитного поля, запасаемую всеми элемен- тами связанных контуров: ()2 12 22 21 12 12 1(Re)Re)(Re)(Re)(IILILILtWmL++=. (1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22

7.54) Выделяя амплитуды токов |I1|, |I2| и их начальные фазы ψ1, ψ2, запишем вы- ражение (7.54) в виде )()(tWWtWLLL+=, 157где )(cos2 12 12 12 22 41 21 14 1ψ−ψ++=IILILILWmL (7.55) − усредненная энергия магнитного поля; )2(cos)(2cos)(2cos)(2 12 12 12 22 24 11 21 14 1ψ−ψ−ω++ψ−ω+ψ−ω=tIILtILtILtWmL (7.56) − колеблющаяся энергия магнитного поля. В формулах (7.55)–(7.56), в отличие от формул (7.48) и (7.49), ни одно из слагаемых нельзя отождествлять с энергией, запасаемой каким-либо опре- деленным контуром, так как ток в одном из контуров может быть связан с колебанием в другом контуре. Последнее утверждение становится очевид- ным, если рассматривать колебания на частоте ω = ωр, когда U2= 0 при U1≠ 0. Действительно, в этом случае колебания во втором контуре отсутствуют (U2= 0), а ток I2, согласно (7.41), отличен от нуля. Это означает, что колеба- ния в первом контуре простираются лишь на один из элементов второго кон- тура (L2), а не на весь второй контур в целом. Таким образом, ток I2 во втором контуре может быть связан как с коле- банием во втором контуре, так и с колебанием в первом контуре. Аналогич- ная неопределенность имеет место и для тока I1Эту неопределенность можно устранить, если учитывать реальную взаи- мосвязь между токами и напряжениями, выражаемую общими формулами ,2 22 121 22 12 111 1UiUiIUiUiI+=+=(7.57) Подставляя (7.57) в (7.55), получаем LLLLWWWW12 22 11++=, где 2 222*12 222 22 12 14 122 21 21*11 221 22 11 14 111][][)(Re2,)(Re2UiiLiLiLWUiiLiLiLWmLmL++=++= (7.58) − усредненные энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым кон- туром в отдельности; 158()2*1 12*21 22*11 22*21 212*11 12 112][)(ReUUiiiiLiiLiiLWmL+++= (7.59) − усредненная энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым конту- ром совместно. Теперь подставим (7.57) в (7.56). Получаем )()()()(12 22 11tWtWtWtWLLLL++=, где ()(2 222 12 222 22 12 14 122 21 21 11 221 22 11 14 111][][2Re)(,2Re)(UiiLiLiLtWUiiLiLiLtWmLmL++=++=) (7.60) − колеблющиеся энергии магнитного поля, запасаемые первым и вторым контуром в отдельности; ()2 121 12 22 11 22 21 212 11 12 112][)(Re)(UUiiiiLiiLiiLtWmL+++= (7.61) − колеблющаяся энергия магнитного поля, запасаемая первым и вторым кон- туром совместно. Из уравнений (7.39)–(7.40) находим коэффициенты ,,,2 21 122 22 121 22 112 22 12 11mmmmmmLLLLiiLLLLiiLLLLiiLLLLii−ω=−ω−=−ω−=−ω=(7.62) Подставляя (7.62) в (7.61), получаем )(Re)(2)(2 12 21 212UULLLLtWmmL−ω=. (7.63) Учитывая, что )2(cos)(Re2 12 12 1ϕ−ϕ−ω=tUUUU, из формул (7.53) и (7.63) находим амплитуды∗ колеблющихся энергий электрического и магнитного поля, запасаемых контурами совместно: ∗ Амплитуды обеих колеблющихся энергий допускают совместное изменение их знаков, так как амплитудой синусоиды Re(U1U2) можно считать как |U1U2|, так и –|U1U2|. 159 21 22 12 12 21 21 12)(2,UULLLLWUUCWmmLmC−ω=−=. (7.64) Теперь подставим (7.62) в (7.58). Получаем 2 22 21 21 22 21 22 12 211)(4,)(4ULLLLWULLLLWmLmL−ω=−ω=. (7.65) Очевидно, что усредненная энергия электрического поля W—12 C, запа- саемая контурами совместно, есть энергия емкостной связи контуров, а ус- редненная энергия магнитного поля W—12 L есть энергия индуктивной связи контуров. Можно предположить, что коэффициенты связи kC и kL пропорцио- нальны энергиям W—12 C и W—12 L. Подобное предположение уже делалось при выводе формул (7.37), где оно достаточно хорошо оправдалось. Однако это не вполне верно. Действительно, если бы коэффициенты kC и kL были про- порциональны усредненным энергиям W―12 C и W―12 L, то на резонансной часто- те ω = ω2 эти коэффициенты, согласно формулам (7.53), (7.63), (7.45) и (7.39)−(7.40), обращались бы в нуль, а не принимали значения, выражаемые формулами (7.22) и (7.23). Поэтому будем искать взаимосвязь коэффициен- тов kC и kL не с усредненными энергиями W―12 C и W―12 L, а с амплитудами Wֹ12 Cи Wֹ12 L колеблющихся энергий, которые не обнуляются на резонансной частоте. Используя формулы (7.50), (7.64), (7.65), приходим к равенствам ,)1)(1(2)()(2 22 22 12 122 22 11 11 12))((−−ωω+ωω+××++−=++mmmCLCLCCCCCCWWWWW (7.66) )1()1(2)( )(2 22 22 12 122 22 11 11 12ωω+ωω+=++−−LLLWWWWWmCLCLL. (7.67) Видно, что при выполнении условий двойного резонанса ω = ω1= ω2 правые стороны равенств (7.66) и (7.67) совпадают соответственно с правыми сторо- нами формул (7.22) и (7.23). Поэтому коэффициенты индуктивной и емкостной связи любых резонаторов СВЧ и контуров определяем форму- лами 160kL)()(22 22 11 11 12CLCLLWWWWW++=, (7.68) kC )()(22 22 11 11 12CLCLCWWWWW++=. (7.69) Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты kL и kCдля контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте ω по формулам ,)1( )1(2 22 22 12 21−−ωω+ωω+=LLLkmL (7.70) )1()1(2)()(2 22 22 12 1−−ωω+ωω+++−=mmmCCCCCCk (7.71) Видно, что при Lm> 0 коэффициент kL всегда положителен. Он убывает с ростом частоты ω. Напротив, коэффициент kС всегда отрицателен и возрас- тает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаим- ной компенсации индуктивной и емкостной связи ωz, на которой сумма kL+ kC обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота ωz строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения ωp, значение которой за- дается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения Lm/Cm часто- та ωz может быть как выше, так и ниже частот ω1 и ω2Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индук- тивной связи kL и емкостной связи kC есть отношения амплитуд колеблю- щейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности. Зная коэффициенты kL и kC, по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k. 7.7. Энергия связанных МПР Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось ко- ординат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход 161первого резонатора расположен в точке z1, а вход второго – в точке z2. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения u1(z1) = U1,u2(z2) = U2. (7.72) Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов ∫∫∫−+++=,)(Re)()(2*1 21 22 24 12 11 41dzuuCdzuCCdzuCCWmmmC (7.73) ,)(Re2*1 21 22 24 12 11 41∫∫∫++=dziiLdziLdziLWmL (7.74) где интегрирование производится по области существования токов и напря- жений. Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами со- вместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бе- гущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий про- порционально определенной линейной комбинации токов на обоих провод- никах. Поэтому напряжениям u1 и u2, согласно телеграфным уравнениям (2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j1 и j2, которые связа- ны с токами на проводниках i1 и i2, унитарным преобразованием )(1/])/([,)(1/])/([2 12 21 22 21 22 11 1LLLjjLLiLLLjLLjimmmm−+−=−−= (7.75) Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает вид ∫∫∫−+=dzjjLdzjLdzjLWmL)(Re2*1 21 22 24 12 11 41. (7.76) Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о воз- буждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде )()(,)()(,)()(,)()(2 22 121 22 22 121 22 12 111 12 12 111 1UzjUzjjUzuUzuuUzjUzjjUzuUzuu+=+=+=+= (7.77) Из (7.72) следует, что 1)(,0)(,0)(,1)(2 22 221 112 111====zuzuzuzu. (7.78) 162Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем W —C = W —11C+ W—22C+ W—12C, W —L = W —11L+ W—22L+ W—12L, где искомые энергии (),)()()(Re,2)()(Re,2)()(Re][][][12*21 22*11 22*21 212*11 12*1 21 12 22*12 212 12 22 22 24 122 21*11 221 22 11 12 14 111∫∫∫+−+++=−+++=−+++=dzuuuuCuuCCuuCCUUWdzuuCuCCuCCUWdzuuCuCCuCCUWmmmCmmmCmmmC(7.79) ())(Re,2Re,2Re][][][12*21 22*11 22*21 212*11 12*1 21 12 22*12 222 22 12 12 24 122 21*11 221 22 11 12 14 111∫∫∫+−+=−+=−+=dzjjjjLjjLjjLUUWdzjjLjLjLUWdzjjLjLjLUWmLmLmL (7.80) Усредненным энергиям W—12 C, W—12 L соответствуют колеблющиеся энергии ()∫+−+++=dzuuuuCuuCCuuCCUUWmmmC][)()()(Re12 21 22 11 22 21 212 11 12 12 112, (7.81) ()∫+−+=dzjjjjLjjLjjLUUWmL][)(Re12 21 22 11 22 21 212 11 12 12 112. (7.82) Для нахождения функций uij(z) и ji j(z) воспользуемся линейными свой- ствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем )()(,)()(,)()(,)()(,)()(,)()(,)()(,)()(1,0 222 1,0 222 0,1 221 0,1 221 1,0 112 1,0 112 0,1 111 0,1 111 21 21 21 21 21 21 21 21========================UUUUUUUUUUUUUUUUzjzjzuzuzjzjzuzuzjzjzuzuzjzjzuzu (7.83) Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на про- водниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U1= 1, U2= 0 и U1= 0, U2= 1), можно по формулам (7.79)−(7.83) рассчитать все энер- гии, а затем по формулам (7.68)−(7.69) вычислить коэффициенты связи. 1631   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22

7.8. Приближение усредненных волн Строгий расчет энергий (7.79)–(7.82) с использованием точных функ- ций (7.77) достаточно сложен и требует большого объема кропотливых вы- числений. Однако расчет можно значительно упростить и получить относи- тельно компактные формулы, описывающие все основные свойства коэффи- циентов связи, если использовать приближение усредненных волн. В приближении усредненных волн все связанные волны в резонаторах аппроксимируют некими усредненными волнами, имеющими отличные от нуля напряжения только на проводнике одного из резонаторов. Электрические параметры усредненных волн определим следующим образом. Начнем со случая, когда напряжение на входе первого резонатора U1≠ 0, а напряжение на входе второго резонатора U2= 0. Тогда на проводнике первого резонатора u1(z)≠ 0 и j1(z)≠ 0. Поэтому следует считать, что на про- воднике второго резонатора u2(z)= 0 и j2(z)= 0. Последние два равенства эквивалентны тому, что проводник второго резонатора заземлен по всей его длине. Отсюда следует, что погонная ем- кость проводника первого резонатора относительно земли вместе с заземлен- ным проводником второго резонатора равна C1+Cm, а погонная индуктив- ность равна L1. Этот же результат получается и из формул (7.73), (7.76) после обнуления напряжения и тока на проводнике второго резонатора. Подставляя в (2.17), (2.18) значения погонных параметров, получаем относительную диэлектрическую проницаемость и волновое сопротивление для усредненной волны в первом резонаторе:∗)(),(1 11 11 21mamaCCLZCCLc+=+=ε. (7.84) Аналогичным образом можно получить электрические параметры для усредненной волны во втором резонаторе. Они имеют вид )(),(2 22 22 22mamaCCLZCCLc+=+=ε. (7.85) Распространение усредненных волн лишь в одном из резонаторов оз- начает, что ∗ Индекс a у параметров ε1a и Z1a от англ. average – усредненный. 164 0)(,0)(,0)(,0)(21 21 12 12====zjzuzjzu(7.86) Подставляя (7.86) в (7.79)–(7.82), получаем выражения для энергий ре- зонаторов в приближении усредненных волн: ,)(,)(2 22 22 24 122 211 12 14 111∫∫+=+=dzuCCUWdzuCCUWmCmC (7.87) ,Re,2 22 22 24 122 211 12 14 111∫∫==dzjLUWdzjLUWLL (7.88) (),Re22 11 21 21 12∫−=dzuuCUUWmC (7.89) ()Re22 11 21 21 12∫−=dzjjLUUWmL (7.90) 7.9. Симметричная пара регулярных МПР. Произвольная частота Рассмотрим симметричную пару связанных микрополосковых резона- торов. Начнем со случая, когда резонаторы взаимодействуют по всей длине. Такой случай допускает два симметричных способа кондуктивного подклю- чения резонаторов – смежный и диагональный. z 0l2−l1U1U2l= l1+l2Рис. 7.19. Смежное кондуктивное подключение МПР Смежны й способ кондуктивного подключения резонаторов изобра- жен на рис. 7.19. В приближении усредненных волн распределение напряже- ний и токов вдоль полосковых проводников имеет вид 1 11 11 22 22 2cos[() ]при 0,cos( )cos[()]при 0,cosakakakaz l lUlu zz llUzzlθ+⎧− ≤ ≤⎪θ⎪= ⎨θ−⎪≤ ≤θ⎪⎩ (7.91) 165 11 11 12 22 22sin [() ]при 0,cos( )sin [()]при 0,cosakaakakaaz l liUlzZj zz lliUz lZθ+⎧− ≤ ≤⎪θ⎪= ⎨θ−⎪≤ ≤θ⎪⎩где k – номер резонатора, принимающий значения 1 и 2; θ1a, θ2a – электриче- ские длины отрезков l1 и l2 для усредненной волны, определяемые формулами clclaaaa2 21 1,εω=θεω=θ. (7.92) Здесь эффективная диэлектрическая проницаемость εa для усредненной вол- ны определена формулой (7.84). Отсюда следует, что она может быть вычис- лена по формуле )()(4 1ooeeooeeaZZZZε+εε+ε=ε. (7.93) Подставляя (7.91) в (7.83), находим функции ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤θ−θ≤≤−θ+θ==,0при cos])([cos0при cos])([cos)()(2 22 22 11 11 122 11lzllzzlllzzuzuaaaa (7.94) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤θ−θ≤≤−θ+θ==0при cos])([sin0при cos])([sin)()(2 22 22 11 11 122 11lzZllzizlZllzizjzjaaaaaa (7.95) Интегрируя выражения (7.87)–(7.90) после подстановки в них функций (7.94) и (7.95), находим энергии резонаторов: ,tg cos tg cos)(,tg cos tg cos)(2 22 22 21 11 12 11 22 81 22 22 22 22 11 11 21 12 18 111⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ+θ+θθ+θ+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ+θ+θθ+θ+=aaaaaamCaaaaaamCllllCCUWllllCCUW (7.96) 166,tg cos tg cos,tg cos tg cos2 22 22 21 11 12 12 12 28 122 22 22 22 11 11 21 21 21 81 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ−θ+θθ−θ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ−θ+θθ−θ=aaaaaaaLaaaaaaaLllllZLUWllllZLUW (7.97) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ+θ+θθ+θ−=aaaaaamCllllCUUW2 22 22 21 11 12 12 14 112tg cos tg cos, (7.98) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ−θ+θθ−θ=aaaaaaamLllllZLUUW2 22 22 21 11 12 12 21 41 12tg cos tg cos. (7.99) Подставляя выражения (7.96)–(7.99) в определения (7.68)–(7.69) и учи- тывая (7.84), находим частотно-зависимые коэффициенты связи резонаторов: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ+θθθ+θ−=aaaaaaLLKk2 22 12 12 1cos cos tg tg1, (7.100) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ+θθθ+θ+−=aaaaaaCCKk2 22 12 12 1cos cos tg tg1, (7.101) где KL и KC – коэффициенты индуктивной и емкостной связи связанных мик- рополосковых линий, которые могут быть вычислены по формулам (7.28). Видно, что на резонансной частоте резонаторов, то есть когда θ1a+ θ2 a= π, формулы (7.100), (7.101) точно совпадают с известными форму- лами (7.30). На рис. 7.20 представлены частотные зависимости коэффициентов свя- зи резонаторов. Здесь же для сравнения приведена частотная зависимость ко- эффициента прохождения мощности СВЧ Kпр. В рассматриваемом случае она описывается формулой )1()1()(2 22прoeoePPPPK++−=, (7.102) где 1 21 2(tg tg),(tg tg)eeeeoooPZ ZP=θ + θ=θ + θoZ Z 167Рис. 7.20. Частотные зависимости коэффициентов связи и коэффициента прохождения мощности СВЧ. На рис. 7.20 видно, что при полной длине области связи резонаторов всегда kL≥ 0, а kC< 0. В квазистатическом пределе kC= −KC, а kL= 0. Послед- нее равенство есть следствие отсутствия токов на проводниках. На вставке рис. 7.20 видно и то, что коэффициент связи k и коэффици- ент прохождения мощности СВЧ Kпр обращаются в нуль на одной и той же частоте. Такое совпадение не случайно. Оно подтверждает правильность час- тотной зависимости коэффициента связи k. Частота нуля коэффициента Kпр есть частота нуля полюса затухания ωp. Ее наличие есть следствие взаимной компенсации индуктивного и емко- стного взаимодействий резонаторов. К сожалению, частота нуля коэффици- ента связи ωz совпадает с ωp лишь приблизительно. Отсутствие строгого совпадения связано с использованием приближения усредненных волн. Рассмотрим случай диагонального кондуктивного подключения микрополосковых резонаторов, взаимодействующих по всей длине (рис. 7.21). 168z 0l2−l1–l1U1U2l2l= l1+l2Рис. 7.21. Диагональное кондуктивное подключение МПР При диагональном подключении резонаторов распределение напряже- ний и токов на первом проводнике (k =1) по-прежнему описывается форму- лами (7.91). На втором проводнике (k =2) эти функции имеют вид ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−θ−θ−≤≤−θ+θ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−θ−θ−≤≤−θ+θ=при cos])([sin,при cos])([sin)(,при cos])([cos,при cos])([cos)(2 12 11 21 21 21 22 12 22 21 21 12 12 12 12 21 22 2lzllZllziUllzlZllziUzjlxllllzUllzlllzUzuaaaaaaaaaa (7.103) Подставляя (7.103) в (7.83), находим функции ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−θ−θ−≤≤−θ+θ=,при cos])([cos,при cos])([cos)(2 12 11 21 12 12 21 222lxllllxllxlllxxuaaaa (7.104) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−θ−θ−≤≤−θ+θ=при cos])([sin,при cos])([sin)(2 12 11 21 12 12 21 222lzllZllzillzlZllzizjaaaaaa (7.105) Остальные же функции, u11(z) и j11(z), по-прежнему выражаются формулами (7.94) и (7.95). Подставим выражения (7.104)–(7.105) и (7.94)–(7.95) в формулы (7.87)–(7.90). После выполнения интегрирования получим, что усредненные энергии 169W―11C, W—22C, W—11L, W—22 L по-прежнему выражаются формулами (7.96) и (7.97), а амплитуды колеблющихся энергий W 12C , W 12L принимают вид ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ−θθ−θ+θ+θθ−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ+θθ=aaaaaaaaaaamClllUUCW1 21 22 12 21 21 11 21 21 12)(sin)(cos cos2sin cos1cos2, (7.106) ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θ−θθ−θ−θ+θθ−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθ−θθ−=aaaaaaaaaaaamLlllUUZLW1 21 22 12 21 21 11 21 21 212)(sin)(cos cos2sin cos1cos2. (7.107) Подставляя выражения (7.96)–(7.97) и (7.106)–(7.107) в определения (7.68)–(7.69), получаем формулы для частотно-зависимых коэффициентов индуктивной и емкостной связи микрополосковых резонаторов с диагональ- ным кондуктивным подключением aaaaaaaaaaaaaaaLLKk2 22 12 12 22 11 21 22 11 1cos cos cos)(cos)()(sin cos cos2 2sinθθ+θθθθ+θθ−θ−θ−θ+θθθ−θ=, (7.108) aaaaaaaaaaaaaaaCCKk2 22 12 12 22 11 21 22 11 1cos cos cos)(cos)()(sin cos cos2 2sinθθ+θθθθ+θθ−θ+θ−θ+θθθ+θ=. (7.109) На рис. 7.22 по формулам (7.23) и (7.24) построены частотные зависи- мости коэффициентов связи. Здесь же для сравнения приведена АЧХ этой же пары связанных МПР. Видно, что при диагональном подключении резонато- ров все коэффициенты связи являются знакопеременными функциями часто- ты. По-прежнему наблюдается совпадение частот нулей коэффициента k и частот полюсов затухания. На рисунке две такие частоты выделены верти- 170кальными пунктирными линиями. В отличие от смежного кондуктивного подключения эти частоты расположены выше резонансной частоты полувол- новых колебаний (F0= 1 ГГц), то есть выше первой полосы пропускания. Рис. 7.22. Частотные зависимости затухания и коэффициентов связи МПР при диагональном подключении и максимальной длине области связи 171Перейдем к рассмотрению взаимодействия двух одинаковых регуляр- ных МПР с диагональным кондуктивным подключением при произ- вольной длине области связи. Такие резонаторы смещены один относи- тельно другого вдоль оси z на длину ls, как показано на рис. 7.23. Для уп- рощения вычислений будем предполагать, что волны на одиночных и связанных проводниках по-прежнему описываются электрическими параметрами εa и Zaz 0 U1U2l= l1+l2lls+l lcl2l1l1l2lsРис. 7.23. Диагональное кондуктивное подключение МПР с произвольной длиной области связи Записывая токи и напряжения на проводниках в приближении усред- ненных волн и вычисляя соответствующие энергии, по формулам (7.68), (7.69) получаем следующие выражения для коэффициентов связи: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤θθ−θ+θθ−θ+θ−θ−θ+θΔ+≤≤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ−θ−θ−θ−θθ−θ−θ++θθθθ−θθ−θ−θΔ+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ−θ−θ−θ+θ+θθ−θ−θ−−θθθθθ−θθΔ=−−,при cos)(cos)()(sin,при cos)(sin)(cos)(cos cos cos)(2sin)(2sin,при cos)(sin)(cos)(cos cos cos2sin)+(2sin2 12 12 12 12 12 12 12 12 21 22 12 22 12 12 12 21 11s ss ss sssssssssssssllKllllKlllKkLsLsLL (7.110) 172⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤θθ−θ+θθ−θ+θθ−θ+θΔ+≤≤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ−θ−θ+θ−θ+θθ−θ−θ−−θθθθ−θ+θ−θ−θΔ+≥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ−θ−θ+θ+θ+θθ−θ−θ++θθθθ+θ−θθΔ=,при cos)(cos)(+)(sin,при cos)(sin)(cos)(cos cos cos)(2sin)2(sin,при cos)(sin)(cos)(cos cos cos2sin)+(2sin2 12 12 12 12 12 12 12 12 12 21 22 12 22 12 12 12 21 11s ss sssssssssssssllKllllKlllKksCssCsCC (7.111) где Δ = θ1/cos2θ1+ θ2/cos2θ2. Здесь для экономии места индекс a у электриче- ских длин θ1a, θ2a и θsa опущен. Легко убедиться, что на резонансной частоте, то есть при θ1+θ2= π, формулы (7.110) и (7.111) совпадают с формулами (7.37). Это еще раз под- тверждает правильность общих формул (7.68) и (7.69). При максимальной длине области связи, то есть при ls= 0, формулы (7.110) и (7.111) принимают вид формул (7.108), (7.109). На рис. 7.24 амплитудно-частотная характеристика сопоставляется с частотными зависимостями коэффициентов связи для случая, когда полюсы затухания существуют одновременно как ниже, так и выше первой полосы пропускания связанных резонаторов. По-прежнему наблюдается совпадение частот полюсов функции затухания L(F) с частотами нулей коэффициента связи k(F). Однако заметно, что частота третьего полюса затухания несколь- ко выше частоты соответствующего нуля коэффициента связи. Такое небольшое расхождение частот связано с тем, что при вычислении энергий использовалось приближение усредненных волн. В зарубежной и отечественной научно-технической литературе, на- пример в [24], широко распространено о ш и б о ч н о е мнение о том, что асимметрия крутизны низкочастотного и высокочастотного склонов полосы пропускания микрополосковых фильтров обусловлена различием фазовых скоростей четных и нечетных волн в связанных МПЛ. 173Рис. 7.24. Частотные зависимости затухания и коэффициентов связи МПР при диагональном подключении и произвольной длине области связи Полученные формулы (7.110), (7.111) позволяют получить правильный ответ. Истинной причиной асимметрии склонов полосы пропускания являет- ся асимметрия частотной зависимости коэффициента связи k(F) относитель- но центральной частоты пропускания F0. Что же касается различия фазовых скоростей, то оно является причиной асимметрии функции k(F), причем только в микрополосковых фильтрах с четвертьволновыми связями. Наиболее эффективно управлять асимметрией склонов полосы пропус- кания можно варьированием длины области связи [25]. Такие выводы под- тверждают графики на рис. 7.25, где представлены АЧХ и частотная диспер- сия коэффициентов связи для двух двухзвенных микрополосковых фильтров. 174Оба фильтра, (1) и (2), имеют одинаковые полосы пропускания. Их ширина составляет 10 % по уровню 3 дБ, а центральная частота F0= 1 ГГц. Отлича- ются фильтры длиной области связи lc и зазором S между резонаторами. Рис. 7.25. Частотные зависимости затухания и коэффициента связи для двух двухзвенных МПФ Видно, что фильтр (1), имеющий четвертьволновую длину области свя- зи (lc= l/2), обладает асимметричной АЧХ с пологим низкочастотным скло- ном и крутым низкочастотным. Максимум коэффициента связи его резонато- ров расположен ниже полосы пропускания. Напротив, фильтр (2), имеющий удлиненную область связи (lc> l/2), обладает практически симметричными склонами полосы пропускания. Максимум коэффициента связи его резонато- ров расположен уже в центре полосы пропускания. 1751   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22

Контрольные вопросы 49. Запишите формулу для значений коэффициентов связи смежных пар резонаторов и значений внешней добротности оконечных резонаторов фильтра, обеспечивающих заданную полосу пропускания. 50. Какая пара смежных резонаторов в полосно-пропускающем фильт- ре имеет наибольший коэффициент связи – крайняя или центральная? 51. Всегда ли симметричны коэффициенты связи смежных пар резона- торов и внешние добротности оконечных резонаторов в несимметричном фильтре-трансформаторе? 52. Какой формулой связаны резонансные частоты связанных колеба- ний и коэффициент связи резонаторов? Назовите условия, при которых эта формула справедлива. 53. Запишите формулу сложения коэффициентов индуктивной и емко- стной связи резонаторов. 54. Когда коэффициенты индуктивной и емкостной связи микрополос- ковых линий бывают равны? 55. Какой из коэффициентов связи микрополосковых линий больше – коэффициент индуктивной связи или емкостной? 56. Какой из коэффициентов связи микрополосковых линий убывает быстрее с увеличением зазора между проводниками – коэффициент индук- тивной связи или емкостной? 57. Как зависят коэффициенты индуктивной и емкостной связи микро- полосковых линий от ширины их полосковых проводников? 58. Как зависит коэффициент емкостной связи микрополосковых линий от диэлектрической проницаемости подложки? 59. Когда коэффициент связи регулярных микрополосковых резонато- ров не зависит от диэлектрической проницаемости подложки? 187 60. Запишите формулы, выражающие коэффициенты индуктивной и емкостной связи резонаторов через запасаемые энергии. Прокомментируйте входящие в них энергии. 61. Почему коэффициент связи резонаторов зависит от частоты? 62. Когда коэффициент связи резонаторов обращается в нуль? 63. Назовите причины появления полюсов затухания в микрополоско- вых фильтрах. 64. Назовите причину асимметрии крутизны низкочастотного и высо- кочастотного склонов полосы пропускания микрополосковых фильтров. 65. Дайте оценку погрешности, к которой приводит использование приближения усредненных волн при расчете коэффициентов связи микропо- лосковых резонаторов. 66. Назовите условия, при которых связь между микрополосковыми ре- зонаторами перестает быть монотонно убывающей функцией расстояния. Приведите пример. 188БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. ГОСТ 18238–72. Линии передачи СВЧ. Термины и определения. 1972. 2. ГОСТ 21702–76. Устройства СВЧ. Полосковые линии. Термины и определения. 1976.. 3. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / Никольский В. В. М.: Наука. 1973. 608 с. 4. Григорьев, А. Д. Электродинамика и техника СВЧ / А. Д. Григорьев. М.: Высшая школа, 1990. 335 с. 5. Фуско, В. СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проектирование / В. Фуско. М.: Радио и связь, 1990. 288 с. 6. Тюрнев, В. В. Уравнения математической физики / В. В. Тюрнев. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. 148 с. 7. Микроэлектронные устройства СВЧ / Под ред. Г. И. Веселова. М.: Высшая школа, 1988. 280 с. 8. Kirschning M., Jansen R. H. Accurate model for effective dielectric con- stant of microstrip with validity up to millimeter-wave frequencies // Electronics Letters. 1982. V. 18. № 6. P. 272-273. 9. Неганов, В. А. Современные методы проектирования линий переда- чи и резонаторов сверх- и крайневысоких частот / В. А. Неганов, Е. И. Нефедов, Г. П. Яровой. М.: Педагогика-Пресс, 1998. 10. Митра, Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Митра, С. Ли. М.: Мир, 1974. 327 с. 11. Гупта, К. Машинное проектирование СВЧ устройств / К. Гупта, Р. Гардж, Р. Чадха. М.: Радио и связь, 1987. 432 с. 12. Зубарев, Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. / Д. Н. Зубарев. М.: Наука. 1971. 416 с. 13. Никольский, В.В. Автоматизированное проектирование устройств СВЧ / В. В. Никольский, В. П. Орлов, В. Г. Феоктистов и др. М.: Радио и связь. 1982. 272 с. 14. Разевиг, В. Д. Проектирование СВЧ устройств с помощью Micro- wave Office. / В. Д. Разевиг, Ю. В Потапов, А. А. Курушин. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. 496 с. 189 15. Потапов, Ю.В. СВЧ моделирование с помощью программы CST Microwave Studio // EDA Express, 2000. № 2. С. 12–14. 16. Serenade PC for Windows / Microwave J, 1994. V. 37, № 3. P. 82–83. 17. Беляев, Б. А. Экспертная система filtex32 для автоматизированного проектирования полосно-пропускающих микрополосковых фильтров / Б. А. Беляев, С. В. Бутаков, Н. В. Лалетин, А. А. Лексиков, В. В. Тюрнев // 15-я Межд. Крымская конф. «СВЧ-техника и телекоммуникационные техноло- гии» (КрыМиКо’2005): Материалы конференции. — Севастополь: Вебер, 2005. С. 504–505. 18. Кристл, Э. Фильтры СВЧ // Современная теория фильтров и их про- ектирование. М.: Мир. 1977. С. 281–337. 19. Фильтры и цепи СВЧ. Под ред. А. Матсумото. М.: Связь. 1976. 248 с. 20. Лапшин, Б. А. Новая теория и расчет фильтров и трансформаторов на отрезках передающих линий. Санкт-Петербург. 1998, Наука, 179 с. 21. Маттей, Д. Л. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи: В 2 т. / Д. Л. Маттей, Л. Янг, Е. М. Т. Джонс. М.: Связь. (Т. 1, 1971. 439 с.; Т. 2, 1972. 495 с.). 22. Hong J.-S. Microstrip Filters for RF/Microwave Applications / J.-S. Hong, M. J. Lancaster. New York / Chichester / Weinheim / Brisbane / Singapore / Toronto: John Wiley & Sons, Inc., 2001. 457 p. 23. Тюрнев, В. В. Синтез микрополосковых фильтров / В. В. Тюрнев. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. 61 с. 24. Moazzam, M. R. Improved Performance Parallel-Coupled Microstrip Filters / M. R. Moazzam, S. Uysal, A. H. Aghvami // Microwave J. 1991. V. 34. № 11. P. 128, 130, 133, 135. 25. Беляев, Б. А. Влияние длины области связи микрополосковых резо- наторов на избирательность полосно-пропускающих фильтров / Б. А. Беляев, М. И. Никитина, В. В. Тюрнев // Электронная техника. Сер. СВЧ-техника. 1993. Вып. 5(459). С. 11–15. 26. Беляев, Б. А. Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов / Б. А. Беляев, М. М. Титов, В. В. Тюрнев // Известия вузов. Сер. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 8. С. 722–727. 190 27. Беляев, Б. А. Микрополосковый решетчатый фильтр на нерегуляр- ных резонаторах / Б. А. Беляев, А. А. Лексиков, М. М. Титов, В. В. Тюрнев // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 8. С. 939–946. 28. Тюрнев, В. В. Коэффициент связи асимметричной пары сверхвысо- кочастотных резонаторов / В. В. Тюрнев // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 1. С. 5–13. 191ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Aai, bi.................................................58 Bb . .....................................................41 B ......................................................40 Cc .. ......................................................8 C .. ...................................................20 Ci ...................................................104 Ci, Cimk..............................................23 Ci k..............................................См. C Ck.....................................................98 EEτ . .....................................................6 En....................................................10 Et..............................................10, 48 GG . ..................................................40 G(r|r0).......................................82, 85 G0, Gn+1.........................................104 GA, GB...........................................108 gi...................................................104 HHτ ......................................................6 Hn....................................................10 Ht....................................................10 II .. .................................................... 20 Ii m.............................................. 18, 22 Im .................................................... 21 Jj .. ...................................................... 7 J ...................................................... 10 J, K ................................................ 108 j1, j2................................................ 160 Jm(x) .............................. 31, 32, 36, 37 Jn(z)................................................. 88 KK . ........................................... 95, 107 k …................................................ 142 k, k0.................................................. 8 kC........................... 143, 159, 165, 168 kiL, i+1................................................ 136 kiС, i+1............................................... 138 kL . ......................... 143, 158, 165, 168 km.. .................................................. 18 kz, kz′, kz″............................................ 5 Kпр................................................ 165 LL .. ................................................... 20 L, Lr................................................ 99 lc … .............................................. 121 Li ................................................... 104 Li k.............................................. См. L 192QQ .. ...................................................39 Q0....................................................40 Qc..............................................47, 50 Qe....................................................40 Qi . ...................................................20 RR ................................................39, 40 R0, Rn+1...........................................104 RA, RB.............................................108 Rs.....................................................48 SS . ....................................................58 TTn(x) ........................................30, 104 UU .. ...................................................20 Ui m.............................................18, 22 Um....................................................21 Vv .........................................................6 vg . .....................................................6 Ww ...................................................110 Xx . ....................................................41 X ......................................................40 YYвх(ω) ............................................. 40 ZZ .. ..................................................... 7 Z(z) .................................................... 7 z ......................................................... 5 Z0 . ............................................. 12, 54 Z1, Z2............................................. 107 Za … .............................................. 162 Zc . ................................................... 12 Zs .................................................... 48 Zвх............................................. 40, 54 Zи с т................................................. 54 Γγ ........................................................ 6 ΔΔ . .............................................. 43, 45 ΔL.................................................. 105 Δl .............................................. 79, 99 Εεa .. ....................................... 162, 164 εe, εo................................................ 17 εe f f................................................... 16 εm.. .................................................. 18 εr, 0, εεr........................................... 8 Θθ … ................................................ 54 θe,θo............................................... 144 193Λλg .....................................................16 Ρρ … ....................................................7 ρs .....................................................10 Σσ …....................................................7 Ττ …................................................100 ΦΦ .. ...................................................25 φ ....................................................100 ΩΩ …...............................................104 ωcr.....................................................5 ω ........................................................5 Ω1..................................................105 ωe, ωo............................................142 ωp..................................................165 ААнализ ..........................................101 АЧХ.................................................99 ВВолна TEM-волна ................См. Т-волна T-волна .......................................11 бегущая.........................................5 высшего типа............................... 5 гибридная................................... 15 Е-волна ....................................... 13 ЕН-волна ............... См. гибридная квазипоперечная электромагнитная.................. 15 квази-Т……. ............................ См. квазипоперечная электромагнитная квази-ТЕМ .. ............................См. квазипоперечная электромагнитная магнитная................................... 14 Н-волна....................................... 14 НЕ-волна ............... См. гибридная нечетная ..................................... 17 основная ....... См. основного типа основного типа ............................ 5 отраженная................................... 6 падающая ..................................... 6 поперечная электромагнитная. 11 стоячая.......................................... 6 ТЕ-волна....................См. Н-волна ТМ-волна .................. См. Е-волна четная ......................................... 17 электрическая ............................ 13 Волновое число ............................... 5 Волновые переменные …….......См. Нормированные напряжения ГГармонические колебания ............. 8 Граничное условие Леонтовича ................................ 49 электродинамическое ................. 9 194Групповое время запаздывания .100 ДДиапазон СВЧ..................................3 Дисперсия линии передачи ............6 Диэлектрическая проницаемость комплексная .................................8 относительная ..............................7 свободного пространства............8 эффективная...............................16 Длина электрическая.....................54 Добротность ...................................39 внешняя ......................................40 двухполюсника ..........................41 диэлектрика................................42 диэлектрического заполнения..42 колебательного контура.............39 линии передачи..........................41 нагруженная ...............................40 проводников...............................42 собственная ................................40 ЗЗакон приращения индуктивности.....49 Затухание........................................99 неравномерность .....................105 ИИнвертор проводимости...........................108 сопротивления .........................107 ККомпоненты устройств СВЧ двумерные.................................. 78 микрополосковые...................... 78 нульмерные................................ 78 одномерные ............................... 78 планарные .................................. 78 полосковые ................................ 78 трехмерные ................................ 78 Кондуктивное подключение .. 66, 94 Концевая емкость.......................... 98 Коэффициент затухания...................................... 5 распространения.......................... 6 фазы.............................................. 5 Коэффициент связи..... 138, 139, 142 емкостной......................... 138, 158 емкостной контуров........ 143, 159 индуктивной .................... 137, 158 индуктивной контуров ... 143, 159 формула сложения .................. 143 ЛЛиния передачи............................... 4 воздушная .................................... 4 диэлектрическая.......................... 4 коаксиальная................................ 4 копланарная ................................. 4 микрополосковая......................... 4 неоднородная............................... 4 нерегулярная................................ 4 однородная ................................. 4 основной диапазон частот.......... 5 о т к р ы т а я .................................. 5 полосковая ................................... 4 регулярная.................................... 4 195с неуравновешенными связями .................................145 щелевая.........................................4 экранированная........................5 ММагнитная проницаемость относительная ..............................7 свободного пространства............8 Магнитная стенка ..........................43 Матрица 1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22


199 5.3. Особенности использования модели Олинера для микрополосковых цепей ................................................................................................................... 84 5.4. Собственные функции планарного уравнения Гельмгольца и функции Грина .................................................................................................. 85 5.5. Анализ компонентов методами сегментации и десегментации............ 89 6. МИКРОПОЛОСКОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ............................................................ 91 6.1. Микрополосковые резонаторы ................................................................. 91 6.2. Фильтры СВЧ ............................................................................................. 99 6.3. Синтез фильтров СВЧ.............................................................................. 100 6.4. Фильтр-прототип...................................................................................... 104 6.5. Микрополосковые фильтры на параллельно связанных резонаторах 114 6.6. Микрополосковые фильтры с укороченными связями........................ 122 6.7. Пример расчета фильтра ......................................................................... 131 7. КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ ........................................................................ 135 7.1. Коэффициент связи резонаторов СВЧ................................................... 135 7.2. Структура связей резонаторов в фильтре СВЧ..................................... 139 7.3. Формула сложения коэффициентов индуктивной и емкостной связи140 7.4. Симметричная пара регулярных МПР, связанных по всей длине.
Резонансная частота........................................................................................ 144 7.5. Симметричная пара регулярных МПР с произвольной длиной области связи. Резонансная частота .............................................................. 148 7.6. Связанные контуры. Энергия и коэффициенты связи ......................... 154 7.7. Энергия связанных МПР ......................................................................... 160 7.8. Приближение усредненных волн ........................................................... 163 7.9. Симметричная пара регулярных МПР. Произвольная частота........... 164 7.10. Симметричная пара нерегулярных МПР. Резонансная частота........ 175 7.11. Асимметричная пара связанных МПР ................................................. 181
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .............................................................. 188
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.......................................................................... 191

Смотрите также файлы