Файл: Практикум по дисциплинам Методы искусственного интеллекта в управлении, Интеллектуальное управление сложными объектами.pdf

Рис. 2.14. Процедура логического вывода по алгоритму Мамдани
Отметим, что в алгоритме Ларсена (рис. 2.15) этапы фаззифи- кации и агрегирования выполняются так же, как в алгоритме
Мамдани, а на этапе активизации заключений нечеткая импликация моделируется с помощью оператора умножения:
Правило 3:
|
∗
0,2;
Правило 4:
|
∗
0,5;
;
После аккумулирования заключений нечетких правил продук- ций с использованием операции max-дизъюнкции получим нечеткое множество c ФП:
|
∗
;
|
∗
Заключительным этапом является дефаззификация выходной
ЛП. Если допустить, что результирующее нечеткое множество является дискретным, то можно определить приближенное значение управляющей переменной методом центра тяжести по формуле:
∗
∑
∙
∑

Рис. 2.15. Процедура логического вывода по алгоритму Ларсена
Процедура дефаззификации нечеткого множества, полученного по алгоритму Мамдани методом центра тяжести, представлена ниже:
∙
25 ∙ 0 20 ∙ 0,1 15 10 5
0 5
10 15 ∙ 0,2 20 ∙ 0,4 25 30 35 40 45 50 55 60 ∙ 0,5 65 ∙ 0,2 70 ∙ 0 196,5;
0 0,1 0,2 ∙ 6 0,4 0,5 ∙ 8 0,2 0
6,7;
∗
196,5 6,7 29,3 29
о
Процедура дефаззификации по алгоритму Ларсена:
∙
25 ∙ 0 20 ∙ 0,01 15 ∙ 0,05 10 ∙ 0,1 5 ∙ 0,15 0 ∙ 0,2 5 ∙ 0,15 10 ∙ 0,1 15 ∙ 0,05 20 ∙ 0,1 25 ∙ 0,2 30 ∙ 0,3 35 ∙ 0,4 40 ∙ 0,5 45 ∙ 0,4 50 ∙ 0,3 55 ∙ 0,2 60 ∙ 0,1 65 ∙ 0,05 70 ∙ 0 103,05;
0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0
3,36;
∗
103,05 3,36 30,67 31
о

Таким образом, на основе двух алгоритма НЛВ Мамдани и
Ларсена были рассчитаны значения угла поворота вентиля крана горячей воды, равного приблизительно 30°. Полученный результат означает, что когда текущая температура воды на выходе смесителя становится высокой и равной 55°С, вентиль горячей воды необходимо повернуть на 30° вправо – это уменьшит температуру поступающей из смесителя воды.
Для практической реализации рассмотренной системы нечеткого управления смесителем воды в душе необходимо организовать периодическое измерение температуры воды на выходе смесителя в некоторые дискретные моменты времени; при этом, чем меньше будет интервал измерения температуры, тем выше станет точность регулирования температуры воды.
3.2. Построение модели системы нечеткого управления кондиционером воздуха в помещении на основе алгоритма нечеткого логического вывода Мамдани со сложными правилами вида MISO
В помещении установлен бытовой кондиционер, который позволяет охлаждать или нагревать воздух. Очевидно, что наиболее комфортные условия создаются при некоторой стабильной температуре воздуха, однако поскольку температура окружающей среды вне помещения изменяется в течение суток, температура воздуха в помещении может колебаться. Задача состоит в том, чтобы сделать регулировку кондиционера автоматической, обеспечивая постоянную температуру воздуха в помещении (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Иллюстрация модели нечеткого управления кондиционером воздуха в помещении

Включение режима «холод» осуществляется поворотом регулятора кондиционера влево, а включение режима «тепло» – вправо относительно некоторой точки текущего состояния кондиционера.
При использовании бытовых кондиционеров было замечено, что процесс охлаждения или нагревания воздуха в помещении обладает некоторой инерционностью; например, после включения режима
«холод» происходит нагнетание холодного воздуха, в связи с чем температура постепенно падает, и даже в момент отключения этого режима температура продолжает падать в течение небольшого конечного промежутка времени. Аналогичная ситуация наблюдается при включении и отключении режима «тепло». Поэтому необходимо рассматривать в качестве параметров объекта управления не только температуру воздуха в помещении, но и скорость изменения температуры.
Опыт ручного регулирования температуры воздуха в помещении с кондиционером позволил экспертам сформулировать следующие эвристические правила:
1. Если температура воздуха в помещении очень теплая, а скорость изменения температуры положительная, то следует включить режим «холод», повернув регулятор кондиционера на очень большой угол влево.
2. Если температура воздуха в помещении очень теплая, а скорость изменения температуры отрицательная, то следует включить режим «холод», повернув регулятор кондиционера на небольшой угол влево.
3. Если температура воздуха в помещении теплая, а скорость изменения температуры положительная, то следует включить режим
«холод», повернув регулятор кондиционера на большой угол влево.
4. Если температура воздуха в помещении теплая, а скорость изменения температуры отрицательная, то кондиционер следует выключить.
5. Если температура воздуха в помещении очень холодная, а скорость изменения температуры отрицательная, то следует включить режим «тепло», повернув регулятор кондиционера на очень большой угол вправо.
6. Если температура воздуха в помещении очень холодная, а скорость изменения температуры положительная, то следует

включить режим «тепло», повернув регулятор кондиционера на небольшой угол вправо.
7. Если температура воздуха в помещении холодная, а скорость изменения температуры отрицательная, то следует включить режим
«тепло», повернув регулятор кондиционера на большой угол вправо.
8. Если температура воздуха в помещении холодная, а скорость изменения температуры положительная, то кондиционер следует выключить.
9. Если температура воздуха в помещении очень теплая, а скорость изменения температуры равна нулю, то следует включить режим «холод», повернув регулятор кондиционера на большой угол влево.
10. Если температура воздуха в помещении теплая, а скорость изменения температуры равна нулю, то следует включить режим
«холод», повернув регулятор кондиционера на небольшой угол влево.
11. Если температура воздуха в помещении очень холодная, а скорость изменения температуры равна нулю, то следует включить режим «тепло», повернув регулятор кондиционера на большой угол вправо.
12. Если температура воздуха в помещении холодная, а скорость изменения температуры равна нулю, то следует включить режим
«тепло», повернув регулятор кондиционера на небольшой угол вправо.
13. Если температура воздуха в помещении в пределах нормы, а скорость изменения температуры положительная, то следует включить режим «холод», повернув регулятор кондиционера на небольшой угол влево.
14. Если температура воздуха в помещении в пределах нормы, а скорость изменения температуры отрицательная, то следует включить режим «тепло», по-вернув регулятор кондиционера на небольшой угол вправо.
15. Если температура воздуха в помещении в пределах нормы, а скорость изменения температуры равна нулю, то кондиционер следует выключить.
Сформулированные правила становятся основой базы правил
СНВ модели нечеткого управления кондиционером.

Входными переменными модели являются температура воздуха в помещении (измеряемая в
о
С), и скорость изменения температуры воздуха (измеряемая в
о
С/мин).
Для первой входной ЛП «Температура воздуха» используется терм-множество = {«очень холодная»
, «холодная» , «в пределах нормы»
, «теплая» , «очень теплая» }, которое записывается в символическом виде: ={NB, NS, Z, PS, PB}, с ФП, изображенными на рис. 2.17.
Рис. 2.17. График ФП для термов ЛП «Температура воздуха»
Для второй входной ЛП
«Скорость изменения температуры воздуха» используется терм-множество
{«отрицательная»
,
«равна нулю»
, «положительная» }, или ={NS, Z, PS}, с ФП, изображенными на рис. 2.18.
Рис. 2.18. График ФП для термов ЛП «Скорость изменения температуры»
Выходной ЛП является
– «Угол поворота регулятора» включения режимов «холод» и «тепло» кондиционера, измеряемый в угловых градусах: поворот регулятора вправо означает включение режима «тепло» и положительное направление отсчета, а поворот

влево – включение режима «холод» и отрицательное направление отсчета. Для переменной выхода используется терм-множество
= {«очень большой угол влево»
, «большой угол влево»
,
«небольшой угол влево»
, «выключить кондиционер»
,
«небольшой угол вправо»
, «большой угол вправо»
, «очень большой угол вправо» } или в символическом виде ={NB, NM, NS,
Z, PS, PM, PB} с кусочно-линейными ФП, изображенными на рис. 2.19.
Рис. 2.19. График ФП для термов ЛП «Угол поворота регулятора»
База нечетких правил в матричном виде и в виде продукционных правил представлена в табл. 2.3 и 2.4.
Таблица 2.3
База нечетких правил в матричном виде
NS
Z PS
NB PB
PM PS
NS PM PS Z
Z PS Z NS
PS Z NS NM
PB NS
NM NB
Таблица 2.4
База нечетких правил в виде продукционных правил
№
Правила
1 2
1
ЕСЛИ =РВ И = PS, ТО = NB
2
ЕСЛИ = РВ И = NS, ТО = NS
3
ЕСЛИ = РS И = PS, ТО = NM
4
ЕСЛИ = PS И = NS, ТО = Z
5
ЕСЛИ = NВ И = NS, ТО = PB
6
ЕСЛИ = NВ И = PS, ТО = PS
7
ЕСЛИ = NS И = NS, ТО = PM

Окончание табл. 2.4
1 2
8
ЕСЛИ = NS И = PS, ТО = Z
9
ЕСЛИ = PB И = Z, ТО = NM
10
ЕСЛИ = PS И = Z, ТО = NS
11
ЕСЛИ = NB И = Z, ТО = PM
12
ЕСЛИ = NS И = Z, ТО = PS
13
ЕСЛИ = Z И = PS, ТО = NS
14
ЕСЛИ = Z И = NS, ТО = PS
15
ЕСЛИ = Z И = Z, ТО = Z
Рассматривается пример работы алгоритма НЛВ Мамдани для случая, когда текущая температура воздуха равна
∗
19,5 °С, а скорость ее положительная и равна
∗
0,2 °С/мин (рис. 2.20).
Соответствующие подусловия используются в правилах нечетких продукций с номерами 3, 10, 13, 15 – эти правила считаются активными и используются в текущем процессе нечеткого вывода.
Этап фаззификации переменных. На этом этапе определяются степени истинности предпосылок правил:
|
∗
,
=0,2;
|
∗
,
=0,5;
|
∗
,
=0,3;
|
∗
,
=0,7.
Этап агрегирования. Поскольку все условия в правилах заданы в форме сложных высказываний типа MISO, а подусловия во всех правилах соединены логической связкой И, то операция агрегирования будет выполняться с помощью оператора Т-нормы.
В методе Мамдани в качестве Т-нормы выступает операция min:
Правило 3: min
∗
;
∗
0,2;
Правило 10: min
∗
;
∗
0,2;
Правило 13: min
∗
;
∗
0,3;
Правило 15: min
∗
;
∗
0,5.
Этап активизации заключений. На этом этапев нечетких правилах продукций формируются «усеченные» ФП выходной переменной для каждого из правил; степени истинности для предпосылок каждого правила представлены ниже:
Правило 3:
П
min min
∗
;
∗
;
min 0,2;
;
Правило 10:
П
min min
∗
;
∗
;
min 0,2;
;;
Правило 13:
П
min min
∗
;
∗
;
min 0,3;
;;
Правило 15:
П
min min
∗
;
∗
;
min 0,5;

Этап аккумулирования заключений нечетких правил. На этапе аккумулированиязаключений нечетких правил продукций с использованием операции max-дизъюнкции образуется нечеткое множество c ФП: max
П3
;
П10
;
П13
;
П15
Этап дефаззификации. Проведем дефаззификацию выходной
ЛП методом центра тяжести, допустив, что результирующее нечеткое множество является дискретным, и определим приближенное значение управляющей переменной по формуле:
∗
∑
∙
∑
∙
70 ∙ 0 65 60 55 50 45 ∙ 0,2 35 30 25 20 ∙ 0,3 15 ∙ 0,4 10 5
0 5
15 ∙ 0,5 15 ∙ 0 106;
0 0,15 ∙ 5 0,3 ∙ 5 0,4 0,5 ∙ 4 0
5,4;
∗
106 5,4 19,6296 20.
При дефаззификации выходной ЛП методом центра тяжести определяется значение управляющей переменной: при температуре воздуха
∗
19,5
о
С и скорости изменения температуры, равной
∗
0,2 о
С/мин угол поворота регулятора кондиционера влево должен быть приблизительно равен 20°. Это значение соответствует включению режима «холод» на пятую часть своей мощности и является результатом решения задачи нечеткого вывода.

Рис. 2.20. Процедура нечеткого логического вывода по алгоритму Мамдани

3.3. Построение нечеткой модели Такаги-Сугено
3.3.1 Модель Такаги-Сугено с простыми правилами вида SISO
Пусть имеется три простых правила вида SISO:
Правило 1: ЕСЛИ (
) ТО (
3),
Правило 2: ЕСЛИ (
) ТО (
),
Правило 3: ЕСЛИ (
) ТО (
).
Трапециевидные ФП и поверхность отображения нечеткой
TS-модели представлены на рис. 2.21.
Рис. 2.21. ФП входных параметров и поверхность отображения TS-модели
Строится обобщенная поверхность нечеткой модели y(x). Для этого вводятся дополнительные логические переменные для пяти участков графика ФП
1 для 0 2,
0 в других случаях;
1 для 2 4,
0 в других случаях;
1 для 4 7
0 в других случаях;
1 для 7 9
0 в других случаях.
1 для 9 12 0 в других случаях;
В верхней части рисунка показана поверхность нечеткой модели
y(x), которая соответствует заключениям правил, представленным в виде линейных функций, но только на тех участках входного пространства, степени принадлежности элементов которых

соответствуют множествам с единичной высотой ФП, т.е. удовлетворяющих условию
1 (участки , , ).
На участках и поверхность модели должна переходить из одной линейной формы, задаваемой соответствующим заключением, в другую. Математическое выражение функций перехода зависит от типа используемых ФП.
С помощью логических переменных, записывается ФП нечетких подмножеств
, , в виде кусочно-линейных функций:
0,5 ∙
4 ∙
0,5 ∙
2 ∙
0,5 ∙
9 ∙
0,5 ∙
7 ∙
Рассматриваемые ФП удовлетворяют условию разбиения единицы:
∑
1.
Результирующая функция поверхности модели рассчитывается по формуле
:
∑
∙
На участках
,
, с единичной высотой функция поверхности равна:
1
∙
∙
3 ;
3
∙
∙
;
5
∙
∙
На участках и строятся функции перехода, которые имеют квадратичную форму:
∙
∙
0,5 ∙
4 ∙
∙
3 0,5 ∙
2 ∙
∙
4 10 3
7 39 56 6
∙
∙
=
0,5 ∙
9 ∙
∙
0,5 ∙
7 ∙
∙
24 3
5 77 258 6
Результирующая функция обобщенной поверхности нечеткой модели равна:
∙
3
∙ 7 39 56 6
∙ 4 10 3
∙
5 77 258 6
∙
24 3
Графическое изображение результирующей функции обобщающей поверхности показано на рис. 2.22.

Рис. 2.22. ФП входных параметров и результирующая поверхность TS-модели
Теперь может быть решена задача нахождения выходного результата нечеткой модели Такаги-Сугено. Пусть четкое значение входной переменной равно
∗
2,8. По рисунку значение выходной функции должно находиться во второй области поверхности нечеткой модели. Определяются уровни отсечения и значения степеней истинности
∗
заключений правил:
0,5 ∙
4 ∙
0,6 ∙
;
∙
∗
3 2,8 3
0,2.
0,5 ∙
2 ∙
0,4 ∙
; ∙
∗
∙
0,4.
Дефаззификация проводится либо с использованием модифицированного варианта расчета четкого значения по формуле:
∙
∗
∙
∗
0,6 ∙
∙ 0,2 0,4 ∙
∙ 0,4 0,6 ∙
0,4 ∙
0,28; либо путем подстановки значения входной переменной
∗
в результирующую функцию y(x):
∙ 7 39 56 6
1 ∙ 7 ∙ 2,8 39 ∙ 2,8 56 6
0,28.
Результирующая функция обобщающей поверхности непрерывна и не имеет скачков на границах областей. Вместе с тем, производная этой функции непрерывной не является и изменяется на границах областей скачкообразно, что является следствием типа используемых ФП (их кусочной линейности). Непрерывность

и большую гладкость поверхности модели можно обеспечить путем использования непрерывно дифференцируемых ФП, например, гауссовых функций.
В данном примере использованы трапециевидные ФП, которые имеют зоны четкости, характеризующиеся тем, что их элементы полностью (со степенью, равной 1) принадлежат соответствующему множеству. Вообще применять TS-модели следует главным образом в тех случаях, когда ФП имеют трапециевидную или подобную ей форму; не рекомендуется использовать треугольные ФП.
3.3.2. Модель Такаги-Сугено со сложными правилами вида
MISO
Пусть имеется два правила база правил вида MISO:
Правило 1:
ЕСЛИ = малое (
И = малое (
ТО
2 5 .
Правило 2:
ЕСЛИ = большое (
И = среднее (
ТО
2 7
3 .
Входные сигналы, полученные с датчиков объекта управления, равны:
∗
2 и
∗
3.
Процедура нечеткого логического вывода TS-модели включает следующие этапы (рис. 2.23).
На этапе фаззификации определяются степени истинности предпосылок нечетких правил:
|
∗
=0,75;
|
∗
=0,2;
|
∗
=0,3;
|
∗
=0,7.
Рис. 2.23. Процедура нечеткого логического вывода по алгоритму Такаги-Сугено

На этапе агрегирования определяются уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил с использованием операции min: min
|
∗
;
|
∗
min 0,75; 0,2 0,2;
min
|
∗
;
|
∗
min 0,3; 0,7 0,3.
На этапе активизации правил определяются значения истинности всех заключений правил нечетких продукций:
∗
1
∗
;
2
∗
2 ∙ 2 5 ∙ 3 11;
∗
1
∗
;
2
∗
2 7
∙ 2 3 ∙ 3 7.
При дефаззификации используется модифицированный вариант расчета четкого значения:
∙
∗
∙
∗
0,2 ∙ 11 0,3 ∙ 7 0,2 0,3 8,6.
Таким образом, полученное значение
8,6 и является результирующей переменной нечеткой модели.
При решении практических задач нечеткого моделирования могут одновременно использоваться несколько алгоритмов нечеткого вывода с целью получения наиболее адекватных результатов.