Файл: Камень бросили с крутого берега вверх под углом 30 градусов к горизонту со скоростью 10.docx

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.11.2023

Просмотров: 347

Скачиваний: 33

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.1.

Постановка задачи. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 30 градусов к горизонту со скоростью 10 м/с. С какой скоростью он упал в воду, если время полета 2 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Построить график скорости от времени и траекторию полета камня.

Дано:

α=π/6

=10 м/c

t=2 с

_________

=?

Математическая модель падения камня имеет вид

где = =

Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, , ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений

=

=

Чтобы найти результирующую скорость, надо сложить вектора проекций скорости на оси

Подставив численные значения, получим

Графическая часть. Построим график зависимости скорости от времени и траекторию полёта камня.


Рис.1. Траектория полёта камня.


Рис 1.2. График зависимости модуля скорости полёта камня(v,м/c) от времени(t,c)

По графику можно заметить, что скорость рассчитана верно.

Ответ:

1.2.

Постановка задачи. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 45 градусов к горизонту со скоростью 12 м/с. Какая дальность полета камня и с какой высоты был брошен камень, если время полета 3 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Построить график скорости от времени и траекторию движения камня.

Дано:

α=π/4

=12 м/c

t=3 с

_________

=?

Математическая модель падения камня имеет вид

где = =

Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, , ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений

=

=

Чтобы найти результирующую скорость, надо сложить вектора проекций скорости на оси

Подставив численные значения, получим

Графическая часть. Построим график зависимости скорости от времени и траекторию полёта камня.

Рис.1. Траектория полёта камня.

Рис 1.2. График зависимости модуля скорости полёта камня(v,м/c) от времени(t,c)

По графику можно заметить, что скорость рассчитана верно.

Ответ:
1.3.

Постановка задачи. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 35 градусов к горизонту со скоростью 15
м/с. С какой скоростью он упал в воду, если время полета 4 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Построить график наклона вектора скорости к горизонту и траектории движения камня.
Дано:

α=35◦

=15 м/c

t=4 с

_________

=?

Математическая модель падения камня имеет вид

где = =

Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, , ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений

=

=

Чтобы найти результирующую скорость, надо сложить вектора проекций скорости на оси

Подставив численные значения, получим

Графическая часть. Построим график зависимости скорости от времени и траекторию полёта камня.

Рис. 1.1. Траектория полёта камня

Выразим текущий угол наклона вектора скорости через её проекции:

Рис 1.2. График зависимости угла наклона вектора скорости к горизонту (????,рад.) от времени(t,c)

По графику можно заметить, что угол начинается с положительного при броске вверх(35 гр), но затем резко уходит вниз почти до вертикального падения вниз, что соответствует броску тела под углом к горизонту.

Ответ:

1.4.

Постановка задачи. Из одной точки одновременно брошено два тела с одинаковой начальной скоростью 15 м/с под разными углами наклона и . Определите графически расстояние между двумя телами, скорости тел, нормальное и тангенциальное ускорения спустя 2 с после начала движения.

Дано:_=_=__=_15_м/ct=2_с__________=_Математическая_модель'>Дано:

=

=

=15 м/c

t=2 с

_________

=?

Математическая модель имеет вид

где = =

Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений

=

=

Графическая часть. Построим траектории движения тел 1 и 2.

Рис.1. Траектория движения тел 1(x-y) и 2(x2-y2).

Если судить по графику, тела находятся приблизительно в точках (15;6) и (21;1). По теореме Пифагора расстояние между ними равно примерно 7.8 метрам.

Проведём вычисления скорости с помощью формулы

Получим результаты:

Трудно сказать что-то определённое про составляющие ускорения, не произведя ряд дополнительных вычислений.

Чтобы найти , возьмём производную

Получим

Соответственно,


Теперь можно найти



Подставляя,

Ответ:_1.5._Постановка_задачи.'>Ответ:

1.5.

Постановка задачи. Из одной точки одновременно брошено два тела с одинаковой начальной скоростью 15 м/с под разными углами наклона и . Определите графически расстояние между двумя телами, скорости тел, нормальное и тангенциальное ускорения спустя 2 с после начала движения.

Дано:

=

=

=20 м/c

t=1 с

_________

=?

Математическая модель имеет вид

где = =

Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=0, ax=0 , ay= -g, получаем следующую систему уравнений
=

=

Графическая часть. Построим траектории движения тел 1 и 2.


Рис.1. Траектория движения тел 1(x-y) и 2(x2-y2).

Если судить по графику, тела находятся приблизительно в точках (17;5) и (10;12.5). По теореме Пифагора расстояние между ними равно примерно 10.3 метрам.

Проведём вычисления скорости с помощью формулы

Получим результаты:

Трудно сказать что-то определённое про составляющие ускорения, не произведя ряд дополнительных вычислений.

Чтобы найти , возьмём производную

Получим

Соответственно,


Теперь можно найти

Подставляя,

Ответ:

1.6.

Постановка задачи. Две абсолютно гладкие стальные плиты высотой 50 см помещены рядом и образуют щель шириной 3 см. В щель попадает горизонтально движущийся со скоростью 1 м/с стальной шарик диаметром 5 мм. Направление шарика перед попаданием в щель перпендикулярно щели. Сколько раз шарик ударится о стенки, пока не достигнет пола? Считать абсолютно упругим удар шарика о стенку и для каждого столкновения выполняется закон отражения. Построить траекторию движения шарика.

Дано:

h=0.5 м

=0.03 м

1 м/c

d=0.005 м

N=?

Математическая модель:

Поскольку тело падает по вертикальной оси, а по горизонтальной движется вперёд-назад, ударяясь о плиты, то можно представить модель в следующем виде:

В этой модели стоит разъяснить траекторию движения по оси x. Поскольку мы рассчитываем именно координату, а не путь, то вся «циклическая» часть к координате добавляться не будет, стоит учитывать лишь пролёт шарика от плиты до плиты.

Таким образом, означает время, затрачиваемое на перемещение шарика вперёд и назад (на расстояние .


Соответственно,

это целое количество таких перемещений.

даёт нам время, прошедшее с начала очередного «цикла». Поскольку нас волнует только «отклонение» от максимальной координаты , а зависимость расстояния от времени линейная (при этом отклонение от максимальной координаты симметрично по оси времени относительно середины отрезка времени : движение как влево, так и вправо по оси х будет увеличивать отклонение на одно и то же число) то для определения отклонения можно использовать формулу .

Рассмотрим другие значения в системе:

Получаем систему:

Эти зависимости нужны для построения траектории шарика и графика его скорости.

Общую скорость можно высчитать по формуле:

Из формулы y(t) можно вычислить время падения шарика:

Также это та точка времени, после которой рисование графиков не имеет смысла.

Количество ударов шарика о стены можно рассчитать по формуле:

(т.е. целое число количеств расстояний между стенками, укладывающееся в общем пройденном расстоянии).

Подставив значения, получим:

Графическая часть. Нарисуем графики зависимости общей скорости шарика от времени и его траектории:

Рис. 1.1. График траектории шарика

Ответ: N=12

1.7.

Постановка задачи. Две абсолютно гладкие стальные плиты высотой 1,00 м помещены рядом и образуют щель шириной 4 см. В щель попадает горизонтально движущийся со скоростью 1,5 м/с стальной шарик диаметром 5 мм. Направление шарика перед попаданием в щель перпендикулярно щели. Сколько раз шарик ударится о стенки, пока не достигнет пола? Считать абсолютно упругим удар шарика о стенку и для каждого столкновения выполняется закон отражения. Построить график скорости движения шарика и траекторию движения шарика.
Дано:

h=1 м

=0.04 м

1.5 м/c

d=0.005 м

N=?

Математическая модель:

Поскольку тело падает по вертикальной оси, а по горизонтальной движется вперёд-назад, ударяясь о плиты, то можно представить модель в следующем виде:

В этой модели стоит разъяснить траекторию движения по оси x. Поскольку мы рассчитываем именно координату, а не путь, то вся «циклическая» часть к координате добавляться не будет, стоит учитывать лишь пролёт шарика от плиты до плиты.

Таким образом, означает время, затрачиваемое на перемещение шарика вперёд и назад (на расстояние .

Соответственно,

это целое количество таких перемещений.

даёт нам время, прошедшее с начала очередного «цикла». Поскольку нас волнует только «отклонение» от максимальной координаты , а зависимость расстояния от времени линейная (при этом отклонение от максимальной координаты симметрично по оси времени относительно середины отрезка времени : движение как влево, так и вправо по оси х будет увеличивать отклонение на одно и то же число) то для определения отклонения можно использовать формулу .


Рассмотрим другие значения в системе:

Получаем систему:

Эти зависимости нужны для построения траектории шарика и графика его скорости.

Общую скорость можно высчитать по формуле:

Из формулы y(t) можно вычислить время падения шарика:

Также это та точка времени, после которой рисование графиков не имеет смысла.

Количество ударов шарика о стены можно рассчитать по формуле:

(т.е. целое число количеств расстояний между стенками, укладывающееся в общем пройденном расстоянии).

Подставив значения, получим:

Графическая часть. Нарисуем графики зависимости общей скорости шарика от времени и его траектории:

Рис. 1.1. График зависимости общей скорости шарика(vo, м/c) от времени (t, с)

Рис. 1.2. График траектории шарика

Рис. 1.1 совпадает с выведенной системой, т.к. шарик постепенно ускоряется при падении, но не успевает набрать скорость даже в 10 , потому что падает всего за полсекунды.

Рис. 1.2. показывает траекторию движения шарика. Можно посчитать количество ударов шарика о стенки и понять, что задача была решена верно.

Примечание: для построения графика траектории (см. рис. 1.2.) было принято решение отказаться от пакета Mathcad в связи с неадекватностью строящегося графика, несмотря на то, что графики движения x(t) и y(t) отдельно строились нормально. По трафику траектории(см. рис. 1.3) видно, что значение x(t) даже не достигает значения 0.35, хотя на первом графике ясно заметно, что это расстояние достигается (что подтверждается расчётом )

Рис. 1.3. Графики зависимостей координат x(t), y(t) от времени и «испорченный» график траектории

Ответ: N=19

1.9.

Постановка задачи. Волчок, имея постоянную угловую скорость 50 рад/с свободно падает с высоты 20,0 м. Сколько оборотов сделает волчок за время падения? Построить траекторию движения точки волчка, отстоящей от оси вращения на 10 см для начального и конечного участков падения длиной 1,0 м.

Дано:

R=0,1 м

h=20 м

w=50 рад/c

______________

x(t)=? y(t)=?

Математическая модель без учёта вращения

Учитывая начальные условия задачи: x0=0, y0=h, ax=0 , ay= -g, , получаем следующую систему уравнений:

Теперь добавим вращение. Представим его как периодическую функцию перемещения вперёд-назад. Поскольку функция и так получается не самая простая для понимания, предположим, что во время оборота волчка точка движется линейно (здесь w измеряется в об/c).