Файл: Тема диссертации и автореферата по вак рф 13. 00. 02, доктор педагогических наук Капкаева, Лидия Семеновна.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.11.2023
Просмотров: 166
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
использования одномерных и двумерных диаграмм, графиков линейных функций. Геометрические модели текстовых задач могут использоваться на разных этапах решения: на этапе анализа текста задачи они помогают учащимся лучше понять смысл задачи, рассматриваемые в ней отношения; на этапе поиска способа решения они позволяют, используя геометрические знания, найти другое, часто более рациональное и наглядное решение задачи, иногда ответ можно "усмотреть" прямо на чертеже. Такой подход к решению текстовых задач позволяет использовать геометрические знания учащихся в алгебре и задействовать в процессе решения их образное мышление.
4. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения геометрических задач имеет направленность Г А, которая означает, что геометрическая задача переводится на язык алгебры, и затем её решение сводится к решению уравнения, неравенства или системы уравнений (неравенств). Основными приемами перевода геометрической задачи на алгебраический язык являются использование метода подобия треугольников, метода окружностей, метода площадей и др.
Интеграция алгебраического и геометрического методов в курсе геометрии может происходить путем связи их в один метод (тогда мы получаем алгебраический метод решения геометрической задачи) или путем сочетания данных методов (в этом случае имеем решение геометрической задачи разными методами: алгебраическими и геометрическими). Решение геометрических задач разными методами и выбор наиболее рационального из них способствует формированию творческого мышления учащихся.
Проведенный педагогический эксперимент подтвердил эффективность разработанной методики обучения математике на основе интеграции алгебраического и геометрического методов, которая ведет к интенсификации познавательной деятельности учащихся, развитию их творческих способностей, формированию целостных представлений о математике и ее методах.
367
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенное исследование исходит из положения о том, что два основных раздела математики, изучаемых в школе, алгебра и геометрия, являются также и носителями собственных методов познания мира! Изучение и освоение этих методов является важнейшей целью математического образования. Однако история математики свидетельствует о тесной взаимосвязи алгебраического и геометрического методов в процессе их эволюции. Именно эта взаимосвязь и должна находить отражение в школьном курсе математики, показывая учащимся процесс становления математического знания, делая их реальными участниками математических «открытий».
Такой подход к изучению математики, посредством изучения составляющих её Методов познания, позволяет воздействовать не только на математическое, но и на общее, интеллектуальное и культурное развитие учащихся.
Образование отличается от обучения тем, что оно предполагает овладение методами научной деятельности, а не только тем содержанием, которое изложено в школьных и вузовских учебниках и зафиксировано в программах. «Роль образования состоит еще и в том, чтобы достичь понимания связей и согласованности между разнообразными областями знания и опыта. Чтобы понять великое произведение искусства, следует смотреть на всю картину в целом и пытаться понять взаимоотношения между всеми её деталями, а не сосредоточиваться на каком-то одном её фрагменте» {ГудингД., Леннокс Дж. Мировоззрение: Для чего мы живем и каково наше место в мире. Пер. с англ. Ярославль, 2000, с. 10).
Не случайно одним из основных принципов конструирования содержания общего среднего образования является сегодня принцип интеграции, направленный на обеспечение целостности представлений учащихся о мире.
В ходе.нашего исследования была обоснована и подтверждена гипотеза: если алгебраический и геометрический методы рассматривать в обучении как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний, то это даст возможность провести классификацию данных методов, затем, применив системный подход, выделить компоненты и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса в среднем математическом образовании. Кроме того, если построить методическую систему, включающую личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, разработать условия её функционирования в школьном учебном процессе и внедрить их в практику, то это позволит повысить качество знаний и умений учащихся по математике и, в частности, формировать целостные математические знания и представления о математике и её методах; развивать творческие математические способности обучаемых за счет использования алгебраического метода в геометрии, а геометрического метода в алгебре; учитывать индивидуальные особенности учащихся, связанные с разными типами мышления: логико-вербальным и пространственно-образным.
В данной работе исследование возможностей интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании и разработка соответствующей методики обучения проводились в русле системного анализа с привлечением данных различных научных областей: философии, общей и педагогической психологии, физиологии, дидактики, истории математики и др. Такой подход в сочетании с опытом работы автора в качестве преподавателя-методиста в педвузе и учителя математики в общеобразовательных учреждениях позволил получить следующие основные результаты:
1. В процессе теоретического анализа исследуемой проблемы установлено, что одной из первых идей интеграции в среднем математическом образовании была идея фузионизма (слияния) планиметрии и стереометрии, которая успешно реализована в пропедевтических курсах геометрии младших классов, но её до сих пор не удалось осуществить в систематических курсах геометрии, так как фузионизм противоречит основным дидактическим принципам: от простого к сложному; последовательности; систематичности.
Интеграция, как сложный феномен, может представлять собой сумму объединяемых элементов или их органическое единство, когда каждая часть «вживлена» в целое. В отечественном школьном математическом образовании (XX в.) интеграция выступала в трех формах: 1) комплексности (20-е гг.); 2) межпредметных связей (50 - 70-е гг.); 3) собственно интеграции (80 - 90-е гг.). При этом современный этап обусловлен как возрастанием степени интеграции в самой математике за счет повышения уровня абстракции математических понятий и обнаружения тем самым связей между различными математическими теориями, так и определенными социокультурными, психолого-педагогическими, дидактическими и методическими предпосылками (см. п. 1.4).
2. Проведен анализ категории «метод» и выделена единица этого анализа, представляющая собой объект вида, где Q -.цель применения метода (приема); Pj - прием, составляющий метод; Вк - теоретический базис приема. На основе этого анализа и исследований эволюции алгебраического и геометрического методов в математике раскрыты содержание и объемы понятий данных методов в обучении. Алгебраический метод трактуется в обучении как способ познавательной деятельности учащихся, основанный на системе алгебраических знаний, аналогично, геометрический Метод - как способ познавательной деятельности учащихся, основанный на системе геометрических знаний и на геометрических (наглядных) представлениях.
В исследовании установлено место частных алгебраических и геометрических методов в структуре содержания учебных предметов соответственно алгебры и геометрии.
3. Определено понятие интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании; построена графическая модель, объясняющая механизм этого процесса.
Под интеграцией алгебраического и геометрического методов понимается процесс сочетания или связи данных методов, осуществляемый учеником (самостоятельно или под руководством учителя) путем перевода учебной информации с алгебраического языка на геометрический или с геометрического языка на алгебраический и обратно. Интеграция названных методов моделируется объектами вида <АД^С|<Н|>, где А; — алгебраический метод, Tj - геометрический метод, Ск - способ интеграции, Hj -направленность интеграции. Графически эта система представляется в виде прямоугольного параллелепипеда с его диагональными сечениями.
4. Построена методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов» и охарактеризованы её компоненты: цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, а также личность ученика как носителя сознания.
5. Выявлены закономерности и принципы интеграции алгебраического и геометрического методов. Последние включают в себя общие принципы, характерные для интеграции образования в целом (диалектическое единство интеграции и дифференциации; антропоцентризм; культуросообразность) и специальные принципы, присущие данному виду интеграции (преемственности, систематичности и последовательности; моделирования; укрупнения дидактических единиц; сознательности и творческой активности обучаемых; воспитания; гармоничного развития полушарий головного мозга).
6. Разработана методика обучения математике учащихся средних общеобразовательных учреждений, основанная на интеграции алгебраического и геометрического методов. Основные положения этой методики сводятся к следующему:
I. При формировании математических понятий интеграция алгебраического и геометрического методов предполагает: а) одновременную трактовку понятия на алгебраическом и геометрическом языках; б) распознавание объектов, принадлежащих понятию и представленных как в алгебраической, так и в геометрической формах; в) выведение следствий из факта принадлежности объекта данному понятию в случае, если этот объект представлен в геометрической и в алгебраической формах; г) решение задач и упражнений на применение данного понятия параллельно алгебраическим и геометрическим методами или методом, включающим в себя действия, связанные с геометрическим образом данного понятия и его алгебраической трактовкой вместе.
II. Обучение доказательству теорем в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов предполагает проведение на одном уроке разных доказательств (аналитических, геометрических и интегрированных) одной и той же теоремы, выбор из них наиболее рационального. Один и тот же геометрический объект в этом случае осмысливается в разных интерпретациях, отношениях и связях, поэтому у учащихся создается целостное представление о нем, и они включаются при этом в активную творческую деятельность.
III. При решении алгебраических задач (уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач) следует одновременно обучать алгебраическому и геометрическому (в т.ч. графическому) методам. Традиционно, геометрический метод решения алгебраических задач отождествлялся лишь с конструктивным приемом, что затрудняло его использование в процессе обучения решению текстовых задач. В нашем исследовании расширено содержание указанного понятия путем включения в него конструктивно-аналитического приема, что позволяет решать основные типы алгебраических задач с использованием геометрических знаний и умений, а также задействовать в процессе решения образное мышление учащихся.
Геометрический метод решения алгебраических задач включает использование одномерных и двумерных диаграмм, графиков функций. В ходе исследования выделены типы и виды текстовых задач, решаемых с помощью одномерных диаграмм, двумерных диаграмм, графических моделей, а также виды уравнений, неравенств и их систем, решаемых графическим методом. Обучение геометрическому методу решения алгебраических задач осуществляется по этапам: 1) подготовительный; 2) мотивационный; 3) ориентировочный; 4) этап овладения отдельными компонентами метода; 5) этап формирования метода в целом. Все этапы тесно связаны друг с другом, и поэтому их не следует резко разграничивать в процессе обучения.
IV. Интеграция алгебраического и геометрического методов при изучении курса геометрии может происходить путем связи их в одном методе (тогда мы получаем алгебраический метод решения геометрической задачи) или путем сочетания данных методов (в этом случае получаем решение геометрической задачи разными методами: алгебраическими и геометрическими).
Алгебраический метод решения геометрической задачи заключается в том, что геометрическая задача переводится на язык алгебры и затем её решение сводится к решению уравнения (неравенства) или системы уравнений (неравенств). Основными приёмами перевода геометрической задачи на алгебраический язык являются приемы использования метода площадей, метода подобия треугольников, метода окружностей, тригонометрического, координатного и векторного методов. Целесообразно алгебраические и геометрические задачи, решения которых интегрируют одинаковые методЬ!, группировать в специальные блоки по определенным принципам. Эти блоки могут быть предметом изучения на интегрированных уроках или уроках обобщения и систематизации знаний.
Таким образом, все направления в обучении математике (формирование математических понятий, доказательство теорем, решение уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач, решение геометрических задач) реализуются, посредством интеграции алгебраического и геометрического методов, которая направлена на формирование целостных знаний учащихся и развитие их творческих способностей.
Разработанная методика апробирована и внедрена в ряде общеобразовательных учреждений г. Саранска и районов Республики Мордовия. На её основе разработан спецкурс для студентов педагогических вузов, содержание которого отражено в двух пособиях, программах и методических рекомендациях. Итоги их внедрения в практику работы образовательных учреждений разных типов подтвердили достоверность разработанных теоретических положений и эффективность предлагаемой методической системы интеграции алгебраического и геометрического методов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯдоктор педагогических наук Капкаева, Лидия Семеновна, 2004 год
1. Абрамович С. М. К вопросу о воспитании графической культуры учащихся // Математика в школе. - 1989. - № 5. - С. 26 - 29.
2. Аверьянов А. Н. Системное познание мира: Методологические проблемы.- М.: Политиздат, 1985. 263 с.
3. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. М.: Советское радио, 1970. — 252 с.
4. Азевич А. И. Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно-математический курс. М.: Школа-Пресс, 1998. - 160 с.
5. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. 10-е изд. М.: Просвещение, 2002. - 207 с.
6. Алгебра: Учёб, для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Я Макарычев, R Г. Миндюк и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2002. - 240 с.
7. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. 8-е изд. -М.: Просвещение, 2001. -255 с.
8. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2002.-239 с.
9. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 2001. - 223 с.
10. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др.; Под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2002. 207 с.
11. Александров А. Д. Величины и фигуры. Новосибирск: ИМ АН СССР, 1981.-48 с.
12. Александров А. Д. Геометрия. БСЭ. 3 изд., т. 6 М., 1971. - С. 309 — 313.
13. Александров А. Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. 1986. - № 1.-С. 12-19.
14. Александров А. Д. Математика. Философская энциклопедия. - М., 1964, т. 3.
15. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. - № 3. -С. 56-62.
16. Александров А. Д., Вернер A. JL, Рыжик В. И. Геометрия: Пробный учебник для 6 класса сред. шк. М.: Просвещение, 1984. - 176 с.
17. Александров А. Д., Вернер A. JL, Рыжик В. И. Геометрия: Пробный учебник для 7 класса сред. шк. М.: Просвещение, 1985. - 192 с.
18. Александров А. Д., Вернер A. JL, Рыжик В. И. Геометрия: Пробный учебник для 8 класса сред. шк. М.: Просвещение, 1986. - 192 с.
19. Андронов И. К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М., 1967. - 180 с.
20. Антонов Н. С. Интегративная функция обучения // Современные проблемы методики преподавания математики. М.: Просвещение, 1985. - С.25 - 38.
21. Апанасов П. Т., Апанасов Н. П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1987. - 110 с.
22. Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире // Математическое образование. 1977. - № 2. - С. 109-112.
23. Арнхейм Р. Визуальное мышление // Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю. Б. Гиппенрейтер, В. В. Петухова. -М.: Изд-во МГУ, 1981.-400 с.
24. Арстанов М. Ж., Пидкасистый П. И., Хайдаров Ж. С. Проблемно-модульное обучение: вопросы теории и технологии. Алма-Ата: Мектеп, 1980.- 187 с.
25. Артеменко А. Р. Задачи на концентрацию и процентное содержание // Математика в школе. 1994. - № 4. - С. 15 - 18.
26. Артемов А. К. Развивающее обучение математике в начальных классах: Учебное пособие для учителей и студентов фак-та пед-ки и методики начального обучения. Самара: Изд-во «Самарский университет», 1995. — 118 с.
27. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников: Автореф. дисс. докт. пед. наук, М., 1975. 40 с.
28. Атрощенко С. А. Теория и методика обучения студентов педвуза методам изображения геометрических фигур в контексте УДЕ. Дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1998. - 184 с.
29. Афанасьев В. Г. О системном подходе в социальном познании // Вопросы философии. 1973. -№ 6. - С. 99 -101.
30. Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения. — М., 1977.
31. Баранов С. П. Сущность процесса обучения. М.: Просвещение, 1981. -143 с.
32. Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для VI VIII классов / Под ред. С. И. Новоселова. - Изд. 11-е. - М.: Просвещение, 1966. - 296.
33. Барыбин К. С. Методика преподавания алгебры: Пособие для учителя. -М.: Просвещение, 1965. 343 с.
34. Башмаков М. И. Математика. Эксперимент, учеб. пособие для СПТУ. -М.: Высш. шк., 1987. 463 с.
35. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. Изд. 2-е, перераб. М.: Наука, 1976.-95 с.
36. Башмаков М. И., Резник Н. А. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе. -1991.-№ 1. С. 4 — 8.
37. Берулава М. Н. Интеграция содержания общего и профессионального образования в профтехучилищах. Теоретико-методологический аспект. -Томск: Изд-во Томского ун-та, 1988. 222 с.
38. Бескин Н. М. О некоторых основных принципах преподавания математики // Математика в школе. 1985. - № 1. - С. 59 - 61.
39. Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. — М.: Изд-во Института професс. образования МО России, 1995.
40. Блох А. Я., Павленкова И. А., Попова Е. К. Некоторые возможности совершенствования учебников алгебры //Математика в школе. -1991.—№ 4. С. 13 -17.
41. Болтянский В. Г. Как развивать графическое мышление // Математика в школе. 1978. - № 3. - С. 13 - 23.
42. Болтянский В. Г. Координатная прямая как средство наглядности // Математика в школе. 1978. - № 1. - С. 13 - 18.
43. Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982.-№ 2. - С. 40 - 43.
44. Болтянский В. Г. Формула наглядности изоморфизм плюс простота // Советская педагогика. - 1970. - № 5. - С. 46 - 60.
45. Болтянский В. Г. Глейзер Г. Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. 1998. - № 3. - С. 9 - 13.
46. Большой энциклопедический словарь. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. - 1456 с.
47. Бондаревская Е. В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования // Педагогика. 1997. - № 4. - С. 11 - 47.
48. Братина Н. Н., Доброхотова Т. А. Функциональные асимметрии человека. -М.: Медицина, 1981. 288 с.
49. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе / Под ред. А. И. Маркушевича. М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.
50. Брунер Дж. Психология познания: Пер. с англ. -М.: Прогресс, 1977.-412 с.52. БСЭ. Т. 1.-М., 1971.53. БСЭ. Т. 6.-М., 1971.
51. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. М.: Изд-во УРАО, 2001.-С. 57-69.
52. Бугаева Т. И. Формирование элементов графической культуры у учащихся на уроках алгебры: Дисс. .канд. пед. наук.- Л., 1986. 167 с.
53. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Под ред. Рыбникова К. А. -М., Изд-во иност. лит., 1963. 292 с.
54. Бычков Б. П. 60 летие советских школьных программ // Математика в школе. - 1979. - № 3. - С. 51 - 53.
4. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения геометрических задач имеет направленность Г А, которая означает, что геометрическая задача переводится на язык алгебры, и затем её решение сводится к решению уравнения, неравенства или системы уравнений (неравенств). Основными приемами перевода геометрической задачи на алгебраический язык являются использование метода подобия треугольников, метода окружностей, метода площадей и др.
Интеграция алгебраического и геометрического методов в курсе геометрии может происходить путем связи их в один метод (тогда мы получаем алгебраический метод решения геометрической задачи) или путем сочетания данных методов (в этом случае имеем решение геометрической задачи разными методами: алгебраическими и геометрическими). Решение геометрических задач разными методами и выбор наиболее рационального из них способствует формированию творческого мышления учащихся.
Проведенный педагогический эксперимент подтвердил эффективность разработанной методики обучения математике на основе интеграции алгебраического и геометрического методов, которая ведет к интенсификации познавательной деятельности учащихся, развитию их творческих способностей, формированию целостных представлений о математике и ее методах.
367
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенное исследование исходит из положения о том, что два основных раздела математики, изучаемых в школе, алгебра и геометрия, являются также и носителями собственных методов познания мира! Изучение и освоение этих методов является важнейшей целью математического образования. Однако история математики свидетельствует о тесной взаимосвязи алгебраического и геометрического методов в процессе их эволюции. Именно эта взаимосвязь и должна находить отражение в школьном курсе математики, показывая учащимся процесс становления математического знания, делая их реальными участниками математических «открытий».
Такой подход к изучению математики, посредством изучения составляющих её Методов познания, позволяет воздействовать не только на математическое, но и на общее, интеллектуальное и культурное развитие учащихся.
Образование отличается от обучения тем, что оно предполагает овладение методами научной деятельности, а не только тем содержанием, которое изложено в школьных и вузовских учебниках и зафиксировано в программах. «Роль образования состоит еще и в том, чтобы достичь понимания связей и согласованности между разнообразными областями знания и опыта. Чтобы понять великое произведение искусства, следует смотреть на всю картину в целом и пытаться понять взаимоотношения между всеми её деталями, а не сосредоточиваться на каком-то одном её фрагменте» {ГудингД., Леннокс Дж. Мировоззрение: Для чего мы живем и каково наше место в мире. Пер. с англ. Ярославль, 2000, с. 10).
Не случайно одним из основных принципов конструирования содержания общего среднего образования является сегодня принцип интеграции, направленный на обеспечение целостности представлений учащихся о мире.
В ходе.нашего исследования была обоснована и подтверждена гипотеза: если алгебраический и геометрический методы рассматривать в обучении как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний, то это даст возможность провести классификацию данных методов, затем, применив системный подход, выделить компоненты и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса в среднем математическом образовании. Кроме того, если построить методическую систему, включающую личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, разработать условия её функционирования в школьном учебном процессе и внедрить их в практику, то это позволит повысить качество знаний и умений учащихся по математике и, в частности, формировать целостные математические знания и представления о математике и её методах; развивать творческие математические способности обучаемых за счет использования алгебраического метода в геометрии, а геометрического метода в алгебре; учитывать индивидуальные особенности учащихся, связанные с разными типами мышления: логико-вербальным и пространственно-образным.
В данной работе исследование возможностей интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании и разработка соответствующей методики обучения проводились в русле системного анализа с привлечением данных различных научных областей: философии, общей и педагогической психологии, физиологии, дидактики, истории математики и др. Такой подход в сочетании с опытом работы автора в качестве преподавателя-методиста в педвузе и учителя математики в общеобразовательных учреждениях позволил получить следующие основные результаты:
1. В процессе теоретического анализа исследуемой проблемы установлено, что одной из первых идей интеграции в среднем математическом образовании была идея фузионизма (слияния) планиметрии и стереометрии, которая успешно реализована в пропедевтических курсах геометрии младших классов, но её до сих пор не удалось осуществить в систематических курсах геометрии, так как фузионизм противоречит основным дидактическим принципам: от простого к сложному; последовательности; систематичности.
Интеграция, как сложный феномен, может представлять собой сумму объединяемых элементов или их органическое единство, когда каждая часть «вживлена» в целое. В отечественном школьном математическом образовании (XX в.) интеграция выступала в трех формах: 1) комплексности (20-е гг.); 2) межпредметных связей (50 - 70-е гг.); 3) собственно интеграции (80 - 90-е гг.). При этом современный этап обусловлен как возрастанием степени интеграции в самой математике за счет повышения уровня абстракции математических понятий и обнаружения тем самым связей между различными математическими теориями, так и определенными социокультурными, психолого-педагогическими, дидактическими и методическими предпосылками (см. п. 1.4).
2. Проведен анализ категории «метод» и выделена единица этого анализа, представляющая собой объект вида
В исследовании установлено место частных алгебраических и геометрических методов в структуре содержания учебных предметов соответственно алгебры и геометрии.
3. Определено понятие интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании; построена графическая модель, объясняющая механизм этого процесса.
Под интеграцией алгебраического и геометрического методов понимается процесс сочетания или связи данных методов, осуществляемый учеником (самостоятельно или под руководством учителя) путем перевода учебной информации с алгебраического языка на геометрический или с геометрического языка на алгебраический и обратно. Интеграция названных методов моделируется объектами вида <АД^С|<Н|>, где А; — алгебраический метод, Tj - геометрический метод, Ск - способ интеграции, Hj -направленность интеграции. Графически эта система представляется в виде прямоугольного параллелепипеда с его диагональными сечениями.
4. Построена методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов» и охарактеризованы её компоненты: цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, а также личность ученика как носителя сознания.
5. Выявлены закономерности и принципы интеграции алгебраического и геометрического методов. Последние включают в себя общие принципы, характерные для интеграции образования в целом (диалектическое единство интеграции и дифференциации; антропоцентризм; культуросообразность) и специальные принципы, присущие данному виду интеграции (преемственности, систематичности и последовательности; моделирования; укрупнения дидактических единиц; сознательности и творческой активности обучаемых; воспитания; гармоничного развития полушарий головного мозга).
6. Разработана методика обучения математике учащихся средних общеобразовательных учреждений, основанная на интеграции алгебраического и геометрического методов. Основные положения этой методики сводятся к следующему:
I. При формировании математических понятий интеграция алгебраического и геометрического методов предполагает: а) одновременную трактовку понятия на алгебраическом и геометрическом языках; б) распознавание объектов, принадлежащих понятию и представленных как в алгебраической, так и в геометрической формах; в) выведение следствий из факта принадлежности объекта данному понятию в случае, если этот объект представлен в геометрической и в алгебраической формах; г) решение задач и упражнений на применение данного понятия параллельно алгебраическим и геометрическим методами или методом, включающим в себя действия, связанные с геометрическим образом данного понятия и его алгебраической трактовкой вместе.
II. Обучение доказательству теорем в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов предполагает проведение на одном уроке разных доказательств (аналитических, геометрических и интегрированных) одной и той же теоремы, выбор из них наиболее рационального. Один и тот же геометрический объект в этом случае осмысливается в разных интерпретациях, отношениях и связях, поэтому у учащихся создается целостное представление о нем, и они включаются при этом в активную творческую деятельность.
III. При решении алгебраических задач (уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач) следует одновременно обучать алгебраическому и геометрическому (в т.ч. графическому) методам. Традиционно, геометрический метод решения алгебраических задач отождествлялся лишь с конструктивным приемом, что затрудняло его использование в процессе обучения решению текстовых задач. В нашем исследовании расширено содержание указанного понятия путем включения в него конструктивно-аналитического приема, что позволяет решать основные типы алгебраических задач с использованием геометрических знаний и умений, а также задействовать в процессе решения образное мышление учащихся.
Геометрический метод решения алгебраических задач включает использование одномерных и двумерных диаграмм, графиков функций. В ходе исследования выделены типы и виды текстовых задач, решаемых с помощью одномерных диаграмм, двумерных диаграмм, графических моделей, а также виды уравнений, неравенств и их систем, решаемых графическим методом. Обучение геометрическому методу решения алгебраических задач осуществляется по этапам: 1) подготовительный; 2) мотивационный; 3) ориентировочный; 4) этап овладения отдельными компонентами метода; 5) этап формирования метода в целом. Все этапы тесно связаны друг с другом, и поэтому их не следует резко разграничивать в процессе обучения.
IV. Интеграция алгебраического и геометрического методов при изучении курса геометрии может происходить путем связи их в одном методе (тогда мы получаем алгебраический метод решения геометрической задачи) или путем сочетания данных методов (в этом случае получаем решение геометрической задачи разными методами: алгебраическими и геометрическими).
Алгебраический метод решения геометрической задачи заключается в том, что геометрическая задача переводится на язык алгебры и затем её решение сводится к решению уравнения (неравенства) или системы уравнений (неравенств). Основными приёмами перевода геометрической задачи на алгебраический язык являются приемы использования метода площадей, метода подобия треугольников, метода окружностей, тригонометрического, координатного и векторного методов. Целесообразно алгебраические и геометрические задачи, решения которых интегрируют одинаковые методЬ!, группировать в специальные блоки по определенным принципам. Эти блоки могут быть предметом изучения на интегрированных уроках или уроках обобщения и систематизации знаний.
Таким образом, все направления в обучении математике (формирование математических понятий, доказательство теорем, решение уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач, решение геометрических задач) реализуются, посредством интеграции алгебраического и геометрического методов, которая направлена на формирование целостных знаний учащихся и развитие их творческих способностей.
Разработанная методика апробирована и внедрена в ряде общеобразовательных учреждений г. Саранска и районов Республики Мордовия. На её основе разработан спецкурс для студентов педагогических вузов, содержание которого отражено в двух пособиях, программах и методических рекомендациях. Итоги их внедрения в практику работы образовательных учреждений разных типов подтвердили достоверность разработанных теоретических положений и эффективность предлагаемой методической системы интеграции алгебраического и геометрического методов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯдоктор педагогических наук Капкаева, Лидия Семеновна, 2004 год
1. Абрамович С. М. К вопросу о воспитании графической культуры учащихся // Математика в школе. - 1989. - № 5. - С. 26 - 29.
2. Аверьянов А. Н. Системное познание мира: Методологические проблемы.- М.: Политиздат, 1985. 263 с.
3. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. М.: Советское радио, 1970. — 252 с.
4. Азевич А. И. Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно-математический курс. М.: Школа-Пресс, 1998. - 160 с.
5. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. 10-е изд. М.: Просвещение, 2002. - 207 с.
6. Алгебра: Учёб, для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Я Макарычев, R Г. Миндюк и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2002. - 240 с.
7. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. 8-е изд. -М.: Просвещение, 2001. -255 с.
8. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2002.-239 с.
9. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 2001. - 223 с.
10. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др.; Под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2002. 207 с.
11. Александров А. Д. Величины и фигуры. Новосибирск: ИМ АН СССР, 1981.-48 с.
12. Александров А. Д. Геометрия. БСЭ. 3 изд., т. 6 М., 1971. - С. 309 — 313.
13. Александров А. Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. 1986. - № 1.-С. 12-19.
14. Александров А. Д. Математика. Философская энциклопедия. - М., 1964, т. 3.
15. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. - № 3. -С. 56-62.
16. Александров А. Д., Вернер A. JL, Рыжик В. И. Геометрия: Пробный учебник для 6 класса сред. шк. М.: Просвещение, 1984. - 176 с.
17. Александров А. Д., Вернер A. JL, Рыжик В. И. Геометрия: Пробный учебник для 7 класса сред. шк. М.: Просвещение, 1985. - 192 с.
18. Александров А. Д., Вернер A. JL, Рыжик В. И. Геометрия: Пробный учебник для 8 класса сред. шк. М.: Просвещение, 1986. - 192 с.
19. Андронов И. К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М., 1967. - 180 с.
20. Антонов Н. С. Интегративная функция обучения // Современные проблемы методики преподавания математики. М.: Просвещение, 1985. - С.25 - 38.
21. Апанасов П. Т., Апанасов Н. П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1987. - 110 с.
22. Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире // Математическое образование. 1977. - № 2. - С. 109-112.
23. Арнхейм Р. Визуальное мышление // Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю. Б. Гиппенрейтер, В. В. Петухова. -М.: Изд-во МГУ, 1981.-400 с.
24. Арстанов М. Ж., Пидкасистый П. И., Хайдаров Ж. С. Проблемно-модульное обучение: вопросы теории и технологии. Алма-Ата: Мектеп, 1980.- 187 с.
25. Артеменко А. Р. Задачи на концентрацию и процентное содержание // Математика в школе. 1994. - № 4. - С. 15 - 18.
26. Артемов А. К. Развивающее обучение математике в начальных классах: Учебное пособие для учителей и студентов фак-та пед-ки и методики начального обучения. Самара: Изд-во «Самарский университет», 1995. — 118 с.
27. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников: Автореф. дисс. докт. пед. наук, М., 1975. 40 с.
28. Атрощенко С. А. Теория и методика обучения студентов педвуза методам изображения геометрических фигур в контексте УДЕ. Дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1998. - 184 с.
29. Афанасьев В. Г. О системном подходе в социальном познании // Вопросы философии. 1973. -№ 6. - С. 99 -101.
30. Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения. — М., 1977.
31. Баранов С. П. Сущность процесса обучения. М.: Просвещение, 1981. -143 с.
32. Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для VI VIII классов / Под ред. С. И. Новоселова. - Изд. 11-е. - М.: Просвещение, 1966. - 296.
33. Барыбин К. С. Методика преподавания алгебры: Пособие для учителя. -М.: Просвещение, 1965. 343 с.
34. Башмаков М. И. Математика. Эксперимент, учеб. пособие для СПТУ. -М.: Высш. шк., 1987. 463 с.
35. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. Изд. 2-е, перераб. М.: Наука, 1976.-95 с.
36. Башмаков М. И., Резник Н. А. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе. -1991.-№ 1. С. 4 — 8.
37. Берулава М. Н. Интеграция содержания общего и профессионального образования в профтехучилищах. Теоретико-методологический аспект. -Томск: Изд-во Томского ун-та, 1988. 222 с.
38. Бескин Н. М. О некоторых основных принципах преподавания математики // Математика в школе. 1985. - № 1. - С. 59 - 61.
39. Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. — М.: Изд-во Института професс. образования МО России, 1995.
40. Блох А. Я., Павленкова И. А., Попова Е. К. Некоторые возможности совершенствования учебников алгебры //Математика в школе. -1991.—№ 4. С. 13 -17.
41. Болтянский В. Г. Как развивать графическое мышление // Математика в школе. 1978. - № 3. - С. 13 - 23.
42. Болтянский В. Г. Координатная прямая как средство наглядности // Математика в школе. 1978. - № 1. - С. 13 - 18.
43. Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982.-№ 2. - С. 40 - 43.
44. Болтянский В. Г. Формула наглядности изоморфизм плюс простота // Советская педагогика. - 1970. - № 5. - С. 46 - 60.
45. Болтянский В. Г. Глейзер Г. Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. 1998. - № 3. - С. 9 - 13.
46. Большой энциклопедический словарь. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. - 1456 с.
47. Бондаревская Е. В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования // Педагогика. 1997. - № 4. - С. 11 - 47.
48. Братина Н. Н., Доброхотова Т. А. Функциональные асимметрии человека. -М.: Медицина, 1981. 288 с.
49. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе / Под ред. А. И. Маркушевича. М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.
50. Брунер Дж. Психология познания: Пер. с англ. -М.: Прогресс, 1977.-412 с.52. БСЭ. Т. 1.-М., 1971.53. БСЭ. Т. 6.-М., 1971.
51. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. М.: Изд-во УРАО, 2001.-С. 57-69.
52. Бугаева Т. И. Формирование элементов графической культуры у учащихся на уроках алгебры: Дисс. .канд. пед. наук.- Л., 1986. 167 с.
53. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Под ред. Рыбникова К. А. -М., Изд-во иност. лит., 1963. 292 с.
54. Бычков Б. П. 60 летие советских школьных программ // Математика в школе. - 1979. - № 3. - С. 51 - 53.