Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 151
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
154]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
477
и y суть длины некоторых линий и что в выражении f (x, y), кроме этих линий, входят отвлеченные числа. Умножение x и y на положительное число) равносильно уменьшению линейного масштаба враз (при t > 1 или увеличению при t < 1), и, очевидно,
что при этом функция f (x, y), выражающая объем, должна умножаться нате. в рассматриваемом случае функция f (x, y) будет однородной функцией третьей степени. Так, например, объем конуса выражается через радиус его основания x и высоту y по формуле. Эта функция будет однородной третьей степени при всех вещественных x, y и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от x и y третьей степени, те. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей и y равна трем (x, y) = ax
3
+ bx
2
y + cxy
2
+ Дроби x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
,
xy x
2
+ y
2
,
x + y x
2
+ суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (−1). Отметим, что f (x, y) =
p x
2
+ y
2
, где радикал считается арифметическим, будет однородной функцией первой степени при всех вещественных и y и при всех t > 0. Действительно+ (ty)
2
= t p
x
2
+ причем оба радикала считаются положительными.
Дифференцируя тождество (10) пои применяя правило дифференцирования сложной функции, получим, полагая u = tx и v = ty:
xf
′
u
(u, v) + yf
′
v
(u, v) = mt m−1
f (x, Полагая t = 1, находим xf
′
x
(x, y) + yf
′
y
(x, y) = mf (x, что выражает следующую теорему Эйлера об однородных функциях:
∗
Сумма показателей степеней
Гл. V. Функции нескольких переменных
[155
Сумма произведений частных производных однородной функции несоответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности.
При доказательстве мы считаем естественно, что функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные при соответствующих значениях переменных, которыми мы пользовались при до- казательстве.
Если m = 0, то, положив в тождестве (10) t =
1
x
, мы получим f (x, y) = f
1,
y или f (x, y, z) = f
1,
y x
,
z те. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной.
Часто однородную функцию нулевого измерения называют просто однородной. Частные производные высших порядков. Частные производные функции от нескольких переменных суть в свою очередь функции тех же переменных, и мы можем определить их частные производные. Таким образом мы получим частные производные второго порядка первоначальной функции, которые также будут функциями тех же переменных, и их дифференцирование приведет к частным производным третьего порядка первоначальной функции, и т. д. Так, например, в случае функции u = f (x, y) от двух переменных, дифференцируя каждую из частных производных и еще раз пои, получим четыре производные второго порядка, которые обозначаются так, y),
f
′′
xy
(x, y),
f
′′
yx
(x, y),
f
′′
y
2
(x, или (x, y)
∂x
2
,
∂
2
f (x, y)
∂x∂y
,
∂
2
f (x, y)
∂y∂x
,
∂
2
f (x, или, наконец
155]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
479
Производные f
′′
xy
(x, y) и f
′′
yx
(x, y) отличаются лишь порядком дифференцирования. В первом случае дифференцирование производится сначала пои потом по y, а во втором случаев обратном порядке. Покажем, что эти две производные тождественны между собою, те. что результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Составим выражение = f (x + h, y + k) − f(x + h, y) − f(x, y + k) + f(x, Полагая, y) = f (x + h, y) − f(x, можем написать выражение ω в виде = [f (x + h, y + k) − f(x, y + k)] − [f(x + h, y) − f(x, y)] =
= ϕ(x, y + k) − ϕ(x, Применяя два раза формулу Лагранжа [63], получим = kϕ
′
y
(x, y + θ
1
k) = k[f
′
y
(x + h, y + θ
1
k) − f
′
y
(x, y + θ
1
k)] =
= khf
′′
yx
(x + θ
2
h, y + Буквы θ с различными значками означают числа, лежащие между и 1. Знаком f
′
y
(x + h, y + θ
1
k) мы обозначаем частную производную функции f (x, y) по ее второму аргументу y, когда туда вместо x и y подставлены, соответственно, x + h и y + θ
1
k. Аналогичные обозначения применяются и для других частных производных.
Точно также, полагая, y) = f (x, y + k) − f(x, можем написать = [f (x + h, y + k) − f(x + h, y)] − [f(x, y + k) − f(x, y)] =
= ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = hψ
′
x
(x + θ
3
h, y) =
= h[f
′
x
(x + θ
3
h, y + k) − f
′
x
(x + θ
3
h, y)] = hkf
′′
xy
(x + θ
3
h, y + θ
4
k).
[155
Сумма произведений частных производных однородной функции несоответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности.
При доказательстве мы считаем естественно, что функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные при соответствующих значениях переменных, которыми мы пользовались при до- казательстве.
Если m = 0, то, положив в тождестве (10) t =
1
x
, мы получим f (x, y) = f
1,
y или f (x, y, z) = f
1,
y x
,
z те. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной.
Часто однородную функцию нулевого измерения называют просто однородной. Частные производные высших порядков. Частные производные функции от нескольких переменных суть в свою очередь функции тех же переменных, и мы можем определить их частные производные. Таким образом мы получим частные производные второго порядка первоначальной функции, которые также будут функциями тех же переменных, и их дифференцирование приведет к частным производным третьего порядка первоначальной функции, и т. д. Так, например, в случае функции u = f (x, y) от двух переменных, дифференцируя каждую из частных производных и еще раз пои, получим четыре производные второго порядка, которые обозначаются так, y),
f
′′
xy
(x, y),
f
′′
yx
(x, y),
f
′′
y
2
(x, или (x, y)
∂x
2
,
∂
2
f (x, y)
∂x∂y
,
∂
2
f (x, y)
∂y∂x
,
∂
2
f (x, или, наконец
155]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
479
Производные f
′′
xy
(x, y) и f
′′
yx
(x, y) отличаются лишь порядком дифференцирования. В первом случае дифференцирование производится сначала пои потом по y, а во втором случаев обратном порядке. Покажем, что эти две производные тождественны между собою, те. что результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Составим выражение = f (x + h, y + k) − f(x + h, y) − f(x, y + k) + f(x, Полагая, y) = f (x + h, y) − f(x, можем написать выражение ω в виде = [f (x + h, y + k) − f(x, y + k)] − [f(x + h, y) − f(x, y)] =
= ϕ(x, y + k) − ϕ(x, Применяя два раза формулу Лагранжа [63], получим = kϕ
′
y
(x, y + θ
1
k) = k[f
′
y
(x + h, y + θ
1
k) − f
′
y
(x, y + θ
1
k)] =
= khf
′′
yx
(x + θ
2
h, y + Буквы θ с различными значками означают числа, лежащие между и 1. Знаком f
′
y
(x + h, y + θ
1
k) мы обозначаем частную производную функции f (x, y) по ее второму аргументу y, когда туда вместо x и y подставлены, соответственно, x + h и y + θ
1
k. Аналогичные обозначения применяются и для других частных производных.
Точно также, полагая, y) = f (x, y + k) − f(x, можем написать = [f (x + h, y + k) − f(x + h, y)] − [f(x, y + k) − f(x, y)] =
= ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = hψ
′
x
(x + θ
3
h, y) =
= h[f
′
x
(x + θ
3
h, y + k) − f
′
x
(x + θ
3
h, y)] = hkf
′′
xy
(x + θ
3
h, y + θ
4
k).
Гл. V. Функции нескольких переменных
[155
Сравнивая оба выражения, полученных для ω, будем иметь hkf
′′
yx
(x + θ
2
h, y + θ
1
k) = hkf
′′
xy
(x + θ
3
h, y + или f
′′
yx
(x + θ
2
h, y + θ
1
k) = f
′′
xy
(x + θ
3
h, y + Предполагая непрерывность написанных производных второго порядка и устремляя h и k к нулю, получим f
′′
yx
(x, y) = f
′′
xy
(x, Это рассуждение приводит к следующей теореме.
Т е орем а. Если f (x, y) имеет внутри некоторой области непрерывные производные f
′′
yx
(x, y) и f
′′
xy
(x, y), то во всех точках внутри упомянутой области указанные производные равны.
Рассмотрим теперь две производные третьего порядка f
′′′
x
2
y
(x, и f
′′′
yx
2
(x, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Принимая во внимание, что по доказанному результат двукратного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, можем написать, те. ив этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Это свойство без труда обобщается на производные любого порядка и на случай функции любого числа переменных, и мы можем высказать общую теорему результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифференцирование.
Заметим, что при доказательстве мы пользовались не только существованием производных, но и их непрерывностью внутри некоторой области
156]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
481
В дальнейшем мы будем всегда предполагать непрерывность производных, о которых мы будем говорить, ив силу доказанной теоремы для производных высших порядков надо лишь указывать порядок производной n, те переменные, по которым производится дифференцирование, и число дифференцирований по каждой пе- ременной.
Так, например, в случае функции w = f (x, y, z, t), пользуются следующим обозначением f (x, y, z, или w
∂x
α
∂y
β
∂z
γ
∂t
δ
(α + β + γ + δ = которое показывает, что взята производная го порядка, причем дифференцирование произведено α раз по x, β раз по y, γ раз пои раз по t.
156. Дифференциалы высших порядков. Полный дифференциал функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом мы получим дифференциал второго порядка d
2
u первоначальной функции u, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d
3
u первоначальной функции и т. д.
Рассмотрим подробнее случай функции u = f (x, y) двух переменных и y и будем предполагать, что переменные x и y суть независимые переменные. По определению du =
∂f (x, y)
∂x dx +
∂f (x, y)
∂y При вычислении d
2
u будем принимать во внимание, что дифференциалы и dy независимых переменных надо рассматривать как величины постоянные, а потому их можно выносить за знак дифференциала d
2
u = d
∂f(x, y)
∂x dx
+ d
∂f(x, y)
∂y dy
=
156]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
483
мы обозначаем, вообще dx +
∂ϕ
∂y Принимая во внимание, что для d n
u формула (13) считается доказанной, можем написать d
n+1
u =
∂
∂x dx +
∂
∂y dy
" ∂
∂x dx +
∂
∂y dy
(n)
f
#
=
=
∂
∂x dx +
∂
∂y те. формула доказана и для d Формула (13) обобщается без труда и на случай функции любого числа независимых переменных. Формула (13) справедлива, как мы знаем [153], не только в том случае, когда x и y суть независимые переменные. Но при выводе выражения d
2
u существенным было считать dx и dy величинами постоянными, и формула (справедлива лишь в тех случаях, когда dx и dy могут считаться постоянными.
Это будет справедливо, если x и y суть независимые переменные. Положим теперь, что x и y суть линейные функции независимых переменных z и t:
x = az + bt + c,
y = a
1
z + b
1
t + где коэффициенты и свободные члены — постоянные. Для dx и dy получим выражения dx = adz + bdt,
dy = a
1
dz + Но dz и dt, как дифференциалы независимых переменных,
должны считаться постоянными тоже можно сказать, следовательно, в этом случае и относительно dx и dy; мы можем поэтому утверждать, что символическая формула (13) справедлива как в случае, когда x и y суть независимые переменные, таки в том
157]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
485
Уравнение (16) мы получали, предполагая в равенстве (15) y функцией от x и дифференцируя обе части этого тождества по Поступая также с (16), получим уравнение для определения второй производной y
′′
:
F
′′
x
2
(x, y) + 2F
′′
xy
(x, y)y
′
+ F
′′
y
2
(x, y)y
′2
+ F
′
y
(x, y)y
′′
= Дифференцируя еще раз по x, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.
Обратим внимание на то, что в получаемых таким образом уравнениях коэффициент при искомых производных неявной функции будет один и тот же, а именно F
′
y
(x, y), и потому, если при некоторых значениях x и y, удовлетворяющих уравнению (15), этот коэффициент отличен от нуля, то при этих значениях указанный выше прием даст вполне определенные значения для производных любого порядка неявной функции. При этом, конечно, предполагается существование частных производных от левой части уравнения
(15).
Рассмотрим уравнение еще стремя переменными, y, z) = Такое уравнение определяет z как неявную функцию от независимых переменных x и y, и если заменить в левой части этого уравнения именно этой функцией от x и y, толевая часть уравнения станет равна тождественно нулю. Таким образом, дифференцируя левую часть этого уравнения по независимым переменными в предположении, что z есть функция от них, мы должны получить нуль, y, z) + Φ
′
z
(x, y, z)z
′
x
= 0,
Φ
′
y
(x, y, z) + Φ
′
z
(x, y, z)z
′
y
= Из этих уравнений определятся частные производные первого порядка z
′
x и z
′
y
. Дифференцируя первое из написанных соотношений еще раз по x, получим уравнение для определения частной производной и т. д. Во всех получаемых уравнениях коэффициент при искомой производной будет Φ
′
z
(x, y, z). Рассмотрим теперь
[155
Сравнивая оба выражения, полученных для ω, будем иметь hkf
′′
yx
(x + θ
2
h, y + θ
1
k) = hkf
′′
xy
(x + θ
3
h, y + или f
′′
yx
(x + θ
2
h, y + θ
1
k) = f
′′
xy
(x + θ
3
h, y + Предполагая непрерывность написанных производных второго порядка и устремляя h и k к нулю, получим f
′′
yx
(x, y) = f
′′
xy
(x, Это рассуждение приводит к следующей теореме.
Т е орем а. Если f (x, y) имеет внутри некоторой области непрерывные производные f
′′
yx
(x, y) и f
′′
xy
(x, y), то во всех точках внутри упомянутой области указанные производные равны.
Рассмотрим теперь две производные третьего порядка f
′′′
x
2
y
(x, и f
′′′
yx
2
(x, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Принимая во внимание, что по доказанному результат двукратного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, можем написать, те. ив этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Это свойство без труда обобщается на производные любого порядка и на случай функции любого числа переменных, и мы можем высказать общую теорему результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифференцирование.
Заметим, что при доказательстве мы пользовались не только существованием производных, но и их непрерывностью внутри некоторой области
156]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
481
В дальнейшем мы будем всегда предполагать непрерывность производных, о которых мы будем говорить, ив силу доказанной теоремы для производных высших порядков надо лишь указывать порядок производной n, те переменные, по которым производится дифференцирование, и число дифференцирований по каждой пе- ременной.
Так, например, в случае функции w = f (x, y, z, t), пользуются следующим обозначением f (x, y, z, или w
∂x
α
∂y
β
∂z
γ
∂t
δ
(α + β + γ + δ = которое показывает, что взята производная го порядка, причем дифференцирование произведено α раз по x, β раз по y, γ раз пои раз по t.
156. Дифференциалы высших порядков. Полный дифференциал функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом мы получим дифференциал второго порядка d
2
u первоначальной функции u, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d
3
u первоначальной функции и т. д.
Рассмотрим подробнее случай функции u = f (x, y) двух переменных и y и будем предполагать, что переменные x и y суть независимые переменные. По определению du =
∂f (x, y)
∂x dx +
∂f (x, y)
∂y При вычислении d
2
u будем принимать во внимание, что дифференциалы и dy независимых переменных надо рассматривать как величины постоянные, а потому их можно выносить за знак дифференциала d
2
u = d
∂f(x, y)
∂x dx
+ d
∂f(x, y)
∂y dy
=
Гл. V. Функции нескольких переменных dx · d
∂f (x, y)
∂x
+ dy · d
∂f (x, y)
∂y
=
= dx ·
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx +
∂
2
f (x, y)
∂x∂y dy
+
+dy
∂
2
f (x, y)
∂y∂x dx +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
=
=
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y dxdy +
∂
2
f (x, Вычисляя точно также, мы получим d
3
u =
∂
3
f (x, y)
∂x
3
dx
3
+ 3
∂
3
f (x, y)
∂x
2
∂y dx
2
dy+
+ 3
∂
3
f (x, y)
∂x∂y
2
dxdy
2
+
∂
3
f (x, Эти выражения d
2
u и d
3
u приводят нас к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка n
u =
∂
∂x dx +
∂
∂y причем формулу эту надо понимать так сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвысить в степень n, применяя формулу бинома
Ньютона, после чего показатели степеней у и надо считать указателями порядка производных пои от функции f Мы убедились в справедливости формулы (13) при n, равном 1,
2 и 3. Для полного ее доказательства необходимо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1). Положим, что формула) справедлива при некотором n. Определим дифференциал + го порядка n+1
u = d(d n
u) =
∂(d n
u)
∂x dx +
∂(d n
u)
∂y dy =
∂
∂x dx +
∂
∂y dy
d где символом ∂
∂x dx +
∂
∂y dy
ϕ
∂f (x, y)
∂x
+ dy · d
∂f (x, y)
∂y
=
= dx ·
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx +
∂
2
f (x, y)
∂x∂y dy
+
+dy
∂
2
f (x, y)
∂y∂x dx +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
=
=
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y dxdy +
∂
2
f (x, Вычисляя точно также, мы получим d
3
u =
∂
3
f (x, y)
∂x
3
dx
3
+ 3
∂
3
f (x, y)
∂x
2
∂y dx
2
dy+
+ 3
∂
3
f (x, y)
∂x∂y
2
dxdy
2
+
∂
3
f (x, Эти выражения d
2
u и d
3
u приводят нас к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка n
u =
∂
∂x dx +
∂
∂y причем формулу эту надо понимать так сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвысить в степень n, применяя формулу бинома
Ньютона, после чего показатели степеней у и надо считать указателями порядка производных пои от функции f Мы убедились в справедливости формулы (13) при n, равном 1,
2 и 3. Для полного ее доказательства необходимо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1). Положим, что формула) справедлива при некотором n. Определим дифференциал + го порядка n+1
u = d(d n
u) =
∂(d n
u)
∂x dx +
∂(d n
u)
∂y dy =
∂
∂x dx +
∂
∂y dy
d где символом ∂
∂x dx +
∂
∂y dy
ϕ
156]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
483
мы обозначаем, вообще dx +
∂ϕ
∂y Принимая во внимание, что для d n
u формула (13) считается доказанной, можем написать d
n+1
u =
∂
∂x dx +
∂
∂y dy
" ∂
∂x dx +
∂
∂y dy
(n)
f
#
=
=
∂
∂x dx +
∂
∂y те. формула доказана и для d Формула (13) обобщается без труда и на случай функции любого числа независимых переменных. Формула (13) справедлива, как мы знаем [153], не только в том случае, когда x и y суть независимые переменные. Но при выводе выражения d
2
u существенным было считать dx и dy величинами постоянными, и формула (справедлива лишь в тех случаях, когда dx и dy могут считаться постоянными.
Это будет справедливо, если x и y суть независимые переменные. Положим теперь, что x и y суть линейные функции независимых переменных z и t:
x = az + bt + c,
y = a
1
z + b
1
t + где коэффициенты и свободные члены — постоянные. Для dx и dy получим выражения dx = adz + bdt,
dy = a
1
dz + Но dz и dt, как дифференциалы независимых переменных,
должны считаться постоянными тоже можно сказать, следовательно, в этом случае и относительно dx и dy; мы можем поэтому утверждать, что символическая формула (13) справедлива как в случае, когда x и y суть независимые переменные, таки в том
Гл. V. Функции нескольких переменных
[157
случае, когда они суть линейные функции (целые многочлены первой степени) независимых переменных.
Если dx и dy нельзя считать постоянными, то формула (13) уже не будет справедливой. Разберем выражение d
2
u в этом общем случае. При вычислении d
∂f(x, y)
∂x и d
∂f(x, y)
∂y мы уже не имеем права выносить dx и dy за знак дифференциала,
как это делали выше, то должны применять формулу для дифференциала произведения Мы получим, таким образом = dxd
∂f (x, y)
∂x
+ dyd
∂f (x, y)
∂y
+
∂f (x, y)
∂x d
2
x +
∂f (x, y)
∂y Сумма первых двух слагаемых в правой части этого равенства даст нам выражение, которое мы имели выше для d
2
u, и окончательно получим d
2
u =
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y dxdy +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
dy
2
+
+
∂f (x, y)
∂x d
2
x +
∂f (x, y)
∂y d
2
y, (те. в рассматриваемом общем случае выражение для d
2
u будет содержать добавочные слагаемые, зависящие от d
2
x и d
2
y.
157. Неявные функции. Укажем сейчас правила дифференцирования функций, заданных неявно. При этом мы будем предполагать, что написанные уравнения действительно определяют некоторую функцию, имеющую соответствующие производные. В при некоторых условиях мы докажем это. Если y есть неявная функция от x:
F (x, y) = то первая производная этой функции определяется, как мы знаем, из уравнения [69]:
F
′
x
(x, y) + F
′
y
(x, y)y
′
= 0
(16)
[157
случае, когда они суть линейные функции (целые многочлены первой степени) независимых переменных.
Если dx и dy нельзя считать постоянными, то формула (13) уже не будет справедливой. Разберем выражение d
2
u в этом общем случае. При вычислении d
∂f(x, y)
∂x и d
∂f(x, y)
∂y мы уже не имеем права выносить dx и dy за знак дифференциала,
как это делали выше, то должны применять формулу для дифференциала произведения Мы получим, таким образом = dxd
∂f (x, y)
∂x
+ dyd
∂f (x, y)
∂y
+
∂f (x, y)
∂x d
2
x +
∂f (x, y)
∂y Сумма первых двух слагаемых в правой части этого равенства даст нам выражение, которое мы имели выше для d
2
u, и окончательно получим d
2
u =
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y dxdy +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
dy
2
+
+
∂f (x, y)
∂x d
2
x +
∂f (x, y)
∂y d
2
y, (те. в рассматриваемом общем случае выражение для d
2
u будет содержать добавочные слагаемые, зависящие от d
2
x и d
2
y.
157. Неявные функции. Укажем сейчас правила дифференцирования функций, заданных неявно. При этом мы будем предполагать, что написанные уравнения действительно определяют некоторую функцию, имеющую соответствующие производные. В при некоторых условиях мы докажем это. Если y есть неявная функция от x:
F (x, y) = то первая производная этой функции определяется, как мы знаем, из уравнения [69]:
F
′
x
(x, y) + F
′
y
(x, y)y
′
= 0
(16)
157]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
485
Уравнение (16) мы получали, предполагая в равенстве (15) y функцией от x и дифференцируя обе части этого тождества по Поступая также с (16), получим уравнение для определения второй производной y
′′
:
F
′′
x
2
(x, y) + 2F
′′
xy
(x, y)y
′
+ F
′′
y
2
(x, y)y
′2
+ F
′
y
(x, y)y
′′
= Дифференцируя еще раз по x, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.
Обратим внимание на то, что в получаемых таким образом уравнениях коэффициент при искомых производных неявной функции будет один и тот же, а именно F
′
y
(x, y), и потому, если при некоторых значениях x и y, удовлетворяющих уравнению (15), этот коэффициент отличен от нуля, то при этих значениях указанный выше прием даст вполне определенные значения для производных любого порядка неявной функции. При этом, конечно, предполагается существование частных производных от левой части уравнения
(15).
Рассмотрим уравнение еще стремя переменными, y, z) = Такое уравнение определяет z как неявную функцию от независимых переменных x и y, и если заменить в левой части этого уравнения именно этой функцией от x и y, толевая часть уравнения станет равна тождественно нулю. Таким образом, дифференцируя левую часть этого уравнения по независимым переменными в предположении, что z есть функция от них, мы должны получить нуль, y, z) + Φ
′
z
(x, y, z)z
′
x
= 0,
Φ
′
y
(x, y, z) + Φ
′
z
(x, y, z)z
′
y
= Из этих уравнений определятся частные производные первого порядка z
′
x и z
′
y
. Дифференцируя первое из написанных соотношений еще раз по x, получим уравнение для определения частной производной и т. д. Во всех получаемых уравнениях коэффициент при искомой производной будет Φ
′
z
(x, y, z). Рассмотрим теперь
Гл. V. Функции нескольких переменных
[158
систему уравнений, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = 0.
(17 Будем считать, что эта система определяет y и z как неявные функции от x. Дифференцируя оба уравнения системы по x в предположении, что y и z суть функции от x, получим систему уравнений первой степени для определения производных и от y и z по x:
ϕ
′
x
(x, y, z) + ϕ
′
y
(x, y, z) · y
′
+ ϕ
′
z
(x, y, z) · z
′
= 0,
ψ
′
x
(x, y, z) + ψ
′
y
(x, y, z) · y
′
+ ψ
′
z
(x, y, z) · z
′
= Дифференцируя эти соотношения еще раз по x, получим систему уравнений для определения вторых производных и z
′′
. Дифференцируя еще раз по x, получим систему уравнений для определения и и т. д.
Производные го порядка и будут при это определяться из системы вида, y, z) · y
[158
систему уравнений, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = 0.
(17 Будем считать, что эта система определяет y и z как неявные функции от x. Дифференцируя оба уравнения системы по x в предположении, что y и z суть функции от x, получим систему уравнений первой степени для определения производных и от y и z по x:
ϕ
′
x
(x, y, z) + ϕ
′
y
(x, y, z) · y
′
+ ϕ
′
z
(x, y, z) · z
′
= 0,
ψ
′
x
(x, y, z) + ψ
′
y
(x, y, z) · y
′
+ ψ
′
z
(x, y, z) · z
′
= Дифференцируя эти соотношения еще раз по x, получим систему уравнений для определения вторых производных и z
′′
. Дифференцируя еще раз по x, получим систему уравнений для определения и и т. д.
Производные го порядка и будут при это определяться из системы вида, y, z) · y
(n)
+ ϕ
′
z
(x, y, z) · z
(n)
+ A = 0,
ψ
′
y
(x, y, z) · y
(n)
+ ψ
′
z
(x, y, z) · z
(n)
+ B = где A и B — выражения, содержащие производные порядка ниже n. Такая система, как это известно из элементарной алгебры, будет давать одно определенное решение, если выполнено условие, y, z) · ψ
′
z
(x, y, z) − ϕ
′
z
(x, y, z) · ψ
′
y
(x, y, z) 6= При всех тех значениях x, y и z, удовлетворяющих системе (17 при которых это условие выполнено, описанный выше прием приведет к вполне определенным значениям производных.
Если имеется система m уравнений с (m + n) переменным, то такая система определяет, вообще говоря, m переменных как неявные функции остальных n переменных, и производные этих неявных функций могут быть получены указанным выше приемом последовательного дифференцирования уравнений по независимым переменным
158]
§ 15. Производные и дифференциалы функции 158. Пример.
Рассмотрим в качестве примера уравнение ax
2
+ by
2
+ cz
2
= которое определяет z как функцию от x и y. Дифференцируя по x, получим и точно также, дифференцируя по y, получим by + cz · z
′
y
= 0,
(19 откуда z
′
x
= −
ax cz
,
z
′
y
= −
by Дифференцируя соотношение (19) пои, а соотношение (19 1
) по y, получим a + cz
′2
x
+ czz
′′
x
2
= 0,
cz
′
x z
′
y
+ czz
′′
xy
= 0,
b + cz
′2
y
+ czz
′′
y
2
= откуда z
′′
x
2
= −
a + cz
′2
x cz
= −
a + c a
2
x
2
c
2
z
2
cz
= −
acz
2
+ a
2
x
2
c
2
z
3
,
z
′′
xy
= −
z
′
x z
′
y z
= −
abxy c
2
z
3
,
z
′′
y
2
= −
b + cz
′2
y cz
= −
bcz
2
+ Покажем теперь другой способ вычисления частных производных, основанный на применении выражения полного дифференциала функции.
Докажем предварительно вспомогательную теорему. Пусть нам удалось каким-нибудь образом получить выражение полного дифференциала dz функции двух независимых переменных x ив виде dz = pdx + С другой стороны, мы знаем, что dz = z
′
x dx + z
′
y Сравнивая эти два выражения, получим pdx + qdy = z
′
x dx + z
′
y dy.
Гл. V. Функции нескольких переменных
[158
Но dx и dy, как дифференциалы независимых переменных, суть величины произвольны. Полагая dx = 1 и dy = 0 или dx = 0 и dy = получим p = и q = Итак, если полный дифференциал функции z двух независимых переменных и y может быть представлен в виде dz = pdx + то p = z
′
x и q = Теорема эта справедлива и для функции любого числа независимых переменных. Совершенно также можно показать, что если дифференциал второго порядка может быть представлен в виде d
2
z = rdx
2
+ 2sdxdy + то r = z
′′
x
2
, s = z
′′
xy и t = Вернемся теперь к рассмотренному примеру. Вместо того, чтобы определять производные левой части соотношения (18) пои, определим ее дифференциал, помня, что выражение первого дифференциала не зависит от выбора независимых переменных [153]:
axdx + bydy + czdz = откуда dz = −
ax cz dx −
by cz и, следовательно, в силу доказанной теоремы −
ax cz и −
by Определим теперь дифференциал левой части соотношения (20), принимая во внимание, что dx и dy должны считаться при этом постоянными или d
2
z = −
a cz dx
2
−
b cz dy
2
−
1
z dz
2
= −
a cz dx
2
−
b cz dy
2
−
1
z
ax cz dx +
by cz dy
2
=
= −
acz
2
+ a
2
x
2
a
2
z
3
dx
2
− 2
abxy x
2
z
3
dxdy −
bcz
2
+ b
2
y
2
c
2
z
3
dy
2
,
[158
Но dx и dy, как дифференциалы независимых переменных, суть величины произвольны. Полагая dx = 1 и dy = 0 или dx = 0 и dy = получим p = и q = Итак, если полный дифференциал функции z двух независимых переменных и y может быть представлен в виде dz = pdx + то p = z
′
x и q = Теорема эта справедлива и для функции любого числа независимых переменных. Совершенно также можно показать, что если дифференциал второго порядка может быть представлен в виде d
2
z = rdx
2
+ 2sdxdy + то r = z
′′
x
2
, s = z
′′
xy и t = Вернемся теперь к рассмотренному примеру. Вместо того, чтобы определять производные левой части соотношения (18) пои, определим ее дифференциал, помня, что выражение первого дифференциала не зависит от выбора независимых переменных [153]:
axdx + bydy + czdz = откуда dz = −
ax cz dx −
by cz и, следовательно, в силу доказанной теоремы −
ax cz и −
by Определим теперь дифференциал левой части соотношения (20), принимая во внимание, что dx и dy должны считаться при этом постоянными или d
2
z = −
a cz dx
2
−
b cz dy
2
−
1
z dz
2
= −
a cz dx
2
−
b cz dy
2
−
1
z
ax cz dx +
by cz dy
2
=
= −
acz
2
+ a
2
x
2
a
2
z
3
dx
2
− 2
abxy x
2
z
3
dxdy −
bcz
2
+ b
2
y
2
c
2
z
3
dy
2
,
159]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
489
и, следовательно z
′′
x
2
= −
acz
2
+ a
2
x
2
c
2
z
3
,
z
′′
xy
= −
abxy c
2
z
3
,
z
′′
y
2
= −
bcz
2
+ Таким образом, определив дифференциал некоторого порядка, мы получим все частные производные соответствующего порядка. Существование неявных функций.
Наши рассуждения носили формальный характер. Мы предполагали во всех случаях, что соответствующее уравнение или система уравнений определяют неявным образом некоторую функцию, имеющую производную. Сейчас докажем основную теорему существования неявных функций.
Рассмотрим уравнение (x, y) = и укажем те условия, при которых оно определяет единственным образом y как функцию от x, непрерывную и имеющую производную.
Т е орем а. Пусть x = и y = y
0
— решение уравнения (21), те пусть F (x, y) и ее частные производные первого порядка пои непрерывные функции при всех x и y, достаточно близких кии пусть, наконец, частная производная F
′
y
(x, y) отлична от нуля при x = x
0
, y = y
0
. При этом существует при всех x, достаточно близких к x
0
, одна определенная функция y (x), удовлетворяющая уравнению, непрерывная, имеющая производную и удовлетворяющая условию) = Положим для определенности, что F
′
y
(x, y) > 0 при x = x
0
, y = Так как по условию эта производная непрерывна, то она будет положительной и при всех значениях x и y, достаточно близких ките. существует такое положительное число l, что F (x, y) и ее частные производные непрерывны и, y) > при всех x и y, удовлетворяющие условию − x
0
| 6 l,
|y − y
0
| 6 Далее, функция F (x
0
, y) одной переменной y обращается в нуль при y = y
0
, в силу (22). И есть возрастающая функция отв промежутке
Гл. V. Функции нескольких переменных l, y
0
+ l), в силу (23) и (24). Таким образом, числа F (x
0
, y
0
− l) и (x
0
, y
0
+ l) будут разных знаков первое — отрицательное, а второе положительное. Принимая во внимание непрерывность функции F (x, мы можем утверждать [67], что F (x, y
0
− l) будет отрицательным, а (x, y
0
+ l) — положительным при всех x, достаточно близких к x
0
, т. е.
существует такое положительное число l
1
, что (x, y
0
− l) > 0 и F (x, y
0
+ l) > при |x − x
0
| 6 l
1
. Обозначим через m наименьшее из двух чисел l и Принимая во внимание (24) и (25), мы можем утверждать, что выполнены неравенства (23) и (25), если x и y удовлетворяют неравенствам − x
0
| 6 m,
|y − y
0
| 6 Если возьмем какое-нибудь определенное x, лежащее в промежутке m, x
0
+ m), те. удовлетворяющее первому из неравенств (26), то (x, y), как функция отбудет в силу (23) возрастающей функцией в промежутке (y
0
− l, y
0
+ l), ив силу (25), будет разных знаков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обращаться в нуль при одном определенном значении y из этого промежутка. В частности, если x + x
0
, тов силу (22), это значение y будет y = y
0
. Мы доказали, таким образом, существование в промежутке (x
0
−m, x
0
+m) определенной функции y(x), являющейся решением уравнения (21) и удовлетворяющей условию y(x
0
) = y
0
. Иначе говоря, из предыдущих рассуждений следует, что при всяком фиксированном x из промежутка (x
0
− m, x
0
+ уравнение (21) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка+ Покажем теперь, что найденная функция y(x) будет непрерывной при x = x
0
. Действительно, при любом заданном малом положительном числа F (x
0
, y
0
− ε) и F (x
0
, y
0
+ ε) будут, в силу (25), разных знаков, а следовательно, будет существовать такое положительное η, что (x, y
0
− ε) и F (x, y
0
+ ε) — разных знаков, если только |x − x
0
| < η, т. е.
иначе говоря, при |x − x
0
| < η корень уравнения (21), те. значение найденной функции y(x), удовлетворяет условию |y−y
0
| < ε, что доказывает непрерывность y(x) при x = Покажем теперь существование производной y
′
(x) при x = x
0
. Пусть = x − и пусть ∆y = y − есть соответствующее приращение Следовательно, x = x
0
+ ∆x и y = y
0
+ ∆y удовлетворяют уравнению, те, ив силу (22) можем написать (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − F (x
0
, y
0
) = 0.
0
+ l), в силу (23) и (24). Таким образом, числа F (x
0
, y
0
− l) и (x
0
, y
0
+ l) будут разных знаков первое — отрицательное, а второе положительное. Принимая во внимание непрерывность функции F (x, мы можем утверждать [67], что F (x, y
0
− l) будет отрицательным, а (x, y
0
+ l) — положительным при всех x, достаточно близких к x
0
, т. е.
существует такое положительное число l
1
, что (x, y
0
− l) > 0 и F (x, y
0
+ l) > при |x − x
0
| 6 l
1
. Обозначим через m наименьшее из двух чисел l и Принимая во внимание (24) и (25), мы можем утверждать, что выполнены неравенства (23) и (25), если x и y удовлетворяют неравенствам − x
0
| 6 m,
|y − y
0
| 6 Если возьмем какое-нибудь определенное x, лежащее в промежутке m, x
0
+ m), те. удовлетворяющее первому из неравенств (26), то (x, y), как функция отбудет в силу (23) возрастающей функцией в промежутке (y
0
− l, y
0
+ l), ив силу (25), будет разных знаков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обращаться в нуль при одном определенном значении y из этого промежутка. В частности, если x + x
0
, тов силу (22), это значение y будет y = y
0
. Мы доказали, таким образом, существование в промежутке (x
0
−m, x
0
+m) определенной функции y(x), являющейся решением уравнения (21) и удовлетворяющей условию y(x
0
) = y
0
. Иначе говоря, из предыдущих рассуждений следует, что при всяком фиксированном x из промежутка (x
0
− m, x
0
+ уравнение (21) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка+ Покажем теперь, что найденная функция y(x) будет непрерывной при x = x
0
. Действительно, при любом заданном малом положительном числа F (x
0
, y
0
− ε) и F (x
0
, y
0
+ ε) будут, в силу (25), разных знаков, а следовательно, будет существовать такое положительное η, что (x, y
0
− ε) и F (x, y
0
+ ε) — разных знаков, если только |x − x
0
| < η, т. е.
иначе говоря, при |x − x
0
| < η корень уравнения (21), те. значение найденной функции y(x), удовлетворяет условию |y−y
0
| < ε, что доказывает непрерывность y(x) при x = Покажем теперь существование производной y
′
(x) при x = x
0
. Пусть = x − и пусть ∆y = y − есть соответствующее приращение Следовательно, x = x
0
+ ∆x и y = y
0
+ ∆y удовлетворяют уравнению, те, ив силу (22) можем написать (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − F (x
0
, y
0
) = 0.
159]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
491
Принимая во внимание непрерывность частных производных, можем переписать это равенство так [68]:
[F
′
x
0
(x
0
, y
0
) + ε
1
]∆x + [F
′
y
0
(x
0
, y
0
) + ε
2
]∆y = где и ε
2
→ 0, если ∆x и ∆y → 0, и где мы обозначили через F
′
x
0
(x
0
, и F
′
y
0
(x
0
, y
0
) значения частных производных при x = x
0
, y = y
0
. Из доказанной выше непрерывности следует, что ∆y → 0, если ∆x → Уравнение (27) дает нам −
F
′
x
0
(x
0
, y
0
) + ε
1
F
′
y
0
(x
0
, y
0
) + переходя к пределу при ∆x → 0, получим y
′
(x
0
) = −
F
′
x
0
(x
0
, y
0
)
F
′
y
0
(x
0
, Мы доказали непрерывность и существование производной функции y(x) только при x = x
0
. Если мы возьмем какое-либо другое значение x из промежутка (x
0
− m, x
0
+ m) и соответствующее значение y из промежутка (y
0
− l, y
0
+ l), являющееся корнем уравнения (21), то для этой пары значений x, y опять выполнены все условия нашей теоремы, ив силу доказанного y(x) будет непрерывной и будет иметь производную при взятом значении x из упомянутого промежутка.
Совершенно также, как и выше, формулируется и доказывается теорема о существовании неявной функции z(x, y), определяемой уравнением Рассмотрим теперь систему, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = определяющую y и z как функции от Для этого случая имеет место
Т е орем а. Пусть x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
— решение системы (пусть ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) и их частные производные первого порядка непрерывные функции (x, y, z) при всех значениях этих переменных, достаточно близких к (x
0
, y
0
, z
0
), и пусть выражение, y, z)ψ
′
z
(x, y, z) − ϕ
′
z
(x, y, z)ψ
′
y
(x, y, z)
Гл. V. Функции нескольких переменных
[160
отлично от нуля при x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
. При этом существует при всех значениях x, достаточно близких к x
0
, одна определенная система двух функций y(x), z(x), удовлетворяющая уравнениям (непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию y(x
0
) = y
0
, z(x
0
) = На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не будем. В третьем томе мы рассмотрим общий случай любого числа функций с любым числом переменных. Кривые в пространстве и поверхности. Начнем сука- зания некоторых фактов, известных из аналитической геометрии.
Пусть трехмерное пространство отнесено к прямолинейным прямоугольным осям OX, OY , OZ, так что всякая точка определяется координатами x, y, z. Пусть a, b, c — какая-либо тройка чисел, причем по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Такой тройке чисел соответствует два прямо противоположных направления в пространстве, у которых направляющие косинусы (косинусы углов,
образованных этими направлениями с осями OX, OY , OZ) пропорциональны числам (a, b, Упомянутые косинусы выражаются формулами α =
a
±
√
a
2
+ b
2
+ c
2
,
cos β =
b
±
√
a
2
+ b
2
+ c
2
,
cos γ =
c
±
√
a
2
+ b
2
+ Выбор знака у радикала (верхнего или нижнего) определяет одно из прямо противоположных направлений.
Пусть имеются две тройки чисел (a, b, c) и (a
1
, b
1
, c
1
). Равенство aa
1
+ bb
1
+ cc
1
= выражает условие перпендикулярности соответствующих этим тройкам чисел направлений.
∗
Как известно из аналитической геометрии, всякому уравнению стремя переменными (x, y, z) = Имеются ввиду вектора с координатами (a, b, c) и (a
1
, b
1
, c
1
).
[160
отлично от нуля при x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
. При этом существует при всех значениях x, достаточно близких к x
0
, одна определенная система двух функций y(x), z(x), удовлетворяющая уравнениям (непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию y(x
0
) = y
0
, z(x
0
) = На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не будем. В третьем томе мы рассмотрим общий случай любого числа функций с любым числом переменных. Кривые в пространстве и поверхности. Начнем сука- зания некоторых фактов, известных из аналитической геометрии.
Пусть трехмерное пространство отнесено к прямолинейным прямоугольным осям OX, OY , OZ, так что всякая точка определяется координатами x, y, z. Пусть a, b, c — какая-либо тройка чисел, причем по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Такой тройке чисел соответствует два прямо противоположных направления в пространстве, у которых направляющие косинусы (косинусы углов,
образованных этими направлениями с осями OX, OY , OZ) пропорциональны числам (a, b, Упомянутые косинусы выражаются формулами α =
a
±
√
a
2
+ b
2
+ c
2
,
cos β =
b
±
√
a
2
+ b
2
+ c
2
,
cos γ =
c
±
√
a
2
+ b
2
+ Выбор знака у радикала (верхнего или нижнего) определяет одно из прямо противоположных направлений.
Пусть имеются две тройки чисел (a, b, c) и (a
1
, b
1
, c
1
). Равенство aa
1
+ bb
1
+ cc
1
= выражает условие перпендикулярности соответствующих этим тройкам чисел направлений.
∗
Как известно из аналитической геометрии, всякому уравнению стремя переменными (x, y, z) = Имеются ввиду вектора с координатами (a, b, c) и (a
1
, b
1
, c
1
).
160]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
493
или в явной форме z = f (x, соответствует, вообще говоря, некоторая поверхность в пространстве, отнесенном к прямоугольным осям OX, OY , Линия в пространстве может быть рассматриваема, как пересечение некоторых двух поверхностей, и может быть, следовательно,
определена совокупностью двух уравнений, y, z) = 0,
F
2
(x, y, z) = Иначе кривую можно определить в параметрической форме уравнениями Длина дуги кривой, как ив случае плоской кривой, определяется как предел периметров ломаных линий, вписанных в эту дугу, при беспредельном уменьшении каждой из сторон этой ломаной. Рассуждения, которые мы не будем приводить, так как они совершенно аналогичны рассуждениям [103] в случае плоской кривой, показывают, что длина дуги выражается определенным интегралом s =
(M
2
)
Z
(m
1
)
p
(dx)
2
+ (dy)
2
+ (dz)
2
=
t
2
Z
t
1
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) + ω
′2
(t)dt, (где и суть значения параметра t, соответствующие концами дуги, и дифференциал дуги имеет выражение ds =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
+ (Если роль параметра t играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от некоторой определенной точки ее, что совершенно также, как это мы делали в случае плоской кривой [70], можно показать, что производные dx ds
,
dy ds
,
dz ds равны направляющим косинусам касательной к кривой, те. равны косинусам углов, образованных положительным направлением этой касательной с осями координат Гл. V. Функции нескольких переменных
[160
Принимая во внимание (32) и (33), мы получаем для этих косинусов формулы α =
ϕ
′
(t)
±
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) + ω
′2
(t)
,
cos β =
ψ
′
(t)
±
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) + ω
′2
(t)
,
cos γ =
ω
′
(t)
±
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) + при соответствующем выборе знака у радикала, зависящем от выбора направления касательной.
Выше мы считали, что функции (32) имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из них отлична от нуля. Таким образом, направляющие косинусы касательной к кривой в точке, y, x) пропорциональны ϕ
′
(t), ψ
′
(t), ω
′
(t) или dx, dy, dz и уравнение касательной может быть написано в виде − x dx
=
Y − y dy
=
Z − z dz
,
(36 или − x
ϕ
′
(t)
=
Y − y
ψ
′
(t)
=
Z − z
ω
′
(t)
(36 Введем теперь новое понятие, а именно понятие касательной плоскости к поверхности (x, y, z) = Пусть M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) — некоторая точка этой поверхности и L линия (32), лежащая на поверхности и проходящая через точку, так что при некотором t = имеем x
0
= ϕ(t
0
), y
0
= ψ(t
0
),
z
0
= ω(t
0
). Предполагаем, что у функции (37) в точке и ее окрестности имеются непрерывные частные производные пои, причем по крайней мере одна из этих производных отлична от нуля. Пусть аналогичное свойство имеют и функции (32) при t = ив окрестности этого значения
160]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
495
Если подставим (32) в левую часть уравнения (37), то получим тождество по t, поскольку L лежит на поверхности (37). Дифференцируя это тождество по t, получим, y, z)ϕ
′
(t) + F
y
(x, y, z)ψ
′
(t) + F
z
(x, y, z)ω
′
(t) = где вместо x, y, z надо подставить функции (32), ив точке M
0
F
x
(x
0
, y
0
, z
0
)ϕ
′
(t
0
)+F
y
(x
0
, y
0
, z
0
)ψ
′
(t
0
)+F
z
(x
0
, y
0
, z
0
)ω
′
(t
0
) = 0. (Как мы видели, ϕ
′
(t
0
), ψ
′
(t
0
), ω
′
(t
0
) пропорциональны направляющим косинусам касательной к линии L в точке M
0
, и равенство (показывает, что касательная в точке к любой линии L, лежащей на поверхности (37) и проходящей через точку M
0
, перпендикулярна к некоторому определенному, независящему от выбора L направлению, у которого направляющие косинусы пропорциональны числам, F
x
(x
0
, y
0
, z
0
), F
y
(x
0
, y
0
, z
0
), F
z
(x
0
, y
0
, z
0
). Мы видим, таким образом, что касательные в точке ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку M
0
, лежат водной и той же плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности (37) в точке M
0
. Она проходит, очевидно, через точку. Пусть − x
0
) + B(Y − y
0
) + C(Z − z
0
) = 0
(39)
— уравнение этой плоскости. Как известно из аналитической геометрии, коэффициенты A, B, C должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой плоскости, те. в данном случае пропорциональны F
x
(x
0
, y
0
, z
0
), F
y
(x
0
, y
0
, z
0
), F
z
(x
0
, y
0
, В дальнейшем вместо точки M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) мы применим общее обозначение точки M (x, y, z). Таким образом, A, B и C должны быть пропорциональны F
′
x
(x
0
, y
0
, z
0
), F
′
y
(x
0
, y
0
, z
0
), F
′
z
(x
0
, y
0
, z
0
), и, следовательно, уравнение касательной плоскости окончательно может быть написано в виде, y, z)(X − x) + F
′
y
(x, y, z)(Y − y)+
+ F
′
z
(x, y, z)(Z − z) = 0, (40)
Гл. V. Функции нескольких переменных
[160
где X, Y , Z — текущие координаты касательной плоскости, а x, y,
z — координаты точки касания M Нормаль к касательной плоскости, проходящей через точку касания, называется нормалью к поверхности. Ее направляющие косинусы пропорциональны, как мы сейчас видели, частным производными уравнение ее, следовательно, будет − x
F
′
x
(x, y, z)
=
Y − y
F
′
y
(x, y, z)
=
Z − z
F
′
z
(x, y, Если поверхность задана уравнением в явной форме z = f (x, то уравнение (37) будет иметь вид (x, y, z) = f (x, y) − z = и, следовательно, y, z) = f
′
x
(x, y),
F
′
y
(x, y, z) = f
′
y
(x, y),
F
′
z
(x, y, z) = Обозначая, как это обыкновенно делается, частные производные f
′
x
(x, y) и f
′
y
(x, y), буквами p и q, получим уравнение касательной плоскости p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = и нормали к поверхности − x p
[160
где X, Y , Z — текущие координаты касательной плоскости, а x, y,
z — координаты точки касания M Нормаль к касательной плоскости, проходящей через точку касания, называется нормалью к поверхности. Ее направляющие косинусы пропорциональны, как мы сейчас видели, частным производными уравнение ее, следовательно, будет − x
F
′
x
(x, y, z)
=
Y − y
F
′
y
(x, y, z)
=
Z − z
F
′
z
(x, y, Если поверхность задана уравнением в явной форме z = f (x, то уравнение (37) будет иметь вид (x, y, z) = f (x, y) − z = и, следовательно, y, z) = f
′
x
(x, y),
F
′
y
(x, y, z) = f
′
y
(x, y),
F
′
z
(x, y, z) = Обозначая, как это обыкновенно делается, частные производные f
′
x
(x, y) и f
′
y
(x, y), буквами p и q, получим уравнение касательной плоскости p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = и нормали к поверхности − x p
=
Y − y q
=
Z − Для эллипсоида x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= уравнение касательной плоскости в некоторой его точке (x, y, z) будет a
2
(X − x) +
2y b
2
(Y − y) +
2z c
2
(Z − z) = или xX
a
2
+
yY
b
2
+
zZ
c
2
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
161]
§ 16. Формула Тейлора
497
Правая часть этого уравнения равна единице, так как координаты, y, z) точки касания должны удовлетворять уравнению эллипсоида, и окончательно уравнение касательной плоскости будет xX
a
2
+
yY
b
2
+
zZ
c
2
= 1.
§ 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ
ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимы переменных. Для простоты письма ограничимся случаем функции f (x, y) от двух независимых переменных. Формула Тейлора даст разложение f (a + h, b +
k) по степенями приращений независимых переменных Введем новую независимую переменную t, полагая x = a + ht, y = b + Мы получим, таким образом, функцию одной независимой переменной+ причем) = f (a, b) и ϕ(1) = f (a + h, b + Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом Лагранжа, можем написать [127]:
ϕ(1) = ϕ(0)+
ϕ
′
(0)
1!
+
ϕ
′′
(0)
2!
+. . .+
ϕ
(n)
(0)
n!
+
ϕ
(n+1)
(θ)
(n + 1)!
(0 < θ < 1). (Выразим теперь производные ϕ
(p)
(0) и ϕ
(n+1)
(θ) через функцию. Из формулы (1) мы видим, что x и y суть линейные функции независимой переменной t и dx = hdt,
dy = kdt.
Гл. V. Функции нескольких переменных
[161
Мы можем поэтому пользоваться символической формулой при определении дифференциала любого порядка функции ϕ(t) [156]:
d p
ϕ(t) =
∂
∂x dx +
∂
∂y dy
(p)
f (x, y) =
h
∂
∂x
+ k
∂
∂y
(p)
f (x, y)dt откуда) =
dp
ϕ
(t)
dt p
=
h
∂
∂x
+ k
∂
∂y
(p)
f (x, При t = 0 имеем x = a и y = b, при t = θ имеем x = a + θh и y = b + θk, а потому) =
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(p)
f (a, b) =
h
∂
∂x
+ k
∂
∂y
(p)
f (x, y)
x=a y=b
,
ϕ
(n+1)
(θ) =
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(n+1)
f (a + θh, b + Подставляя эти выражения в формулу (3) и пользуясь еще формулами, получим окончательно формулу Тейлора f (a + h, b + k) = f (a, b) +
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
f (a, b)+
+
1 2!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(2)
f (a, b) + . . . +
1
n!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(n)
f (a, b)+
+
1
(n + 1)!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(n+1)
f (a + θh, b + θk). (Заменяя в этой формуле a на x, b на y и обозначая приращения h и k независимых переменных через dx и dy, а приращение функции, те, через ∆f(x, y), можем написать формулу в следующем виде (x, y) = df (x, y)+
d
2
f (x, y)
2!
+ . . .+
d n
f (x, y)
n!
+
d n+1
f (x, y)
(n + 1)!
x+θdx y+θdy
[161
Мы можем поэтому пользоваться символической формулой при определении дифференциала любого порядка функции ϕ(t) [156]:
d p
ϕ(t) =
∂
∂x dx +
∂
∂y dy
(p)
f (x, y) =
h
∂
∂x
+ k
∂
∂y
(p)
f (x, y)dt откуда) =
dp
ϕ
(t)
dt p
=
h
∂
∂x
+ k
∂
∂y
(p)
f (x, При t = 0 имеем x = a и y = b, при t = θ имеем x = a + θh и y = b + θk, а потому) =
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(p)
f (a, b) =
h
∂
∂x
+ k
∂
∂y
(p)
f (x, y)
x=a y=b
,
ϕ
(n+1)
(θ) =
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(n+1)
f (a + θh, b + Подставляя эти выражения в формулу (3) и пользуясь еще формулами, получим окончательно формулу Тейлора f (a + h, b + k) = f (a, b) +
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
f (a, b)+
+
1 2!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(2)
f (a, b) + . . . +
1
n!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(n)
f (a, b)+
+
1
(n + 1)!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
(n+1)
f (a + θh, b + θk). (Заменяя в этой формуле a на x, b на y и обозначая приращения h и k независимых переменных через dx и dy, а приращение функции, те, через ∆f(x, y), можем написать формулу в следующем виде (x, y) = df (x, y)+
d
2
f (x, y)
2!
+ . . .+
d n
f (x, y)
n!
+
d n+1
f (x, y)
(n + 1)!
x+θdx y+θdy
162]
§ 16. Формула Тейлора
499
Правая часть этой формулы содержит дифференциалы различных порядков функции f (x, y), а в последнем члене указаны те значения независимых переменных, которые надо подставить в производные
(n+1)-го порядка, входящие в этот член. Аналогично случаю функции от одной независимой переменной формула Маклорена, дающая разложение функции f (x, y) по степеням x, y, выводится из формулы Тейлора (4), если положить там a = 0, b = 0;
h = x, k = При выводе формулы (4) мы предполагали, что функция f (x, имеет непрерывные частные производные до порядка (n+1) в некоторой открытой области, содержащей отрезок прямой, соединяющий точки (a, b) и (a + h, b + k). При изменении t от нуля до единицы переменная точка x = a + ht, y = b + kt описывает упомянутый отрезок. При n = 0 получаем формулу конечных приращений f (a + h, b + k) − f(a, b) = hf
′
a
(a + θh, b + θk) + kf
′
b
(a + θh, b + Отсюда, как ив, непосредственно следует, что если внутри некоторой области частные производные первого порядка равны везде нулю, то функция сохраняет внутри упомянутой области постоянное значение. Необходимые условия максимума и минимума функции. Пусть функция f(x, y) непрерывна в точке (a, b) и некоторой ее окрестности. Аналогично случаю одной независимой переменной мы будем говорить, что функция f (x, y) двух независимых переменных достигает максимума в точке (a, b), если значение f (a, b) не меньше всех смежных значений функции, те. если = f (a + h, b + k) − f(a, b) 6 при всех h и k достаточно малых по абсолютной величине.
∗
∗
Также, как ив случае функции одной переменной, существует окрестность точки (a, b), во всех точках которой, значения функции меньше, чем в точке (a, b).
Гл. V. Функции нескольких переменных
[162
Точно также мы будем говорить, что функция f (x, y) достигает минимума при x = a и y = b, если = f (a + h, b + k) − f(a, b) > 0
(5 при всех значениях h и k достаточно малых по абсолютной вели- чине.
Итак, пусть x = a, y = b — значения независимых переменных,
при которых функция f (x, y) достигает максимума или минимума. Рассмотрим функцию f (x, b) одной независимой переменной По условию она должна достигать максимума или минимума при x = a, а потому ее производная по x при x = a должна или обращаться в нуль или жене существовать [58]. Таким же рассуждением убедимся, что и производная функция f (a, y) по y должна или обращаться в нуль или не существовать при y = b. Мы приходим, таким образом, к следующему необходимому условию существования максимума или минимума функция f (x, y) двух независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях x и y, при которых частные производные первого порядка (x,y)
∂x и (обращаются в нуль или не существуют.
Совершенно также, меняя только x или только y, мы можем,
пользуясь сказанным в [58], утверждать, что при наличии производных второго порядка необходимым условием максимума являются неравенства (x,y)
∂x
2 6
0 и (x,y)
∂y
2 6
0, а необходимым условием минимума — неравенства (x,y)
∂x
2
>
0 и (Предыдущие рассуждения остаются в силе ив случае функции любого числа независимых переменных. Мы можем высказать, таким образом, следующее общее правило:
Функция нескольких независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением того случая, когда указанные частные производные существуют.
Дифференциал первого порядка равен сумме произведений частных производных по независимым переменным на дифференциалы соответствующих независимых переменных [153], и мы мо-
[162
Точно также мы будем говорить, что функция f (x, y) достигает минимума при x = a и y = b, если = f (a + h, b + k) − f(a, b) > 0
(5 при всех значениях h и k достаточно малых по абсолютной вели- чине.
Итак, пусть x = a, y = b — значения независимых переменных,
при которых функция f (x, y) достигает максимума или минимума. Рассмотрим функцию f (x, b) одной независимой переменной По условию она должна достигать максимума или минимума при x = a, а потому ее производная по x при x = a должна или обращаться в нуль или жене существовать [58]. Таким же рассуждением убедимся, что и производная функция f (a, y) по y должна или обращаться в нуль или не существовать при y = b. Мы приходим, таким образом, к следующему необходимому условию существования максимума или минимума функция f (x, y) двух независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях x и y, при которых частные производные первого порядка (x,y)
∂x и (обращаются в нуль или не существуют.
Совершенно также, меняя только x или только y, мы можем,
пользуясь сказанным в [58], утверждать, что при наличии производных второго порядка необходимым условием максимума являются неравенства (x,y)
∂x
2 6
0 и (x,y)
∂y
2 6
0, а необходимым условием минимума — неравенства (x,y)
∂x
2
>
0 и (Предыдущие рассуждения остаются в силе ив случае функции любого числа независимых переменных. Мы можем высказать, таким образом, следующее общее правило:
Функция нескольких независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением того случая, когда указанные частные производные существуют.
Дифференциал первого порядка равен сумме произведений частных производных по независимым переменным на дифференциалы соответствующих независимых переменных [153], и мы мо-