Файл: Учебнометодическое пособие Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки.pdf

1 2
3 0.5 1
1.5 2
2.5 0
t y(t)
a=1
a=0.5
a=0.01
Рис. 10:
Графики решения (49) дифференциального уравнения (47) в полулогарифмиче- ском масштабе для различных значений параметра α.
Вторая теорема разложения.
Пусть функция F (p):
1) аналитична в некоторой полуплоскости Re p > s
0
;
2) существует система окружностей C
n
:
|p| = R
n
, R
1
< R
2
< . . ., на которой F (p)
→ 0 при R
n
→ ∞ равномерно относительно arg p;
3) для
∀a > s
0
абсолютно сходится
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) dp.
Тогда оригиналом F (p) служит функция (t > 0)
f (t) =
∑
k
res
p
k
F (p) e
pt
,
(50)
где сумма вычетов берется по всем изолированным особым точкам p
k
функ- ции F (p) в порядке неубывания их модулей.
Доказательство.
В силу условий 1-3 справедлива сформулированная выше теорема о до- статочных условиях, согласно которой F (p) является изображением функции
(44)
f (t) =
1 2πi
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp.
(51)
Обозначим через C
′
n
часть окружности C
n
, лежащую слева от прямой Re p =
a, через a
± ib
n
- точки пересечения окружности C
n
с этой прямой, а через
Γ
n
- замкнутый контур, составленный из отрезка (a
− ib
n
, a + ib
n
) и C
′
n
и проходимый против хода часовой стрелки (см. Рис. 11). Тогда очевидно
∫
Γ
n
F (p) e
pt
dp =
∫
a+ib
n
a
−ib
n
F (p) e
pt
dp +
∫
C
′
n
F (p) e
pt
dp.
(52)
27

0
Im
p
Re
p
b
n
a
-b
n
C
n
C
n
Рис. 11:
Выбор контура интегрирования в комплексной плоскости p.
Для оценки последнего слагаемого сформулируем и докажем одну вспомога- тельную лемму из теории функций комплексного переменного.
Лемма Жордана.
Пусть γ
R
- дуга окружности
|p| = R : |arg p − φ
0
| ≤ π/ (2ν), а функция
G (p) удовлетворяет на этой дуге неравенству
G
(
R
· e
iφ
) ≤
ε (R) exp
{−αR
ν
cos ν (φ
− φ
0
)
} ,
α > 0.
(53)
Тогда, если ε (R) R
1
−ν
→ 0 при R → ∞, то lim
R
→∞
∫
γ
R
G (p) dp = 0.
(54)
Доказательство.
Из уравнения дуги γ
R
: p = R
· e
iφ
находим: dp = iR
· e
iφ
dφ, и, следова- тельно,
|dp| = Rdφ. В итоге имеем следующую оценку сверху абсолютного значения интеграла (54)
∫
γ
R
G (p) dp
≤
∫
γ
R
|G (p)| · |dp| = R
∫
φ
0
+π/(2ν)
φ
0
−π/(2ν)
G
(
R
· e
iφ
)
dφ.
Применив неравенство (53), далее находим
∫
γ
R
G (p) dp
≤ ε(R)R
∫
φ
0
+π/(2ν)
φ
0
−π/(2ν)
exp
{−αR
ν
cos ν (φ
− φ
0
)
} dφ
или (после замены ν (φ
− φ
0
) = π/2
− θ)
∫
γ
R
G (p) dp
≤
2ε (R) R
ν
∫
π/2 0
exp
{−αR
ν
sin θ
} dθ.
28

Воспользуемся очевидным неравенством sin θ
≥
2θ
π
при
0
≤ θ ≤
π
2
.
Тогда окончательно
∫
γ
R
G (p) dp
≤ −
πε (R) R
1
−ν
αν
exp
{
−
2θαR
ν
π
}
π/2 0
≤
πε (R) R
1
−ν
αν
.
В силу условия ε (R) R
1
−ν
→ 0 при R → ∞ отсюда и приходим к доказывае- мому результату.
Вернемся к доказательству второй теоремы разложения. Применим лемму
Жордана для оценки интеграла
∫
C
′
n
F (p) e
pt
dp.
Согласно второму условию теоремы:
F
(
R
n
e
iφ
) ≤
ε (R
n
) для
∀φ, причем
ε (R
n
)
→ 0 при n → ∞. Тогда на части C
′
n
окружности C
n
имеем следующую оценку для подынтегральной функции
F
(
R
n
e
iφ
)
e
tR
n
e
iφ
≤ ε (R
n
) exp
{tR
n
cos φ
} = ε (R
n
) exp
{−tR
n
cos (φ
− π)} .
Как видно из Рис. 11 на дуге C
′
n
угол φ меняется в следующих пределах
|φ − π| ≤
π
2
+ arcsin
a
R
n
.
Поскольку при n
→ ∞ это неравенство переходит в |φ − π| ≤ π/2, то выпол- нено условие (53) леммы Жордана с ν = 1, R = R
n
, α = t и φ
0
= π. Но тогда в соответствии с (54) для t > 0 справедливо равенство lim
n
→∞
∫
C
′
n
F (p) e
pt
dp = 0,
(55)
т.к. R
n
→ ∞ при n → ∞. Наконец, в силу соотношений (51), (52), (55) и основной теоремы о вычетах имеем
f (t) =
1 2πi
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp =
1 2πi
lim
n
→∞
∫
Γ
n
F (p) e
pt
dp =
∑
k
res
p
k
F (p) e
pt
,
где p
k
- изолированные особые точки функции F (p), лежащие в левой полу- плоскости Re p < a. В силу первого условия теоремы функция F (p) анали- тична в правой полуплоскости Re p
≥ a > s
0
, и сумму можно распространить на особые точки функции F (p), лежащие во всей комплексной плоскости.
29

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Применяя преобразование Лапласа, найти решение интегрального урав- нения
∫
t
0
(t
− τ)
α
−1
y(τ )dτ = f (t),
0 < α < 1,
t > 0.
2. Применяя преобразование Лапласа, найти решение дифференциально- го уравнения
y
′′′′
+ 2y
′′
+ y = sin t
с нулевыми начальными условиями.
3. Пользуясь свойством подобия преобразования Лапласа, доказать спра- ведливость соотношения
∫
+
∞
t
f (τ )
τ
dτ
:
1
p
∫
p
0
F (q)dq,
где f (t)
: F (p).
4. Применяя преобразование Лапласа по времени, решить задачу о рас- пространении граничного режима по полубесконечной струне, т.е. ре- шить уравнение
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(0
≤ x < +∞, t > 0)
с нулевыми начальными условиями и граничным условием: u(0, t) =
µ(t).
5. Применяя преобразование Лапласа, найти решение интегрального урав- нения
y(t) =
λ
2
∫
+
∞
0
e
−|t−τ|
y(τ )dτ,
t > 0, λ > 0, y (0) = 1.
6. Найти изображение по Лапласу дельта-функции δ(t), пользуясь пре- дельным переходом к ней при ∆
→ 0 от прямоугольного импульса ши- рины ∆ и высоты 1/∆. Подобным же методом доказать фильтрующее свойство дельта-функции
∫
t
0
f (τ )δ(t
− τ)dτ = f(t).
30

7. Решить в изображениях по Лапласу задачу о распространении тепла в тонком стержне длины l, а именно найти решение уравнения
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(0
≤ x ≤ l, t > 0)
с начальным условием: u(x, 0) = u
0
и граничными условиями: u
x
(0, t) =
0, u(l, t) = u
1 8. Пользуясь свойствами преобразования Лапласа, записать решение диф- ференциального уравнения
y
(n)
(t) + a
1
y
(n
−1)
(t) + . . . + a
n
−1
y
′
(t) + a
n
y(t) = f (t)
с нулевыми начальными условиями через решение вспомогательной за- дачи
g
(n)
(t) + a
1
g
(n
−1)
(t) + . . . + a
n
−1
g
′
(t) + a
n
g(t) = δ(t).
9. Доказать, что если
∃
∫
+
∞
0
f (τ )
τ
dτ,
то справедливо равенство
∫
+
∞
0
f (τ )
τ
dτ =
∫
+
∞
0
F (p)dp,
где f (t)
: F (p).
10. Применяя преобразование Лапласа по времени, вывести формулу Да- ламбера для колебаний бесконечной струны, т.е. решить уравнение
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(
−∞ < x < +∞, t > 0)
с начальными условиями: u(x, 0) = φ(x), u
t
(x, 0) = ψ(x).
11. Применяя преобразование Лапласа, найти решение дифференциально- го уравнения
y
′′
+ ω
2
y =
1
τ
1
(0,τ )
(t)
с нулевыми начальными условиями. Перейти в ответе к пределу τ
→ 0.
12. Применяя свойства преобразования, найти изображение по Лапласу од- ного из интегралов Френеля
s (t) =
∫
t
0
sin τ
√
2πτ
dτ.
31

13. Применяя преобразование Лапласа, решить систему дифференциаль- ных уравнений
y
′
0
(t) =
−ay
0
(t),
y
′
k
(t) + ay
k
(t) = ay
k
−1
(t)
(a > 0,
k = 1, 2, . . . , n)
с начальными условиями: y
0
(0) = 1,
y
k
(0) = 0
(k = 1, 2, . . . , n).
14. Применяя преобразование Лапласа по времени, решить задачу о рас- пространении граничного теплового режима в тонком полубесконечном стержне, т.е. решить уравнение
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(0
≤ x < +∞, t > 0)
с нулевым начальным условием и граничным условием: u
x
(0, t) = ν(t).
15. Применяя свойства преобразования, найти изображение по Лапласу функции
∫
+
∞
1
cos τ t
τ
dτ.
16. Применяя преобразование Лапласа, найти решение дифференциально- го уравнения
y
′′′
+ 3y
′′
+ 3y
′
+ y = 1
с нулевыми начальными условиями.
17. Записать в форме интеграла оригинал, соответствующий изображению
pF (p)G(p), где f (t)
: F (p) и g(t) : G(p).
18. Применяя преобразование Лапласа по времени, найти функцию Грина уравнения теплопроводности, т.е. решить уравнение
∂G
∂t
= a
2
∂
2
G
∂x
2
(
−∞ < x < +∞, t > 0)
с начальным условием: G(x, 0) = δ(x
− x
0
).
19. Применяя преобразование Лапласа, найти решение дифференциально- го уравнения
(n + 1)y
(n)
+ ty = 0,
удовлетворяющее общим начальным условиям: y(0) = y
0
, y
′
(0) = y
1
,
. . . , y
(n
−1)
(0) = y
n
−1 20. Применяя свойства преобразования, найти изображение по Лапласу функции
∫
+
∞
t
J
0
(τ )
τ
dτ,
где J
0
(t) - функция Бесселя нулевого порядка.
32

21. Вывести уравнение для изображения по Лапласу функции Бесселя n-го порядка J
n
(t).
22. Применяя преобразование Лапласа, решить дифференциальное урав- нение
y
′′
+ ω
2
y = A sin ωt
с начальными условиями: y(0) =

y
0
, y
′
(0) = y
1 23. Найти изображение по Лапласу функции f (t) = sin α
√
t.
24. Применяя свойства преобразования, найти изображение по Лапласу функции
f (t) =
∫
+
∞
1
e
−τt
τ
dτ.
25. Найти изображение по Лапласу функции f (t) = B
|sin ωt|.
26. Найти изображение по Лапласу функции
f (t) =
1
− e
−t
t
.
27. Найти изображение по Лапласу функции f (t) = A
{t}, где {t} - дробная часть t.
33

ОТВЕТЫ
1.
y (t) =
1
Γ(α)
·
d
α
dt
α
f (t)
2.
y (t) =
[(
3
− t
2
)
sin t
− 3t cos t
]
/8 4.
u (x, t) = µ (t
− x/a) 1 (t − x/a)
5.
y (t) = cosh αt + sinh αt/α,
α =
√
1
− λ
6.
δ (t)
: 1 7.
U (x, p) =
u
0
p
+
u
1
−u
0
p
·
cosh
(
√
p x/a
)
cosh
(
√
p l/a
)
8.
y (t) =
t
∫
0
g (t
− τ) f (τ) dτ
11.
y (t) =
{
2 sin
2
(ωt/2)/(ω
2
τ ),
t
≤ τ,
2 sin (ωτ /2) sin ω (t
− τ/2)/(ω
2
τ ), t > τ,
lim
τ
→0
y (t) =
sin ωt
ω
12.
S (p) =
1 2p
√√
p
2
+1
−p
p
2
+1 13.
y
k
(t) =
(at)
k
k!
e
−at
,
k = 0, 1, 2, . . . , n
14.
u (x, t) =
−a
t
−x/a
∫
0
ν (τ ) dτ
· 1 (t − x/a)
15.
1 2p
2
ln(1 + p
2
)
16.
y (t) = 1
−
(
1 + t + t
2
/2
)
e
−t
17.
t
∫
0
f
′
(t
− τ) g (τ) dτ + f (0) g (t)
18.
G (x, t) =
1
a
√
2πt
exp
{
−
(x
−x
0
)
2 4a
2
t
}
19.
Y (p) = (n + 1) e
p
n+1
n
−1
∑
k=0
y
k
∞
∫
p
e
−q
n+1
q
n
−k−1
dq
20.
1
p
ln
(
p +
√
1 + p
2
)
21.
(
1 + p
2
)
Y
′′
+ 3pY
′
+
(
1
− n
2
)
Y = 0 22.
y (t) = [y
0
− At/(2ω)] cos ωt +
[
y
1
/ω + A/(2ω
2
)
]
sin ωt
23.
F (p) =
α
2p
√
π
p
e
−
α2 4p
24.
F (p) =
1
p
ln(1 + p)
25.
F (p) =
Bω
p
2
+ω
2
coth
πp
2ω
26.
F (p) = ln (1 + 1/p)
27.
F (p) =
A
p
[1/p
− 1/ (e
p
− 1)]
34