Файл: Учебнометодическое пособие Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки.pdf

Доказательство.
Как уже было установлено, изображение F (p) является в полуплоскости
Re p = s > s
0
аналитической функцией, и ее можно дифференцировать по p
по правилам дифференцирования интеграла, зависящего от параметра. При- меняя в (1) n-кратное дифференцирование под знаком интеграла, находим
F
(n)
(p) =
∫
∞
0
(
−t)
n
f (t) e
−pt
dt,
что и доказывает свойство (17).
Рассмотрим ряд примеров на применение свойств 5 и 6. Дифференцируя
n раз по p изображение (8) функции Хевисайда и принимая во внимание (17),
приходим к
(
−1)
n
n!
p
n+1
; (−t)
n
1 (t) ,
откуда находим изображение по Лапласу степенной функции
t
n
:
n!
p
n+1
.
(18)
Выполнение аналогичной процедуры со вторым соотношением (8) дает
t
n
e
p
0
t
:
n!
(p
− p
0
)
n+1
.
Из формул (10) для тригонометрических функций путем однократного дифференцирования по p легко установить Лаплас-образы сигналов, отвеча- ющих резонансной раскачке колебаний (см. Рис. 5),
t
0
f(t)
2p/w
4p/w
Рис. 5:
Резонансный сигнал.
t sin ωt
:
2pω
(p
2
+ ω
2
)
2
,
t cos ωt
:
p
2
− ω
2
(p
2
+ ω
2
)
2
.
11

7. Предельные (тауберовы) теоремы.
Если f (t) является оригиналом вместе со своей производной f
′
(t), то lim
p
→∞
pF (p) = f (0) ,
(19)
где p
→ ∞ внутри угла: |arg p| < π/2 − δ для ∀δ > 0. Если, кроме того,
∃ lim
t
→∞
f (t) = f (
∞), то lim
p
→0
pF (p) = f (
∞) ,
(20)
где p
→ 0 внутри того же угла: |arg p| < π/2 − δ.
Доказательство.
Докажем первую из предельных теорем. Согласно общему свойству (7)
изображение любого оригинала должно обращаться в нуль при p
→ ∞. Вы- бирая в качестве оригинала первую производную f
′
(t) и учитывая теорему
(15), имеем lim
p
→∞
[pF (p)
− f (0)] = 0,
что и доказывает предельное соотношение (19).
Для доказательства второй теоремы (20) заметим, прежде всего, что су- ществование конечного предела f (t) при t
→ ∞ означает ограниченность функции и, как следствие, равенство нулю ее показателя роста: s
0
= 0. Но тогда изображение определено во всей правой полуплоскости: Re p > 0, и мы имеем право переходить к пределу p
→ 0 внутри угла: |arg p| < π/2 − δ, где
δ - любое положительное число. Запишем формулу (15) в виде равенства
∫
∞
0
f
′
(t) e
−pt
dt = pF (p)
− f (0)
и перейдем к пределу при p
→ 0. Поскольку функция f
′
(t) по условиям тео- ремы является оригиналом, то согласно доказанной ранее теореме об области существования интеграл в левой части сходится равномерно по параметру p
в области Re p > 0, и, следовательно можно переходить к пределу под знаком несобственного интеграла. В результате получаем
∫
∞
0
f
′
(t) dt = f (
∞) − f (0) = lim
p
→0
[pF (p)
− f (0)] ,
что и доказывает соотношение (20).
Как уже отмечалось, преобразование Лапласа является весьма эффектив- ным инструментом решения линейных дифференциальных уравнений. Так,
например, в ряде задач математической физики, электродинамики, акустики
12

приходится сталкиваться с дифференциальным уравнением второго порядка для функции y (t) вида
y
′′
+
1
t
y
′
+ y = 0,
(21)
называемым уравнением Бесселя. Его "физическим"решением при началь- ных условиях
y (0) = 1,
y
′
(0) = 0
(22)
является функция Бесселя нулевого порядка J
0
(t), не выражаемая в элемен- тарных функциях. Продемонстрируем элегантный способ решения уравнения
(21) в Лаплас-образах. Для этого перепишем сначала уравнение Бесселя в бо- лее удобной форме
(ty
′
)
′
+ ty = 0.
Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и учитывая свойства (15), (17), приходим к
p
{
−
d
dp
[pY
− y(0)]
}
−
dY
dp
= 0,
т.е. к следующему дифференциальному уравнению первого порядка
(
1 + p
2
) dY
dp
+ pY = 0,
где Y (p)
; y (t). Решение этого простого уравнения с разделяющимися пе- ременными таково
Y (p) =
c
√
1 + p
2
.
Для определения неизвестной постоянной c применим первую тауберову тео- рему. Принимая во внимание начальные условия (21), находим lim
p
→∞
pY (p) = c lim
p
→∞
p
√
1 + p
2
= c = y (0) = 1,
и таким образом окончательно
J
0
(t)
:
1
√
1 + p
2
.
Интересно, что изображение по Лапласу специальной функции оказалось эле- ментарной функцией.
8. Интегрирование оригинала.
Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p, т.е.
∫
t
0
f (τ ) dτ
:
F (p)
p
.
(23)
13

Доказательство.
Легко убедиться, что функция
g (t) =
∫
t
0
f (τ ) dτ
(24)
удовлетворяет вышеуказанным трем свойствам, предъявляемым к оригиналу.
В самом деле, как следует из (24) и условия (a), g (t)
≡ 0 для t < 0. В то же время, функция g (t) непрерывна, поскольку у оригинала f (t) допускаются только скачки первого рода. Это означает, что
|g (t + τ) − g (t)| ≤ A |τ|, и условие Липшица-Гельдера (2) также выполнено. Наконец, согласно (3)
|g (t)| =
∫
t
0
f (τ ) dτ
< M
∫
t
0
e
s
0
τ
dτ <
M
s
0
e
s
0
t
,
т.е. функция g (t) имеет тот же самый показатель роста, что и функция f (t).
Тогда по свойству дифференцирования оригинала (15) имеем
g
′
(t) = f (t)
: F (p) = pG (p) − g (0) .
В соответствии с (24) g (0) = 0, и мы приходим к утверждению (23). Рассмот- рим теперь двойственное к (23) свойство.
9. Интегрирование изображения.
Если интеграл
∫
∞
p
F (q) dq по любому пути, целиком лежащему в области
Re p > s
0
, сходится, то он является изображением функции f (t) /t, т.е.
f (t)
t
:
∫
∞
p
F (q) dq.
(25)
Доказательство.
Для доказательства соотношения (25) заметим, что согласно (1)
∫
∞
p
F (q) dq =
∫
∞
p
dq
∫
∞
0
f (t) e
−qt
dt.
(26)
Предположим, что путь интегрирования (p,
∞) целиком лежит в полуплос- кости Re q
≥ a > s
0
, и дадим оценку внутреннего интеграла
∫
∞
0
f (t) e
−qt
dt
< M
∫
∞
0
e
−(a−s
0
)t
dt =
M
a
− s
0
<
∞.
14

Отсюда по достаточному признаку Вейерштрасса следует равномерная схо- димость данного интеграла по параметру q в области Re q > s
0
. Но тогда можно сменить в (26) порядок интегрирования. В результате имеем
∫
∞
p
F (q) dq =
∫
∞
0
f (t) dt
∫
∞
p
e
−qt
dq =
∫
∞
0
f (t)
e
−pt
t
dt,
что и доказывает свойство (25).
Рассмотрим несколько примеров на интегральные свойства (23) и (25). Из свойства линейности (9) и второго из соотношений (8) находим
e
bt
− e
at
:
1
p
− b
−
1
p
− a
.
Применяя формулу (25), получаем
e
bt
− e
at
t
:
∫
∞
p
(
1
q
− b
−
1
q
− a
)
dq = ln
q
− b
q
− a
∞
p
= ln
p
− a
p
− b
.
Определим изображение интегрального синуса si t =
∫
t
0
sin τ
τ
dτ,
являющегося ограниченной функцией (см. Рис. 6). Полагая в первом из со-
5 10 15 20
p/2 0
t si (t)
Рис. 6:
Интегральный синус.
отношений (10) ω = 1, находим sin t
:
1 1 + p
2
.
Далее применяем теорему о интегрировании изображения (25), учитывая, что путь интегрирования целиком лежит в области Re p > 0 или
|arg p| < π/2,
sin t
t
:
∫
∞
p
dq
1 + q
2
= arccot p,
15

а следом теорему (23) об интегрировании оригинала si t =
∫
t
0
sin τ
τ
dτ
:
arccot p
p
.
10. Теорема о свертке.
Эта свойство преобразования Лапласа является одним из важнейших с точки зрения практических приложений. Приведем сначала общее определе- ние свертки двух функций.
Определение. Сверткой двух функций f (t) и g (t) называют функцию вида
f (t)
⊗ g (t) ≡
∫
∞
−∞
f (τ ) g (t
− τ) dτ =
∫
∞
−∞
g (τ ) f (t
− τ) dτ,
(27)
где символ
⊗ является условным обозначением свертки.
Для функций-оригиналов f (t) и g (t) с учетом того, что f (t)
≡ 0 и g (t) ≡
0 для t < 0 из соотношения (27) получаем
f (t)
⊗ g (t) ≡
∫
t
0
f (τ ) g (t
− τ) dτ.
(28)
Теорема.
Свертке оригиналов соответствует произведение изображений
f (t)
⊗ g (t) : F (p) G (p) .
(29)
Доказательство.
Покажем сначала, что свертка оригиналов (28) снова является оригина- лом, т.е. удовлетворяет свойствам (a)
−(c). Как следует из (28), f (t)⊗g (t) ≡ 0
при t < 0. В то же время, свертка является непрерывной функцией и, следо- вательно, удовлетворяет условию Липшица-Гельдера (2). Остается доказать справедливость неравенства (3). В силу условий на оригиналы f (t) и g (t)
|f (t)| < Me
s
0
t
,
|g (t)| < Ne
s
1
t
имеем следующую оценку для абсолютной величины свертки
|f (t) ⊗ g (t)| =
∫
t
0
f (τ ) g (t
− τ) dτ
< MN
∫
t
0
e
s
0
τ
e
s
1
(t
−τ)
dτ
≤ MNte
αt
,
где α = max
{s
0
, s
1
}. Отсюда и вытекает справедливость условия (3)
|f (t) ⊗ g (t)| < Qe
(α+ε)t
,
16

где Q = M N , а ε > 0 - сколь угодно малое число.
Докажем теперь справедливость равенства (29). Согласно (1)
f (t)
⊗ g (t) :
∫
∞
0
e
−pt
dt
∫
t
0
f (τ ) g (t
− τ) dτ.
Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле
∫
∞
0
e
−pt
dt
∫
t
0
f (τ ) g (t
− τ) dτ =
∫
∞
0
f (τ ) dτ
∫
∞
τ
g (t
− τ) e
−pt
dt
и производя замену переменной t
−τ = θ во внутреннем интеграле, приходим к доказываемой формуле (29)
f (t)
⊗ g (t) :
∫
∞
0
f (τ ) e
−pτ
dτ
∫
∞
0
g (θ) e
−pθ
dθ = F (p) G (p) .
Рассмотрим несколько примеров на применение теоремы о свертке. В ра- диотехнических задачах имеют дело с линейными четырехполюсниками (см.
Рис.7), задаваемыми импульсной переходной характеристикой h (t). При этом
x t
( )
y t
( )
h t
( )
Рис. 7:
Линейный четырехполюсник.
сигнал y (t) на выходе четырехполюсника может быть выражен через входной сигнал x (t) с помощью интеграла Дюамеля
y (t) =
∫
t
0
h (t
− τ) x (τ) dτ,
(30)
представляющего собой свертку (28) функций h (t) и x (t). Как видно из (30),
h (t) представляет собой отклик системы на короткий δ-импульс x (t) = δ (t).
В соответствии с теоремой (29) из (30) получаем простую алгебраическую связь изображений входного и выходного сигналов
Y (p) = K (p) X (p) ,
(31)
где K (p)
; h (t) называют коэффициентом передачи линейного четырехпо- люсника. Коэффициент передачи K (p) может быть легко рассчитан из схе- мы четырехполюсника, основными линейными элементами которой являются индуктивности, емкости и сопротивления. Так, например, для LRC-цепочки
17

L
R
C
Рис. 8:
Простейшая LRC-цепочка.
(см. Рис.8), учитывая уравнения связи напряжения u (t) и тока i (t) на ин- дуктивности L и емкости C
u = L
di
dt
,
i = C
du
dt
и теорему о дифференцировании оригинала (15), можно заменить указанные инерционные элементы эквивалентными комплексными сопротивлениями pL
и 1/ (pC) соответственно. В результате расчет фильтра сводится к расчету цепочки из трех сопротивлений, и мы получаем
K (p) =
1/ (pC)
pL + R + 1/ (pC)
=
1
p
2
LC + RCp + 1
.
Именно такую символическую методику и применял Хевисайд для решения электротехнических задач.
Теорема о свертке эффективно применяется и к решению интегральных уравнений вида
y (t)
− λ
∫
t
0
g (t
− τ) y (τ) dτ = f (t) ,
называемых интегральными уравнениями Вольтерра 2-го рода с разностным ядром. Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и учи- тывая теорему о свертке (29), легко находим изображение неизвестного ре- шения
Y (p) =
F (p)
1
− λG (p)
.
3. Дробные производные и их изображение по
Лапласу
В последние годы значительное внимание в отечественной и зарубежной научной литературе стало уделяться аппарату дробных производных в свя- зи с различными приложениями, в частности, с необходимостью адекватно- го описания задач аномальной диффузии. Вышел целый ряд монографий,
посвященных дробному дифференцированию и интегрированию (см., напри- мер, [4]-[6]). Нельзя сказать, что это совершенно новая область анализа. Еще
18

Лейбниц в письме маркизу де Лопиталю, которое датировано 30.09.1695, ста- вил вопрос об определении дробных дифференциалов. Существуют разные приемы введения дробной производной. Как можно, например, простым спо- собом подсчитать значение