Файл: Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 90
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
13
где E – результат действия системы;
−
=
)
...,
,
,
(
2 1
m
x
x
x
x
вектор входных переменных, которыми мы можем управлять;
−
=
)
...,
,
,
(
2 1
n
y
y
y
y
вектор выходных переменных;
−
=
)
...,
,
,
(
2 1
l
a
a
a
a
вектор внутренних парамет- ров объекта (системы);
−
ξ
ξ
ξ
=
ξ
)
...,
,
,
(
2 1
k
вектор неопределённых пара- метров (часть входных переменных и внутренних параметров системы, значения которых мы не знаем точно) и возмущающих воздействий.
Компонентами векторов x и y являются расходы и составы потоков веществ, концентрации веществ, температура, давление в потоках и т.п., компонентами вектора a – коэффициенты и параметры, характеризую- щие свойства перерабатываемых веществ, физико-химические процессы в системе (константы скоростей химических реакций, коэффициенты тепло- и массообмена, диффузии и т.п.), геометрические размеры и конструктив- ные особенности технологического оборудования.
В зависимости от масштаба технологической системы и наших пред- положениях о его свойствах математические модели принимают конкрет- ный вид. Можно говорить о ММ технологической машины или аппарата, технологического процесса, производства, предприятия и даже целой от- расли. Эти ММ отличаются одна от другой полнотой учёта и глубиной описания различных процессов в системе, а также размерностями векто- ров
y
, x , a ,
ξ
и вектор-функций
Ф их связи
)
,
,
,
(
Ф
ξ
=
a
x
y
E
. Если, на- пример, ММ аппарата содержит чаще всего не более 10 – 15 уравнений, то в модель производства, предприятия и тем более отрасли может входить несколько десятков или сотен уравнений.
Функциональные зависимости Ф описывают поведение переменных и внутренних параметров в пределах компонента системы или выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения, или опе- рационные характеристики, по своей природе являются либо детермини- рованными, либо стохастическими. Детерминированные соотношения – это тождества или определения, которые устанавливают зависимость ме- жду определёнными переменными или параметрами системы в тех случа- ях, когда процесс на выходе системы однозначно определяется заданной информацией на входе. В отличие от этого стохастические соотношения представляют собой такие зависимости, которые при заданной входной информации дают на выходе системы неопределённый результат. Оба типа соотношений обычно выражаются математическими уравнениями, которые устанавливают зависимость между переменными состояния (вы- ходными) системы у, её входными переменными х, внутренними парамет- рами системы а и возмущающими воздействиями (неопределёнными па- раметрами)
ξ
. Обычно эти соотношения строятся на основе гипотез или выводятся с помощью статистического или математического анализа.
При построении моделей технологических объектов обычно вводят
ограничения
, представляющие собой устанавливаемые пределы изменения
14
значений переменных или ограничивающие условия распределения и рас- ходования тех или иных ресурсов (энергии, материалов, запасов сырья, времени и т.п.). Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой вследствие присущих ей свойств (ес- тественные ограничения).
Целевая функция или критерий Е
– это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Можно указать два типа целей: сохранение и приобретение.
Цели сохранения связаны с сохранением или поддержанием каких- либо ресурсов (временных, энергетических, творческих и т.д.) или со- стояний (безопасности, комфорта, качественных показателей выпускае- мой продукции и т.д.).
Цели приобретения связаны с приобретением новых ресурсов (при- были, более высокого качества, заказчиков и т.п.) или достижением оп- ределённых состояний, к которым стремится предприятие или руково- дитель (завоевание части рынка, повышение уровня занятости, экологи- ческой безопасности и т.п.). Целевая функция (критерий) обычно явля- ется органической составной частью модели, и весь процесс манипули- рования с моделью направлен на удовлетворение или улучшение задан- ного критерия.
Модели можно классифицировать различными способами, хотя ни один из них не является полностью удовлетворительным. Укажем некото- рые типовые группы моделей:
1) натурные, аналоговые, символические;
2) экспериментальные (регрессионные) и аналитические;
3) статические и динамические;
4) детерминированные и стохастические;
5) дискретные и непрерывные;
6) стационарные, нестационарные, квазистационарные;
7) линейные и нелинейные.
Различие ММ обусловливается их назначением: исследование эф- фективности режимов функционирования технологических объектов; оп- тимизация установившихся (статических) и переходных (динамических) режимов их работы; оптимальное проектирование технологических объ- ектов и управление ими. Структура и вид уравнений ММ зависят от свойств объекта.
Поведение технологического объекта с сосредоточенными координа- тами
x
y,
(т.е. когда характеристики объекта не меняются в зависимо-
сти от координат
) в статике и неизменными во времени
t
свойствами
(стационарный объект) описывается уравнениями ММ вида
[
]
0
,
,
,
=
ξ
a
x
y
F
или
).
,
,
(
ξ
=
a
x
f
y
15
ММ статики нестационарного объекта с сосредоточенными координа- тами (квазистатическая модель) представляет собой систему уравнений вида:
[
]
).
,
,
(
,
0
),
(
,
,
1
ξ
=
≈
ξ
a
y
f
dt
da
t
a
x
y
F
Поведение технологического объекта с сосредоточенными координа- тами
x
y
,
в динамике и неизменными во времени
t
свойствами описы- вается уравнениями ММ вида
0
,
),
(
),
(
,
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
a
t
x
t
y
dt
dy
F
или
(
)
,
),
(
),
(
ξ
=
a
t
x
t
y
f
dt
dy
ММ динамики нестационарного объекта с сосредоточенными коор- динатами представляет собой систему уравнений вида
(
)
,
),
(
,
0
),
(
),
(
,
1
ξ
=
≈
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
ξ
a
t
y
f
dt
da
t
a
t
x
dt
dy
F
Если координаты объекта
y
x,
распределены по пространственной переменной
l
(длина, радиус, высота) и его свойства неизменны во вре- мени
t
, то мы имеем дело со стационарными ММ статики или динамики технологического объекта с распределёнными координатами, которые имеют вид, соответственно:
0
),
(
),
(
),
,
(
,
,
,
0
),
(
),
(
),
(
,
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
∂
∂
∂
∂
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
l
a
l
x
l
t
y
l
y
t
y
F
l
a
l
x
l
y
dl
dy
F
По структуре
F
ММ технологических объектов разделяются на ли- нейные и нелинейные. Решение
)
,
( a
x
y
системы уравнений ММ, линейной по
y
, удовлетворяет следующим условиям (принципу суперпозиции):
1) аддитивности
);
,
(
)
,
(
)
,
(
2 1
2 1
a
x
y
a
x
y
a
x
x
y
+
=
+
2) однородности
)
,
(
)
,
(
a
x
y
c
a
x
c
y
×
=
×
; где
1
x
и
2
x
– произвольные функции
l
t,
или некоторые числа; c – лю- бое вещественное число.
Решение
)
,
( a
x
y
называется линейным по a , если
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2 2
1 2
1
a
x
y
a
x
y
a
a
x
y
+
=
+
и
),
,
(
)
,
(
a
x
y
c
a
c
x
y
×
=
×
где
2 1
, a
a
– произвольные параметры ММ.
Если для некоторой ММ не выполняется хотя бы одно из условий принципа суперпозиции, то она относится к классу нелинейных.
Технологические объекты химической, пищевой и биотехнологиче- ской промышленности практически всегда описываются нелинейными математическими моделями.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
4. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ПОСТРОЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
В процессе преобразования наших знаний о технологической систе- ме в её математическую модель мы должны определить: назначение мо- дели; какие компоненты системы должны быть включены в состав моде- ли; переменные и параметры, относящиеся к этим компонентам; функ- циональные соотношения
F
,
f
между компонентами, параметрами и переменными.
Побочным результатом этой фазы общей ориентировки явится опре- деление точной цели или назначения данной программы компьютерного моделирования. Вычислительные эксперименты проводятся с весьма раз- нообразными целями, в числе которых могут быть:
оценка – определение, насколько хорошо технологическая система предлагаемой структуры будет соответствовать некоторым критериям;
сравнение – сопоставление конкурирующих технологических систем;
прогноз – оценка поведения системы при некотором предполагаемом сочетании рабочих условий;
анализ чувствительности – выявление из большого числа дейст- вующих факторов тех, которые в наибольшей степени оказывают влияние на функционирование технологической системы;
оптимизация – определение условий осуществления (режимов функ- ционирования) технологических процессов в объекте или конструктивных параметров технологического объекта, при которых заданный критерий достигает экстремального значения.
Этот список никак нельзя считать исчерпывающим: в нём просто пе- речислены некоторые наиболее распространённые цели компьютерного моделирования. Чёткое определение назначения модели оказывает суще- ственное влияние на весь процесс её конструирования и эксперименталь- ной проверки.
После того как мы определили (по меньшей мере качественно) кон- кретную цель, для которой понадобилось создание модели, наступает этап определения необходимого состава компонентов модели. После составле- ния полного списка компонентов для каждого из них решается вопрос, следует ли включить его в состав модели. Но сделать это трудно, по- скольку на данном этапе разработки модели не всегда ясно, насколько важен тот или иной компонент для достижения общей цели моделирова- ния. При этом необходимо уточнить: следует ли включить данный компо- нент в состав модели или же в состав окружающей среды?
Назначение компонентов системы состоит в том, чтобы преобразо- вать входные сигналы в выходные.