Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

7.8. Приближение усредненных волн
Строгий расчет энергий (7.79)–(7.82) с использованием точных функ- ций (7.77) достаточно сложен и требует большого объема кропотливых вы- числений. Однако расчет можно значительно упростить и получить относи- тельно компактные формулы, описывающие все основные свойства коэффи- циентов связи, если использовать приближение усредненных волн.
В приближении усредненных волн все связанные волны в резонаторах аппроксимируют некими усредненными волнами, имеющими отличные от нуля напряжения только на проводнике одного из резонаторов.
Электрические параметры усредненных волн определим следующим образом. Начнем со случая, когда напряжение на входе первого резонатора
U
1
≠ 0, а напряжение на входе второго резонатора U
2
= 0. Тогда на проводнике первого резонатора u
1
(z)
≠ 0 и j
1
(z)
≠ 0. Поэтому следует считать, что на про- воднике второго резонатора u
2
(z)
= 0 и j
2
(z)
= 0.
Последние два равенства эквивалентны тому, что проводник второго резонатора заземлен по всей его длине. Отсюда следует, что погонная ем- кость проводника первого резонатора относительно земли вместе с заземлен- ным проводником второго резонатора равна C
1
+C
m
, а погонная индуктив- ность равна L
1
. Этот же результат получается и из формул (7.73), (7.76) после обнуления напряжения и тока на проводнике второго резонатора.
Подставляя в (2.17), (2.18) значения погонных параметров, получаем относительную диэлектрическую проницаемость и волновое сопротивление для усредненной волны в первом резонаторе:
∗
)
(
),
(
1 1
1 1
1 2
1
m
a
m
a
C
C
L
Z
C
C
L
c
+
=
+
=
ε
. (
7.84
)
Аналогичным образом можно получить электрические параметры для усредненной волны во втором резонаторе. Они имеют вид
)
(
),
(
2 2
2 2
2 2
2
m
a
m
a
C
C
L
Z
C
C
L
c
+
=
+
=
ε
. (
7.85
)
Распространение усредненных волн лишь в одном из резонаторов оз- начает, что
∗ Индекс a у параметров ε
1a
и Z
1a
от англ. average – усредненный.

164 0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
21 21 12 12
=
=
=
=
z
j
z
u
z
j
z
u
(
7.86
)
Подставляя (7.86) в (7.79)–(7.82), получаем выражения для энергий ре- зонаторов в приближении усредненных волн:
,
)
(
,
)
(
2 22 2
2 2
4 1
22 2
11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
+
=
+
=
dz
u
C
C
U
W
dz
u
C
C
U
W
m
C
m
C
(7.87)
,
Re
,
2 22 2
2 2
4 1
22 2
11 1
2 1
4 1
11
∫
∫
=
=
dz
j
L
U
W
dz
j
L
U
W
L
L
(7.88)
(
)
,
Re

22 11 2
1 2
1 12
∫
−
=
dz
u
u
C
U
U
W
m
C
(7.89)
(
)
Re

22 11 2
1 2
1 12
∫
−
=
dz
j
j
L
U
U
W
m
L
(7.90)
7.9. Симметричная пара регулярных МПР.
Произвольная частота
Рассмотрим симметричную пару связанных микрополосковых резона- торов. Начнем со случая, когда резонаторы взаимодействуют по всей длине.
Такой случай допускает два симметричных способа кондуктивного подклю- чения резонаторов – смежный и диагональный.
z
0
l
2
−l
1
U
1
U
2
l
= l
1
+l
2
Рис. 7.19. Смежное кондуктивное подключение МПР
Смежны й способ кондуктивного подключения резонаторов изобра- жен на рис. 7.19. В приближении усредненных волн распределение напряже- ний и токов вдоль полосковых проводников имеет вид
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
cos[
(
) ]
при 0,
cos
( )
cos[
(
)
]
при 0
,
cos
a
k
a
k
a
k
a
z l l
U
l
u z
z l
l
U
z
z
l
θ
+
⎧
− ≤ ≤
⎪
θ
⎪
= ⎨
θ
−
⎪
≤ ≤
θ
⎪⎩
(7.91)

165 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2
sin [
(
) ]
при
0,
cos
( )
sin [
(
)
]
при 0
,
cos
a
k
a
a
k
a
k
a
a
z l l
iU
l
z
Z
j z
z l
l
iU
z l
Z
θ
+
⎧
− ≤ ≤
⎪
θ
⎪
= ⎨
θ
−
⎪
≤ ≤
θ
⎪⎩
где k – номер резонатора, принимающий значения 1 и 2;
θ
1a
,
θ
2a
– электриче- ские длины отрезков l
1
и l
2
для усредненной волны, определяемые формулами
c
l
c
l
a
a
a
a
2 2
1 1
,
ε
ω
=
θ
ε
ω
=
θ
. (7.92)
Здесь эффективная диэлектрическая проницаемость
ε
a
для усредненной вол- ны определена формулой (7.84). Отсюда следует, что она может быть вычис- лена по формуле
)
(
)
(
4 1
o
o
e
e
o
o
e
e
a
Z
Z
Z
Z
ε
+
ε
ε
+
ε
=
ε
. (7.93)
Подставляя (7.91) в (7.83), находим функции
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
θ
−
θ
≤
≤
−
θ
+
θ
=
=
,
0
при cos
]
)
(
[
cos
0
при cos
]
)
(
[
cos
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
22 11
l
z
l
l
z
z
l
l
l
z
z
u
z
u
a
a
a
a
(7.94)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
θ
−
θ
≤
≤
−
θ
+
θ
=
=
0
при cos
]
)
(
[
sin
0
при cos
]
)
(
[
sin
)
(
)
(
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
22 11
l
z
Z
l
l
z
i
z
l
Z
l
l
z
i
z
j
z
j
a
a
a
a
a
a
(7.95)
Интегрируя выражения (7.87)–(7.90) после подстановки в них функций
(7.94) и (7.95), находим энергии резонаторов:
,
tg cos tg cos
)
(
,
tg cos tg cos
)
(
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
1 2
2 8
1 22 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 2
1 1
2 1
8 1
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
+
θ
+
θ
θ
+
θ
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
+
θ
+
θ
θ
+
θ
+
=
a
a
a
a
a
a
m
C
a
a
a
a
a
a
m
C
l
l
l
l
C
C
U
W
l
l
l
l
C
C
U
W
(7.96)

166
,
tg cos tg cos
,
tg cos tg cos
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 1
2 2
8 1
22 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 2
1 2
1 2
1 8
1 11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
=
a
a
a
a
a
a
a
L
a
a
a
a
a
a
a
L
l
l
l
l
Z
L
U
W
l
l
l
l
Z
L
U
W
(7.97)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
+
θ
+
θ
θ
+
θ
−
=
a
a
a
a
a
a
m
C
l
l
l
l
C
U
U
W
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 1
4 1
12
tg cos tg cos
, (7.98)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
=
a
a
a
a
a
a
a
m
L
l
l
l
l
Z
L
U
U
W
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 2
1 4
1 12
tg cos tg cos
. (7.99)
Подставляя выражения (7.96)–(7.99) в определения (7.68)–(7.69) и учи- тывая (7.84), находим частотно-зависимые коэффициенты связи резонаторов:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
−
=
a
a
a
a
a
a
L
L
K
k
2 2
2 1
2 1
2 1
cos cos tg tg
1
, (7.100)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
+
−
=
a
a
a
a
a
a
C
C
K
k
2 2
2 1
2 1
2 1
cos cos tg tg
1
, (7.101) где K
L
и K
C
– коэффициенты индуктивной и емкостной связи связанных мик- рополосковых линий, которые могут быть вычислены по формулам (7.28).
Видно, что на резонансной частоте резонаторов, то есть когда
θ
1a
+ θ
2 a
= π, формулы (7.100), (7.101) точно совпадают с известными форму- лами (7.30).
На рис. 7.20 представлены частотные зависимости коэффициентов свя- зи резонаторов. Здесь же для сравнения приведена частотная зависимость ко- эффициента прохождения мощности СВЧ K
пр
. В рассматриваемом случае она описывается формулой
)
1
(
)
1
(
)
(
2 2
2
пр
o
e
o
e
P
P
P
P
K
+
+
−
=
, (7.102) где
1 2
1 2
(tg tg
)
,
(tg tg
)
e
e
e
e
o
o
o
P
Z Z
P
=
θ + θ
=
θ + θ
o
Z Z

167
Рис. 7.20. Частотные зависимости коэффициентов связи и коэффициента прохождения мощности СВЧ.
На рис. 7.20 видно, что при полной длине области связи резонаторов всегда k
L
≥ 0, а k
C
< 0. В квазистатическом пределе k
C
= −K
C
, а k
L
= 0. Послед- нее равенство есть следствие отсутствия токов на проводниках.
На вставке рис. 7.20 видно и то, что коэффициент связи k и коэффици- ент прохождения мощности СВЧ K
пр обращаются в нуль на одной и той же частоте. Такое совпадение не случайно. Оно подтверждает правильность час- тотной зависимости коэффициента связи k.
Частота нуля коэффициента K
пр есть частота нуля полюса затухания
ω
p
. Ее наличие есть следствие взаимной компенсации индуктивного и емко- стного взаимодействий резонаторов. К сожалению, частота нуля коэффици- ента связи
ω
z
совпадает с
ω
p
лишь приблизительно. Отсутствие строгого совпадения связано с использованием приближения усредненных волн.
Рассмотрим случай диагонального кондуктивного подключения микрополосковых резонаторов, взаимодействующих по всей длине (рис. 7.21).

168
z
0
l
2
−l
1
–l
1
U
1
U
2
l
2
l
= l
1
+l
2
Рис. 7.21. Диагональное кондуктивное подключение МПР
При диагональном подключении резонаторов распределение напряже- ний и токов на первом проводнике (k =1) по-прежнему описывается форму- лами (7.91). На втором проводнике (k =2) эти функции имеют вид
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
θ
−
θ
−
≤
≤
−
θ
+
θ
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
θ
−
θ
−
≤
≤
−
θ
+
θ
=
при cos
]
)
(
[
sin
,
при cos
]
)
(
[
sin
)
(
,
при cos
]
)
(
[
cos
,
при cos
]
)
(
[
cos
)
(
2 1
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
2 2
1 2
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 2
l
z
l
l
Z
l
l
z
iU
l
l
z
l
Z
l
l
z
iU
z
j
l
x
l
l
l
l
z
U
l
l
z
l
l
l
z
U
z
u
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(7.103)
Подставляя (7.103) в (7.83), находим функции
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
θ
−
θ
−
≤
≤
−
θ
+
θ
=
,
при cos
]
)
(
[
cos
,
при cos
]
)
(
[
cos
)
(
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 2
22
l
x
l
l
l
l
x
l
l
x
l
l
l
x
x
u
a
a
a
a
(7.104)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
θ
−
θ
−
≤
≤
−
θ
+
θ
=
при cos
]
)
(
[
sin
,
при cos
]
)
(
[
sin
)
(
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 2
22
l
z
l
l
Z
l
l
z
i
l
l
z
l
Z
l
l
z
i
z
j
a
a
a
a
a
a
(7.105)
Остальные же функции, u
11
(z) и j
11
(z), по-прежнему выражаются формулами
(7.94) и (7.95).
Подставим выражения (7.104)–(7.105) и (7.94)–(7.95) в формулы (7.87)–
(7.90). После выполнения интегрирования получим, что усредненные энергии

169
W
―
11C
, W
—
22C
, W
—
11L
, W
—
22 L
по-прежнему выражаются формулами (7.96) и (7.97), а амплитуды колеблющихся энергий W
12C
, W
12L
принимают вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
−
θ
θ
−
θ
+
θ
+
θ
θ
−
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
θ
+
θ
θ
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
m
C
l
l
l
U
U
C
W
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 1
1 2
1 2
1 12
)
(
sin
)
(
cos cos
2
sin cos
1
cos
2
, (7.106)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
−
θ
θ
−
θ
−
θ
+
θ
θ
−
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
θ
−
θ
θ
−
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
m
L
l
l
l
U
U
Z
L
W
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
12
)
(
sin
)
(
cos cos
2
sin cos
1
cos
2
. (7.107)
Подставляя выражения (7.96)–(7.97) и (7.106)–(7.107) в определения
(7.68)–(7.69), получаем формулы для частотно-зависимых коэффициентов индуктивной и емкостной связи микрополосковых резонаторов с диагональ- ным кондуктивным подключением
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
L
K
k
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
1 2
1 2
2 1
1 1
cos cos cos
)
(
cos
)
(
)
(
sin cos cos
2 2
sin
θ
θ
+
θ
θ
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
−
θ
−
θ
+
θ
θ
θ
−
θ
=
, (7.108)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
C
C
K
k
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
1 2
1 2
2 1
1 1
cos cos cos
)
(
cos
)
(
)
(
sin cos cos
2 2
sin
θ
θ
+
θ
θ
θ
θ
+
θ
θ
−
θ
+
θ
−
θ
+
θ
θ
θ
+
θ
=
. (7.109)
На рис. 7.22 по формулам (7.23) и (7.24) построены частотные зависи- мости коэффициентов связи. Здесь же для сравнения приведена АЧХ этой же пары связанных МПР. Видно, что при диагональном подключении резонато- ров все коэффициенты связи являются знакопеременными функциями часто- ты. По-прежнему наблюдается совпадение частот нулей коэффициента k и частот полюсов затухания. На рисунке две такие частоты выделены верти-

170
кальными пунктирными линиями. В отличие от смежного кондуктивного подключения эти частоты расположены выше резонансной частоты полувол- новых колебаний (F
0
= 1 ГГц), то есть выше первой полосы пропускания.
Рис. 7.22. Частотные зависимости затухания и коэффициентов связи МПР при диагональном подключении и максимальной длине области связи

171
Перейдем к рассмотрению взаимодействия двух одинаковых регуляр- ных МПР с диагональным кондуктивным подключением при произ- вольной длине области связи. Такие резонаторы смещены один относи- тельно другого вдоль оси z на длину l
s
, как показано на рис. 7.23. Для уп- рощения вычислений будем предполагать, что волны на одиночных и связанных проводниках по-прежнему описываются электрическими параметрами
ε
a
и Z
a
z
0
U
1
U
2
l
= l
1
+l
2
l
l
s
+l
l
c
l
2
l
1
l
1
l
2
l
s
Рис. 7.23. Диагональное кондуктивное подключение МПР с произвольной длиной области связи
Записывая токи и напряжения на проводниках в приближении усред- ненных волн и вычисляя соответствующие энергии, по формулам (7.68),
(7.69) получаем следующие выражения для коэффициентов связи:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
θ
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
+
θ
−
θ
−
θ
+
θ
Δ
+
≤
≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
−
θ
−
θ
−
θ
−
θ
θ
−
θ
−
θ
+
+
θ
θ
θ
θ
−
θ
θ
−
θ
−
θ
Δ
+
≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
−
θ
−
θ
−
θ
+
θ
+
θ
θ
−
θ
−
θ
−
−
θ
θ
θ
θ
θ
−
θ
θ
Δ
=
−
−
,
при cos
)
(
cos
)
(
)
(
sin
,
при cos
)
(
sin
)
(
cos
)
(
cos cos cos
)
(
2
sin
)
(2
sin
,
при cos
)
(
sin
)
(
cos
)
(
cos cos cos
2
sin
)
+
(2
sin
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 1
1
s s
s s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
l
l
K
l
l
l
l
K
l
l
l
K
k
L
s
L
s
L
L
(7.110)

172
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
θ
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
+
θ
Δ
+
≤
≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
−
θ
−
θ
+
θ
−
θ
+
θ
θ
−
θ
−
θ
−
−
θ
θ
θ
θ
−
θ
+
θ
−
θ
−
θ
Δ
+
≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
−
θ
−
θ
+
θ
+
θ
+
θ
θ
−
θ
−
θ
+
+
θ
θ
θ
θ
+
θ
−
θ
θ
Δ
=
,
при cos
)
(
cos
)
(
+
)
(
sin
,
при cos
)
(
sin
)
(
cos
)
(
cos cos cos
)
(
2
sin
)
2
(
sin
,
при cos
)
(
sin
)
(
cos
)
(
cos cos cos
2
sin
)
+
(2
sin
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 1
1
s s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
l
l
K
l
l
l
l
K
l
l
l
K
k
s
C
s
s
C
s
C
C
(7.111) где
Δ = θ
1
/cos
2
θ
1
+ θ
2
/cos
2
θ
2
. Здесь для экономии места индекс a у электриче- ских длин
θ
1a
,
θ
2a
и
θ
sa
опущен.
Легко убедиться, что на резонансной частоте, то есть при
θ
1
+θ
2
= π, формулы (7.110) и (7.111) совпадают с формулами (7.37). Это еще раз под- тверждает правильность общих формул (7.68) и (7.69). При максимальной длине области связи, то есть при l
s
= 0, формулы (7.110) и (7.111) принимают вид формул (7.108), (7.109).
На рис. 7.24 амплитудно-частотная характеристика сопоставляется с частотными зависимостями коэффициентов связи для случая, когда полюсы затухания существуют одновременно как ниже, так и выше первой полосы пропускания связанных резонаторов. По-прежнему наблюдается совпадение частот полюсов функции затухания L(F) с частотами нулей коэффициента связи k(F). Однако заметно, что частота третьего полюса затухания несколь- ко выше частоты соответствующего нуля коэффициента связи. Такое небольшое расхождение частот связано с тем, что при вычислении энергий использовалось приближение усредненных волн.
В зарубежной и отечественной научно-технической литературе, на- пример в [24], широко распространено о ш и б о ч н о е мнение о том, что асимметрия крутизны низкочастотного и высокочастотного склонов полосы пропускания микрополосковых фильтров обусловлена различием фазовых скоростей четных и нечетных волн в связанных МПЛ.

173
Рис. 7.24. Частотные зависимости затухания и коэффициентов связи МПР при диагональном подключении и произвольной длине области связи
Полученные формулы (7.110), (7.111) позволяют получить правильный ответ. Истинной причиной асимметрии склонов полосы пропускания являет- ся асимметрия частотной зависимости коэффициента связи k(F) относитель- но центральной частоты пропускания F
0
. Что же касается различия фазовых скоростей, то оно является причиной асимметрии функции k(F), причем только в микрополосковых фильтрах с четвертьволновыми связями.
Наиболее эффективно управлять асимметрией склонов полосы пропус- кания можно варьированием длины области связи [25]. Такие выводы под- тверждают графики на рис. 7.25, где представлены АЧХ и частотная диспер- сия коэффициентов связи для двух двухзвенных микрополосковых фильтров.

174
Оба фильтра, (1) и (2), имеют одинаковые полосы пропускания. Их ширина составляет 10 % по уровню 3 дБ, а центральная частота F
0
= 1 ГГц. Отлича- ются фильтры длиной области связи l
c
и зазором S между резонаторами.
Рис. 7.25. Частотные зависимости затухания и коэффициента связи для двух двухзвенных МПФ
Видно, что фильтр (1), имеющий четвертьволновую длину области свя- зи (l
c
= l/2), обладает асимметричной АЧХ с пологим низкочастотным скло- ном и крутым низкочастотным. Максимум коэффициента связи его резонато- ров расположен ниже полосы пропускания. Напротив, фильтр (2), имеющий удлиненную область связи (l
c
> l/2), обладает практически симметричными склонами полосы пропускания. Максимум коэффициента связи его резонато- ров расположен уже в центре полосы пропускания.

175

1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22