Файл: Тема диссертации и автореферата по вак рф 13. 00. 02, доктор педагогических наук Капкаева, Лидия Семеновна.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.11.2023
Просмотров: 808
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Пространственные представления, геометрическая интуиция играют важную роль и в самой математике. «Общая роль геометрии в математике состоит в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов» [12, с. 313].Проследим основные моменты влияния геометрии в математике.1. Математический анализГеометрия, наряду с механикой, имела решающее значение в возникновении и развитии анализа. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого ещё древними учеными, причем площадь и объем как величины считались определенными, никакое аналитическое определение интеграла не давалось до первой половины XIX в.Одной из задач, породивших дифференцирование, была задача проведения касательных к данной кривой.Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и до сих пор сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах: «точка разрыва», «область изменения переменной» и т.п.Первый курс математического анализа, написанный в 1696 г. Лопиталем, назывался: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т.п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большой мере на задачах геометрии, и её понятия играют в нем важную роль.2. Теория функций комплексного переменногоКомплексные числа окончательно утвердились в математике на рубежеXVIII — XIX вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, то есть путем построения «комплексной плоскости», что привело к стремительному развитию теории функций комплексного переменного в XIX веке. Алгебраический смысл уравнения хп = 1 прояснился с его геометрической интерпретацией, связью с построением правильного п-угольника. Само понятие аналитической функции w = f (z) может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой геометрии находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.3. Функциональный анализОсновная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0; 1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причем отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций — как расстояние). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, которое во многих случаях является очень плодотворным.
4. АлгебраГеометрия оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. Следует отметить также графические методы расчетов (номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.5. Аксиоматический методЛогическое усовершенствование и анализ аксиоматики геометрии играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.Из всех областей математики «теорию множеств считают более абстрактной и строгой, чем вся предшествующая ей математика. Но и в ней идущие от геометрии понятия порядка и меры играют организующую роль», -отмечал Г. Фройденталь [388, с. 42].Большое значение имело возникновение топологии, мощные алгебраические методы которой были применены к изучению простейших наглядных образов - полиэдров. Эти методы оказали сильное влияние на алгебру и анализ.Важнейшие идеи и проблемы топологии имеют геометрическую основу, и в последние десятилетия в топологии были решены давно стоявшие проблемы путем применения прямых геометрических методов.С другой стороны, алгебраические методы влияли на развитие геометрии. Под влиянием алгебры в XIX веке преобразовалось наивное представление о пространстве - возникли понятия «-мерного пространства, стали изучать многомерные пространства, состоящие из геометрических образов, точек и векторов. Понятие пространства было обобщено на случай бесконечного числа измерений - это сделали аналитики, которые стали рассматривать пространства, состоящие из функций, последовательностей и т.д. [там же, с. 43].Приведенный обзор показывает тесную связь геометрического и аналитических методов в различных разделах математики.В конце XIX в. возникает новая область математики - теория множеств, которая вместе с аксиоматическим методом дает общие приёмы определения понятий математики. Это позволило французским математикам, выступающим под псевдонимом «Никола Бурбаки» показать, что математика является единой наукой и различные, развивающиеся почти изолированно друг от друга, её разделы являются звеньями одного единого организма. Они поставили своей целью провести классификацию всей математики по принципу так называемых математических структур. В основу этой классификации было положено понятие множества и применение аксиоматического метода. Характеризуя этот период развития математики, некоторые исследователи (Д.А. Поспелов, Г. Фройденталь и др.) отмечали, что геометрический метод решения задач, доказательства теорем стал уступать аналитическим методам. «В системе современной математики Бурбаки для геометрии не нашлось места», - писал Г. Фройденталь [388, с. 41].
Первенство в математике аналитических методов по сравнению с геометрическим нашло отражение и в школьном курсе математики (подробнее об этом см. п. 1.4). .Несмотря на вышесказанное, геометрический метод познания высоко оценивали многие ученые XX века. Так, например, известный шведский физик Олоф Сунден особо подчеркивал, что «можно ожидать качественно нового скачка в физике тогда, когда физикам удастся сменить господствующий ныне математически-статистистический подход на геометрический описательный, действительно способный объяснить суть и причину явлений» [352, с. 23]. Некоторые признаки такого движения в науке уже имеются. Например, известно, что материальный мир описывается механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла, но вакуумное пространство описывать традиционными методами затруднительно и даже, полагают, невозможно. Поэтому в начале XX столетия были предприняты попытки дать геометрическую интерпретацию вакуума. Большую роль в изучении и исследовании пространства методами гео-метродинамики сыграли работы Галилея, Лоренца, Пуанкаре, Минковско-го, Эйнштейна, Римана, Картана, Зельдовича, Новикова, Шипова и других ученых [426, с. 85].В целом, многие зарубежные и отечественные исследователи предполагают, что наука развивается по схеме, в которой в научных подходах попеременно преобладают две тенденции: одна - математически-статистическая и неописательная, другая - геометрически-описательная. Наглядным примером такой схемы может служить генетика: законы Г. Менделя о наследственности были типично статистическими, сегодня больше используется геометрический подход, это видно на примере геометрического описания кода ДНК/РНК, что дает возможность генетикам «конструировать» живые организмы с новыми заранее заданными свойствами [364, с. 63].Следует заметить, что необходимость интеграции алгебраического и геометрического методов познания обусловлена не только самой логикой развития науки, но и потребностями формирования профессионально-значимых качеств современного специалиста. В условиях активного распространения новых компьютерных и информационных технологий от него требуются умения применять знания в комплексе, способность привлекать, объединять, суммировать большое число разнообразных компонентов научного знания.Таким образом, объективные тенденции развития современной науки и потребности формирующегося информационного общества настоятельно требуют соответствующей перестройки школьного математического образования. Одним из перспективных её направлений является
Цель исследования заключается в разработке концепции интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании и методики её реализации в школьном учебном процессе.Гипотеза исследования: если провести анализ категории «метод» и выделить единицу этого анализа, то это позволит раскрыть содержание и объемы понятий «алгебраический метод» и «геометрический метод», выделить компоненты и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса и позволяющую определить уровни интеграции данных методов в среднем математическом образовании. Если затем на этой теоретической основе построить методическую систему, включающую личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, разработать условия её функционирования в школьном учебном процессе и внедрить их в практику, то это позволит повысить качество знаний и умений учащихся по математике, формировать у них целостные знания и представления о математике и её методах.Цель, предмет и гипотеза исследования определили его основные задачи, которые состоят в следующем:1. Используя историко-генетический подход, выявить логику интегра-тивных процессов в среднем математическом образовании.2. Исследовать эволюцию предмета математического знания- и выявить особенности интеграционных процессов в современной математике.3. На основе анализа современных целей и задач общего среднего и математического образования, состояния школьной практики обучения математике, а также анализа психолого-педагогической, методической и учебной литературы по математике установить предпосылки интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании.4. Разработать понятийный аппарат и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса.5. Построить методическую систему «Интеграция алгебраического и геометрического методов», раскрыть содержание её компонентов, выявить закономерности и принципы её функционирования в школьном учебном процессе.6. Разработать методику обучения математике в общеобразовательных учреждениях, основанную на интеграции алгебраического и геометрического методов и провести экспериментальную проверку её эффективности.К научно-теоретическим предпосылкам исследования, относятся:
4. АлгебраГеометрия оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. Следует отметить также графические методы расчетов (номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.5. Аксиоматический методЛогическое усовершенствование и анализ аксиоматики геометрии играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.Из всех областей математики «теорию множеств считают более абстрактной и строгой, чем вся предшествующая ей математика. Но и в ней идущие от геометрии понятия порядка и меры играют организующую роль», -отмечал Г. Фройденталь [388, с. 42].Большое значение имело возникновение топологии, мощные алгебраические методы которой были применены к изучению простейших наглядных образов - полиэдров. Эти методы оказали сильное влияние на алгебру и анализ.Важнейшие идеи и проблемы топологии имеют геометрическую основу, и в последние десятилетия в топологии были решены давно стоявшие проблемы путем применения прямых геометрических методов.С другой стороны, алгебраические методы влияли на развитие геометрии. Под влиянием алгебры в XIX веке преобразовалось наивное представление о пространстве - возникли понятия «-мерного пространства, стали изучать многомерные пространства, состоящие из геометрических образов, точек и векторов. Понятие пространства было обобщено на случай бесконечного числа измерений - это сделали аналитики, которые стали рассматривать пространства, состоящие из функций, последовательностей и т.д. [там же, с. 43].Приведенный обзор показывает тесную связь геометрического и аналитических методов в различных разделах математики.В конце XIX в. возникает новая область математики - теория множеств, которая вместе с аксиоматическим методом дает общие приёмы определения понятий математики. Это позволило французским математикам, выступающим под псевдонимом «Никола Бурбаки» показать, что математика является единой наукой и различные, развивающиеся почти изолированно друг от друга, её разделы являются звеньями одного единого организма. Они поставили своей целью провести классификацию всей математики по принципу так называемых математических структур. В основу этой классификации было положено понятие множества и применение аксиоматического метода. Характеризуя этот период развития математики, некоторые исследователи (Д.А. Поспелов, Г. Фройденталь и др.) отмечали, что геометрический метод решения задач, доказательства теорем стал уступать аналитическим методам. «В системе современной математики Бурбаки для геометрии не нашлось места», - писал Г. Фройденталь [388, с. 41].
Первенство в математике аналитических методов по сравнению с геометрическим нашло отражение и в школьном курсе математики (подробнее об этом см. п. 1.4). .Несмотря на вышесказанное, геометрический метод познания высоко оценивали многие ученые XX века. Так, например, известный шведский физик Олоф Сунден особо подчеркивал, что «можно ожидать качественно нового скачка в физике тогда, когда физикам удастся сменить господствующий ныне математически-статистистический подход на геометрический описательный, действительно способный объяснить суть и причину явлений» [352, с. 23]. Некоторые признаки такого движения в науке уже имеются. Например, известно, что материальный мир описывается механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла, но вакуумное пространство описывать традиционными методами затруднительно и даже, полагают, невозможно. Поэтому в начале XX столетия были предприняты попытки дать геометрическую интерпретацию вакуума. Большую роль в изучении и исследовании пространства методами гео-метродинамики сыграли работы Галилея, Лоренца, Пуанкаре, Минковско-го, Эйнштейна, Римана, Картана, Зельдовича, Новикова, Шипова и других ученых [426, с. 85].В целом, многие зарубежные и отечественные исследователи предполагают, что наука развивается по схеме, в которой в научных подходах попеременно преобладают две тенденции: одна - математически-статистическая и неописательная, другая - геометрически-описательная. Наглядным примером такой схемы может служить генетика: законы Г. Менделя о наследственности были типично статистическими, сегодня больше используется геометрический подход, это видно на примере геометрического описания кода ДНК/РНК, что дает возможность генетикам «конструировать» живые организмы с новыми заранее заданными свойствами [364, с. 63].Следует заметить, что необходимость интеграции алгебраического и геометрического методов познания обусловлена не только самой логикой развития науки, но и потребностями формирования профессионально-значимых качеств современного специалиста. В условиях активного распространения новых компьютерных и информационных технологий от него требуются умения применять знания в комплексе, способность привлекать, объединять, суммировать большое число разнообразных компонентов научного знания.Таким образом, объективные тенденции развития современной науки и потребности формирующегося информационного общества настоятельно требуют соответствующей перестройки школьного математического образования. Одним из перспективных её направлений является
интеграция основных математических дисциплин, идущая в направлении от алгебры к геометрии. Геометризация математических знаний уже заметна в современном поколении учебников математики (подробнее об этом см. п. 1.2).
Необходимость интеграции математических дисциплин диктуется также и направленностью обшего образования на профилизацию. Профильное обучение предполагает изучение в старших классах базовых, профильных и элективных курсов. При этом интегрированные математические курсы могут выступать как в роли профильных (усиливающих математическую подготовку учащихся), так и в роли элективных курсов, то есть курсов по выбору (например, интегрированный математический курс у гуманитариев и т.д.).
Итак, потребность в научно-обоснованной концепции интеграции алгебраического и геометрического методов возрастает.
Всё вышесказанное позволяет говорить о наличии противоречий между: - необходимостью повышения качества математических знаний учащихся и сокращением количества часов, отводимых на изучение математики в общеобразовательных учреждениях;
- продолжающейся дифференциацией содержания среднего математического образования и необходимостью интеграции математических курсов, как основы этой дифференциации;
- потребностями формирования целостных математических знаний и представлений о математике, её методах и существующим предметным построением учебного плана, создающим опасность изоляции в сознании ученика знаний одного предмета от знаний другого;
- той огромной ролью, которую играет геометрия в науке и технике, в формировании профессионально-значимых качеств личности и недостаточным использованием геометрического метода в школьном курсе математики, особенно в алгебре;
- направленностью на профилизацию среднего (полного) общего образования, требующей объединения родственных дисциплин, и отсутствием научно обоснованной концепции интеграции математических знаний в процессе обучения математике в общеобразовательных учреждениях.
Разрешение названных противоречий составляет проблему исследования.
Объектом исследования являются интеграционные процессы в среднем математическом образовании, а его предметом — методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов», включающая личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов.
Цель исследования заключается в разработке концепции интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании и методики её реализации в школьном учебном процессе.Гипотеза исследования: если провести анализ категории «метод» и выделить единицу этого анализа, то это позволит раскрыть содержание и объемы понятий «алгебраический метод» и «геометрический метод», выделить компоненты и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса и позволяющую определить уровни интеграции данных методов в среднем математическом образовании. Если затем на этой теоретической основе построить методическую систему, включающую личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, разработать условия её функционирования в школьном учебном процессе и внедрить их в практику, то это позволит повысить качество знаний и умений учащихся по математике, формировать у них целостные знания и представления о математике и её методах.Цель, предмет и гипотеза исследования определили его основные задачи, которые состоят в следующем:1. Используя историко-генетический подход, выявить логику интегра-тивных процессов в среднем математическом образовании.2. Исследовать эволюцию предмета математического знания- и выявить особенности интеграционных процессов в современной математике.3. На основе анализа современных целей и задач общего среднего и математического образования, состояния школьной практики обучения математике, а также анализа психолого-педагогической, методической и учебной литературы по математике установить предпосылки интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании.4. Разработать понятийный аппарат и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса.5. Построить методическую систему «Интеграция алгебраического и геометрического методов», раскрыть содержание её компонентов, выявить закономерности и принципы её функционирования в школьном учебном процессе.6. Разработать методику обучения математике в общеобразовательных учреждениях, основанную на интеграции алгебраического и геометрического методов и провести экспериментальную проверку её эффективности.К научно-теоретическим предпосылкам исследования, относятся: