ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 235
Скачиваний: 10
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
18
При относительной ширине зазора между полосковыми проводниками
S/h
→ ∞ связь между линиями исчезает и неравенства (1.51), (1.52) превра- щаются в равенства.
В многопроводных микрополосковых линиях и в асимметричной паре связанных микрополосковых линий частные формулы (1.49) уже не справед- ливы. В общем случае для описания квази-Т-волн используют выражения
[
]
[
]
∑
∑
=
−
=
−
−
=
+
=
n
m
z
ik
m
im
z
ik
m
im
i
n
m
z
ik
m
im
z
ik
m
im
i
m
m
m
m
X
U
X
U
z
U
X
I
X
I
z
I
1
отр пад
1
отр пад
,
e e
)
(
,
e e
)
(
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22
1.53) где индекс i – номер полоскового проводника (i = 1, 2, …, n); m – номер волны (mode) в связанных линиях (m = 1, 2, … , n); n – число полосковых проводников; X
m
пад
, X
m
отр
– безразмерные амплитуды m-й падающей и m-й отраженной волны; I
i m
, U
i m
– амплитуды тока и напряжения на i-м провод- нике для m-й падающей волны единичной амплитуды. При этом волновые числа k
m
связаны с эффективными диэлектрическими проницаемостями
ε
m
формулой
m
m
k
k
ε
=
0
. (1.54)
В общем случае электрические параметры
ε
m
, I
i m
, U
i m
квазипопереч- ных волн в многопроводных связанных линиях передачи являются функция- ми частоты, но в области квазистатического приближения их дисперсия мала и ею можно пренебречь. Квазистатические значения электрических парамет- ров могут быть вычислены с помощью телеграфных уравнений, если извест- ны матрицы погонной емкости и индуктивности проводников.
Дисперсию электрических параметров можно учесть в рамках какой- либо приближенной аналитической модели. Известно несколько таких моде- лей. Наиболее точная модель для дисперсии эффективной диэлектрической проницаемости одиночной микрополосковой линии предложена в [8]:
)
(
1
)
0
(
)
(
f
P
f
eff
r
r
eff
+
ε
−
ε
−
ε
=
ε
, где
(
)
[
]
5763 1
4 3
2 1
10 1844 0
)
(
fh
P
P
P
P
f
P
+
=
,
19
(
)
(
)
(
)
4.97 8
0.03442 1
2 20 3,87 15.916 4.6 3
4 0.525 0.27448 0.6315
,
0.33622 1 e
,
1 0.157 0.0363 e
1 e
,
1 2.751 1 e
,
r
r
fh
W h
W
P
P
h
fh
P
P
−
ε
−
ε
−
⎡
⎤
⎡
⎤
=
+
+
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
+
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
=
−
= +
−
⎢
⎥
⎢
⎣
⎦
⎣
⎤
⎥⎦
где частота f выражена в гигагерцах, а толщина подложки h и ширина про- водника W выражены в сантиметрах. Эта формула получена путем обработки результатов строгого электродинамического расчета. Ее погрешность не пре- вышает 0.6 % при 0.12 < W/h < 100, 1
≤ ε
r
≤ 20, 0 < h/λ
0
< 0.13, где
λ
0
− длина волны в свободном пространстве.
Электродинамические методы расчета квазипоперечных волн описаны в учебных пособиях [7, 9].
Контрольные вопросы
1. Чем отличаются волновое сопротивление, входное сопротивление и характеристическое сопротивление?
2. Чему равны фазовая и групповая скорости Т-волн?
3. В каких линиях передачи не могут распространяться поперечные электромагнитные волны?
4. Перечислите типы волн, обладающих дисперсией.
5. Чему равна фазовая скорость волны на критической частоте?
6. Когда дисперсией квази-Т-волн можно пренебречь?
7. Чем отличаются диэлектрическая проницаемость, комплексная ди- электрическая проницаемость и эффективная диэлектрическая проницае- мость? Какие типы потерь в среде они позволяют учесть?
8. Для какого типа волн квазистатический расчет является точным?
9. Когда можно использовать квазистатический расчет для линий пе- редачи?
10. У волн какого типа отсутствуют поперечные токи?
11. В каких связанных линиях передачи имеет место вырождение фазо- вых скоростей волн основного типа, а в каких вырождение отсутствует?
12. Какие колебания называют гармоническими и какие функции назы- вают гармоническими?
13. Как зависит эффективная диэлектрическая проницаемость микропо- лосковой линии от ширины полоскового проводника и толщины подложки?
20
2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПОПЕРЕЧНЫХ
И КВАЗИПОПЕРЕЧНЫХ ВОЛН
2.1. Телеграфные уравнения для многопроводных линий
Рассмотрим многопроводную линию передачи, имеющую n проводни- ков и земляной провод. Проводники будем считать идеальными. Поэтому свойства такой линии будем характеризовать только двумя матрицами – мат- рицей погонной емкости C и матрицей погонной индуктивности L.
Матрица C связывает погонные заряды Q
i
и напряжения U
i
на проводниках относительно земляного провода уравнениями
)
,
,
2
,
1
(
1
n
i
U
C
Q
n
k
k
ik
i
…
=
=
∑
=
. (2.1)
Матрица L связывает погонные электродвижущие силы Є
i
и скорости изме- нения токов I
i
на проводниках уравнениями
Є
i
)
,
,
2
,
1
(
1
n
i
t
I
L
n
k
k
ik
…
=
∂
∂
=
∑
=
. (2.2)
Запишем градиенты напряжения и тока на i-м проводнике. Из уравне- ний (2.2) получаем градиент напряжения
−∂U
i
/∂z
)
,
,
2
,
1
(
1
n
i
t
I
L
n
k
k
ik
…
=
∂
∂
=
∑
=
. (2.3)
Градиент тока приводит к накоплению заряда на проводнике. Поэтому со- гласно (2.1) получаем
−∂I
i
/∂z
)
,
,
2
,
1
(
1
n
i
t
U
C
n
k
k
ik
…
=
∂
∂
=
∑
=
. (2.4)
Вводя вектор тока I с компонентами I
i
и вектор напряжения U с компо- нентами U
i
, формулы (2.3) и (2.4) можно кратко записать в матричной форме
I
L
U
t
z
∂
∂
=
∂
∂
−
, (2.5)
U
C
I
t
z
∂
∂
=
∂
∂
−
. (2.6)
Уравнения (2.5) и (2.6) получили название телеграфных уравнений.
21
Дифференцируя по z обе части уравнения (2.6) и исключая U с помо- щью уравнения (2.5), получаем волновое уравнение для вектора тока
I
CL
I
2 2
2 2
t
z
∂
∂
=
∂
∂
. (2.7)
Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей гармонической волны
t
i
z
ik
m
m
t
z
ω
−
=
e
)
,
(
I
I
, (2.8) где индекс m нумерует собственные векторы тока I
m
и отвечающие им собст- венные волновые числа k
m
. Для нахождения k
m
и I
m
подставим выражение
(2.8) в уравнение (2.7). Получаем
0
)
(
2 2
=
ω
−
m
m
k
I
L
C
. (2.9)
Векторное уравнение (2.9) является краткой записью системы одно- родных линейных уравнений. Эта система имеет нетривиальное решение лишь в случае, когда ее определитель равен нулю. Видно, что определитель этой системы является многочленом n-й степени относительно
. Следова- тельно, существует n решений для падающих волн с k
2
m
k
m
> 0 и столько же ре- шений для отраженных волн с k
m
< 0. При этом векторы I
m
амплитуд токов падающих и отраженных волн, отвечающие одному и тому же
, совпадают.
2
m
k
Учитывая (1.54), уравнение (2.9) можно записать также в виде
(
ε
m
− c
2
CL)I
m
= 0. (2.10)
Подставляя решение (2.8) в уравнение (2.5), находим вектор напряжений
t
i
z
ik
m
m
t
z
ω
−
=
e
)
,
(
U
U
, (2.11) где вектор амплитуд напряжений U
m
связан с вектором амплитуд токов I
m
уравнением
m
m
m
k
I
L
U
ω
=
. (2.12)
Видно, что изменение направления распространения волны, то есть измене- ние знака k
m
, приводит при неизменном векторе I
m
к обращению знака век- тора U
m
22
Полученные здесь результаты кратко обобщают формулы (1.53). Оче- видно, что фигурирующие в них амплитуды I
i m
и U
i m
являются i-ми компо- нентами векторов I
m
и U
m
Заметим, что используемые в этом разделе матрицы погонной емкости
C и индуктивности L не всегда являются независимыми. Матрица погонной емкости C(
ε
r
), получающаяся решением уравнения электростатики с соответ- ствующими граничными условиями для электрического поля, является функ- цией диэлектрических проницаемостей сред, заполняющих линию. Напро- тив, матрица погонной индуктивности L(
μ
r
), получающаяся решением урав- нения магнитостатики с соответствующими граничными условиями для маг- нитного поля, является функцией магнитных проницаемостей сред, запол- няющих линию.
Согласно формулам (1.20) и (1.21) для всех Т-волн в воздушной линии передачи k
m
=
ω/c. Подставим это значение в формулу (2.9). Получающееся уравнение
[c
−2
−C(1)L(1)] I
m
= 0 должно выполняться при любых значениях m. Поэтому матрица индуктивно- сти воздушной линии передачи связана с матрицей погонной емкости фор- мулой
L(1) = c
−2
C
−1
(1). (2.13)
В случае когда диэлектрическое заполнение линии передачи не являет- ся магнитным (
μ
r
=
1), формула (2.13) позволяет в уравнениях (2.9) и (2.12) исключить матрицу погонной индуктивности. Тогда они принимают вид
0
)
1
(
)
(
]
[
1 2
0 2
=
ε
−
−
m
r
m
k
k
I
C
C
, (2.14)
m
m
m
c
k
k
I
C
U
)
1
(
1 1
0
−
−
=
. (2.15)
Рассмотрим другие частные случаи. Начнем со случая двухпроводной линии передачи, то есть с n = 1. Тогда матрицы C и L являются скалярными величинами. Из уравнений (2.9), (2.10) и (2.12) получаем
LC
k
z
ω
=
, (2.16)
ε
e f f
= c
2
LC, (2.17)
C
L
Z
=
. (2.18)
23
Если диэлектрическое заполнение двухпроводной линии передачи не является магнитным, то с учетом равенства (2.13) формулы (2.16)–(2.18) принимают вид
)
1
(
)
(
0
C
C
k
k
r
z
ε
=
, (2.19)
ε
ef f
= C(ε
r
)/C(1), (2.20)
)
1
(
1
)
1
(
,
)
1
(
)
(
cC
Z
Z
Z
eff
r
=
ε
=
ε
. (2.21)
Рассмотрим теперь случай трехпроводной линии передачи с симмет- ричной парой неземляных проводников. В этом случае матрицы C и L имеют вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
11 12 12 11 11 12 12 11
,
L
L
L
L
C
C
C
C
L
C
. (2.22)
Подставляя (2.22) в уравнения (2.10) и (2.12), получаем
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
12 11 12 11 2
12 11 12 11 2
L
L
C
C
c
L
L
C
C
c
o
e
−
−
=
ε
+
+
=
ε
(2.23)
)
(
)
(
,
)
(
)
(
12 11 12 11 12 11 12 11
C
C
L
L
Z
C
C
L
L
Z
o
e
−
−
=
+
+
=
. (2.24)
Заметим, что при описании многопроводных линий передачи наряду с элементами C
i k
матрицы погонной емкости C, определяемыми уравнением
(2.1), иногда используют величины C
i
и C
i
m
k
, определяемые формулой
(
)
)
,
,
2
,
1
(
1
n
i
U
U
C
U
C
Q
n
k
k
i
m
ik
i
i
i
…
=
−
+
=
∑
=
, (2.25) где C
i
– погонная емкость i-го проводника относительно земляного провод- ника; C
i
m
k
– взаимная погонная емкость i-го и k-го проводников (C
i
m
k
= C
k
m
i
).
Эти величины в отличие от элементов матрицы C всегда положительны.
Сравнивая формулы (2.1) и (2.25), устанавливаем связь между емкостными параметрами
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
−
=
+
=
∑
≠
при
,
при
k
i
C
k
i
C
C
C
m
ik
i
j
m
ij
i
ik
(2.26)
Видим, что недиагональные элементы матрицы C отрицательны.
24
Формулы (2.23), (2.24) после подстановки в них выражений (2.26) при- нимают вид
,
)
(
)
2
(
,
)
(
1 1
2 1
1 2
m
m
o
m
e
L
L
C
C
c
L
L
C
c
−
+
=
ε
+
=
ε
(2.27)
)
2
(
)
(
,
)
(
1 1
1 1
m
m
o
m
e
C
C
L
L
Z
C
L
L
Z
+
−
=
+
=
. (2.28)
2.2. Расчет матрицы погонной емкости
Рассмотрим многопроводную планарную линию передачи, изображен- ную на рис. 2.1. Линия содержит n параллельных бесконечно тонких идеаль- ных полосковых проводников, расположенных над плоским безграничным экраном. Помимо нижнего экрана может существовать и верхний экран.
x
y
1 2
3
Рис. 2.1. Поперечное сечение связанных многопроводных линий:
1 – экран; 2 – полосковые проводники; 3 – слои диэлектрика
В общем случае каждый последующий проводник отделен от преды- дущего проводника слоем диэлектрика. В частном случае толщина некото- рых слоев может равняться нулю. Тогда смежные проводники будут лежать на поверхности одного и того же слоя диэлектрика.
Вычисление элементов C
i j
матрицы погонной емкости C начнем с на- хождения функции распределения зарядов
ρ
s i
(x) по ширине i-го проводника, заряженного с погонной плотностью зарядов Q
i
, и определения напряжения
U
i
на нем относительно экрана. Для этого запишем усредненную по времени погонную плотность электрической энергии квазистатического поля в свя- занных проводниках
∫
∗
=
ds
W
E
E
D
Re
2 1
, (2.29)
25
где D и E – векторы амплитуд индукции и напряженности электрического поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону (1.1), а звездочка указывает на комплексно сопряженную величину. Интегрирование произво- дится по всему сечению связанных линий (
−∞ < x < ∞, 0 < y < ∞). Наличие опе- ратора Re указывает на допустимость потерь в диэлектрических слоях.
Так как
E
= −grad Φ, (2.30) где
Φ – потенциал электрического поля, то формулу (2.29) перепишем в виде
∫
Φ
−
=
∗
ds
W
E
grad
Re
2 1
D
. (2.31)
Используя правило действий с оператором
∇, получим
∫
∗
∗
Φ
−
Φ
−
=
ds
W
E
]
div
)
(
[div
Re
2 1
D
D
. (2.32)
Согласно теореме о дивергенции интеграл от первого члена в квадрат- ных скобках равен интегралу
ΦD
*
n
по замкнутому контуру, проходящему по экрану и замыкающемуся в бесконечности в верхней полуплоскости. Так как потенциал
Φ(x, y) от зарядов Q
i
равен нулю на поверхности экрана и в беско- нечности, то и интеграл по контуру будет равен нулю. Поэтому первый член в квадратных скобках формулы (2.32) можно опустить. Получаем
∫
∗
Φ
=
ds
W
E
D
div
Re
2 1
. (2.33)
Учитывая, что divD является объемной плотностью зарядов, а заряды располагаются только на проводниках с поверхностной плотностью
ρ
s i
(x), интеграл (2.33) перепишем в виде
∑ ∫
=
∞
∞
−
ρ
Φ
=
n
i
i
s
i
E
dx
x
x
W
1
*
2 1
)
(
)
(
Re
. (2.34) где
Φ
i
(x)
= Φ(x, y
i
), y
i
– высота i-го проводника над поверхностью экрана.
Формула (2.34) будет использована для нахождения функций поверх- ностной плотности зарядов
ρ
s i
(x) на проводниках путем минимизации погон- ной плотности электрической энергии W
E
при заданной погонной плотности зарядов на проводниках Q
i
≠ 0 и условии, что arg
ρ
si
(x)
= const. (2.35)
Условие (2.35) говорит об отсутствии токов на проводниках в поперечном направлении. То есть волны высшего типа не рассматриваются. Кроме того,