Файл: Учебнометодическое пособие Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Национальный исследовательский университет
А.А. Дубков
Н.В. Агудов
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки
03.03.03 “Радиофизика”
Нижний Новгород
2016

УДК 517.442
ББК В161.2
Д79
Д79 Дубков А.А., Агудов Н.В. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА: Учебно- методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,
2016. - 36 с.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор А.В. Якимов
В учебно-методическом пособии приведены основные свойства преобразо- вания Лапласа с доказательствами, лежащие в основе метода операционно- го исчисления. Рассмотрено большое количество примеров применения этих свойств для отыскания изображений по Лапласу различных сигналов. В кон- це даны задания для самостоятельной работы и ответы к ним.
Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов радиофизического факультета, обучающихся по направлению 03.03.03 “Ра- диофизика” и изучающих курс “Интегралы, зависящие от параметра, и опе- рационное исчисление”.
Ответственные за выпуск:
председатель методической комиссии радиофизического факультета ННГУ,
к.ф.-м.н., доцент Н.Д. Миловский,
д.ф.-м.н., профессор Е.З. Грибова
УДК 517.442
ББК В161.2
Д79
c
⃝Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2016

Введение
В второй половине XIX века многие математики (в том числе и в Рос- сии) занимались символическим исчислением, в основе которого лежит по- строение математического анализа как системы формальных операций над символом p = d/dt, где t - независимая переменная. Символическое исчисле- ние оказалось довольно удобным для решения различных прикладных задач,
связанных с линейными дифференциальными уравнениями, о чем свидетель- ствует, например, вышедшая в 1862 году в Киеве обстоятельная монография русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко “Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравне- ний”. Его популяризации в конце XIX - начале XX века в значительной мере поспособствовал английский ученый О. Хевисайд, использовавший это исчис- ление в электротехнических расчетах. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического исчисления к решению фи- зических и технических задач. Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило должного математического обоснова- ния, и многие его результаты оставались недоказанными из-за отрицатель- ного отношения к новому методу со стороны математиков того времени.
Строгое обоснование символическое или, как теперь его называют, опера-
ционное исчисление нашло в двадцатых годах прошлого столетия в трудах Т.
Бромвича, Д. Карсона и др. Они связали этот метод с известным из теории функций комплексного переменного методом интегральных преобразований,
который с успехом применяли еще Коши, Лаплас и др. При этом символ p
получил новое толкование, как комплексное переменное p = s + iσ, а вме- сте с ним новую трактовку получил и сам операционный метод как метод,
основанный на преобразовании Лапласа.
Операционное исчисление позволяет решать такие математические зада- чи как: вычисление несобственных интегралов, решение обыкновенных диф- ференциальных уравнений, решение интегральных уравнений и уравнений в частных производных, и т.п.
3

1. Преобразование Лапласа. Определение и область существования
Определение. Изображением по Лапласу комплексно-значной функции
f (t) называют функцию комплексного переменного p = s+iσ, определяемую как
F (p) =
∫
∞
0
f (t) e
−pt
dt.
(1)
Для преобразования (1) используют символическую запись
f (t)
: F (p) или F (p) ; f (t) .
При этом f (t) называют функцией-оригиналом или просто оригиналом. Пред- полагается, что оригинал удовлетворяет следующим трем условиям:
(a) f (t)
≡ 0 для t < 0;
(b) f (t) удовлетворяет условию Липшица-Гельдера всюду на оси t > 0 за исключением отдельных точек, где оригинал может иметь разрывы первого рода (при этом считается, что на любом конечном интервале таких точек конечное число): для
∀t > 0 ∃A > 0, ∃α : 0 < α ≤ 1 и ∃τ
0
> 0 такие, что
|f (t + τ) − f (t)| ≤ A |τ|
α
(2)
для
∀τ : |τ| ≤ τ
0
;
(c) f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т.е.
∃M > 0 и
∃s
0
≥ 0 такие, что для ∀t > 0
|f (t)| < Me
s
0
t
.
(3)
Нижняя грань чисел s
0
называется показателем роста оригинала f (t), и s
0
=
0 для ограниченных функций.
С физической точки зрения первое условие оправдано тем, что в ро- ли параметра t обычно выступает время. Дифференциальные же уравне- ния, описывающие разнообразные физические процессы, решают с заданны- ми начальными условиями. Поэтому можно полагать, что история процес- са до момента начала наблюдения "зашита"в начальных условиях. Любая непрерывно-дифференцируемая функция удовлетворяет условию Липшица-
Гельдера (2) с α = 1, а условие (3) для физических процессов всегда спра- ведливо.
Простейшим оригиналом является единичная функция Хэвисайда
1 (t) =
{
1, t > 0,
0, t < 0.
(4)
Очевидно, что умножение любой функции φ (t) на 1 (t) "гасит"эту функцию для t < 0 и оставляет неизменной для t > 0. Если функция φ (t) удовлетво- ряет условиям (b) и (c), то новая функция φ (t) 1 (t) будет оригиналом для
4

преобразования Лапласа. Таким образом, реальный класс функций для пре- образования Лапласа может быть существенно расширен: sin ωt
·1 (t) , t
n
1 (t) ,
e
λt
1 (t) , . . . Для простоты далее мы будем опускать множитель 1 (t), условив- шись, что все функции обращаются в нуль для t < 0.
Перед изучением свойств преобразования заметим, что изображение по
Лапласу (1) является несобственным интегралом, зависящим от комплексно- го параметра p.
Теорема об области существования изображения.
Для всякого оригинала f (t) изображение по Лапласу F (p) определено в полуплоскости Re p > s
0
(см. Рис. 1) и является в этой полуплоскости
0
Imp
Rep
s
0
Рис. 1:
Область существования изображения.
аналитической функцией.
Доказательство.
Докажем сначала, что интеграл (1) сходится абсолютно в области Re p =
s > s
0
. В силу общего признака сравнения и условия (3) имеем
∫
∞
0
f (t) e
−pt
dt
≤
∫
∞
0
|f (t)| e
−st
dt < M
∫
∞
0
e
−(s−s
0
)t
dt.
Итак, для s > s
0
∫
∞
0
f (t) e
−pt
dt
<
M
s
− s
0
.
(5)
Для доказательства существования производной несобственного интегра- ла (1) по параметру p необходимо убедиться в равномерной сходимости ин- теграла
J (p) =
−
∫
∞
0
tf (t) e
−pt
dt
5

в области Re p > s
0
. Выберем произвольное положительное действительное число s
1
из условия: Re p
≥ s
1
> s
0
. Тогда, в соответствии с достаточным признаком Вейерштрасса равномерной сходимости получаем
|J (p)| ≤
∫
∞
0
t
|f (t)| e
−s
1
t
dt < M
∫
∞
0
te
−(s
1
−s
0
)t
dt =
M
(s
1
− s
0
)
2
<
∞,
что и доказывает возможность дифференцирования по параметру p под зна- ком интеграла (1), т.е. существование производной изображения
F
′
(p) =
∫
∞
0
(
−t) f (t) e
−pt
dt
(6)
в области Re p
≥ s
1
> s
0
. В силу произвольности выбора s
1
мы и доказали аналитичность изображения в области определения Re p > s
0
Замечание. Из неравенства (5) вытекает, что lim
s
→+∞
F (p) = 0.
(7)
Отсюда следует, что изображение F (p)
→ 0 при p → ∞, оставаясь внутри угла
−
π
2
+ δ < arg p <
π
2
− δ,
где δ - сколь угодно малое положительное число. Если же функция F (p)
аналитична в бесконечно удаленной точке p =
∞, то F (p) → 0 при p → ∞
по любому пути.
2. Основные свойства преобразования
Приведем ряд простых соотношений, составляющих аппарат операцион- ного метода. Будем обозначать далее через F (p) , G (p) , H (p) , . . . изображе- ния по Лапласу оригиналов f (t) , g (t) , h (t) , . . . Нам также для иллюстрации свойств преобразования потребуются изображения по Лапласу простейших оригиналов, а именно, функции Хевисайда (4) и экспоненты. Из (1) легко находим
1 (t)
:
1
p
,
e
p
0
t
:
1
p
− p
0
.
(8)
Перейдем к изучению основных свойств преобразования Лапласа, демонстри- руя попутно на примерах технику оперирования ими.
1. Линейность.
Для любых комплексных чисел α и β
αf (t) + βg (t)
: αF (p) + βG (p) .
(9)
6

Заметим, что соотношение (9) является следствием линейности интеграла (1).
В качестве примера найдем изображения простейших тригонометриче- ских функций. В соответствии с формулами Эйлера и соотношениями (8),
(9) получаем sin ωt =
e
iωt
− e
−iωt
2i
:
1 2i
(
1
p
− iω
−
1
p + iω
)
=
ω
p
2
+ ω
2
,
(10)
cos ωt =
e
iωt
+ e
−iωt
2
:
1 2
(
1
p
− iω
+
1
p + iω
)
=
p
p
2
+ ω
2
.
2. Теорема подобия.
Для
∀α > 0
f (αt)
:
1
α
F
(
p
α
)
.
(11)
Доказательство.
Подстановка f (αt) в формулу (1) и замена переменного αt = τ приводит к результату (11)
∫
∞
0
f (αt) e
−pt
dt =
1
α
∫
∞
0
f (τ ) e
−pτ/α
dτ =
1
α
F
(
p
α
)
.
3. Теорема запаздывания.
Для
∀τ > 0
f (t
− τ) : e
−pτ
F (p) .
(12)
Доказательство.
Поскольку по свойству (a) оригинала: f (t
− τ) = 0 для t < τ (см. Рис. 2),
то
0
t
f(t)
f(t- )
t t
Рис. 2:
Запаздывающий оригинал.
∫
∞
0
f (t
− τ) e
−pt
dt =
∫
∞
τ
f (t
− τ) e
−pt
dt =
∫
∞
0
f (θ) e
−p(τ+θ)
dθ = e
−pτ
F (p) .
7

Свойство (12) удобно применять для функций, которые на разных участ- ках задаются различными выражениями. Найдем, например, изображение по
Лапласу ступенчатой функции. Как видно из Рис. 3, данный оригинал можно t
2
t
3
t
4
t
5
t t
A
2A
3A
0 4A
5A
6A
f(t)
Рис. 3:
Ступенчатая функция.
представить в виде суперпозиции запаздывающих функций Хевисайда
f (t) = A [1 (t) + 1 (t
− τ) + 1 (t − 2τ) + . . .] = A
∞
∑
n=0 1 (t
− nτ) .
Тогда в соответствии с формулой (8), свойством линейности (9) и теоремой запаздывания (12), получаем
F (p) = A
∞
∑
n=0
e
−pnτ
p
=
A
p (1
− e
−pτ
)
.
При выводе учтено, что знаменатель геометрической прогрессии
|e
−pτ
| <
e
−s
0
τ
≤ 1.
В качестве второго примера выявим особенности преобразования по Ла- пласу произвольной функции периода T . Замечая, что
f (t)
− f (t − T ) = g (t) ,
где функция-импульс g (t) = f (t) 1
(0,T )
(t), а через
1
Ω
(t) =
{
1, t
∈ Ω,
0, t /
∈ Ω
обозначена индикаторная функция множества Ω, с помощью свойства линей- ности (9) и теоремы запаздывания (12) получаем
F (p) =
G (p)
1
− e
−pT
.
(13)
Таким образом, отличительной особенностью периодических функций явля- ется наличие характерного знаменателя у их изображений по Лапласу.
8

T
2T
3T
t
-B
B
0
f(t)
Рис. 4:
Меандр.
В частности, для меандра на Рис. 4 согласно (8) и (12) имеем
g (t) = B
[
1 (t)
− 2 · 1
(
t
−
T
2
)
+ 1 (t
− T )
]
,
и, следовательно,
G (p) =
B
p
(
1
− 2e
−pT/2
+ e
−pT
)
=
B
p
(
1
− e
−pT/2
)
2
.
Подставляя этот результат в формулу (13), приходим окончательно к
G (p) =
B
(
1
− e
−pT/2
)
p
(
1 + e
−pT/2
) =
B
p
tanh
pT
4
.
Перед дальнейшим изложением заметим, что преобразование Лапласа об- ладает свойством двойственности, а именно, каждому свойству оригиналов соответствует аналогичное свойство изображений. Это отчетливо видно из первых двух свойств: линейности (9) и теоремы подобия (11). Двойственным к теореме запаздывания служит следующее свойство.
4. Теорема смещения.
Для любого комплексного числа p
0
e
p
0
t
f (t)
: F (p − p
0
) .
(14)
Доказывается свойство (14) элементарно путем подстановки его левой ча- сти в интеграл (1).
5. Дифференцирование оригинала.
Если функция f (t) непрерывна при t > 0, и f
′
(t), или в более общем случае f
(n)
(t), являются оригиналами, то
f
′
(t)
: pF (p) − f (0)
(15)
9

или
f
(n)
(t)
: p
n
F (p)
−
n
−1
∑
k=0
p
n
−1−k
f
(k)
(0) ,
(16)
где под f
(k)
(0) понимается предел справа в т. t = 0
f
(k)
(0) = lim
t
→+0
f
(k)
(t) .
Доказательство.
Докажем сначала соотношение (15). Подставляя производную f
′
(t) в (1)
и интегрируя по частям, получаем
∫
∞
0
f
′
(t) e
−pt
dt = f (t) e
−pt
∞
0
+ pF (p) .
Поскольку Re p = s > s
0
, то справедлива оценка (см. (3))
f (t) e
−pt
< M e
−(s−s
0
)t
→ 0 при t → ∞.
В результате верхняя подстановка обращается в нуль, и мы приходим к до- казываемому соотношению (15).
Для отыскания изображения второй производной применим формулу (15)
дважды, т.е.
f
′′
(t) = [f
′
(t)]
′
: p [pF (p) − f (0)] − f
′
(0) = p
2
F (p)
− pf (0) − f
′
(0) .
Далее по методу математической индукции находим
f
(n)
(t) =
[
f
(n
−1)
(t)
]
′
: p
[
p
n
−1
F (p)
−
n
−2
∑
k=0
p
n
−2−k
f
(k)
(0)
]
− f
(