Файл: Тема диссертации и автореферата по вак рф 13. 00. 02, доктор педагогических наук Капкаева, Лидия Семеновна.docx

Пространственные представления, геометрическая интуиция играют важную роль и в самой математике. «Общая роль геометрии в математике состоит в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов» [12, с. 313].

Проследим основные моменты влияния геометрии в математике.

1. Математический анализ

Геометрия, наряду с механикой, имела решающее значение в возникновении и развитии анализа. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого ещё древними учеными, причем площадь и объем как величины считались определенными, никакое аналитическое определение интеграла не давалось до первой половины XIX в.

Одной из задач, породивших дифференцирование, была задача проведения касательных к данной кривой.

Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и до сих пор сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах: «точка разрыва», «область изменения переменной» и т.п.

Первый курс математического анализа, написанный в 1696 г. Лопиталем, назывался: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т.п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большой мере на задачах геометрии, и её понятия играют в нем важную роль.

2. Теория функций комплексного переменного

Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже

XVIII — XIX вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, то есть путем построения «комплексной плоскости», что привело к стремительному развитию теории функций комплексного переменного в XIX веке. Алгебраический смысл уравнения хп = 1 прояснился с его геометрической интерпретацией, связью с построением правильного п-угольника. Само понятие аналитической функции w = f (z) может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой геометрии находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

3. Функциональный анализ

Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0; 1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причем отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций — как расстояние). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, которое во многих случаях является очень плодотворным.

---

4. Алгебра

Геометрия оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. Следует отметить также графические методы расчетов (номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.

5. Аксиоматический метод

Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики геометрии играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

Из всех областей математики «теорию множеств считают более абстрактной и строгой, чем вся предшествующая ей математика. Но и в ней идущие от геометрии понятия порядка и меры играют организующую роль», -отмечал Г. Фройденталь [388, с. 42].

Большое значение имело возникновение топологии, мощные алгебраические методы которой были применены к изучению простейших наглядных образов - полиэдров. Эти методы оказали сильное влияние на алгебру и анализ.

Важнейшие идеи и проблемы топологии имеют геометрическую основу, и в последние десятилетия в топологии были решены давно стоявшие проблемы путем применения прямых геометрических методов.

С другой стороны, алгебраические методы влияли на развитие геометрии. Под влиянием алгебры в XIX веке преобразовалось наивное представление о пространстве - возникли понятия «-мерного пространства, стали изучать многомерные пространства, состоящие из геометрических образов, точек и векторов. Понятие пространства было обобщено на случай бесконечного числа измерений - это сделали аналитики, которые стали рассматривать пространства, состоящие из функций, последовательностей и т.д. [там же, с. 43].

Приведенный обзор показывает тесную связь геометрического и аналитических методов в различных разделах математики.

В конце XIX в. возникает новая область математики - теория множеств, которая вместе с аксиоматическим методом дает общие приёмы определения понятий математики. Это позволило французским математикам, выступающим под псевдонимом «Никола Бурбаки» показать, что математика является единой наукой и различные, развивающиеся почти изолированно друг от друга, её разделы являются звеньями одного единого организма. Они поставили своей целью провести классификацию всей математики по принципу так называемых математических структур. В основу этой классификации было положено понятие множества и применение аксиоматического метода. Характеризуя этот период развития математики, некоторые исследователи (Д.А. Поспелов, Г. Фройденталь и др.) отмечали, что геометрический метод решения задач, доказательства теорем стал уступать аналитическим методам. «В системе современной математики Бурбаки для геометрии не нашлось места», - писал Г. Фройденталь [388, с. 41].

---

Первенство в математике аналитических методов по сравнению с геометрическим нашло отражение и в школьном курсе математики (подробнее об этом см. п. 1.4). .

Несмотря на вышесказанное, геометрический метод познания высоко оценивали многие ученые XX века. Так, например, известный шведский физик Олоф Сунден особо подчеркивал, что «можно ожидать качественно нового скачка в физике тогда, когда физикам удастся сменить господствующий ныне математически-статистистический подход на геометрический описательный, действительно способный объяснить суть и причину явлений» [352, с. 23]. Некоторые признаки такого движения в науке уже имеются. Например, известно, что материальный мир описывается механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла, но вакуумное пространство описывать традиционными методами затруднительно и даже, полагают, невозможно. Поэтому в начале XX столетия были предприняты попытки дать геометрическую интерпретацию вакуума. Большую роль в изучении и исследовании пространства методами гео-метродинамики сыграли работы Галилея, Лоренца, Пуанкаре, Минковско-го, Эйнштейна, Римана, Картана, Зельдовича, Новикова, Шипова и других ученых [426, с. 85].

В целом, многие зарубежные и отечественные исследователи предполагают, что наука развивается по схеме, в которой в научных подходах попеременно преобладают две тенденции: одна - математически-статистическая и неописательная, другая - геометрически-описательная. Наглядным примером такой схемы может служить генетика: законы Г. Менделя о наследственности были типично статистическими, сегодня больше используется геометрический подход, это видно на примере геометрического описания кода ДНК/РНК, что дает возможность генетикам «конструировать» живые организмы с новыми заранее заданными свойствами [364, с. 63].

Следует заметить, что необходимость интеграции алгебраического и геометрического методов познания обусловлена не только самой логикой развития науки, но и потребностями формирования профессионально-значимых качеств современного специалиста. В условиях активного распространения новых компьютерных и информационных технологий от него требуются умения применять знания в комплексе, способность привлекать, объединять, суммировать большое число разнообразных компонентов научного знания.

Таким образом, объективные тенденции развития современной науки и потребности формирующегося информационного общества настоятельно требуют соответствующей перестройки школьного математического образования. Одним из перспективных её направлений является

---

интеграция основных математических дисциплин, идущая в направлении от алгебры к геометрии. Геометризация математических знаний уже заметна в современном поколении учебников математики (подробнее об этом см. п. 1.2).

Необходимость интеграции математических дисциплин диктуется также и направленностью обшего образования на профилизацию. Профильное обучение предполагает изучение в старших классах базовых, профильных и элективных курсов. При этом интегрированные математические курсы могут выступать как в роли профильных (усиливающих математическую подготовку учащихся), так и в роли элективных курсов, то есть курсов по выбору (например, интегрированный математический курс у гуманитариев и т.д.).

Итак, потребность в научно-обоснованной концепции интеграции алгебраического и геометрического методов возрастает.

Всё вышесказанное позволяет говорить о наличии противоречий между: - необходимостью повышения качества математических знаний учащихся и сокращением количества часов, отводимых на изучение математики в общеобразовательных учреждениях;

- продолжающейся дифференциацией содержания среднего математического образования и необходимостью интеграции математических курсов, как основы этой дифференциации;

- потребностями формирования целостных математических знаний и представлений о математике, её методах и существующим предметным построением учебного плана, создающим опасность изоляции в сознании ученика знаний одного предмета от знаний другого;

- той огромной ролью, которую играет геометрия в науке и технике, в формировании профессионально-значимых качеств личности и недостаточным использованием геометрического метода в школьном курсе математики, особенно в алгебре;

- направленностью на профилизацию среднего (полного) общего образования, требующей объединения родственных дисциплин, и отсутствием научно обоснованной концепции интеграции математических знаний в процессе обучения математике в общеобразовательных учреждениях.

Разрешение названных противоречий составляет проблему исследования.

Объектом исследования являются интеграционные процессы в среднем математическом образовании, а его предметом — методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов», включающая личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов.

---

Цель исследования заключается в разработке концепции интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании и методики её реализации в школьном учебном процессе.

Гипотеза исследования: если провести анализ категории «метод» и выделить единицу этого анализа, то это позволит раскрыть содержание и объемы понятий «алгебраический метод» и «геометрический метод», выделить компоненты и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса и позволяющую определить уровни интеграции данных методов в среднем математическом образовании. Если затем на этой теоретической основе построить методическую систему, включающую личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, разработать условия её функционирования в школьном учебном процессе и внедрить их в практику, то это позволит повысить качество знаний и умений учащихся по математике, формировать у них целостные знания и представления о математике и её методах.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили его основные задачи, которые состоят в следующем:

1. Используя историко-генетический подход, выявить логику интегра-тивных процессов в среднем математическом образовании.

2. Исследовать эволюцию предмета математического знания- и выявить особенности интеграционных процессов в современной математике.

3. На основе анализа современных целей и задач общего среднего и математического образования, состояния школьной практики обучения математике, а также анализа психолого-педагогической, методической и учебной литературы по математике установить предпосылки интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании.

4. Разработать понятийный аппарат и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса.

5. Построить методическую систему «Интеграция алгебраического и геометрического методов», раскрыть содержание её компонентов, выявить закономерности и принципы её функционирования в школьном учебном процессе.

6. Разработать методику обучения математике в общеобразовательных учреждениях, основанную на интеграции алгебраического и геометрического методов и провести экспериментальную проверку её эффективности.

К научно-теоретическим предпосылкам исследования, относятся:

---