Файл: Камень бросили с крутого берега вверх под углом 30 градусов к горизонту со скоростью 10.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 218
Скачиваний: 23
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1.1.
Постановка задачи. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 30 градусов к горизонту со скоростью 10 м/с. С какой скоростью он упал в воду, если время полета 2 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Построить график скорости от времени и траекторию полета камня.
Дано:
α=π/6
=10 м/c
t=2 с
_________
=?
Математическая модель падения камня имеет вид
где = =
Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, , ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений
=
=
Чтобы найти результирующую скорость, надо сложить вектора проекций скорости на оси
Подставив численные значения, получим
Графическая часть. Построим график зависимости скорости от времени и траекторию полёта камня.
Рис.1. Траектория полёта камня.
Рис 1.2. График зависимости модуля скорости полёта камня(v,м/c) от времени(t,c)
По графику можно заметить, что скорость рассчитана верно.
Ответ:
1.2.
Постановка задачи. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 45 градусов к горизонту со скоростью 12 м/с. Какая дальность полета камня и с какой высоты был брошен камень, если время полета 3 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Построить график скорости от времени и траекторию движения камня.
Дано:
α=π/4
=12 м/c
t=3 с
_________
=?
Математическая модель падения камня имеет вид
где = =
Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, , ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений
=
=
Чтобы найти результирующую скорость, надо сложить вектора проекций скорости на оси
Подставив численные значения, получим
Графическая часть. Построим график зависимости скорости от времени и траекторию полёта камня.
Рис.1. Траектория полёта камня.
Рис 1.2. График зависимости модуля скорости полёта камня(v,м/c) от времени(t,c)
По графику можно заметить, что скорость рассчитана верно.
Ответ:
1.3.
Постановка задачи. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 35 градусов к горизонту со скоростью 15
м/с. С какой скоростью он упал в воду, если время полета 4 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Построить график наклона вектора скорости к горизонту и траектории движения камня.
Дано:
α=35◦
=15 м/c
t=4 с
_________
=?
Математическая модель падения камня имеет вид
где = =
Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, , ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений
=
=
Чтобы найти результирующую скорость, надо сложить вектора проекций скорости на оси
Подставив численные значения, получим
Графическая часть. Построим график зависимости скорости от времени и траекторию полёта камня.
Рис. 1.1. Траектория полёта камня
Выразим текущий угол наклона вектора скорости через её проекции:
Рис 1.2. График зависимости угла наклона вектора скорости к горизонту (????,рад.) от времени(t,c)
По графику можно заметить, что угол начинается с положительного при броске вверх(35 гр), но затем резко уходит вниз почти до вертикального падения вниз, что соответствует броску тела под углом к горизонту.
Ответ:
1.4.
Постановка задачи. Из одной точки одновременно брошено два тела с одинаковой начальной скоростью 15 м/с под разными углами наклона и . Определите графически расстояние между двумя телами, скорости тел, нормальное и тангенциальное ускорения спустя 2 с после начала движения.
Дано:_=_=__=_15_м/ct=2_с__________=_Математическая_модель'>Дано:
=
=
=15 м/c
t=2 с
_________
=?
Математическая модель имеет вид
где = =
Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений
=
=
Графическая часть. Построим траектории движения тел 1 и 2.
Рис.1. Траектория движения тел 1(x-y) и 2(x2-y2).
Если судить по графику, тела находятся приблизительно в точках (15;6) и (21;1). По теореме Пифагора расстояние между ними равно примерно 7.8 метрам.
Проведём вычисления скорости с помощью формулы
Получим результаты:
Трудно сказать что-то определённое про составляющие ускорения, не произведя ряд дополнительных вычислений.
Чтобы найти , возьмём производную
Получим
Соответственно,
Теперь можно найти
Подставляя,
Ответ:_1.5._Постановка_задачи.'>Ответ:
1.5.
Постановка задачи. Из одной точки одновременно брошено два тела с одинаковой начальной скоростью 15 м/с под разными углами наклона и . Определите графически расстояние между двумя телами, скорости тел, нормальное и тангенциальное ускорения спустя 2 с после начала движения.
Дано:
=
=
=20 м/c
t=1 с
_________
=?
Математическая модель имеет вид
где = =
Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений
=
=
Графическая часть. Построим траектории движения тел 1 и 2.
Рис.1. Траектория движения тел 1(x-y) и 2(x2-y2).
Если судить по графику, тела находятся приблизительно в точках (17;5) и (10;12.5). По теореме Пифагора расстояние между ними равно примерно 10.3 метрам.
Проведём вычисления скорости с помощью формулы
Получим результаты:
Трудно сказать что-то определённое про составляющие ускорения, не произведя ряд дополнительных вычислений.
Чтобы найти , возьмём производную
Получим
Соответственно,
Теперь можно найти
Подставляя,
Ответ:
1.6.
Постановка задачи. Две абсолютно гладкие стальные плиты высотой 50 см помещены рядом и образуют щель шириной 3 см. В щель попадает горизонтально движущийся со скоростью 1 м/с стальной шарик диаметром 5 мм. Направление шарика перед попаданием в щель перпендикулярно щели. Сколько раз шарик ударится о стенки, пока не достигнет пола? Считать абсолютно упругим удар шарика о стенку и для каждого столкновения выполняется закон отражения. Построить траекторию движения шарика.
Дано:
h=0.5 м
=0.03 м
1 м/c
d=0.005 м
N=?
Математическая модель:
Поскольку тело падает по вертикальной оси, а по горизонтальной движется вперёд-назад, ударяясь о плиты, то можно представить модель в следующем виде:
В этой модели стоит разъяснить траекторию движения по оси x. Поскольку мы рассчитываем именно координату, а не путь, то вся «циклическая» часть к координате добавляться не будет, стоит учитывать лишь пролёт шарика от плиты до плиты.
Таким образом, означает время, затрачиваемое на перемещение шарика вперёд и назад (на расстояние .
Соответственно,
это целое количество таких перемещений.
даёт нам время, прошедшее с начала очередного «цикла». Поскольку нас волнует только «отклонение» от максимальной координаты , а зависимость расстояния от времени линейная (при этом отклонение от максимальной координаты симметрично по оси времени относительно середины отрезка времени : движение как влево, так и вправо по оси х будет увеличивать отклонение на одно и то же число) то для определения отклонения можно использовать формулу .
Рассмотрим другие значения в системе:
Получаем систему:
Эти зависимости нужны для построения траектории шарика и графика его скорости.
Общую скорость можно высчитать по формуле:
Из формулы y(t) можно вычислить время падения шарика:
Также это та точка времени, после которой рисование графиков не имеет смысла.
Количество ударов шарика о стены можно рассчитать по формуле:
(т.е. целое число количеств расстояний между стенками, укладывающееся в общем пройденном расстоянии).
Подставив значения, получим:
Графическая часть. Нарисуем графики зависимости общей скорости шарика от времени и его траектории:
Рис. 1.1. График траектории шарика
Ответ: N=12
1.7.
Постановка задачи. Две абсолютно гладкие стальные плиты высотой 1,00 м помещены рядом и образуют щель шириной 4 см. В щель попадает горизонтально движущийся со скоростью 1,5 м/с стальной шарик диаметром 5 мм. Направление шарика перед попаданием в щель перпендикулярно щели. Сколько раз шарик ударится о стенки, пока не достигнет пола? Считать абсолютно упругим удар шарика о стенку и для каждого столкновения выполняется закон отражения. Построить график скорости движения шарика и траекторию движения шарика.
Дано:
h=1 м
=0.04 м
1.5 м/c
d=0.005 м
N=?
Математическая модель:
Поскольку тело падает по вертикальной оси, а по горизонтальной движется вперёд-назад, ударяясь о плиты, то можно представить модель в следующем виде:
В этой модели стоит разъяснить траекторию движения по оси x. Поскольку мы рассчитываем именно координату, а не путь, то вся «циклическая» часть к координате добавляться не будет, стоит учитывать лишь пролёт шарика от плиты до плиты.
Таким образом, означает время, затрачиваемое на перемещение шарика вперёд и назад (на расстояние .
Соответственно,
это целое количество таких перемещений.
даёт нам время, прошедшее с начала очередного «цикла». Поскольку нас волнует только «отклонение» от максимальной координаты , а зависимость расстояния от времени линейная (при этом отклонение от максимальной координаты симметрично по оси времени относительно середины отрезка времени : движение как влево, так и вправо по оси х будет увеличивать отклонение на одно и то же число) то для определения отклонения можно использовать формулу .
Рассмотрим другие значения в системе:
Получаем систему:
Эти зависимости нужны для построения траектории шарика и графика его скорости.
Общую скорость можно высчитать по формуле:
Из формулы y(t) можно вычислить время падения шарика:
Также это та точка времени, после которой рисование графиков не имеет смысла.
Количество ударов шарика о стены можно рассчитать по формуле:
(т.е. целое число количеств расстояний между стенками, укладывающееся в общем пройденном расстоянии).
Подставив значения, получим:
Графическая часть. Нарисуем графики зависимости общей скорости шарика от времени и его траектории:
Рис. 1.1. График зависимости общей скорости шарика(vo, м/c) от времени (t, с)
Рис. 1.2. График траектории шарика
Рис. 1.1 совпадает с выведенной системой, т.к. шарик постепенно ускоряется при падении, но не успевает набрать скорость даже в 10 , потому что падает всего за полсекунды.
Рис. 1.2. показывает траекторию движения шарика. Можно посчитать количество ударов шарика о стенки и понять, что задача была решена верно.
Примечание: для построения графика траектории (см. рис. 1.2.) было принято решение отказаться от пакета Mathcad в связи с неадекватностью строящегося графика, несмотря на то, что графики движения x(t) и y(t) отдельно строились нормально. По трафику траектории(см. рис. 1.3) видно, что значение x(t) даже не достигает значения 0.35, хотя на первом графике ясно заметно, что это расстояние достигается (что подтверждается расчётом )
Рис. 1.3. Графики зависимостей координат x(t), y(t) от времени и «испорченный» график траектории
Ответ: N=19
1.9.
Постановка задачи. Волчок, имея постоянную угловую скорость 50 рад/с свободно падает с высоты 20,0 м. Сколько оборотов сделает волчок за время падения? Построить траекторию движения точки волчка, отстоящей от оси вращения на 10 см для начального и конечного участков падения длиной 1,0 м.
Дано:
R=0,1 м
h=20 м
w=50 рад/c
______________
x(t)=? y(t)=?
Математическая модель без учёта вращения
Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=h, ax=0 , ay= -g, , получаем следующую систему уравнений:
Теперь добавим вращение. Представим его как периодическую функцию перемещения вперёд-назад. Поскольку функция и так получается не самая простая для понимания, предположим, что во время оборота волчка точка движется линейно (здесь w измеряется в об/c).