Файл: Учебнометодическое пособие Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 75
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
d
1/2
dt
1/2
t?
Найдем m-ую производную степенной функции t
n
, где m и n - натуральные числа (m < n),
d
m
dt
m
t
n
= n (n
− 1) · · · (n − m + 1) t
n
−m
=
n!
(n
− m)!
t
n
−m
.
Теперь в этом соотношении формально заменим натуральный индекс m ве- щественным β, предварительно заменив факториал в знаменателе гамма- функцией Γ (n
− m + 1). В результате придем к
d
β
dt
β
t
n
=
n!
Γ (n
− β + 1)
t
n
−β
,
(32)
Полагая в (32) β = 1/2, n = 1 и учитывая свойства гамма-функции, имеем
d
1/2
dt
1/2
t =
√
t
Γ (3/2)
=
√
t
(1/2) Γ (1/2)
= 2
√
t
π
.
(33)
Адамар предложил использовать данную процедуру при определении дроб- ной производной произвольной функции f (t). Разложим f (t) в ряд Тейлора в окрестности некоторой фиксированной точки t
0
f (t) =
∞
∑
n=0
f
(n)
(t
0
)
n!
(t
− t
0
)
n
,
а затем применим к этому соотношению оператор дробного дифференциро- вания d
β
/dt
β
. Принимая во внимание правило (32), найдем
d
β
dt
β
f (t) =
∞
∑
n=0
f
(n)
(t
0
)
Γ (n
− β + 1)
(t
− t
0
)
n
−β
.
(34)
В формуле (34) без ограничения общности считается, что порядок дробной производной 0 < β < 1, и гамма-функция остается в области определения.
Как видно из (34), в отличие от обычной производной дробная производная постоянной f (t) = c не обращается в нуль, но имеет степенную зависимость
d
β
dt
β
c =
c (t
− t
0
)
−β
Γ (1
− β)
.
(35)
19
Заметим, что определение дробной производной (34) неудобно для практиче- ского использования в силу неопределенности параметра t
0
и необходимости каждый раз подсчитывать сумму.
К более подходящему определению можно придти через оператор дроб- ного интегрирования. Рассмотрим интегральный оператор
ˆ
I
t
=
∫
t
0
{. . .} dτ.
Применяя данный оператор n раз к функции f (t), получаем
ˆ
I
n
t
f (t) =
∫
t
0
dτ
1
∫
τ
1 0
dτ
2
. . .
∫
τ
n
−1 0
f (τ
n
) dτ
n
или с учетом формулы Коши
ˆ
I
n
t
f (t) =
∫
t
0
(t
− τ)
n
−1
(n
− 1)!
f (τ ) dτ.
Заменяя здесь, как и ранее, факториал гамма-функцией, можно ввести опе- ратор дробного интегрирования соотношением
ˆ
I
α
t
f (t) =
1
Γ (α)
∫
t
0
f (τ )
(t
− τ)
1
−α
dτ,
(36)
где 0 < α < 1. В указанной области параметра α интеграл в (36) сходится для ограниченных функций f (t). Поскольку
d
dt
ˆ
I
t
f (t) =
d
dt
∫
t
0
f (τ ) dτ = f (t) ,
то d/dt = ˆ
I
−1
t
, и, казалось бы, можно определить дробную производную как
d
β
dt
β
f (t) = ˆ
I
−β
t
f (t) =
1
Γ (
−β)
∫
t
0
f (τ )
(t
− τ)
1+β
dτ.
Однако в этом случае интеграл расходится на верхнем пределе. Поэтому дробную производную необходимо ввести более корректно
d
β
dt
β
f (t) =
d
dt
ˆ
I
1
−β
t
f (t) =
1
Γ (1
− β)
d
dt
∫
t
0
f (τ )
(t
− τ)
β
dτ,
(37)
где 0 < β < 1. Формула (37) называется дробной производной Римана-
Лиувилля. Как видно из этого определения, оператор дробного дифферен- цирования представляет собой интегро-дифференциальный оператор с раз- ностным степенным ядром. Нетрудно показать, что общепринятое определе- ние (37) совпадает с определением Адамара (34) при t
0
= 0, однако его пре- имущества в сравнении с последним очевидны. Заметим также, что в 1969 г.
20
0
Im
q
Re
q
g eR
g
G
eR
e
R
C
e
C
R
Рис. 9:
Контур интегрирования в комплексной плоскости q.
Оценим интегралы по дугам окружностей контура C, проходимого по ходу часовой стрелки. Для большей дуги имеем
∫
C
′
R
q
−β
e
−q
dq
≤ R
1
−β
∫
θ
0
exp
{−Rr cos φ} dφ ≤
≤ R
1
−β
∫
θ
0
exp
{
−R
(
1
−
2φ
π
)}
dφ
≤
π
2R
β
,
откуда видно, что интеграл стремится к нулю при R
→ ∞. Для меньшей дуги аналогичным образом находим
∫
C
′
ε
q
−β
e
−q
dq
≤ ε
1
−β
∫
θ
0
exp
{−ε cos φ} dφ ≤ ε
1
−β
θ.
В пределе ε
→ 0 и этот интеграл оказывается предельно мал. Расписывая интеграл по отрезку Γ
εR
действительной оси
∫
Γ
εR
q
−β
e
−q
dq =
−
∫
R
ε
t
−β
e
−t
dt
и переходя к пределу ε
→ 0 и R → ∞ в уравнении для контурного интеграла,
получаем с учетом определения гамма-функции
L
{
t
−β
}
=
1
p
1
−β
∫
∞
0
t
−β
e
−t
dt =
Γ (1
− β)
p
1
−β
.
Подставляя (40) в (39), приходим к ожидаемому результату
d
β
dt
β
f (t)
: p
β
F (p) .
(41)
Аналогичным образом из определения Капуто (37) получаем
D
β
t
f (t)
:
pF (p)
− f (0)
p
1
−β
= p
β
F (p)
−
f (0)
p
1
−β
.
(42)
22
Из соотношений (40)-(42) вытекает следующая формула связи дробных про- изводных Капуто и Римана-Лиувилля
D
β
t
f (t) =
d
β
dt
β
f (t)
−
f (0) t
−β
Γ (1
− β)
.
(43)
Согласно (43), для функции f (t) = t данные производные совпадают, и по- этому из определения (38) имеем
d
β
dt
β
t =
1
Γ (1
− β)
∫
t
0
dτ
(t
− τ)
β
=
t
1
−β
Γ (2
− β)
.
Полагая здесь β = 1/2, приходим к ранее полученному результату (33).
4. Обращение преобразования Лапласа.
Формула Римана-Меллина
Как мы уже видели ранее на примерах, многие дифференциальные и ин- тегральные уравнения легко решаются методом преобразования Лапласа, но возникает необходимость обратного восстановления оригинала по изображе- нию. На этот вопрос отвечает основная теорема операционного исчисления.
Теорема.
Если функция f (t) является оригиналом, удовлетворяющим условиям
(a)
− (c), а F (p) служит ее изображением, то в любой точке t, где f (t) удо- влетворяет условию Липшица-Гельдера, справедливо равенство
f (t) =
1 2πi
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp,
(44)
причем интеграл берется вдоль любой прямой Re p = a > s
0
и понимается в смысле главного значения по Коши
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp = lim
b
→∞
∫
a+ib
a
−ib
F (p) e
pt
dp.
Соотношение (44) называют формулой Римана-Меллина. Заметим, что значе- ния оригинала f (t) в точках разрыва не могут быть вычислены по формуле
(44), поскольку разрывы первого рода, согласно (1), не влияют на изобра- жение F (p). Доказательство данной теоремы достаточно громоздко, и его можно найти в литературе по функциям комплексного переменного (см., на- пример, [2]). Приведем еще одну теорему об условиях, достаточных для того,
чтобы заданная функция комплексного переменного служила изображением некоторого оригинала.
23
Теорема.
Если функция F (p) аналитична в полуплоскости Re p > s
0
, стремится к нулю при
|p| → ∞ в любой полуплоскости Re p ≥ a > s
0
равномерно относительно arg p, и интеграл
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) dp
абсолютно сходится, то F (p) является изображением функции
f (t) =
1 2πi
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp.
Формула Римана-Меллина (44) не очень удобна для практических вы- числений. Чаще пользуются теоремами, относящимися к разложению в ряды оригиналов или изображений и объединенных под общим названием теоремы
разложения.
Первая теорема разложения.
Если функция комплексного переменного F (p) аналитична в окрестности
|p| > R бесконечно удаленной точки и имеет в ней разложение в ряд Лорана вида
F (p) =
∞
∑
n=1
c
n
p
n
,
(45)
то оригиналом F (p) служит комплекснозначная функция, представимая ря- дом (t > 0)
f (t) =
∞
∑
n=1
c
n
(n
− 1)!
t
n
−1
.
(46)
При этом понимается, что f (t)
≡ 0 при t < 0.
Доказательство.
Докажем сначала, что функциональный ряд (46) удовлетворяет свойствам оригинала. Переобозначим p = 1/q в соотношении (45). Тогда функция F (1/q) =
∞
∑
n=1
c
n
q
n
будет аналитической в круге
|q| < 1/R, и пользуясь неравенствами
Коши для коэффициентов
|c
n
| < MR
n
(M > 0), имеем следующую оценку для ряда (46) в области 0
≤ t ≤ T < ∞
∞
∑
n=1
c
n
(n
− 1)!
t
n
−1
≤
∞
∑
n=1
|c
n
|
(n
− 1)!
T
n
−1
< M R
∞
∑
n=1
(RT )
n
−1
(n
− 1)!
= M R
· e
RT
.
24
Отсюда по достаточному признаку Вейерштрасса следует, что степенной ряд
(46) равномерно сходится в области 0
≤ t < ∞. Это означает непрерывность функции f (t), т.е. справедливость для нее неравенства Липшица-Гельдера
(2). В то же время, из приведенной оценки вытекает и условие (3). Домножая обе части соотношения (46) на e
−pt
и проводя почленное интегрирование ряда
(в силу его равномерной сходимости) по области (0,
∞), приходим с учетом ранее установленного соотношения (18) к формуле (45) для Re p > R.
Приведем несколько примеров на применение первой теоремы разложе- ния. Рассмотрим функцию комплексного переменного F (p) = e
−1/p
/p
n+1
, где
n - натуральное число. Разлагая ее в ряд по степеням 1/p, имеем
e
−1/p
p
n+1
=
∞
∑
k=0
(
−1)
k
k!
·
1
p
n+k+1
.
Сопоставление с соотношением (45) показывает, что данная функция удовле- творяет условиям первой теоремы разложения и поэтому является изображе- нием оригинала (ср. с (46))
f (t) =
∞
∑
k=0
(
−1)
k
k! (n + k)!
t
n+k
.
Полагая в этом соотношении t = (τ /2)
2
, приходим к
f
(√
τ
2
)
=
(
τ
2
)
n ∞
∑
k=0
(
−1)
k
k! (n + k)!
(
τ
2
)
n+2k
.
Полученный ряд представляет собой разложение функции Бесселя n-го по- рядка J
n
(τ ). Таким образом,
f (t) = t
n/2
J
n
(
2
√
t
)
,
т.е.
t
n/2
J
n
(
2
√
t
)
:
e
−1/p
p
n+1
.
Решим операционным методом дифференциальное уравнение
dy (t)
dt
= y (αt)
(47)
при начальном условии:
y (0) = 1 для α > 0, входившее в знаменитый мини- мум Ландау для поступающих в МФТИ. В случае α = 1 решение уравнения
(47) легко находится: y (t) = e
t
. Заметим, что при α < 1 решение имеет показатель роста, меньший 1, поскольку значение производной определяется
25
1/2
dt
1/2
t?
Найдем m-ую производную степенной функции t
n
, где m и n - натуральные числа (m < n),
d
m
dt
m
t
n
= n (n
− 1) · · · (n − m + 1) t
n
−m
=
n!
(n
− m)!
t
n
−m
.
Теперь в этом соотношении формально заменим натуральный индекс m ве- щественным β, предварительно заменив факториал в знаменателе гамма- функцией Γ (n
− m + 1). В результате придем к
d
β
dt
β
t
n
=
n!
Γ (n
− β + 1)
t
n
−β
,
(32)
Полагая в (32) β = 1/2, n = 1 и учитывая свойства гамма-функции, имеем
d
1/2
dt
1/2
t =
√
t
Γ (3/2)
=
√
t
(1/2) Γ (1/2)
= 2
√
t
π
.
(33)
Адамар предложил использовать данную процедуру при определении дроб- ной производной произвольной функции f (t). Разложим f (t) в ряд Тейлора в окрестности некоторой фиксированной точки t
0
f (t) =
∞
∑
n=0
f
(n)
(t
0
)
n!
(t
− t
0
)
n
,
а затем применим к этому соотношению оператор дробного дифференциро- вания d
β
/dt
β
. Принимая во внимание правило (32), найдем
d
β
dt
β
f (t) =
∞
∑
n=0
f
(n)
(t
0
)
Γ (n
− β + 1)
(t
− t
0
)
n
−β
.
(34)
В формуле (34) без ограничения общности считается, что порядок дробной производной 0 < β < 1, и гамма-функция остается в области определения.
Как видно из (34), в отличие от обычной производной дробная производная постоянной f (t) = c не обращается в нуль, но имеет степенную зависимость
d
β
dt
β
c =
c (t
− t
0
)
−β
Γ (1
− β)
.
(35)
19
Заметим, что определение дробной производной (34) неудобно для практиче- ского использования в силу неопределенности параметра t
0
и необходимости каждый раз подсчитывать сумму.
К более подходящему определению можно придти через оператор дроб- ного интегрирования. Рассмотрим интегральный оператор
ˆ
I
t
=
∫
t
0
{. . .} dτ.
Применяя данный оператор n раз к функции f (t), получаем
ˆ
I
n
t
f (t) =
∫
t
0
dτ
1
∫
τ
1 0
dτ
2
. . .
∫
τ
n
−1 0
f (τ
n
) dτ
n
или с учетом формулы Коши
ˆ
I
n
t
f (t) =
∫
t
0
(t
− τ)
n
−1
(n
− 1)!
f (τ ) dτ.
Заменяя здесь, как и ранее, факториал гамма-функцией, можно ввести опе- ратор дробного интегрирования соотношением
ˆ
I
α
t
f (t) =
1
Γ (α)
∫
t
0
f (τ )
(t
− τ)
1
−α
dτ,
(36)
где 0 < α < 1. В указанной области параметра α интеграл в (36) сходится для ограниченных функций f (t). Поскольку
d
dt
ˆ
I
t
f (t) =
d
dt
∫
t
0
f (τ ) dτ = f (t) ,
то d/dt = ˆ
I
−1
t
, и, казалось бы, можно определить дробную производную как
d
β
dt
β
f (t) = ˆ
I
−β
t
f (t) =
1
Γ (
−β)
∫
t
0
f (τ )
(t
− τ)
1+β
dτ.
Однако в этом случае интеграл расходится на верхнем пределе. Поэтому дробную производную необходимо ввести более корректно
d
β
dt
β
f (t) =
d
dt
ˆ
I
1
−β
t
f (t) =
1
Γ (1
− β)
d
dt
∫
t
0
f (τ )
(t
− τ)
β
dτ,
(37)
где 0 < β < 1. Формула (37) называется дробной производной Римана-
Лиувилля. Как видно из этого определения, оператор дробного дифферен- цирования представляет собой интегро-дифференциальный оператор с раз- ностным степенным ядром. Нетрудно показать, что общепринятое определе- ние (37) совпадает с определением Адамара (34) при t
0
= 0, однако его пре- имущества в сравнении с последним очевидны. Заметим также, что в 1969 г.
20
итальянским математиком Капуто было введено отличное от (37) определе- ние дробной производной
D
β
t
f (t) =
1
Γ (1
− β)
∫
t
0
f
′
(τ )
(t
− τ)
β
dτ,
(38)
которое сохраняет присущее обычным производным свойство равенства нулю производной от константы.
Выясним, чему соответствует дробная производная (37) в изображении по
Лапласу. Применяя теорему о дифференцировании оригинала (15) и теорему о свертке (29), находим
d
β
dt
β
f (t)
:
pF (p) L
{
t
−β
}
Γ (1
− β)
.
(39)
Для отыскания изображения L
{
t
−β
}
функции t
−β
применим формальный прием. Воспользуемся ранее полученным соотношением для степенной функ- ции (18). Заменяя в нем n! на Γ (n + 1) и подставляя n =
−β, находим
t
−β
: L
{
t
−β
}
=
Γ (1
− β)
p
1
−β
.
(40)
Полученный результат, хотя и является правильным, требует строгого доказательства. Воспользуемся определением (1)
L
{
t
−β
}
=
∫
∞
0
t
−β
e
−pt
dt,
0 < β < 1.
и произведем в интеграле замену переменного q = pt, где p = re
iθ
(
−π/2 < θ < π/2)
- фиксированное комплексное число. В результате соотношение перейдет в
L
{
t
−β
}
=
1
p
1
−β
∫
γ
q
−β
e
−q
dq,
где интегрирование в комплексной плоскости q производится вдоль луча
γ : arg q = θ, выходящего из начала координат. Рассмотрим изображен- ный на Рис. 9 замкнутый контур C, состоящий из дуг C
′
ε
и C
′
R
(0
≤ φ ≤ θ)
окружностей C
ε
:
|q| = ε и C
R
:
|q| = R, отрезка L
εR
действительной оси:
q = t (ε
≤ t ≤ R) и отрезка γ
εR
луча γ (для определенности полагаем, что
0 < θ < π/2). Внутри данного контура подынтегральная функция q
−β
e
−q
является аналитической, и поэтому по теореме Коши
∫
C
q
−β
e
−q
dq =
∫
γ
εR
q
−β
e
−q
dq +
∫
C
′
R
q
−β
e
−q
dq +
∫
Γ
εR
q
−β
e
−q
dq +
∫
C
′
ε
q
−β
e
−q
dq = 0.
21
D
β
t
f (t) =
1
Γ (1
− β)
∫
t
0
f
′
(τ )
(t
− τ)
β
dτ,
(38)
которое сохраняет присущее обычным производным свойство равенства нулю производной от константы.
Выясним, чему соответствует дробная производная (37) в изображении по
Лапласу. Применяя теорему о дифференцировании оригинала (15) и теорему о свертке (29), находим
d
β
dt
β
f (t)
:
pF (p) L
{
t
−β
}
Γ (1
− β)
.
(39)
Для отыскания изображения L
{
t
−β
}
функции t
−β
применим формальный прием. Воспользуемся ранее полученным соотношением для степенной функ- ции (18). Заменяя в нем n! на Γ (n + 1) и подставляя n =
−β, находим
t
−β
: L
{
t
−β
}
=
Γ (1
− β)
p
1
−β
.
(40)
Полученный результат, хотя и является правильным, требует строгого доказательства. Воспользуемся определением (1)
L
{
t
−β
}
=
∫
∞
0
t
−β
e
−pt
dt,
0 < β < 1.
и произведем в интеграле замену переменного q = pt, где p = re
iθ
(
−π/2 < θ < π/2)
- фиксированное комплексное число. В результате соотношение перейдет в
L
{
t
−β
}
=
1
p
1
−β
∫
γ
q
−β
e
−q
dq,
где интегрирование в комплексной плоскости q производится вдоль луча
γ : arg q = θ, выходящего из начала координат. Рассмотрим изображен- ный на Рис. 9 замкнутый контур C, состоящий из дуг C
′
ε
и C
′
R
(0
≤ φ ≤ θ)
окружностей C
ε
:
|q| = ε и C
R
:
|q| = R, отрезка L
εR
действительной оси:
q = t (ε
≤ t ≤ R) и отрезка γ
εR
луча γ (для определенности полагаем, что
0 < θ < π/2). Внутри данного контура подынтегральная функция q
−β
e
−q
является аналитической, и поэтому по теореме Коши
∫
C
q
−β
e
−q
dq =
∫
γ
εR
q
−β
e
−q
dq +
∫
C
′
R
q
−β
e
−q
dq +
∫
Γ
εR
q
−β
e
−q
dq +
∫
C
′
ε
q
−β
e
−q
dq = 0.
21
0
Im
q
Re
q
g eR
g
G
eR
e
R
C
e
C
R
Рис. 9:
Контур интегрирования в комплексной плоскости q.
Оценим интегралы по дугам окружностей контура C, проходимого по ходу часовой стрелки. Для большей дуги имеем
∫
C
′
R
q
−β
e
−q
dq
≤ R
1
−β
∫
θ
0
exp
{−Rr cos φ} dφ ≤
≤ R
1
−β
∫
θ
0
exp
{
−R
(
1
−
2φ
π
)}
dφ
≤
π
2R
β
,
откуда видно, что интеграл стремится к нулю при R
→ ∞. Для меньшей дуги аналогичным образом находим
∫
C
′
ε
q
−β
e
−q
dq
≤ ε
1
−β
∫
θ
0
exp
{−ε cos φ} dφ ≤ ε
1
−β
θ.
В пределе ε
→ 0 и этот интеграл оказывается предельно мал. Расписывая интеграл по отрезку Γ
εR
действительной оси
∫
Γ
εR
q
−β
e
−q
dq =
−
∫
R
ε
t
−β
e
−t
dt
и переходя к пределу ε
→ 0 и R → ∞ в уравнении для контурного интеграла,
получаем с учетом определения гамма-функции
L
{
t
−β
}
=
1
p
1
−β
∫
∞
0
t
−β
e
−t
dt =
Γ (1
− β)
p
1
−β
.
Подставляя (40) в (39), приходим к ожидаемому результату
d
β
dt
β
f (t)
: p
β
F (p) .
(41)
Аналогичным образом из определения Капуто (37) получаем
D
β
t
f (t)
:
pF (p)
− f (0)
p
1
−β
= p
β
F (p)
−
f (0)
p
1
−β
.
(42)
22
Из соотношений (40)-(42) вытекает следующая формула связи дробных про- изводных Капуто и Римана-Лиувилля
D
β
t
f (t) =
d
β
dt
β
f (t)
−
f (0) t
−β
Γ (1
− β)
.
(43)
Согласно (43), для функции f (t) = t данные производные совпадают, и по- этому из определения (38) имеем
d
β
dt
β
t =
1
Γ (1
− β)
∫
t
0
dτ
(t
− τ)
β
=
t
1
−β
Γ (2
− β)
.
Полагая здесь β = 1/2, приходим к ранее полученному результату (33).
4. Обращение преобразования Лапласа.
Формула Римана-Меллина
Как мы уже видели ранее на примерах, многие дифференциальные и ин- тегральные уравнения легко решаются методом преобразования Лапласа, но возникает необходимость обратного восстановления оригинала по изображе- нию. На этот вопрос отвечает основная теорема операционного исчисления.
Теорема.
Если функция f (t) является оригиналом, удовлетворяющим условиям
(a)
− (c), а F (p) служит ее изображением, то в любой точке t, где f (t) удо- влетворяет условию Липшица-Гельдера, справедливо равенство
f (t) =
1 2πi
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp,
(44)
причем интеграл берется вдоль любой прямой Re p = a > s
0
и понимается в смысле главного значения по Коши
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp = lim
b
→∞
∫
a+ib
a
−ib
F (p) e
pt
dp.
Соотношение (44) называют формулой Римана-Меллина. Заметим, что значе- ния оригинала f (t) в точках разрыва не могут быть вычислены по формуле
(44), поскольку разрывы первого рода, согласно (1), не влияют на изобра- жение F (p). Доказательство данной теоремы достаточно громоздко, и его можно найти в литературе по функциям комплексного переменного (см., на- пример, [2]). Приведем еще одну теорему об условиях, достаточных для того,
чтобы заданная функция комплексного переменного служила изображением некоторого оригинала.
23
Теорема.
Если функция F (p) аналитична в полуплоскости Re p > s
0
, стремится к нулю при
|p| → ∞ в любой полуплоскости Re p ≥ a > s
0
равномерно относительно arg p, и интеграл
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) dp
абсолютно сходится, то F (p) является изображением функции
f (t) =
1 2πi
∫
a+i
∞
a
−i∞
F (p) e
pt
dp.
Формула Римана-Меллина (44) не очень удобна для практических вы- числений. Чаще пользуются теоремами, относящимися к разложению в ряды оригиналов или изображений и объединенных под общим названием теоремы
разложения.
Первая теорема разложения.
Если функция комплексного переменного F (p) аналитична в окрестности
|p| > R бесконечно удаленной точки и имеет в ней разложение в ряд Лорана вида
F (p) =
∞
∑
n=1
c
n
p
n
,
(45)
то оригиналом F (p) служит комплекснозначная функция, представимая ря- дом (t > 0)
f (t) =
∞
∑
n=1
c
n
(n
− 1)!
t
n
−1
.
(46)
При этом понимается, что f (t)
≡ 0 при t < 0.
Доказательство.
Докажем сначала, что функциональный ряд (46) удовлетворяет свойствам оригинала. Переобозначим p = 1/q в соотношении (45). Тогда функция F (1/q) =
∞
∑
n=1
c
n
q
n
будет аналитической в круге
|q| < 1/R, и пользуясь неравенствами
Коши для коэффициентов
|c
n
| < MR
n
(M > 0), имеем следующую оценку для ряда (46) в области 0
≤ t ≤ T < ∞
∞
∑
n=1
c
n
(n
− 1)!
t
n
−1
≤
∞
∑
n=1
|c
n
|
(n
− 1)!
T
n
−1
< M R
∞
∑
n=1
(RT )
n
−1
(n
− 1)!
= M R
· e
RT
.
24
Отсюда по достаточному признаку Вейерштрасса следует, что степенной ряд
(46) равномерно сходится в области 0
≤ t < ∞. Это означает непрерывность функции f (t), т.е. справедливость для нее неравенства Липшица-Гельдера
(2). В то же время, из приведенной оценки вытекает и условие (3). Домножая обе части соотношения (46) на e
−pt
и проводя почленное интегрирование ряда
(в силу его равномерной сходимости) по области (0,
∞), приходим с учетом ранее установленного соотношения (18) к формуле (45) для Re p > R.
Приведем несколько примеров на применение первой теоремы разложе- ния. Рассмотрим функцию комплексного переменного F (p) = e
−1/p
/p
n+1
, где
n - натуральное число. Разлагая ее в ряд по степеням 1/p, имеем
e
−1/p
p
n+1
=
∞
∑
k=0
(
−1)
k
k!
·
1
p
n+k+1
.
Сопоставление с соотношением (45) показывает, что данная функция удовле- творяет условиям первой теоремы разложения и поэтому является изображе- нием оригинала (ср. с (46))
f (t) =
∞
∑
k=0
(
−1)
k
k! (n + k)!
t
n+k
.
Полагая в этом соотношении t = (τ /2)
2
, приходим к
f
(√
τ
2
)
=
(
τ
2
)
n ∞
∑
k=0
(
−1)
k
k! (n + k)!
(
τ
2
)
n+2k
.
Полученный ряд представляет собой разложение функции Бесселя n-го по- рядка J
n
(τ ). Таким образом,
f (t) = t
n/2
J
n
(
2
√
t
)
,
т.е.
t
n/2
J
n
(
2
√
t
)
:
e
−1/p
p
n+1
.
Решим операционным методом дифференциальное уравнение
dy (t)
dt
= y (αt)
(47)
при начальном условии:
1 2 3 4 5
y (0) = 1 для α > 0, входившее в знаменитый мини- мум Ландау для поступающих в МФТИ. В случае α = 1 решение уравнения
(47) легко находится: y (t) = e
t
. Заметим, что при α < 1 решение имеет показатель роста, меньший 1, поскольку значение производной определяется
25
значением функции в предшествующий момент времени. В этом случае изоб- ражение по Лапласу решения существует, т.к. функция y(t) имеет конечный показатель роста. Для α > 1, наоборот, решение должно нарастать быстрее
e
t
, и может нарушиться условие (3), накладываемое на оригинал. Перейдем в уравнении (47) к изображению по Лапласу, применив теорему подобия (11)
и теорему о дифференцировании оригинала (15). В результате с учетом на- чального условия получим
pY (p)
− 1 =
1
α
Y
(
p
α
)
.
(48)
Будем искать аналитическое решение уравнения (48) в виде разложения (45).
Подставляя разложение, приходим к
∞
∑
n=1
c
n
p
n
−1
− 1 =
∞
∑
n=1
c
n
α
n
−1
p
n
.
Выделяя первое слагаемое ряда в левой части уравнения, а затем группируя ряды, имеем
c
1
− 1 +
∞
∑
n=1
c
n+1
− c
n
α
n
−1
p
n
= 0.
Отсюда в силу произвольности p получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (45)
c
n+1
= c
n
α
n
−1
,
c
1
= 1.
Решая последовательно данное рекуррентное соотношение, находим коэффи- циенты разложения
c
n+1
= c
n
α
n
−1
= c
n
−1
α
(n
−1)+(n−2)
= . . . = c
1
α
(n
−1)+(n−2)+...+1
= α
n(n
−1)/2
.
Подставляя полученное выражение в разложение (46), получаем одно из воз- можных решений дифференциального уравнения (47) в форме степенного ряда
y (t) =
∞
∑
n=0
α
n(n
−1)/2
n!
t
n
,
(49)
сумма которого не выражается в элементарных функциях. Применяя доста- точный признак Даламбера, определим область сходимости знакопостоянно- го функционального ряда (49). Подсчитаем значение предела lim
n
→∞
α
n(n+1)/2
t
n+1
n!
α
n(n
−1)/2
t
n
(n + 1)!
= t lim
n
→∞
α
n
n + 1
=
{
∞, α > 1,
0,
0 < α
≤ 1.
Таким образом, мы действительно нашли решение дифференциального урав- нения (47) в области значений параметра 0 < α
≤ 1. Графики функции (49) в полулогарифмическом масштабе для различных значений параметра α пред- ставлены на Рис. 10.
26
e
t
, и может нарушиться условие (3), накладываемое на оригинал. Перейдем в уравнении (47) к изображению по Лапласу, применив теорему подобия (11)
и теорему о дифференцировании оригинала (15). В результате с учетом на- чального условия получим
pY (p)
− 1 =
1
α
Y
(
p
α
)
.
(48)
Будем искать аналитическое решение уравнения (48) в виде разложения (45).
Подставляя разложение, приходим к
∞
∑
n=1
c
n
p
n
−1
− 1 =
∞
∑
n=1
c
n
α
n
−1
p
n
.
Выделяя первое слагаемое ряда в левой части уравнения, а затем группируя ряды, имеем
c
1
− 1 +
∞
∑
n=1
c
n+1
− c
n
α
n
−1
p
n
= 0.
Отсюда в силу произвольности p получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (45)
c
n+1
= c
n
α
n
−1
,
c
1
= 1.
Решая последовательно данное рекуррентное соотношение, находим коэффи- циенты разложения
c
n+1
= c
n
α
n
−1
= c
n
−1
α
(n
−1)+(n−2)
= . . . = c
1
α
(n
−1)+(n−2)+...+1
= α
n(n
−1)/2
.
Подставляя полученное выражение в разложение (46), получаем одно из воз- можных решений дифференциального уравнения (47) в форме степенного ряда
y (t) =
∞
∑
n=0
α
n(n
−1)/2
n!
t
n
,
(49)
сумма которого не выражается в элементарных функциях. Применяя доста- точный признак Даламбера, определим область сходимости знакопостоянно- го функционального ряда (49). Подсчитаем значение предела lim
n
→∞
α
n(n+1)/2
t
n+1
n!
α
n(n
−1)/2
t
n
(n + 1)!
= t lim
n
→∞
α
n
n + 1
=
{
∞, α > 1,
0,
0 < α
≤ 1.
Таким образом, мы действительно нашли решение дифференциального урав- нения (47) в области значений параметра 0 < α
≤ 1. Графики функции (49) в полулогарифмическом масштабе для различных значений параметра α пред- ставлены на Рис. 10.
26