Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 148
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1 +
k Пусть, наконец, n увеличивается беспредельно, те. приращение капитала происходит через все меньшие промежутки времени ив пределе — непрерывно. По прошествии m лет наращенный капитал будет lim n→∞
a
1 +
k n
mn
= lim n→∞
a h
1 +
k n
n i
m
= ae Примем число e за основание логарифмов. Такие логарифмы называются натуральными логарифмами и их обычно обозначают просто знакомили) без указания основания.
∗
При стремлении переменной x к нулю в выражении log(1+x)
x числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскроем эту неопределен-
∗
В современной математической литературе натуральный логарифм обозначается символом ln.
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[39
ность. Введем новую переменную y, полагая x те откуда видно, что при x → 0, y стремится к бесконечности. Введя эту новую переменную и пользуясь непрерывностью функции log x при x > 0 и формулой (26), получим lim x→0
log(1 + x)
x
= lim y→∞
y log
1 +
1
y
= lim y→∞
log
1 +
1
y
y
= log e = Из этого ясна целесообразность сделанного выбора основания логарифмов. Точно также как при радианном измерении углов,
истинное значение выражения sin x при x = 0 равно единице, в случае натуральных логарифмов истинное значение выражения log(1+x)
x при x = 0 тоже равно единице.
Из определения логарифмов вытекает следующее соотношение = a log Логарифмируя это соотношение по основанию e, получим log N = log a
N · log a или log a
N = log N ·
1
log Соотношение это выражает логарифм числа N при любом основании через его натуральный логарифм. Множитель M =
1
log a называется модулем системы логарифмов с основанием a; при a = он выражается с точностью до седьмого десятичного знака так = 0, 4342945 . . .
39. Недоказанные предложения. При изложении теории пределов мы оставили недоказанными несколько предложений, которые сейчас перечислим существование предела у монотонной ограниченной переменной [30], необходимое и достаточное условие существования предела (признак Коши) [31] и три свойства непрерывных в замкнутом промежутке функций [35]. Доказательство
39]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
111
этих предложений основывается на теории вещественных чисел и действий над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше предложений будут посвящены следующие номера.
Введем еще одно новое понятие и сформулируем еще одно предложение, которое также будет доказано ниже. Если мы имеем множество, состоящее из конечного числа вещественных чисел (например, мы имеем тысячу вещественных чисел, то среди них будет как наибольшее, таки наименьшее. Если же мы имеем бесконечное множество вещественных чисел и даже таких, что все эти числа принадлежат определенному промежутку, то все жене всегда среди этих чисел будет наибольшее и наименьшее. Например, если мы рассмотрим множество всех вещественных чисел, заключающихся между 0 и 1, ноне будем причислять к этому множеству самих чисел 0 и 1, то среди этого множества чисел нет ни наибольшего,
ни наименьшего. Какое бы число, близкое к единице, но меньше ее,
мы ни взяли, найдется другое число, лежащее между взятым числом и единицей. В данном случае числа 0 и 1, не принадлежащие к взятому множеству чисел, обладают по отношению к нему следующим свойством среди чисел нашего множества нет чисел, больших единицы, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, большие (1 − ε). Точно также среди чисел нашего множества нет чисел, меньших нуля, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, меньшие (0 + ε). Эти числа 0 и 1 называются точной нижней и точной верхней границами указанного выше множества вещественных чисел.
Перейдем от этого примера к общему случаю.
Пусть имеется некоторое множество E вещественных чисел. Говорят, что оно ограничено сверху, если существует такое число M что все числа, принадлежащие множеству E, не превосходят M Точно также говорят, что множество ограничено снизу, если существует такое число m, что все числа, принадлежащие множеству не менее, чем m. Если множество ограничено сверху и снизу, то его просто, называют ограниченным.
О пределен и е. Точной верхней границей множества E называют такое число β (если оно существует, что среди чисел,
принадлежащих E, нет чисел, больших β, но при любом заданном положительном ε есть числа, большие (β − ε). Точной нижней
[39
ность. Введем новую переменную y, полагая x те откуда видно, что при x → 0, y стремится к бесконечности. Введя эту новую переменную и пользуясь непрерывностью функции log x при x > 0 и формулой (26), получим lim x→0
log(1 + x)
x
= lim y→∞
y log
1 +
1
y
= lim y→∞
log
1 +
1
y
y
= log e = Из этого ясна целесообразность сделанного выбора основания логарифмов. Точно также как при радианном измерении углов,
истинное значение выражения sin x при x = 0 равно единице, в случае натуральных логарифмов истинное значение выражения log(1+x)
x при x = 0 тоже равно единице.
Из определения логарифмов вытекает следующее соотношение = a log Логарифмируя это соотношение по основанию e, получим log N = log a
N · log a или log a
N = log N ·
1
log Соотношение это выражает логарифм числа N при любом основании через его натуральный логарифм. Множитель M =
1
log a называется модулем системы логарифмов с основанием a; при a = он выражается с точностью до седьмого десятичного знака так = 0, 4342945 . . .
39. Недоказанные предложения. При изложении теории пределов мы оставили недоказанными несколько предложений, которые сейчас перечислим существование предела у монотонной ограниченной переменной [30], необходимое и достаточное условие существования предела (признак Коши) [31] и три свойства непрерывных в замкнутом промежутке функций [35]. Доказательство
39]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
111
этих предложений основывается на теории вещественных чисел и действий над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше предложений будут посвящены следующие номера.
Введем еще одно новое понятие и сформулируем еще одно предложение, которое также будет доказано ниже. Если мы имеем множество, состоящее из конечного числа вещественных чисел (например, мы имеем тысячу вещественных чисел, то среди них будет как наибольшее, таки наименьшее. Если же мы имеем бесконечное множество вещественных чисел и даже таких, что все эти числа принадлежат определенному промежутку, то все жене всегда среди этих чисел будет наибольшее и наименьшее. Например, если мы рассмотрим множество всех вещественных чисел, заключающихся между 0 и 1, ноне будем причислять к этому множеству самих чисел 0 и 1, то среди этого множества чисел нет ни наибольшего,
ни наименьшего. Какое бы число, близкое к единице, но меньше ее,
мы ни взяли, найдется другое число, лежащее между взятым числом и единицей. В данном случае числа 0 и 1, не принадлежащие к взятому множеству чисел, обладают по отношению к нему следующим свойством среди чисел нашего множества нет чисел, больших единицы, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, большие (1 − ε). Точно также среди чисел нашего множества нет чисел, меньших нуля, но при любом заданном положительном числе ε есть числа, меньшие (0 + ε). Эти числа 0 и 1 называются точной нижней и точной верхней границами указанного выше множества вещественных чисел.
Перейдем от этого примера к общему случаю.
Пусть имеется некоторое множество E вещественных чисел. Говорят, что оно ограничено сверху, если существует такое число M что все числа, принадлежащие множеству E, не превосходят M Точно также говорят, что множество ограничено снизу, если существует такое число m, что все числа, принадлежащие множеству не менее, чем m. Если множество ограничено сверху и снизу, то его просто, называют ограниченным.
О пределен и е. Точной верхней границей множества E называют такое число β (если оно существует, что среди чисел,
принадлежащих E, нет чисел, больших β, но при любом заданном положительном ε есть числа, большие (β − ε). Точной нижней
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[40
границей множества E называется такое число α (если оно существует, что среди чисел, принадлежащих E, нет чисел, меньших, но при любом заданном положительном ε есть числа,
меньшие (α + Если множество E не ограничено сверху, те. существуют числа из E, большие любого заданного числа, то множество не может иметь точной верхней границы. Точно также, если множество E не ограничено снизу, то оно не может иметь точной нижней границы.
Если среди чисел множества есть наибольшее, то оно, очевидно, и является точной верхней границей множества. Точно также, если среди чисел множества есть наименьшее, то оно и является точной нижней границей множества E. Но, как мы видели, не всегда среди чисел бесконечного множества есть наибольшее или наименьшее.
Однако можно показать, что у множества, ограниченного сверху,
всегда имеется точная верхняя граница, ау множества, ограниченного снизу, — точная нижняя граница. Отметим еще, что из определения точных границ непосредственно следует, что точная верхняя и точная нижняя граница может быть только одна.
Указанными в настоящем номере предложениями мы будем часто пользоваться в дальнейшем.
Следующие номера, напечатанные мелким шрифтом, могут быть пропущены при первом чтении. Вещественные числа.
Начнем с изложения теории вещественных чисел. Мы исходим из множества всех рациональных чисел, целых и дробных, как положительных, таки отрицательных. Все эти рациональные числа можно себе представить расположенными в порядке их возрастания. При этом если a и b два любых различных рациональных числа, то между ними можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Действительно, пусть a < b, и введем положительное рациональное число r =
b−a n
, где n — какое-нибудь целое положительное число. Рациональные числа a + r, a + 2r, . . . , a + (n − 1)r, лежат между a и b, и,
ввиду произвольности в выборе целого положительного числа n, наше утверждение доказано.
Назовем сечением в области рациональных чисел всякое разделение всех рациональных чисел на такие два класса, что любое число одного
(первого) класса меньше любого числа другого (второго) класса. При этом, очевидно, если некоторое число находится в первом классе, то и
40]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
113
всякое меньшее его число также находится в первом классе, и если некоторое число находится во втором классе, то и всякое большее число также находится во втором классе.
Положим, что среди чисел первого класса есть наибольшее число.
При этом, в силу упомянутого свойства совокупности рациональных чисел, можно утверждать, что среди чисел второго класса нет наименьшего числа. Точно также, если среди чисел второго класса есть наименьшее,
то среди чисел первого класса нет наибольшего. Назовем сечение — сечением первого рода, если среди чисел первого класса есть наибольшее или среди чисел второго класса есть наименьшее. Легко построить такие сечения. Возьмем какое-нибудь рациональное число b и отнесем к первому классу все рациональные числа, меньшие b, ко второму классу — все рациональные числа, большие b, а само число b отнесем или к первому классу (оно будет там наибольшим, или ко второму классу (оно будет там наименьшим. Беря за b всевозможные рациональные числа, мы получим таким образом всевозможные сечения первого рода. Мы будем говорить, что такое сечение первого рода определяет то рациональное число b, которое является наибольшим в первом или наименьшим во втором классе.
Но существуют и сечения второго рода, у которых в первом классе нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа.
Построим пример такого сечения. Отнесем к первому классу все отрицательные рациональные числа, нуль и те положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму классу отнесем все те рациональные положительные числа, квадрат которых больше двух. Так как не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, то все рациональные числа окажутся распределенными, и мы будем иметь некоторое сечение. Покажем, что в первом классе нет наибольшего числа.
Для этого достаточно показать, что если число a принадлежит первому классу, то есть числа, большие a, также принадлежащие первому классу.
Если a отрицательно или нуль, то это очевидно положим, что a > 0 По условию составления первого класса a
2
< 2 . Введем положительное рациональное число r = 2 − и покажем, что можно определить настолько малое положительное рациональное число x, чтобы (a + также принадлежало первому классу, те. чтобы имелось неравенство − (a + x)
2
> или r − 2ax − x
2
> те. дело сводится к нахождению такого положительного рационального числа, которое удовлетворяет неравенству x
2
+ 2ax < r. Считая x < имеем x
2
< x, и, следовательно, x
2
+ 2ax < x + 2ax = (2a + 1)x, те. нам
[40
границей множества E называется такое число α (если оно существует, что среди чисел, принадлежащих E, нет чисел, меньших, но при любом заданном положительном ε есть числа,
меньшие (α + Если множество E не ограничено сверху, те. существуют числа из E, большие любого заданного числа, то множество не может иметь точной верхней границы. Точно также, если множество E не ограничено снизу, то оно не может иметь точной нижней границы.
Если среди чисел множества есть наибольшее, то оно, очевидно, и является точной верхней границей множества. Точно также, если среди чисел множества есть наименьшее, то оно и является точной нижней границей множества E. Но, как мы видели, не всегда среди чисел бесконечного множества есть наибольшее или наименьшее.
Однако можно показать, что у множества, ограниченного сверху,
всегда имеется точная верхняя граница, ау множества, ограниченного снизу, — точная нижняя граница. Отметим еще, что из определения точных границ непосредственно следует, что точная верхняя и точная нижняя граница может быть только одна.
Указанными в настоящем номере предложениями мы будем часто пользоваться в дальнейшем.
Следующие номера, напечатанные мелким шрифтом, могут быть пропущены при первом чтении. Вещественные числа.
Начнем с изложения теории вещественных чисел. Мы исходим из множества всех рациональных чисел, целых и дробных, как положительных, таки отрицательных. Все эти рациональные числа можно себе представить расположенными в порядке их возрастания. При этом если a и b два любых различных рациональных числа, то между ними можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Действительно, пусть a < b, и введем положительное рациональное число r =
b−a n
, где n — какое-нибудь целое положительное число. Рациональные числа a + r, a + 2r, . . . , a + (n − 1)r, лежат между a и b, и,
ввиду произвольности в выборе целого положительного числа n, наше утверждение доказано.
Назовем сечением в области рациональных чисел всякое разделение всех рациональных чисел на такие два класса, что любое число одного
(первого) класса меньше любого числа другого (второго) класса. При этом, очевидно, если некоторое число находится в первом классе, то и
40]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
113
всякое меньшее его число также находится в первом классе, и если некоторое число находится во втором классе, то и всякое большее число также находится во втором классе.
Положим, что среди чисел первого класса есть наибольшее число.
При этом, в силу упомянутого свойства совокупности рациональных чисел, можно утверждать, что среди чисел второго класса нет наименьшего числа. Точно также, если среди чисел второго класса есть наименьшее,
то среди чисел первого класса нет наибольшего. Назовем сечение — сечением первого рода, если среди чисел первого класса есть наибольшее или среди чисел второго класса есть наименьшее. Легко построить такие сечения. Возьмем какое-нибудь рациональное число b и отнесем к первому классу все рациональные числа, меньшие b, ко второму классу — все рациональные числа, большие b, а само число b отнесем или к первому классу (оно будет там наибольшим, или ко второму классу (оно будет там наименьшим. Беря за b всевозможные рациональные числа, мы получим таким образом всевозможные сечения первого рода. Мы будем говорить, что такое сечение первого рода определяет то рациональное число b, которое является наибольшим в первом или наименьшим во втором классе.
Но существуют и сечения второго рода, у которых в первом классе нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа.
Построим пример такого сечения. Отнесем к первому классу все отрицательные рациональные числа, нуль и те положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму классу отнесем все те рациональные положительные числа, квадрат которых больше двух. Так как не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, то все рациональные числа окажутся распределенными, и мы будем иметь некоторое сечение. Покажем, что в первом классе нет наибольшего числа.
Для этого достаточно показать, что если число a принадлежит первому классу, то есть числа, большие a, также принадлежащие первому классу.
Если a отрицательно или нуль, то это очевидно положим, что a > 0 По условию составления первого класса a
2
< 2 . Введем положительное рациональное число r = 2 − и покажем, что можно определить настолько малое положительное рациональное число x, чтобы (a + также принадлежало первому классу, те. чтобы имелось неравенство − (a + x)
2
> или r − 2ax − x
2
> те. дело сводится к нахождению такого положительного рационального числа, которое удовлетворяет неравенству x
2
+ 2ax < r. Считая x < имеем x
2
< x, и, следовательно, x
2
+ 2ax < x + 2ax = (2a + 1)x, те. нам
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[40
достаточно удовлетворить неравенству (2a + 1)x < r, таким образом, x определяется из двух неравенств x < и x <
r
2a + Очевидно, можно найти сколько угодно таких положительных рациональных, которые удовлетворяют обоим этим неравенствам. Совершенно также можно показать, что во втором классе построенного сечения нет наименьшего числа. Итак, мы построили пример сечения второго рода. Основным моментом теории является следующее соглашение мы считаем, что всякое сечение второго рода определяет некоторый новый объект — иррациональное число. Разные сечения второго рода определяют разные иррациональные числа. Нетрудно догадаться, что построенный выше пример сечения второго рода определяет то иррациональное число, которое мы обычно обозначаем
√
2.
Можно расставить теперь все введенные таким образом иррациональные числа вместе с прежними рациональными в порядке возрастания, который интуитивно изображается для нас точками направленной оси Если α есть некоторое иррациональное число, то мы обозначим через (α) и II (α) первый и второй классы того сечения, которое определяет иррациональное число α. Мы считаем число α большим, чем любое число из I (α), и меньшим, чем любое число из II (α). Таким образом, любое иррациональное число сравнивается с любым рациональным. Остается определить понятия больше и меньше для любых двух различных иррациональных чисел α и β. Поскольку α и β различны, классы I (α) и I (не совпадают, и один из классов заключается в другом. Положим, что (α) заключается в I (β), те. всякое число из I (α) принадлежит I (β), но есть числа из I (β), принадлежащие II (α). При этом мы по определению считаем α < β. Таким образом, совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, те, иначе говоря, совокупность всех вещественных чисел расположена в порядке. При этом, пользуясь данными выше определениями, нетрудно показать, что если a, b и c — вещественные числа a < b и b < c, то a < Отметим прежде всего одно элементарное следствие из указанных определений. Пусть α — некоторое иррациональное число. Поскольку в классе I (α) нет наибольшего, а в классе II (α) нет наименьшего числа,
то непосредственно очевидно, что между α и любым рациональным числом можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Пусть теперь < β — два различных иррациональных числа. Часть рациональных чисел из I (β) входит в II (α), и отсюда непосредственно следует, что между и β также можно вставить сколько угодно рациональных чисел
40]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
115
т. е. вообще, между двумя различными вещественными числами можно вставить сколько угодно рациональных чисел.
Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы теории иррациональных чисел. Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и произведем в ней какое-нибудь сечение, те. распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I итак, чтобы любое число из I было меньше любого числа из. Докажем, что при этом обязательно или в классе I будет наибольшее число, или в классе II будет наименьшее число (одно исключает другое, как и выше для сечения в области рациональных чисел. Для этого обозначим через совокупность всех рациональных чисел из I и через совокупность всех рациональных чисел из II. Классы (I
′
, II
′
) определяют некоторое сечение в области рациональных чисел, и это сечение определит вещественное число α (рациональное или иррациональное).
Положим для определенности, что это число α принадлежит классу при упомянутом выше распределении всех вещественных чисел на два класса. Покажем, что α должно быть наибольшим числом из класса Действительно, если бы это было не так, то существовало бы в классе вещественное число β, большее α. Возьмем некоторое рациональное число, лежащее между α и β, те. Оно должно принадлежать классу I и, следовательно, классу Таким образом, в первом классе сечения (I
′
, II
′
), определяющего числа, находится число r, большее, чем α. Этого быть не может, и, следовательно, наше предположение, что α не наибольшее число класса неправильно. Совершенно также можно показать, что если α попадает в класс II, то оно должно быть там наименьшим числом.
Итак, мы доказали следующую основную теорему:
О снов на яте орем а. В любом сечении, произведенном в области вещественных чисел, обязательно или первый класс содержит наибольшее число, или второй класс содержит наименьшее число.
Всем рассуждениям настоящего номера легко придать простой геометрический смысл. Сначала мы рассматриваем на оси OX только точки с рациональными абсциссами. Сечению в области рациональных чисел соответствует разрез прямой OX на две полупрямые. Если разрез происходит в точке с рациональной абсциссой, то получается сечение первого рода, причем абсцисса той точки, в которой происходит разрез, причисляется сама или к первому или ко второму классу. Если же разрез производится в точке, которой не соответствует рациональная абсцисса, то получается сечение второго рода, определяющее иррациональное число,
которое и принимается за абсциссу той точки, в которой произведен раз
[40
достаточно удовлетворить неравенству (2a + 1)x < r, таким образом, x определяется из двух неравенств x < и x <
r
2a + Очевидно, можно найти сколько угодно таких положительных рациональных, которые удовлетворяют обоим этим неравенствам. Совершенно также можно показать, что во втором классе построенного сечения нет наименьшего числа. Итак, мы построили пример сечения второго рода. Основным моментом теории является следующее соглашение мы считаем, что всякое сечение второго рода определяет некоторый новый объект — иррациональное число. Разные сечения второго рода определяют разные иррациональные числа. Нетрудно догадаться, что построенный выше пример сечения второго рода определяет то иррациональное число, которое мы обычно обозначаем
√
2.
Можно расставить теперь все введенные таким образом иррациональные числа вместе с прежними рациональными в порядке возрастания, который интуитивно изображается для нас точками направленной оси Если α есть некоторое иррациональное число, то мы обозначим через (α) и II (α) первый и второй классы того сечения, которое определяет иррациональное число α. Мы считаем число α большим, чем любое число из I (α), и меньшим, чем любое число из II (α). Таким образом, любое иррациональное число сравнивается с любым рациональным. Остается определить понятия больше и меньше для любых двух различных иррациональных чисел α и β. Поскольку α и β различны, классы I (α) и I (не совпадают, и один из классов заключается в другом. Положим, что (α) заключается в I (β), те. всякое число из I (α) принадлежит I (β), но есть числа из I (β), принадлежащие II (α). При этом мы по определению считаем α < β. Таким образом, совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, те, иначе говоря, совокупность всех вещественных чисел расположена в порядке. При этом, пользуясь данными выше определениями, нетрудно показать, что если a, b и c — вещественные числа a < b и b < c, то a < Отметим прежде всего одно элементарное следствие из указанных определений. Пусть α — некоторое иррациональное число. Поскольку в классе I (α) нет наибольшего, а в классе II (α) нет наименьшего числа,
то непосредственно очевидно, что между α и любым рациональным числом можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Пусть теперь < β — два различных иррациональных числа. Часть рациональных чисел из I (β) входит в II (α), и отсюда непосредственно следует, что между и β также можно вставить сколько угодно рациональных чисел
40]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
115
т. е. вообще, между двумя различными вещественными числами можно вставить сколько угодно рациональных чисел.
Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы теории иррациональных чисел. Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и произведем в ней какое-нибудь сечение, те. распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I итак, чтобы любое число из I было меньше любого числа из. Докажем, что при этом обязательно или в классе I будет наибольшее число, или в классе II будет наименьшее число (одно исключает другое, как и выше для сечения в области рациональных чисел. Для этого обозначим через совокупность всех рациональных чисел из I и через совокупность всех рациональных чисел из II. Классы (I
′
, II
′
) определяют некоторое сечение в области рациональных чисел, и это сечение определит вещественное число α (рациональное или иррациональное).
Положим для определенности, что это число α принадлежит классу при упомянутом выше распределении всех вещественных чисел на два класса. Покажем, что α должно быть наибольшим числом из класса Действительно, если бы это было не так, то существовало бы в классе вещественное число β, большее α. Возьмем некоторое рациональное число, лежащее между α и β, те. Оно должно принадлежать классу I и, следовательно, классу Таким образом, в первом классе сечения (I
′
, II
′
), определяющего числа, находится число r, большее, чем α. Этого быть не может, и, следовательно, наше предположение, что α не наибольшее число класса неправильно. Совершенно также можно показать, что если α попадает в класс II, то оно должно быть там наименьшим числом.
Итак, мы доказали следующую основную теорему:
О снов на яте орем а. В любом сечении, произведенном в области вещественных чисел, обязательно или первый класс содержит наибольшее число, или второй класс содержит наименьшее число.
Всем рассуждениям настоящего номера легко придать простой геометрический смысл. Сначала мы рассматриваем на оси OX только точки с рациональными абсциссами. Сечению в области рациональных чисел соответствует разрез прямой OX на две полупрямые. Если разрез происходит в точке с рациональной абсциссой, то получается сечение первого рода, причем абсцисса той точки, в которой происходит разрез, причисляется сама или к первому или ко второму классу. Если же разрез производится в точке, которой не соответствует рациональная абсцисса, то получается сечение второго рода, определяющее иррациональное число,
которое и принимается за абсциссу той точки, в которой произведен раз
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[41
рез. После заполнения таких пустых точек иррациональными абсциссами всякое рассечение прямой происходит уже в точке с некоторой вещественной абсциссой. Все это является лишь геометрической иллюстрацией и не имеет доказательной силы. Нетрудно, пользуясь данным определением иррационального числа α, образовать бесконечную десятичную дробь, соответствующую этому числу [2]. Всякий конечный отрезок этой дроби должен принадлежать I (α), но если мы увеличим на единицу последнюю цифру этого отрезка, то соответствующее рациональное число должно находиться в II (α).
41. Действия над вещественными числами.
Теория иррациональных чисел, кроме данных выше определений и основной теоремы,
содержит еще определение действий над иррациональными числами и исследование свойств этих действий. При определении действий мы будем руководствоваться сечениями в области рациональных чисел, и, поскольку эти сечения определяют не только иррациональные, но и рациональные числа (сечения первого рода, определение действий будет годиться вообще для всех вещественных чисел, причем для рациональных чисел они будут совпадать с известными. При изложении настоящего номера мы ограничимся только общими указаниями.
Сделаем предварительно одно замечание. Пусть α — некоторое вещественное число. Возьмем какое-нибудь (малое) рациональное положительное число r, затем рациональное a из I (α) и составим арифметическую прогрессию a, a + r, a + 2r, . . . , a + nr, . . При больших n числа (a+nr) попадут в II(α), и, следовательно, будет существовать такое целое положительное k, что [a+(k−1)r] принадлежит) и (a + kr) принадлежит II(α), т. е.:
Замечание: В любом сечении рациональных чисел существуют враз- ных классах числа, отличающиеся на любое заданное положительное рациональное число r, как бы мало оно ни было.
Перейдем теперь к определению сложения. Пусть α и β — два вещественных числа. Пусть a — любое число из I (α), a
′
— из II (α), b — из (β) и b
′
— из II (β). Составим всевозможные суммы (a + b) и (a
′
+ Во всяком случае имеем a + b < a
′
+ b
′
. Составим новое сечение рациональных чисел, относя ко второму классу все рациональные числа,
б´
ольшие всех (a + b), и относя к первому классу все остальные рациональные числа. При этом любое число первого класса меньше любого числа, второго класса, все числа (a + b) отходят в первый класс и все
41]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
117
числа (a
′
+ b
′
) во второй класс. Составленное новое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем суммой (α + Это число, очевидно, больше или равно всеми меньше или равно всем (a
′
+ b
′
). Принимая во внимание, что, в силу сделанного выше замечания, числа a и a
′
, а также b и могут отличаться друг от друга на любое малое положительное рациональное число, нетрудно показать,
что может существовать только одно число, удовлетворяющее указанным выше неравенствам. Непосредственно проверяется, что сложение удовлетворяет обычным законам, известным для рациональных чисел + β = β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ), α + 0 = Например, чтобы получить (β +α), нам надо будет составлять вместо сумм (a + b) и (a
′
+ b
′
) суммы (b + a) и (b
′
+ a
′
), но эти суммы совпадают с прежними, так как переместительный закон сложения для рациональных чисел известен.
Пусть α — некоторое вещественное число. Определим число (−α) следующим сечением в первый класс относим все рациональные числа из класса II(α) с измененным знакома во второй класс — все числа из I(α) с измененным знаком. Таким образом, получится действительно сечение в области рациональных чисел, и для числа (−α) как нетрудно проверить,
имеем
−(−α) = α,
α + (−α) = Нетрудно видеть, что если α > 0, то (−α) < 0, и наоборот. Назовем абсолютным значением числа α, отличного от нуля, то из двух чисел и (−α), которое больше нуля. Обозначим, как и раньше, абсолютное значение числа α символом Переходим теперь к умножению. Пусть α и β — два положительных вещественных числа, те и β. Пусть a — любое положительное число из I (α), b — любое положительное число из I (β), и b
[41
рез. После заполнения таких пустых точек иррациональными абсциссами всякое рассечение прямой происходит уже в точке с некоторой вещественной абсциссой. Все это является лишь геометрической иллюстрацией и не имеет доказательной силы. Нетрудно, пользуясь данным определением иррационального числа α, образовать бесконечную десятичную дробь, соответствующую этому числу [2]. Всякий конечный отрезок этой дроби должен принадлежать I (α), но если мы увеличим на единицу последнюю цифру этого отрезка, то соответствующее рациональное число должно находиться в II (α).
41. Действия над вещественными числами.
Теория иррациональных чисел, кроме данных выше определений и основной теоремы,
содержит еще определение действий над иррациональными числами и исследование свойств этих действий. При определении действий мы будем руководствоваться сечениями в области рациональных чисел, и, поскольку эти сечения определяют не только иррациональные, но и рациональные числа (сечения первого рода, определение действий будет годиться вообще для всех вещественных чисел, причем для рациональных чисел они будут совпадать с известными. При изложении настоящего номера мы ограничимся только общими указаниями.
Сделаем предварительно одно замечание. Пусть α — некоторое вещественное число. Возьмем какое-нибудь (малое) рациональное положительное число r, затем рациональное a из I (α) и составим арифметическую прогрессию a, a + r, a + 2r, . . . , a + nr, . . При больших n числа (a+nr) попадут в II(α), и, следовательно, будет существовать такое целое положительное k, что [a+(k−1)r] принадлежит) и (a + kr) принадлежит II(α), т. е.:
Замечание: В любом сечении рациональных чисел существуют враз- ных классах числа, отличающиеся на любое заданное положительное рациональное число r, как бы мало оно ни было.
Перейдем теперь к определению сложения. Пусть α и β — два вещественных числа. Пусть a — любое число из I (α), a
′
— из II (α), b — из (β) и b
′
— из II (β). Составим всевозможные суммы (a + b) и (a
′
+ Во всяком случае имеем a + b < a
′
+ b
′
. Составим новое сечение рациональных чисел, относя ко второму классу все рациональные числа,
б´
ольшие всех (a + b), и относя к первому классу все остальные рациональные числа. При этом любое число первого класса меньше любого числа, второго класса, все числа (a + b) отходят в первый класс и все
41]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
117
числа (a
′
+ b
′
) во второй класс. Составленное новое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем суммой (α + Это число, очевидно, больше или равно всеми меньше или равно всем (a
′
+ b
′
). Принимая во внимание, что, в силу сделанного выше замечания, числа a и a
′
, а также b и могут отличаться друг от друга на любое малое положительное рациональное число, нетрудно показать,
что может существовать только одно число, удовлетворяющее указанным выше неравенствам. Непосредственно проверяется, что сложение удовлетворяет обычным законам, известным для рациональных чисел + β = β + α, (α + β) + γ = α + (β + γ), α + 0 = Например, чтобы получить (β +α), нам надо будет составлять вместо сумм (a + b) и (a
′
+ b
′
) суммы (b + a) и (b
′
+ a
′
), но эти суммы совпадают с прежними, так как переместительный закон сложения для рациональных чисел известен.
Пусть α — некоторое вещественное число. Определим число (−α) следующим сечением в первый класс относим все рациональные числа из класса II(α) с измененным знакома во второй класс — все числа из I(α) с измененным знаком. Таким образом, получится действительно сечение в области рациональных чисел, и для числа (−α) как нетрудно проверить,
имеем
−(−α) = α,
α + (−α) = Нетрудно видеть, что если α > 0, то (−α) < 0, и наоборот. Назовем абсолютным значением числа α, отличного от нуля, то из двух чисел и (−α), которое больше нуля. Обозначим, как и раньше, абсолютное значение числа α символом Переходим теперь к умножению. Пусть α и β — два положительных вещественных числа, те и β. Пусть a — любое положительное число из I (α), b — любое положительное число из I (β), и b
1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 43
′
— любые числа из II (α) и II (β) (они уже обязательно положительны. Составляем новое сечение, относя, ко второму классу все рациональные числа,
б´
ольшие всех произведений ab, и к первому классу — остальные рациональные числа. Все ab попадут в первый класс и все a
′
b
′
— во второй классовое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем произведением αβ. Это число больше или равно всеми не превосходит всех a
′
b
′
, и только одно это вещественное число удовлетворяет этим неравенствам.
Если одно из чисел α, β или оба — отрицательны, то мы приводим умножение к предыдущему случаю, вводя в определение умножения
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[41
обычное правило знаков, темы полагаем αβ = ±|α||β|, причем берем знак (+), если числа α и β оба меньше нуля, и берем знак (−), если одно из чисел больше нуля, а другое меньше нуля.
При умножении на нуль принимаем определение, что α · 0 = 0 · α = Непосредственно проверяются основные законы умножения = βα, (αβ)γ = α(βγ), a(β + γ) = αβ + и произведение нескольких сомножителей может равняться нулю в томи только в том случае, если хоть один из сомножителей равен нулю.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению, те равносильно x + β = α. Добавляя к обеим частям этого равенства, получим, в силу упомянутых выше свойств сложения x = те. разность должна обязательно определяться по этой формуле, идей- ствие вычитания сводится к сложению. Остается проверить, что полученное выражение для x действительно удовлетворяет условию x + β = но это непосредственно вытекает из свойств сложения. Отметим справедливость обычного свойства неравенство α > β равносильно α − β > Прежде чем переходить к делению, определим число, обратное данному.
Если a есть рациональное число, отличное от нуля, то обратным называют число. Пусть α — вещественное число, отличное от нуля. Пусть сначала α > 0, и пусть a
′
— любое число из II (α) (оно — рационально и положительно. Определим число, обратное α, следующим сечением:
к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и числа
1
a
′
,
а ко второму классу — остальные числа. Пусть некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения. Это значит,
что c
1
=
1
a
′
1
, где a
′
1
— из II (α). Возьмем любое положительное рациональное число c
2
< c
1
. Его можно представить в виде c
2
=
1
a
′
2
, где рационально и a
′
2
> a
′
1
, те. также принадлежит II (α). Иначе говоря, если некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения, то всякое меньшее рациональное положительное число также принадлежит этому первому классу. Туда же входят по условию все отрицательные числа и нуль. Отсюда видно, что сечение, определяющее число, обратное α, произведено нами с соблюдением того основного условия, что любое число второго класса больше любого числа первого класса. Это число, обратное α, обозначим символом
1
α
Если α < 0, то мы определим обратное число формулой Пользуясь определением умножения, получим α ·
1
α
= Переходим теперь к делению. Это есть действие, обратное умножению, те равносильно xβ = α, и, как при вычитании, нетрудно
42]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
119
показать, что если β 6= 0, то получается единственное частное x = α и, таким образом, деление сводится к умножению. Деление на нуль невоз- можно.
Возведение в целую положительную степень сводится к умножению.
Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень. Пусть α — вещественное положительное число и n — некоторое целое, большее единицы. Произведем следующее сечение рациональных чисел к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и все положительные числа, е степени которых меньше α, а ко второму классу остальные числа. Пользуясь определением умножения, нетрудно показать, что положительное число β, определяемое этим сечением, удовлетворяет условию β
n
= α, те является арифметическим значением корня Если n — четное, то вторым значением будет (−β). Аналогично определяется корень нечетной степени из вещественного отрицательного числа (один ответ. Более подробно о показательной функции будет сказано потом. Отметим еще следующий важный результат раз справедливы основные законы действий, тотем самым будут справедливы и все правила и тождества алгебры, если под буквами разуметь вещественные числа. Точные границы числовых множеств.
Признаки существования предела. Докажем теперь теорему о точных границах множества вещественных чисел, которую мы формулировали в Теорем а.
Если множество E вещественных чисел ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю границу, и если E ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.
Ограничимся доказательством первой части теоремы. По условию все числа из E меньше некоторого числа M . Произведем сечение вещественных чисел следующим образом ко второму классу отнесем все числа,
большие всех чисел из E, а к первому — остальные вещественные числа.
Во второй класс попадут, например, все числа (M + p), где p > 0, а в первый класс попадут, например, все числа из E. Пусть β — вещественное число, определенное произведенным сечением. По основной теореме оно будет наибольшим в первом классе или наименьшим во втором.
Покажем, что β и есть точная верхняя граница E. Во-первых, среди нет чисел, больших β, ибо, все числа E попали в первый класс. Далее,
наверно существуют числа E, большие (β − ǫ) при любом ε > 0, ибо если бы таких чисел не было, то число было бы больше всех чисел и должно было бы попасть во второй класса в действительности оно
43]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
121
Покажем, что это условие достаточно, те. что при выполнении этого условия последовательность (27) имеет предел. Из наших прежних рассуждений [31] вытекает, что если условие выполнено, то можно построить последовательность промежутков, b
1
), (a
2
, b
2
), . . . , (a k
, b k
), . . со следующими свойствами каждый следующий заключается в предыдущем, длины (b k
−a k
) стремятся к нулю и всякому интервалу (a k
, b k
) соответствует такое целое положительное число N
k
, что все x при s > N
k принадлежат (a k
, b k
). Эти интервалы (a k
, b k
) суть отрезки A
′
k
A
k из По доказанной выше теореме имеется общий предел k→∞
a k
= lim k→∞
b k
= Покажем, что a и есть предел последовательности (27). Пусть задано положительное число ε. В силу (29) существует такое целое положительное, что промежуток (a l
, b l
) и все следующие промежутки лежат внутри промежутка (a − ǫ, a + Отсюда следует, что и все числа x при s > N
l принадлежат этому же промежутку, те при s > N
l
. Ввиду произвольности ε мы видим, что a есть предел последовательности (27), и достаточность условия) доказана. Необходимость этого условия была доказана нами раньше [31]. Доказательство остается в силе и для не пронумерованной переменной. Свойства непрерывных функций.
Переходя к доказательству формулированных раньше [35] свойств непрерывных функций, начнем с доказательства вспомогательной теоремы.
Т е орем а I. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и задано какое-нибудь положительное число ε, то этот промежуток можно таким образом разбить наконечное число новых промежутков, что) − f(x
1
)| < ε, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку.
Будем доказывать от обратного. Предположим, что теорема несправедлива и придем к нелепости. Итак, пусть невозможно разбить (a, на части указанным образом. Делим наш промежуток средней точкой на два промежутка:
a,
a+b
2
и
a+b
2
, b
. Если бы теорема была справедлива для каждого из этих двух промежутков, то она, очевидно, была бы справедлива и для всего промежутка (a, b). Итак, мы должны считать, что по крайней мере один из двух полученных промежутков нельзя
[41
обычное правило знаков, темы полагаем αβ = ±|α||β|, причем берем знак (+), если числа α и β оба меньше нуля, и берем знак (−), если одно из чисел больше нуля, а другое меньше нуля.
При умножении на нуль принимаем определение, что α · 0 = 0 · α = Непосредственно проверяются основные законы умножения = βα, (αβ)γ = α(βγ), a(β + γ) = αβ + и произведение нескольких сомножителей может равняться нулю в томи только в том случае, если хоть один из сомножителей равен нулю.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению, те равносильно x + β = α. Добавляя к обеим частям этого равенства, получим, в силу упомянутых выше свойств сложения x = те. разность должна обязательно определяться по этой формуле, идей- ствие вычитания сводится к сложению. Остается проверить, что полученное выражение для x действительно удовлетворяет условию x + β = но это непосредственно вытекает из свойств сложения. Отметим справедливость обычного свойства неравенство α > β равносильно α − β > Прежде чем переходить к делению, определим число, обратное данному.
Если a есть рациональное число, отличное от нуля, то обратным называют число. Пусть α — вещественное число, отличное от нуля. Пусть сначала α > 0, и пусть a
′
— любое число из II (α) (оно — рационально и положительно. Определим число, обратное α, следующим сечением:
к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и числа
1
a
′
,
а ко второму классу — остальные числа. Пусть некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения. Это значит,
что c
1
=
1
a
′
1
, где a
′
1
— из II (α). Возьмем любое положительное рациональное число c
2
< c
1
. Его можно представить в виде c
2
=
1
a
′
2
, где рационально и a
′
2
> a
′
1
, те. также принадлежит II (α). Иначе говоря, если некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения, то всякое меньшее рациональное положительное число также принадлежит этому первому классу. Туда же входят по условию все отрицательные числа и нуль. Отсюда видно, что сечение, определяющее число, обратное α, произведено нами с соблюдением того основного условия, что любое число второго класса больше любого числа первого класса. Это число, обратное α, обозначим символом
1
α
Если α < 0, то мы определим обратное число формулой Пользуясь определением умножения, получим α ·
1
α
= Переходим теперь к делению. Это есть действие, обратное умножению, те равносильно xβ = α, и, как при вычитании, нетрудно
42]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
119
показать, что если β 6= 0, то получается единственное частное x = α и, таким образом, деление сводится к умножению. Деление на нуль невоз- можно.
Возведение в целую положительную степень сводится к умножению.
Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень. Пусть α — вещественное положительное число и n — некоторое целое, большее единицы. Произведем следующее сечение рациональных чисел к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и все положительные числа, е степени которых меньше α, а ко второму классу остальные числа. Пользуясь определением умножения, нетрудно показать, что положительное число β, определяемое этим сечением, удовлетворяет условию β
n
= α, те является арифметическим значением корня Если n — четное, то вторым значением будет (−β). Аналогично определяется корень нечетной степени из вещественного отрицательного числа (один ответ. Более подробно о показательной функции будет сказано потом. Отметим еще следующий важный результат раз справедливы основные законы действий, тотем самым будут справедливы и все правила и тождества алгебры, если под буквами разуметь вещественные числа. Точные границы числовых множеств.
Признаки существования предела. Докажем теперь теорему о точных границах множества вещественных чисел, которую мы формулировали в Теорем а.
Если множество E вещественных чисел ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю границу, и если E ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.
Ограничимся доказательством первой части теоремы. По условию все числа из E меньше некоторого числа M . Произведем сечение вещественных чисел следующим образом ко второму классу отнесем все числа,
большие всех чисел из E, а к первому — остальные вещественные числа.
Во второй класс попадут, например, все числа (M + p), где p > 0, а в первый класс попадут, например, все числа из E. Пусть β — вещественное число, определенное произведенным сечением. По основной теореме оно будет наибольшим в первом классе или наименьшим во втором.
Покажем, что β и есть точная верхняя граница E. Во-первых, среди нет чисел, больших β, ибо, все числа E попали в первый класс. Далее,
наверно существуют числа E, большие (β − ǫ) при любом ε > 0, ибо если бы таких чисел не было, то число было бы больше всех чисел и должно было бы попасть во второй класса в действительности оно
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[42
меньше β и находится в первом классе. Теорема, таким образом, доказана. Очевидно, что если β принадлежит E, то оно будет наибольшим из чисел Докажем теперь существование предела у монотонной ограниченной переменной [30]. Итак, пусть переменная x все время возрастает или,
по крайней мере, не убывает, те. всякое ее значение не меньше любого предыдущего. Пусть, корме того, x ограничено, те. существует такое число M , что все значения x меньше M . Рассмотрим совокупность всех значений x. По доказанной теореме существует точная верхняя граница для этой совокупности. Покажем, что β и есть предел x. Пусть — произвольное положительное число. По определению точной верхней границы найдется значение x, большее (β − ǫ). Тогда, в силу монотонности, и все последующие значения x будут больше (β − ε), нос другой стороны, они не могут быть больше β, ив силу произвольности ε, мы видим, что β = lim x. Точно также можно разобрать и случай убывающей переменной.
Прежде чем переходить к доказательству признака Коши [31], докажем одну теорему, которой мы будем пользоваться.
Т е орем а. Пусть имеется последовательность конечных проме- жyков
(a
1
, b
1
), (a
2
, b
2
), . . . , (a n
, b n
), . . причем каждый следующий промежуток заключается в предыдущем,
т. е. a n+1
>
a n
, и b n+1 6
b n
, и пусть длины этих промежутков стремятся к нулю, те. При этом концы промежутков a и b
n стремятся к общему пределу при возрастании По условию теоремы мы имеем a
1 6
a
2 6
. . . и, кроме того n
< при любом n. Таким образом, последовательность a
1
, a
2
, . . будет монотонной и ограниченной, а потому будет иметь предел a n
→ Из условия (b n
− a n
) → 0 вытекает b n
= a n
+ ε
n
, где ε
n
→ 0, и, следовательно имеет предел, также равный Перейдем теперь к доказательству признака Коши. Ограничимся случаем переменной, значения которой можно пронумеровать, x
2
, . . . , x n
, . . Надо доказать, что необходимое и достаточное условие существования предела последовательности (27) заключается в следующем для любого заданного положительного ε существует такой значок N , что m
− x n
| < ε при m и n > N.
(28)
[42
меньше β и находится в первом классе. Теорема, таким образом, доказана. Очевидно, что если β принадлежит E, то оно будет наибольшим из чисел Докажем теперь существование предела у монотонной ограниченной переменной [30]. Итак, пусть переменная x все время возрастает или,
по крайней мере, не убывает, те. всякое ее значение не меньше любого предыдущего. Пусть, корме того, x ограничено, те. существует такое число M , что все значения x меньше M . Рассмотрим совокупность всех значений x. По доказанной теореме существует точная верхняя граница для этой совокупности. Покажем, что β и есть предел x. Пусть — произвольное положительное число. По определению точной верхней границы найдется значение x, большее (β − ǫ). Тогда, в силу монотонности, и все последующие значения x будут больше (β − ε), нос другой стороны, они не могут быть больше β, ив силу произвольности ε, мы видим, что β = lim x. Точно также можно разобрать и случай убывающей переменной.
Прежде чем переходить к доказательству признака Коши [31], докажем одну теорему, которой мы будем пользоваться.
Т е орем а. Пусть имеется последовательность конечных проме- жyков
(a
1
, b
1
), (a
2
, b
2
), . . . , (a n
, b n
), . . причем каждый следующий промежуток заключается в предыдущем,
т. е. a n+1
>
a n
, и b n+1 6
b n
, и пусть длины этих промежутков стремятся к нулю, те. При этом концы промежутков a и b
n стремятся к общему пределу при возрастании По условию теоремы мы имеем a
1 6
a
2 6
. . . и, кроме того n
< при любом n. Таким образом, последовательность a
1
, a
2
, . . будет монотонной и ограниченной, а потому будет иметь предел a n
→ Из условия (b n
− a n
) → 0 вытекает b n
= a n
+ ε
n
, где ε
n
→ 0, и, следовательно имеет предел, также равный Перейдем теперь к доказательству признака Коши. Ограничимся случаем переменной, значения которой можно пронумеровать, x
2
, . . . , x n
, . . Надо доказать, что необходимое и достаточное условие существования предела последовательности (27) заключается в следующем для любого заданного положительного ε существует такой значок N , что m
− x n
| < ε при m и n > N.
(28)
43]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
121
Покажем, что это условие достаточно, те. что при выполнении этого условия последовательность (27) имеет предел. Из наших прежних рассуждений [31] вытекает, что если условие выполнено, то можно построить последовательность промежутков, b
1
), (a
2
, b
2
), . . . , (a k
, b k
), . . со следующими свойствами каждый следующий заключается в предыдущем, длины (b k
−a k
) стремятся к нулю и всякому интервалу (a k
, b k
) соответствует такое целое положительное число N
k
, что все x при s > N
k принадлежат (a k
, b k
). Эти интервалы (a k
, b k
) суть отрезки A
′
k
A
k из По доказанной выше теореме имеется общий предел k→∞
a k
= lim k→∞
b k
= Покажем, что a и есть предел последовательности (27). Пусть задано положительное число ε. В силу (29) существует такое целое положительное, что промежуток (a l
, b l
) и все следующие промежутки лежат внутри промежутка (a − ǫ, a + Отсюда следует, что и все числа x при s > N
l принадлежат этому же промежутку, те при s > N
l
. Ввиду произвольности ε мы видим, что a есть предел последовательности (27), и достаточность условия) доказана. Необходимость этого условия была доказана нами раньше [31]. Доказательство остается в силе и для не пронумерованной переменной. Свойства непрерывных функций.
Переходя к доказательству формулированных раньше [35] свойств непрерывных функций, начнем с доказательства вспомогательной теоремы.
Т е орем а I. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и задано какое-нибудь положительное число ε, то этот промежуток можно таким образом разбить наконечное число новых промежутков, что) − f(x
1
)| < ε, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку.
Будем доказывать от обратного. Предположим, что теорема несправедлива и придем к нелепости. Итак, пусть невозможно разбить (a, на части указанным образом. Делим наш промежуток средней точкой на два промежутка:
a,
a+b
2
и
a+b
2
, b
. Если бы теорема была справедлива для каждого из этих двух промежутков, то она, очевидно, была бы справедлива и для всего промежутка (a, b). Итак, мы должны считать, что по крайней мере один из двух полученных промежутков нельзя
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[43
разбить на части указанным в теореме образом. Берем ту половину промежутка, для которой теорема не выполняется, и делим его опять на две равные части. Как и выше, по крайней мере для одной из новых половинок теорема не выполняется. Берем эту половинку, делим ее опять пополам и т. д. Таким образом, мы получаем последовательность промежутков. из которых каждый следующий есть половина предыдущего, так что длина (b n
− a n
), равная b−a
2
n
, стремится к нулю при возрастании Кроме того, для всякого промежутка (a n
, b n
) теорема не выполняется,
т. е. нельзя никакой (a n
, b n
) разбить на новые промежутки так, чтобы) − f(x
1
)| < ε, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Покажем, что это нелепо.
По теореме из [42] a и b имеют общий предел a n
= lim b n
= причем этот предел, как и все числа a и b n
, принадлежит промежутку. Положим сначала, что α — внутри (a, b). По условию, f (непрерывна при x = α, и, следовательно [34], при заданном в теореме существует такое η, что для всех x из промежутка (α − η, α + η) выполняется неравенство) − f(x)| Если и x
2
— два любых значения из промежутка (α − η, α + η), то мы имеем f (x
2
) − f(x
1
) = f (x
2
) − f(α) + f(α) − откуда) − f(x
1
)| 6 |f(x
2
) − f(α)| + |f(α) − ив силу (31),
|f(x
2
) − f(x
1
)| те для любых и из промежутка (α − η, α + η). Нов силу (будет существовать промежуток (a l
, b l
) принадлежащий промежутку, α+η). Поэтому неравенство (32) и подавно будет выполняться для любых и из этого промежутка (a l
, b l
), те. для промежутка (a l
, b теорема выполняется даже без всякого его подразделения на части. Это противоречит тому, что, как мы видели выше, для всякого промежутка
43]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции n
, b n
) теорема не выполняется. Таким образом, теорема доказана, если — внутри промежутка (a, b). Если α совпадает, например, с левым концом промежутка, те, то доказательство будет таким же, но вместо промежутка (α−η, α+η) надо будет взять промежуток (α, Перейдем теперь к доказательству третьего свойства из Теорема. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то она равномерно непрерывна в этом промежутке, те. при любом заданном положительном ε существует такое положительное η, что) − f(x
′
)| < ε для любых значений и из (a, b), удовлетворяющих неравенству |x
′′
− x
′
| < В силу теоремы I мы можем подразделить (a, b) наконечное число новых промежутков так, чтобы |f(x
2
) − f(x
1
)| <
ε
2
, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Пусть η — длина самого короткого из новых промежутков. Покажем, что именно при этом числе η наша теорема выполняется. Действительно, если и x
′′
— два значения из (a, b) удовлетворяющих неравенству |x
′′
− x
′
| < η, то или и принадлежат одному и тому же новому промежутку, или они находятся в двух прилегающих друг к другу новых промежутках. В первом случае, по построению новых промежутков, имеем |f(x
′′
) − f(x
′
)| а потому и подавно |f(x
′′
) − f(x
′
)| < ε. Переходя ко второму случаю,
обозначим через γ точку, в которой соприкасаются те два прилегающих друг к другу промежутка, к которым принадлежат и x
′′
. В данном случае мы можем написать f (x
′′
) − f(x
′
) = f (x
′′
) − f(γ) + f(γ) − те Но) − f(γ)| итак как точки и γ, а также γ и находятся водном и том же новом промежутке. Неравенства (33) и (34) дают нами теорема доказана.
Теорема I приводит нас также к такому следствию:
С лед ст в и е. Функция, непрерывная в промежутке (a, b), ограничена сверху и снизу, те. просто ограничена в этом промежутке.
Иными словами, существует такое число M , что для всех значений x из (a, b) выполняется неравенство |f(x)| < M. Действительно, возьмем некоторое определенное ε
0
> 0, и пусть n
0
— число тех новых промежутков, на которые надо разбить (a, b), чтобы удовлетворить теореме I при
[43
разбить на части указанным в теореме образом. Берем ту половину промежутка, для которой теорема не выполняется, и делим его опять на две равные части. Как и выше, по крайней мере для одной из новых половинок теорема не выполняется. Берем эту половинку, делим ее опять пополам и т. д. Таким образом, мы получаем последовательность промежутков. из которых каждый следующий есть половина предыдущего, так что длина (b n
− a n
), равная b−a
2
n
, стремится к нулю при возрастании Кроме того, для всякого промежутка (a n
, b n
) теорема не выполняется,
т. е. нельзя никакой (a n
, b n
) разбить на новые промежутки так, чтобы) − f(x
1
)| < ε, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Покажем, что это нелепо.
По теореме из [42] a и b имеют общий предел a n
= lim b n
= причем этот предел, как и все числа a и b n
, принадлежит промежутку. Положим сначала, что α — внутри (a, b). По условию, f (непрерывна при x = α, и, следовательно [34], при заданном в теореме существует такое η, что для всех x из промежутка (α − η, α + η) выполняется неравенство) − f(x)| Если и x
2
— два любых значения из промежутка (α − η, α + η), то мы имеем f (x
2
) − f(x
1
) = f (x
2
) − f(α) + f(α) − откуда) − f(x
1
)| 6 |f(x
2
) − f(α)| + |f(α) − ив силу (31),
|f(x
2
) − f(x
1
)| те для любых и из промежутка (α − η, α + η). Нов силу (будет существовать промежуток (a l
, b l
) принадлежащий промежутку, α+η). Поэтому неравенство (32) и подавно будет выполняться для любых и из этого промежутка (a l
, b l
), те. для промежутка (a l
, b теорема выполняется даже без всякого его подразделения на части. Это противоречит тому, что, как мы видели выше, для всякого промежутка
43]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции n
, b n
) теорема не выполняется. Таким образом, теорема доказана, если — внутри промежутка (a, b). Если α совпадает, например, с левым концом промежутка, те, то доказательство будет таким же, но вместо промежутка (α−η, α+η) надо будет взять промежуток (α, Перейдем теперь к доказательству третьего свойства из Теорема. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то она равномерно непрерывна в этом промежутке, те. при любом заданном положительном ε существует такое положительное η, что) − f(x
′
)| < ε для любых значений и из (a, b), удовлетворяющих неравенству |x
′′
− x
′
| < В силу теоремы I мы можем подразделить (a, b) наконечное число новых промежутков так, чтобы |f(x
2
) − f(x
1
)| <
ε
2
, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Пусть η — длина самого короткого из новых промежутков. Покажем, что именно при этом числе η наша теорема выполняется. Действительно, если и x
′′
— два значения из (a, b) удовлетворяющих неравенству |x
′′
− x
′
| < η, то или и принадлежат одному и тому же новому промежутку, или они находятся в двух прилегающих друг к другу новых промежутках. В первом случае, по построению новых промежутков, имеем |f(x
′′
) − f(x
′
)| а потому и подавно |f(x
′′
) − f(x
′
)| < ε. Переходя ко второму случаю,
обозначим через γ точку, в которой соприкасаются те два прилегающих друг к другу промежутка, к которым принадлежат и x
′′
. В данном случае мы можем написать f (x
′′
) − f(x
′
) = f (x
′′
) − f(γ) + f(γ) − те Но) − f(γ)| итак как точки и γ, а также γ и находятся водном и том же новом промежутке. Неравенства (33) и (34) дают нами теорема доказана.
Теорема I приводит нас также к такому следствию:
С лед ст в и е. Функция, непрерывная в промежутке (a, b), ограничена сверху и снизу, те. просто ограничена в этом промежутке.
Иными словами, существует такое число M , что для всех значений x из (a, b) выполняется неравенство |f(x)| < M. Действительно, возьмем некоторое определенное ε
0
> 0, и пусть n
0
— число тех новых промежутков, на которые надо разбить (a, b), чтобы удовлетворить теореме I при
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[43
взятом значении ε = ε
0
. Для любых двух точек, принадлежащих одному и тому же новому промежутку, мы имеем |f(x
2
) − f(x
1
)| < ε
0
. Отсюда непосредственно следует, что для любого x из промежутка (a, b) мы имеем |f(x) − f(a)| < n
0
ε
0
, те. все значения f (x) заключаются между f (a) − и f (a) + Поскольку совокупность всех значений f (x) в промежутке (a, b) ограничена сверху и снизу, она имеет точную верхнюю границу и точную нижнюю границу [42]. Обозначим первую через β, а вторую через Докажем теперь первое свойство из Теорема. Непрерывная в промежутке (a, b) функция достигает в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.
Нам надо доказать, что в промежутке (a, b) существует такое значение, при котором f (x) равно β, и такое значение x, при котором f (равно α. Ограничимся доказательством первого утверждения и будем доказывать от обратного. Положим, что f (x) ни при каком x из (a, b) неравно (следовательно, всегда меньше β). Составим новую функцию) =
1
β
− Поскольку знаменатель не обращается в нуль, новая функция также будет непрерывной в промежутке (a, b) [34]. С другой стороны, из определения точной верхней границы следует, что при произвольном ε > существуют для a 6 x 6 b значения f (x), лежащие между (β − ε) и. При этом 0 < β − f(x) < ε и ϕ(x) >
1
ε
. Поскольку ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, функция ϕ(x) не ограничена сверху, что противоречит указанному выше следствию теоремы Докажем, наконец, второе свойство из [35]. Пусть f (x) непрерывна в, b) и k — некоторое число, лежащее между f (a) и f (b). Для определенности положим, что f (a) < k < f (b). Составим новую функцию) = f (x) − непрерывную в промежутке (a, b). Ее значения на концах промежутка будут (a) = f (a) − k < 0,
F (b) = f (b) − k > те. значения F (x) на концах промежутка — разных знаков. Если мы докажем, что внутри (a, b) есть такое значение x
0
, при котором F (x
0
) = то при этом f (x
0
) − k = 0, те, и второе свойство будет доказано. Итак, достаточно доказать следующую теорему
44]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
125
Т е орем а IV. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), аи) разных знаков, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение x
0
, при котором f (x
0
) = Доказываем от обратного, как и теорему III. Пусть f (x) нигде в промежутке) не обращается в нуль. При этом новая функция) =
1
f (будет также непрерывной в промежутке (a, b) [34]. Пусть задано какое- нибудь ε > 0. В силу теоремы I мы можем расставить внутри промежутка, b) конечное число точек так, что, причисляя к этим точкам еще концы промежутка, мы будем иметь разность значений f (x) в любых двух соседних расставленных точках, по абсолютной величине меньшую, чем. Принимая во внимание, что f (a) и f (b) разных знаков, мы можем утверждать, что найдутся такие две соседние из вышеупомянутых точек
ξ
1
и ξ
2
, в которых f (x) разных знаков. Итак, с одной стороны, f (ξ
1
) и f (ξ
2
) разных знаков и, с другой стороны, |f(ξ
2
) − f(ξ
1
)| < ε. Но если у двух вещественных чисел разных знаков абсолютное значение разности меньше ε, то каждое из этих чисел по абсолютному значению меньше те. например, |f(ξ
1
)| < ε. Но тогда, в силу (35), |ϕ(ξ
1
)| >
1
ε
, и ввиду того, что ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, b) функция ϕ(x) — не ограничена в этом промежутке,
что нелепо. Теорема, таким образом, доказана. Непрерывность элементарных функций.
Мы показали раньше непрерывность многочлена и рациональной функции [34]. Рассмотрим теперь показательную функцию y = a x
(a > причем для определенности будем считать a > 1. Эта функция вполне определена при всех рациональных положительных значениях x. Для отрицательных x она определяется формулой и, кроме того, a
[43
взятом значении ε = ε
0
. Для любых двух точек, принадлежащих одному и тому же новому промежутку, мы имеем |f(x
2
) − f(x
1
)| < ε
0
. Отсюда непосредственно следует, что для любого x из промежутка (a, b) мы имеем |f(x) − f(a)| < n
0
ε
0
, те. все значения f (x) заключаются между f (a) − и f (a) + Поскольку совокупность всех значений f (x) в промежутке (a, b) ограничена сверху и снизу, она имеет точную верхнюю границу и точную нижнюю границу [42]. Обозначим первую через β, а вторую через Докажем теперь первое свойство из Теорема. Непрерывная в промежутке (a, b) функция достигает в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.
Нам надо доказать, что в промежутке (a, b) существует такое значение, при котором f (x) равно β, и такое значение x, при котором f (равно α. Ограничимся доказательством первого утверждения и будем доказывать от обратного. Положим, что f (x) ни при каком x из (a, b) неравно (следовательно, всегда меньше β). Составим новую функцию) =
1
β
− Поскольку знаменатель не обращается в нуль, новая функция также будет непрерывной в промежутке (a, b) [34]. С другой стороны, из определения точной верхней границы следует, что при произвольном ε > существуют для a 6 x 6 b значения f (x), лежащие между (β − ε) и. При этом 0 < β − f(x) < ε и ϕ(x) >
1
ε
. Поскольку ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, функция ϕ(x) не ограничена сверху, что противоречит указанному выше следствию теоремы Докажем, наконец, второе свойство из [35]. Пусть f (x) непрерывна в, b) и k — некоторое число, лежащее между f (a) и f (b). Для определенности положим, что f (a) < k < f (b). Составим новую функцию) = f (x) − непрерывную в промежутке (a, b). Ее значения на концах промежутка будут (a) = f (a) − k < 0,
F (b) = f (b) − k > те. значения F (x) на концах промежутка — разных знаков. Если мы докажем, что внутри (a, b) есть такое значение x
0
, при котором F (x
0
) = то при этом f (x
0
) − k = 0, те, и второе свойство будет доказано. Итак, достаточно доказать следующую теорему
44]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
125
Т е орем а IV. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), аи) разных знаков, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение x
0
, при котором f (x
0
) = Доказываем от обратного, как и теорему III. Пусть f (x) нигде в промежутке) не обращается в нуль. При этом новая функция) =
1
f (будет также непрерывной в промежутке (a, b) [34]. Пусть задано какое- нибудь ε > 0. В силу теоремы I мы можем расставить внутри промежутка, b) конечное число точек так, что, причисляя к этим точкам еще концы промежутка, мы будем иметь разность значений f (x) в любых двух соседних расставленных точках, по абсолютной величине меньшую, чем. Принимая во внимание, что f (a) и f (b) разных знаков, мы можем утверждать, что найдутся такие две соседние из вышеупомянутых точек
ξ
1
и ξ
2
, в которых f (x) разных знаков. Итак, с одной стороны, f (ξ
1
) и f (ξ
2
) разных знаков и, с другой стороны, |f(ξ
2
) − f(ξ
1
)| < ε. Но если у двух вещественных чисел разных знаков абсолютное значение разности меньше ε, то каждое из этих чисел по абсолютному значению меньше те. например, |f(ξ
1
)| < ε. Но тогда, в силу (35), |ϕ(ξ
1
)| >
1
ε
, и ввиду того, что ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, b) функция ϕ(x) — не ограничена в этом промежутке,
что нелепо. Теорема, таким образом, доказана. Непрерывность элементарных функций.
Мы показали раньше непрерывность многочлена и рациональной функции [34]. Рассмотрим теперь показательную функцию y = a x
(a > причем для определенности будем считать a > 1. Эта функция вполне определена при всех рациональных положительных значениях x. Для отрицательных x она определяется формулой и, кроме того, a
0
= 1. Таким образом, она определена при всех рациональных. Из алгебры известны также правила сложения и вычитания показателей приумножении и делении
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[44
Если x есть положительное рациональное число p
q
, то a
x
=
q
√
a где радикал считается арифметическим. Очевидно, что a p
> 1, и из определения корня вытекает, что a x
> 1 при x > 0 (применить определения из [41]). Из (37) вытекает, что 0 < a x
< 1 при x < 0. Покажем, теперь,
что a x
2
> a x
1
, если x
2
> x
1
, те. что a x
— возрастающая функция. Действительно причем x
2
− x
1
> 0, и, следовательно, оба сомножителя справа положительны. Покажем еще, что a x
→ 1, если x → 0, принимая рациональные значения. Положим сначала, что x → 0 через все рациональные значения, убывая (справа. При этом a убывает, но остается больше единицы, и, следовательно, имеет предел, который мы обозначим через l. При упомянутом выше изменении x переменная 2x также стремится справа к нулю по всем рациональным значениям. Мы имеем, очевидно (a и, переходя к пределу, получим l = или l(l − 1) = те или l = 0. Но вторая возможность отпадает ввиду a x
> 1. Итак x
→ 1, если x → 0 справа. Из (37) вытекает, что тот же предел будет и тогда, когда x → 0 слева. Итак, вообще a x
→ 1, если x → 0, принимая рациональные значения. Отсюда вытекает непосредственно, что если принимая рациональные значения, стремится к рациональному пределу b, то a x
→ a b
. Действительно x
− a b
= a b
(a x−b
− Разность (x − b) стремится к нулю и (a x−b
− 1), по доказанному, также стремится к нулю.
Определим теперь функцию (36) при иррациональных x. Пусть α некоторое иррациональное число, аи первый и второй классы сечения в области рациональных чисел, определяющих α. Положим,
что x → α, возрастая и проходя через все рациональные числа из I (Переменная a возрастает, но остается ограниченной, а именно она меньше, чем a x
′′
, где x
′′
— любое число из II (α). Таким образом, при упомянутом изменении x переменная a имеет предел, который мы пока
44]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
127
обозначим через L. Точно также, если x → α, убывая и пробегая рациональные числа из II (α), то a также имеет предел. Покажем, что этот предел также равен L. Пусть x
′
— из I (α) и x
′′
— из II (α). Мы имеем a
x
′′
− a x
′
= a x
′
(a x
′′
−x
′
− 1) < L(a x
′′
−x
′
− те Для и x
′′
, близких к α, разность (x
′′
− x
′
) сколько угодно близка к нулю ив силу написанного неравенства, тоже можно сказать и о разности, откуда и вытекает наше утверждение о совпадении пределов. Мы принимаем по определению равным упомянутому пределу, те. есть предел, к которому стремится a x
, когда x → α через рациональные значения. Теперь функция (36) определена при всех вещественных. На основании сказанного выше легко доказать, что это будет возрастающая функция, те, если и x
2
— любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству x
2
> x
1
. При доказательстве надо рассмотреть отдельно случаи, когда и x
2
— оба иррациональны или одно из них рационально. Остается еще доказать, что эта функция будет непрерывна при всяком вещественном x. Сначала надо показать,
что a x
→ 1 при x → 0, причем считаются допустимыми все вещественные значения x. Это можно показать совершенно также, как выше это было сделано для рациональных x. Далее, как и выше, пользуясь формулой a
x
− a
α
= a
α
(a x−α
− мы можем показать, что a x
→ при x → α, что и дает непрерывность a
x при любом вещественном Нетрудно проверить, что все основные свойства показательной функции справедливы при любых вещественных показателях. Пусть, например и β — два иррациональных числа и пусть x → α и y → β, причем переменные x и y, меняясь, одновременно принимают рациональные значения. Для рациональных показателей мы имеем a
x a
y
= a Переходя к пределу и пользуясь доказанной непрерывностью показательной функции, получим тоже свойство для иррациональных показателей Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[44
Докажем еще правило перемножения показателей при возвышении степени в степень Если β = n есть целое положительное, то написанная формула непосредственно вытекает из правила сложения показателей при умножении.
Если β =
p есть рациональное положительное число, то q
=
q p
(a
α
)
p
=
q p
(a
α
)
p
= a
α
p Для рациональных отрицательных чисел указанное правило непосредственно вытекает из формулы (37). Положим теперь, что β иррационально, и пусть рациональные числа r стремятся к β. Мы имеем, по доказанному выше Переходя к пределу и пользуясь непрерывностью показательной функции, причем слева принимаем за основание, мы и получим Прежде чем переходить к логарифмической функции, сделаем некоторые замечания об обратных функциях, о чем мы уже говорили коротко во введении [20]. Если y = f (x) — возрастающая непрерывная функция в промежутке (a, b), причем f (a) = A и f (b) = B, тов силу второго свойства непрерывных функций, при возрастании x от a до b через все вещественные значения f (x) будет возрастать от A до B, проходя через все промежуточные значения. Таким образом, всякому, значению y из промежутка (A, B) будет соответствовать определенное x из (a, и обратная функция x = ϕ(y) будет однозначной и возрастающей. Если находится внутри (a, b), y
0
= f (x
0
) и x пробегает малый промежуток (x
0
− ε, x
0
+ ε), то y будет пробегать некоторый промежуток. Обозначая через δ наименьшее из двух положительных чисел и η
2
, мы можем утверждать, что если y принадлежит промежутку (y
0
− δ, y
0
+ δ), составляющему лишь часть промежутка η
1
, y
0
+ η
2
), то соответствующие значения x тем более принадлежат прежнему промежутку (x
0
− ε, x
0
+ ε), те, если только |y − y
0
| < δ. Ввиду произвольности ε это дает нам непрерывность функции x = ϕ(y) в точке y = y
0
. Если совпадает, например, с концом a, тов предыдущих рассуждениях вместо (x
0
− ǫ, x
0
+ ε) надо взять промежуток. Аналогично можно разобрать случай убывающей непрерывной функции f (x).
44]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
129
Вернемся к функции (36). Раз a > 1, то a = 1+b, где b > 0, и формула бинома Ньютона дает прицелом положительном n > 1:
a n
= (1 + b)
n
> 1 + откуда видно, что a беспредельно возрастает при беспредельном возрастании. Далее, из (37) следует, что a x
→ 0 при x → −∞. Принимая во внимание сказанное выше об обратных функциях, можем утверждать,
что функция x = log обратная (36), будет однозначной, возрастающей непрерывной функцией при y > 0. Такие же результаты получаются и для случая 0 < a < 1, но только функции (36) и (38) будут убывающими.
Введем теперь новое понятие о сложной функции. Пусть y = f (есть функция, непрерывная в промежутке a 6 x 6 b, причем ее значения принадлежат промежутку (c, d). Пусть, далее, z = F (y) есть функция,
непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под y указанную выше функцию от x, мы получим сложную функцию от x:
z = F (y) = F (f (Говорят, что эта функция зависит от x через посредство y. Она определена в промежутке a 6 x 6 b. Нетрудно видеть, что она будет и непрерывной в этом промежутке. Действительно, бесконечно малому приращению соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывности, а бесконечно малому приращению y соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F (Рассмотрим теперь степенную функцию z = x с любым вещественным показателем b, причем переменную x мы считаем положительной. Из рассуждений с показательной функцией непосредственно следует, что функция (39) имеет определенное значение при всяком x > 0. Пользуясь определением логарифма и применяя, например, натуральные логарифмы, мы можем написать вместо (39):
z = e b log Формула бинома Ньютона (a + b)
n
=
n
P
k=0
C
k n
a k
b n−k
, где C
k n
— число сочетаний из n по k. В случае (1 + b)
n
, b >
0, оценка получается отбрасыванием всех слагаемых из разложения в бином Ньютона, кроме первых двух, при этом учитывается, что все слагаемые положительны
[44
Если x есть положительное рациональное число p
q
, то a
x
=
q
√
a где радикал считается арифметическим. Очевидно, что a p
> 1, и из определения корня вытекает, что a x
> 1 при x > 0 (применить определения из [41]). Из (37) вытекает, что 0 < a x
< 1 при x < 0. Покажем, теперь,
что a x
2
> a x
1
, если x
2
> x
1
, те. что a x
— возрастающая функция. Действительно причем x
2
− x
1
> 0, и, следовательно, оба сомножителя справа положительны. Покажем еще, что a x
→ 1, если x → 0, принимая рациональные значения. Положим сначала, что x → 0 через все рациональные значения, убывая (справа. При этом a убывает, но остается больше единицы, и, следовательно, имеет предел, который мы обозначим через l. При упомянутом выше изменении x переменная 2x также стремится справа к нулю по всем рациональным значениям. Мы имеем, очевидно (a и, переходя к пределу, получим l = или l(l − 1) = те или l = 0. Но вторая возможность отпадает ввиду a x
> 1. Итак x
→ 1, если x → 0 справа. Из (37) вытекает, что тот же предел будет и тогда, когда x → 0 слева. Итак, вообще a x
→ 1, если x → 0, принимая рациональные значения. Отсюда вытекает непосредственно, что если принимая рациональные значения, стремится к рациональному пределу b, то a x
→ a b
. Действительно x
− a b
= a b
(a x−b
− Разность (x − b) стремится к нулю и (a x−b
− 1), по доказанному, также стремится к нулю.
Определим теперь функцию (36) при иррациональных x. Пусть α некоторое иррациональное число, аи первый и второй классы сечения в области рациональных чисел, определяющих α. Положим,
что x → α, возрастая и проходя через все рациональные числа из I (Переменная a возрастает, но остается ограниченной, а именно она меньше, чем a x
′′
, где x
′′
— любое число из II (α). Таким образом, при упомянутом изменении x переменная a имеет предел, который мы пока
44]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
127
обозначим через L. Точно также, если x → α, убывая и пробегая рациональные числа из II (α), то a также имеет предел. Покажем, что этот предел также равен L. Пусть x
′
— из I (α) и x
′′
— из II (α). Мы имеем a
x
′′
− a x
′
= a x
′
(a x
′′
−x
′
− 1) < L(a x
′′
−x
′
− те Для и x
′′
, близких к α, разность (x
′′
− x
′
) сколько угодно близка к нулю ив силу написанного неравенства, тоже можно сказать и о разности, откуда и вытекает наше утверждение о совпадении пределов. Мы принимаем по определению равным упомянутому пределу, те. есть предел, к которому стремится a x
, когда x → α через рациональные значения. Теперь функция (36) определена при всех вещественных. На основании сказанного выше легко доказать, что это будет возрастающая функция, те, если и x
2
— любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству x
2
> x
1
. При доказательстве надо рассмотреть отдельно случаи, когда и x
2
— оба иррациональны или одно из них рационально. Остается еще доказать, что эта функция будет непрерывна при всяком вещественном x. Сначала надо показать,
что a x
→ 1 при x → 0, причем считаются допустимыми все вещественные значения x. Это можно показать совершенно также, как выше это было сделано для рациональных x. Далее, как и выше, пользуясь формулой a
x
− a
α
= a
α
(a x−α
− мы можем показать, что a x
→ при x → α, что и дает непрерывность a
x при любом вещественном Нетрудно проверить, что все основные свойства показательной функции справедливы при любых вещественных показателях. Пусть, например и β — два иррациональных числа и пусть x → α и y → β, причем переменные x и y, меняясь, одновременно принимают рациональные значения. Для рациональных показателей мы имеем a
x a
y
= a Переходя к пределу и пользуясь доказанной непрерывностью показательной функции, получим тоже свойство для иррациональных показателей Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[44
Докажем еще правило перемножения показателей при возвышении степени в степень Если β = n есть целое положительное, то написанная формула непосредственно вытекает из правила сложения показателей при умножении.
Если β =
p есть рациональное положительное число, то q
=
q p
(a
α
)
p
=
q p
(a
α
)
p
= a
α
p Для рациональных отрицательных чисел указанное правило непосредственно вытекает из формулы (37). Положим теперь, что β иррационально, и пусть рациональные числа r стремятся к β. Мы имеем, по доказанному выше Переходя к пределу и пользуясь непрерывностью показательной функции, причем слева принимаем за основание, мы и получим Прежде чем переходить к логарифмической функции, сделаем некоторые замечания об обратных функциях, о чем мы уже говорили коротко во введении [20]. Если y = f (x) — возрастающая непрерывная функция в промежутке (a, b), причем f (a) = A и f (b) = B, тов силу второго свойства непрерывных функций, при возрастании x от a до b через все вещественные значения f (x) будет возрастать от A до B, проходя через все промежуточные значения. Таким образом, всякому, значению y из промежутка (A, B) будет соответствовать определенное x из (a, и обратная функция x = ϕ(y) будет однозначной и возрастающей. Если находится внутри (a, b), y
0
= f (x
0
) и x пробегает малый промежуток (x
0
− ε, x
0
+ ε), то y будет пробегать некоторый промежуток. Обозначая через δ наименьшее из двух положительных чисел и η
2
, мы можем утверждать, что если y принадлежит промежутку (y
0
− δ, y
0
+ δ), составляющему лишь часть промежутка η
1
, y
0
+ η
2
), то соответствующие значения x тем более принадлежат прежнему промежутку (x
0
− ε, x
0
+ ε), те, если только |y − y
0
| < δ. Ввиду произвольности ε это дает нам непрерывность функции x = ϕ(y) в точке y = y
0
. Если совпадает, например, с концом a, тов предыдущих рассуждениях вместо (x
0
− ǫ, x
0
+ ε) надо взять промежуток. Аналогично можно разобрать случай убывающей непрерывной функции f (x).
44]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
129
Вернемся к функции (36). Раз a > 1, то a = 1+b, где b > 0, и формула бинома Ньютона дает прицелом положительном n > 1:
a n
= (1 + b)
n
> 1 + откуда видно, что a беспредельно возрастает при беспредельном возрастании. Далее, из (37) следует, что a x
→ 0 при x → −∞. Принимая во внимание сказанное выше об обратных функциях, можем утверждать,
что функция x = log обратная (36), будет однозначной, возрастающей непрерывной функцией при y > 0. Такие же результаты получаются и для случая 0 < a < 1, но только функции (36) и (38) будут убывающими.
Введем теперь новое понятие о сложной функции. Пусть y = f (есть функция, непрерывная в промежутке a 6 x 6 b, причем ее значения принадлежат промежутку (c, d). Пусть, далее, z = F (y) есть функция,
непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под y указанную выше функцию от x, мы получим сложную функцию от x:
z = F (y) = F (f (Говорят, что эта функция зависит от x через посредство y. Она определена в промежутке a 6 x 6 b. Нетрудно видеть, что она будет и непрерывной в этом промежутке. Действительно, бесконечно малому приращению соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывности, а бесконечно малому приращению y соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F (Рассмотрим теперь степенную функцию z = x с любым вещественным показателем b, причем переменную x мы считаем положительной. Из рассуждений с показательной функцией непосредственно следует, что функция (39) имеет определенное значение при всяком x > 0. Пользуясь определением логарифма и применяя, например, натуральные логарифмы, мы можем написать вместо (39):
z = e b log Формула бинома Ньютона (a + b)
n
=
n
P
k=0
C
k n
a k
b n−k
, где C
k n
— число сочетаний из n по k. В случае (1 + b)
n
, b >
0, оценка получается отбрасыванием всех слагаемых из разложения в бином Ньютона, кроме первых двух, при этом учитывается, что все слагаемые положительны
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[44
Полагая y = b log x и z = e
ν
, мы можем рассматривать эту функцию как сложную функцию от x, и непрерывность показательной и логарифмической функций докажет нам непрерывность функции (39) при всяком x > Мы доказали выше [34] непрерывность функции sin x при всех значениях. Также доказывается непрерывность функции cos x при всех x. Из формул tg x =
sin x cos x
,
ctg x =
cos x sin x непосредственно следует [34] непрерывность tg x и ctg x при всех x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.
Функция y = sin x есть непрерывная возрастающая функция в промежутке. Пользуясь сказанным выше об обратных функциях,
можем утверждать, что главное значение функции x = arc sin y будет непрерывной возрастающей функцией в промежутке −1 6 y 6 1. Аналогично доказывается непрерывность и остальных обратных круговых функций
[44
Полагая y = b log x и z = e
ν
, мы можем рассматривать эту функцию как сложную функцию от x, и непрерывность показательной и логарифмической функций докажет нам непрерывность функции (39) при всяком x > Мы доказали выше [34] непрерывность функции sin x при всех значениях. Также доказывается непрерывность функции cos x при всех x. Из формул tg x =
sin x cos x
,
ctg x =
cos x sin x непосредственно следует [34] непрерывность tg x и ctg x при всех x, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.
Функция y = sin x есть непрерывная возрастающая функция в промежутке. Пользуясь сказанным выше об обратных функциях,
можем утверждать, что главное значение функции x = arc sin y будет непрерывной возрастающей функцией в промежутке −1 6 y 6 1. Аналогично доказывается непрерывность и остальных обратных круговых функций
ГЛАВА ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Понятие о производной. Рассмотрим движущуюся по направлению прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть, очевидно, функция времени t:
s = f (так что всякому определенному моменту времени t соответствует определенное значение s. Придадим t приращение ∆t, и тогда новому моменту времени t + ∆t будет соответствовать путь s + ∆s. В
случае равномерного движения, приращение пути пропорционально приращению времени, ив этом случае отношение выражает постоянную скорость движения. В общем случае это отношение зависит как от выбранного момента времени t, таки от приращения и выражает среднюю скорость движения за промежуток времени от t до t + ∆t. Эта средняя скорость есть скорость воображаемой точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток времени проходит путь ∆s. Например, в случае равномерно ускоренного
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Понятие о производной. Рассмотрим движущуюся по направлению прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть, очевидно, функция времени t:
s = f (так что всякому определенному моменту времени t соответствует определенное значение s. Придадим t приращение ∆t, и тогда новому моменту времени t + ∆t будет соответствовать путь s + ∆s. В
случае равномерного движения, приращение пути пропорционально приращению времени, ив этом случае отношение выражает постоянную скорость движения. В общем случае это отношение зависит как от выбранного момента времени t, таки от приращения и выражает среднюю скорость движения за промежуток времени от t до t + ∆t. Эта средняя скорость есть скорость воображаемой точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток времени проходит путь ∆s. Например, в случае равномерно ускоренного
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[45
движения мы будем иметь s =
1 2
gt
2
+ и 2
g(t + ∆t)
2
+ v
0
(t + ∆t) −
1 2
gt
2
− v
0
t
∆t
= gt + v
0
+
1 Чем меньше промежуток времени ∆t, тем с большим правом мы можем считать движение рассматриваемой точки за этот промежуток времени равномерными предел отношения, при стремлении ∆t к нулю, определяет скорость v в данный момент t:
v = Так, в случае равномерно ускоренного движения v = lim
∆t→0
∆s
∆t
= lim
∆t→0
gt + v
0
+
1 2
g∆t
= gt + Скорость v есть также, как и путь s, функция от t; функция эта называется производной функции f (t) по t; таким образом, скорость есть производная от пути по времени.
Положим, что некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества x, вступившее уже в реакцию к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆x величины x, и отношение выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени ∆t, а предел этого отношения, при стремлении ∆t к нулю, выражает скорость химической реакции в данный момент времени Отвлечемся теперь от примеров и дадим общее определение производной. Положим, что функция y = f (x) определена при некотором фиксированном значении x и при всех значениях к нему достаточно близких, те. при всех значениях вида x + h, где h — любое
*
Здесь g — постоянное ускорение, v
0
— начальная скорость движения в момент. Производная и дифференциал первого порядка
133
положительное или отрицательное число достаточно малое по абсолютному значению. Величину h называют обычно приращением независимой переменной x. Вместо h пишут часто ∆x. Соответствующее приращение функции будет ∆y = f (x + h) − f(x). Составим отношение этих приращений (x + h) − Это отношение определено при всех значениях h, достаточно малых по абсолютной величине, те. в некотором промежутке −k 6 h 6 +k кроме h = 0. Поскольку x фиксировано, отношение (1) является функцией только от Определение. Если отношение (1) имеет предел (конечный)
при стремлении h к нулю (h → ±0), то этот предел называется производной функции f (x) при заданном Иначе говоря, производной данной функции f (x) при заданном значении x называется предел отношения приращения ∆y функции к соответствующему приращению ∆x независимого переменного, когда это последнее стремится к нулю (∆x → ±0), если упомянутый предел существует. Для обозначения производной пишут, или f
′
(x):
y
′
= f
′
(x) =
lim
∆x→±0
∆y
∆x
= lim h→±0
f (x + h) − Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Дробь (1) при h → ±0 может и не иметь предела, и тогда производная при заданном значении x не существует. Существование предела f
′
(x) равносильно следующему [32]: при любом заданном числе ε > 0 существует такое число η > 0, что f (x + h) − f(x)
h
− f
′
(x)
< если |h| < η и h 6= Предполагая, что производная существует, можем написать f (x + h) − f(x)
h
= f
′
(x) + β,
∗
[45
движения мы будем иметь s =
1 2
gt
2
+ и 2
g(t + ∆t)
2
+ v
0
(t + ∆t) −
1 2
gt
2
− v
0
t
∆t
= gt + v
0
+
1 Чем меньше промежуток времени ∆t, тем с большим правом мы можем считать движение рассматриваемой точки за этот промежуток времени равномерными предел отношения, при стремлении ∆t к нулю, определяет скорость v в данный момент t:
v = Так, в случае равномерно ускоренного движения v = lim
∆t→0
∆s
∆t
= lim
∆t→0
gt + v
0
+
1 2
g∆t
= gt + Скорость v есть также, как и путь s, функция от t; функция эта называется производной функции f (t) по t; таким образом, скорость есть производная от пути по времени.
Положим, что некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества x, вступившее уже в реакцию к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆x величины x, и отношение выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени ∆t, а предел этого отношения, при стремлении ∆t к нулю, выражает скорость химической реакции в данный момент времени Отвлечемся теперь от примеров и дадим общее определение производной. Положим, что функция y = f (x) определена при некотором фиксированном значении x и при всех значениях к нему достаточно близких, те. при всех значениях вида x + h, где h — любое
*
Здесь g — постоянное ускорение, v
0
— начальная скорость движения в момент. Производная и дифференциал первого порядка
133
положительное или отрицательное число достаточно малое по абсолютному значению. Величину h называют обычно приращением независимой переменной x. Вместо h пишут часто ∆x. Соответствующее приращение функции будет ∆y = f (x + h) − f(x). Составим отношение этих приращений (x + h) − Это отношение определено при всех значениях h, достаточно малых по абсолютной величине, те. в некотором промежутке −k 6 h 6 +k кроме h = 0. Поскольку x фиксировано, отношение (1) является функцией только от Определение. Если отношение (1) имеет предел (конечный)
при стремлении h к нулю (h → ±0), то этот предел называется производной функции f (x) при заданном Иначе говоря, производной данной функции f (x) при заданном значении x называется предел отношения приращения ∆y функции к соответствующему приращению ∆x независимого переменного, когда это последнее стремится к нулю (∆x → ±0), если упомянутый предел существует. Для обозначения производной пишут, или f
′
(x):
y
′
= f
′
(x) =
lim
∆x→±0
∆y
∆x
= lim h→±0
f (x + h) − Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Дробь (1) при h → ±0 может и не иметь предела, и тогда производная при заданном значении x не существует. Существование предела f
′
(x) равносильно следующему [32]: при любом заданном числе ε > 0 существует такое число η > 0, что f (x + h) − f(x)
h
− f
′
(x)
< если |h| < η и h 6= Предполагая, что производная существует, можем написать f (x + h) − f(x)
h
= f
′
(x) + β,
∗
Понятие о производной и его приложения
[46
где β → 0 при h → ±0. Далее, имеем f (x + h) − f(x) = [f
′
(x) + откуда следует, что f (x + h) − f(x) → 0 прите. если при некотором значении x производная f
′
(x) существует, то при этом значении x функция f (x) непрерывна. Обратное утверждение неправильно, при непрерывности функции при заданном x еще нельзя утверждать, что при этом значении x существует производ- ная.
Обратим внимание на то, что при отыскании производной у непрерывной функции мы имеем дробь (1), у которой и числитель и знаменатель стремится к нулю, причем знаменатель h в нуль не обращается. Отметим один частный случай. Если y = cx, то числитель дроби есть c(x + h) − cx = ch, а вся дробь равна c, те. не зависит от h. Ее предел при h → ±0 также равен При фиксированном x значения f (x) и f
′
(x) суть числа. Если функция и производная существует при всех x внутри некоторого промежутка, то f
′
(x) является функцией от x внутри этого промежутка. В рассмотренном выше случае f (x) = cx производная равна числу c при всех x.
46. Геометрическое значение производной. Для выяснения геометрического значения производной обратимся к графику функции y = f (x). Возьмем на нем точку M с координатами (x, и близкую к ней, тоже лежащую на кривой, точку N с координатами. Проведем ординаты M
1
M и N
1
N этих точек и из точки M проведем прямую, параллельную оси OX. Мы будем иметь (рис. 50):
M P = M
1
N
1
= ∆x, M
1
M = y, N
1
N = y + ∆y, P N = Отношение равно, очевидно, тангенсу угла α
1
, образованного секущей M N с положительным направлением оси OX. При стремлении ∆x к нулю точка N будет, оставаясь на кривой, стремиться к точке M ; предельным положением секущей M N будет касательная к кривой в точке M , и, следовательно, производная f
′
(x) равна тангенсу угла α, образованного касательной к кривой
46]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
135
в точке M (x, y) с положительным направлением косит. е.
равна угловому коэффициенту этой касательной.
При вычислении отрезков по формулам (2) надо принимать во внимание правило знаков и помнить, что приращения ∆x и ∆y могут быть как положительными, таки отрицательными.
Рис. Точка N , лежащая на кривой,
может стремиться к M с любой стороны. На рис. 50 мы придали касательной определенное направление. Если бы мы придали ей прямо противоположное направление, то это привело бык изменению угла α на величину π и не повлияло на величину тангенса этого угла. В дальнейшем мы вернемся еще к вопросу о направлении касательной. Сейчас для нас это не существенно.
Мы видим таким образом, что существование производной связано с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению y = f (x), причем угловой коэффициент касательной tg α = f
′
(x) должен быть конечным. Иными словами, касательная не должна быть параллельна оси OY . В этом последнем случае или α =
3π
2
, и тангенс такого угла равен бесконеч- ности.
Рис. Непрерывная кривая может вот- дельных точках вовсе не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси OY (рис. 51), и при соответствующих значениях x функция) не имеет производной. Таких исключительных точек может быть сколько угодно много на кривой. Доказывается также, что существуют такие непрерывные функции, которые не имеют производной ни при одном значении x. Кривая, соответствующая такой функции, недоступна нашим геометрическим представлениям Понятие о производной и его приложения
[46
Остановимся несколько подробнее на тех случаях, которые представлены на рис. Предварительно введем понятия о производной справа и производной слева. Положим, что h стремится к нулю непроизвольным образом, а со стороны отрицательных значений или со стороны положительных значений, те или h → +0. Если при этом отношение (1) имеет предел (конечный, то он обозначается обычно символом f
′
(x − 0) или, соответственно, f
′
(x + 0) и называется производной слева или, соответственно, производной справа.
Существование производной f
′
(x) равносильно тому, что существуют производные f
′
(x − 0) и f
′
(x + 0) и что они равны. При этом f
′
(x) = f
′
(x − 0) = f
′
(x + Если существуют различные производные f
′
(x − 0) и f
′
(x + то это соответствует тому случаю, когда в соответствующей точке существуют слева и справа касательные, не параллельные оси (предельные положения секущей, но эти касательные различны, те. они не лежат на одной прямой, проходящей через точку с абсциссой x. Этот случай представлен точкой на рис. 51. В
точках и отношение (1) при h → −0 и h → +0 стремится к бесконечности. Обратим внимание на знак этой бесконеч- ности.
Для точек N , лежащих на кривой слева от M
2
, величина h < и f (x + h) − f(x) < 0 при h, достаточно близких к нулю, так как ордината слева меньше ординаты в точке M
2
. Таким образом, в этом случае (1) положительно, и при h → −0 оно стремится к (касательная слева параллельна оси OY ). Справа от величина и по-прежнему f (x + h) − f(x) < 0, те. отношение (отрицательно и оно стремится к (−∞) при h → +0. Переходим к точке M
[46
где β → 0 при h → ±0. Далее, имеем f (x + h) − f(x) = [f
′
(x) + откуда следует, что f (x + h) − f(x) → 0 прите. если при некотором значении x производная f
′
(x) существует, то при этом значении x функция f (x) непрерывна. Обратное утверждение неправильно, при непрерывности функции при заданном x еще нельзя утверждать, что при этом значении x существует производ- ная.
Обратим внимание на то, что при отыскании производной у непрерывной функции мы имеем дробь (1), у которой и числитель и знаменатель стремится к нулю, причем знаменатель h в нуль не обращается. Отметим один частный случай. Если y = cx, то числитель дроби есть c(x + h) − cx = ch, а вся дробь равна c, те. не зависит от h. Ее предел при h → ±0 также равен При фиксированном x значения f (x) и f
′
(x) суть числа. Если функция и производная существует при всех x внутри некоторого промежутка, то f
′
(x) является функцией от x внутри этого промежутка. В рассмотренном выше случае f (x) = cx производная равна числу c при всех x.
46. Геометрическое значение производной. Для выяснения геометрического значения производной обратимся к графику функции y = f (x). Возьмем на нем точку M с координатами (x, и близкую к ней, тоже лежащую на кривой, точку N с координатами. Проведем ординаты M
1
M и N
1
N этих точек и из точки M проведем прямую, параллельную оси OX. Мы будем иметь (рис. 50):
M P = M
1
N
1
= ∆x, M
1
M = y, N
1
N = y + ∆y, P N = Отношение равно, очевидно, тангенсу угла α
1
, образованного секущей M N с положительным направлением оси OX. При стремлении ∆x к нулю точка N будет, оставаясь на кривой, стремиться к точке M ; предельным положением секущей M N будет касательная к кривой в точке M , и, следовательно, производная f
′
(x) равна тангенсу угла α, образованного касательной к кривой
46]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
135
в точке M (x, y) с положительным направлением косит. е.
равна угловому коэффициенту этой касательной.
При вычислении отрезков по формулам (2) надо принимать во внимание правило знаков и помнить, что приращения ∆x и ∆y могут быть как положительными, таки отрицательными.
Рис. Точка N , лежащая на кривой,
может стремиться к M с любой стороны. На рис. 50 мы придали касательной определенное направление. Если бы мы придали ей прямо противоположное направление, то это привело бык изменению угла α на величину π и не повлияло на величину тангенса этого угла. В дальнейшем мы вернемся еще к вопросу о направлении касательной. Сейчас для нас это не существенно.
Мы видим таким образом, что существование производной связано с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению y = f (x), причем угловой коэффициент касательной tg α = f
′
(x) должен быть конечным. Иными словами, касательная не должна быть параллельна оси OY . В этом последнем случае или α =
3π
2
, и тангенс такого угла равен бесконеч- ности.
Рис. Непрерывная кривая может вот- дельных точках вовсе не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси OY (рис. 51), и при соответствующих значениях x функция) не имеет производной. Таких исключительных точек может быть сколько угодно много на кривой. Доказывается также, что существуют такие непрерывные функции, которые не имеют производной ни при одном значении x. Кривая, соответствующая такой функции, недоступна нашим геометрическим представлениям Понятие о производной и его приложения
[46
Остановимся несколько подробнее на тех случаях, которые представлены на рис. Предварительно введем понятия о производной справа и производной слева. Положим, что h стремится к нулю непроизвольным образом, а со стороны отрицательных значений или со стороны положительных значений, те или h → +0. Если при этом отношение (1) имеет предел (конечный, то он обозначается обычно символом f
′
(x − 0) или, соответственно, f
′
(x + 0) и называется производной слева или, соответственно, производной справа.
Существование производной f
′
(x) равносильно тому, что существуют производные f
′
(x − 0) и f
′
(x + 0) и что они равны. При этом f
′
(x) = f
′
(x − 0) = f
′
(x + Если существуют различные производные f
′
(x − 0) и f
′
(x + то это соответствует тому случаю, когда в соответствующей точке существуют слева и справа касательные, не параллельные оси (предельные положения секущей, но эти касательные различны, те. они не лежат на одной прямой, проходящей через точку с абсциссой x. Этот случай представлен точкой на рис. 51. В
точках и отношение (1) при h → −0 и h → +0 стремится к бесконечности. Обратим внимание на знак этой бесконеч- ности.
Для точек N , лежащих на кривой слева от M
2
, величина h < и f (x + h) − f(x) < 0 при h, достаточно близких к нулю, так как ордината слева меньше ординаты в точке M
2
. Таким образом, в этом случае (1) положительно, и при h → −0 оно стремится к (касательная слева параллельна оси OY ). Справа от величина и по-прежнему f (x + h) − f(x) < 0, те. отношение (отрицательно и оно стремится к (−∞) при h → +0. Переходим к точке M
3
. Здесь слева h < 0 и f (x + h) − f(x) < 0, а справа h > 0 и f (x+ h)−f(x) > 0, те. слева и справа отношение (1) положительно и оно стремится к (+∞) как при h → −0, таки прите. в этом случае отношение (1) стремится к (+∞) при h → Отметим, что при определении производной мы требовали, чтобы отношение (1) стремилось к конечному пределу при h → Если этот предел при h → ±0 равен (+∞) или (−∞), то мы все жене говорим, что при соответствующем значении x существует производная, равная (+∞) или (−∞).
47]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
137
Рис. Возможны, конечно, и такие точки на кривой y = f (x), в которых нет и производных f
′
(x − и f
′
(x + 0). Такая кривая изображена на рис. 52. Она не имеет указанных производных при x = Если непрерывная функция задана только на промежутке, b), то примы имеем возможность образовать только правую производную f
′
(a + 0), а при x = b — только левую производную. Когда говорят, что f(x) имеет в промежутке (a, замкнутом) производную f
′
(x), то во внутренних точках промежутка эту производную надо понимать в обычном смысле, а на концах промежутка в только что указанном смысле.
Если f (x) определена в промежутке (A, B), более широком,
чем (a, b), те и B > b, и имеет внутри (A, B) обычную производную f
′
(x), тотем более она будет производной в указанном смысле и на промежутке (a, b).
47. Производные простейших функций. Из понятия производной следует, что для определения производной надо составить приращение функции, разделить его на соответствующее приращение независимой переменной и найти предел этого отношения при стремлении приращения независимой переменной к нулю. Применим это правило к некоторым простейшим функциям. y = b (постоянная) [12].
y
′
= lim h→0
b − b h
= lim h→0 0 = те. производная постоянной равна нулю. y = x n
(n — целое положительное число).
*
*
Здесь воспользовались формулой бинома Ньютона и учли, что C
k n
=
n!
k!(n−k)!
. Также восполльзовались тем, что n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − и т. д
Понятие о производной и его приложения lim h→0
(x + h)
n
− x n
h
=
= lim h→0
x n
+ nhx n−1
+
n(n−1)
2!
h
2
x n−2
+ · · · + h n
− x n
h
=
= lim h→0
h nx n−1
+
n(n − 1)
2!
hx n−2
+ · · · + h n−1
i
= nx В частности, если y = x, то y
′
= 1. В дальнейшем мы обобщим это правило дифференцирования степенной функции на любые значения показателя n.
III. y = sin x.
*
y
′
= lim h→0
sin(x + h) − sin x h
= lim h→0 2 cos
x +
h
2
sin h
2
h
=
= lim h→0
cos x +
h
2
!
sin h
2
h
2
= cos так как при стремлении к нулю sin h
2
h
2
→ 1 [33].
IV. y = cos x.
y
′
= lim h→0
cos(x + h) − cos x h
= lim h→0
−
2 sin
x +
h
2
sin h
2
h
=
= − lim h→0
sin x +
h
2
!
sin h
2
h
2
= − sin x.
V. y = log x (x > 0).
y
′
= lim h→0
log(x + h) − log x h
= lim h→0
log
1 +
h x
h
=
= lim h→0 1
x log
1 +
h x
h Здесь и далее используются теоремы об арифметических действиях с пределами, рассмотренные в [28]. Соответствующие пределы существуют так как по предположению существуют производные у функций u(x), v(x), w(x).
(x + h)
n
− x n
h
=
= lim h→0
x n
+ nhx n−1
+
n(n−1)
2!
h
2
x n−2
+ · · · + h n
− x n
h
=
= lim h→0
h nx n−1
+
n(n − 1)
2!
hx n−2
+ · · · + h n−1
i
= nx В частности, если y = x, то y
′
= 1. В дальнейшем мы обобщим это правило дифференцирования степенной функции на любые значения показателя n.
III. y = sin x.
*
y
′
= lim h→0
sin(x + h) − sin x h
= lim h→0 2 cos
x +
h
2
sin h
2
h
=
= lim h→0
cos x +
h
2
!
sin h
2
h
2
= cos так как при стремлении к нулю sin h
2
h
2
→ 1 [33].
IV. y = cos x.
y
′
= lim h→0
cos(x + h) − cos x h
= lim h→0
−
2 sin
x +
h
2
sin h
2
h
=
= − lim h→0
sin x +
h
2
!
sin h
2
h
2
= − sin x.
V. y = log x (x > 0).
y
′
= lim h→0
log(x + h) − log x h
= lim h→0
log
1 +
h x
h
=
= lim h→0 1
x log
1 +
h x
h Здесь и далее используются теоремы об арифметических действиях с пределами, рассмотренные в [28]. Соответствующие пределы существуют так как по предположению существуют производные у функций u(x), v(x), w(x).
47]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
139
так как при h → 0 переменная α =
h также стремится к нулю и log(1+α)
α
→ 1 [38].
VI. y = cu(x), где c — постоянная и u(x) есть функция от x.
y
′
= lim h→0
cu(x + h) − cu(x)
h
= c lim h→0
u(x + h) − u(x)
h
= те. производная от произведения постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную от переменного сомножителя, или, другими словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной. y = log Как мы знаем, log a
x = log x ·
1
log a
[38]. Применяя правило получим y
′
=
1
x
·
1
log a
VIII. Рассмотрим производную от суммы нескольких функций;
для определенности ограничимся тремя слагаемыми = u(x) + v(x) + w(x),
y
′
= lim h→0
[u(x + h) + v(x + h) + w(x + h)] − [u(x) + v(x) + w(x)]
h
=
= lim h→0
h u(x + h) − u(x)
h
+
v(x + h) − v(x)
h
+
w(x + h) − w(x)
h i
=
= u
′
(x) + v
′
(x) + те. производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций. Рассмотрим теперь производную от произведения двух функций = u(x) · v(x),
y
′
= lim h→0
u(x + h)v(x + h) − Прибавляя к числителю величину u(x + h)v(x) и вычитая из него туже величину, получим y
′
= lim h→0
u(x+h)v(x+h)−u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)−u(x)v(x)
h
=
Понятие о производной и его приложения lim h→0
u(x + h)
v(x + h) − v(x)
h
+ lim h→0
v(x)
u(x + h) − u(x)
h
=
= u(x)v
′
(x) + те. для случая двух сомножителей мы показали, что производная произведения равна сумме произведений производных каждого из сомножителей на остальные.
Докажем справедливость этого правила для трех сомножителей, соединяя два сомножителя в одну группу и применяя правило к случаю двух сомножителей = u(x)v(x)w(x),
y
′
= {[u(x)v(x)]w(x)}
′
= [u(x)v(x)]w
′
(x) + w(x)[u(x)v(x)]
′
=
= u(x)v(x)w
′
(x) + u(x)v
′
(x)w(x) + Применяя известный метод математической индукции, нетрудно распространить это правило на случай любого конечного числа сомножителей. Пусть теперь y есть частное =
u(x)
v(x)
,
y
′
= lim h→0
u(x+h)
v(x+h)
−
u(x)
v(x)
h
=
= lim h→0 1
v(x)v(x + h)
u(x + h)v(x) − v(x + Вычитая и прибавляя к числителю второй из дробей произведение, получим, принимая во внимание непрерывность v(x):
y
′
= lim h→0 1
v(x)v(x+h)
·
u(x+h)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−v(x+h)u(x)
h
=
= lim h→0 1
v(x)v(x+h)
h v(x)
u(x+h)−u(x)
h
−u(x)
v(x+h)−v(x)
h i
=
=
u
′
(x)v(x) − v
′
(x)u(x)
[v(x)]
2
,
u(x + h)
v(x + h) − v(x)
h
+ lim h→0
v(x)
u(x + h) − u(x)
h
=
= u(x)v
′
(x) + те. для случая двух сомножителей мы показали, что производная произведения равна сумме произведений производных каждого из сомножителей на остальные.
Докажем справедливость этого правила для трех сомножителей, соединяя два сомножителя в одну группу и применяя правило к случаю двух сомножителей = u(x)v(x)w(x),
y
′
= {[u(x)v(x)]w(x)}
′
= [u(x)v(x)]w
′
(x) + w(x)[u(x)v(x)]
′
=
= u(x)v(x)w
′
(x) + u(x)v
′
(x)w(x) + Применяя известный метод математической индукции, нетрудно распространить это правило на случай любого конечного числа сомножителей. Пусть теперь y есть частное =
u(x)
v(x)
,
y
′
= lim h→0
u(x+h)
v(x+h)
−
u(x)
v(x)
h
=
= lim h→0 1
v(x)v(x + h)
u(x + h)v(x) − v(x + Вычитая и прибавляя к числителю второй из дробей произведение, получим, принимая во внимание непрерывность v(x):
y
′
= lim h→0 1
v(x)v(x+h)
·
u(x+h)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−v(x+h)u(x)
h
=
= lim h→0 1
v(x)v(x+h)
h v(x)
u(x+h)−u(x)
h
−u(x)
v(x+h)−v(x)
h i
=
=
u
′
(x)v(x) − v
′
(x)u(x)
[v(x)]
2
,
48]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
141
т. е. производная дроби (частного) равна производной числителя,
умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя,
умноженная на числитель, все разделенное на квадрат знаменателя cosx sin x
′
=
(cos x)
′
sin x−(sin x)
′
cos x sin
2
x
=
− sin
2
x− cos
2
x sin
2
x
= При выводе правили мы предполагали, что функции) имеют производные, и доказали существование производной у функции y.
48. Производные сложных и обратных функций. Напомним понятие о сложной функции [44]. Пусть y = f (x) — функция,
непрерывная в некотором промежутке a 6 x 6 b, причем ее значения принадлежат промежутку c 6 y 6 d. Пусть далее, z = F (y) функция, непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под y вышеуказанную функцию от x, мы получим сложную функцию от x:
z = F (y) = F (f (Говорят, что эта функция зависит от x через посредство Нетрудно видеть, что эта функция будет непрерывна в промежутке a 6 x 6 b. Действительно, бесконечно малому приращению x соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывности функции f (x), а бесконечно малому приращению y соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности f (Прежде чем переходить к выводу правила дифференцирования сложной функции сделаем одно замечание. Если z = F (y) имеет производную при y = y
0
, то, согласно сказанному в [45], мы можем написать = F (y
0
+ ∆y) − F (y
0
) = [F
′
(y
0
) + α]∆y,
(3)
Понятие о производной и его приложения
[48
где переменная α есть функция ∆y, определенная при всех достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем α → если ∆y → 0, оставаясь отличным от нуля. Равенство (3) остается справедливым для ∆y = 0 при любом выборе α, ибо при ∆y = 0 и = 0. В силу сказанного выше естественно положить α = 0 при = 0. При таком соглашении мы можем считать, что в формуле) α → 0, если ∆y → 0 любым образом, даже и принимая значение,
равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложной функции.
Т е орем а. Если y = f (x) имеет в точке x = производную f
′
(x
0
) и z = F (y) имеет в точке y
0
= f (x
0
) производную то сложная функция F (f (x)) имеет в точке x = x
0
производную,
равную произведению Пусть ∆x — приращение (отличное от нуля, которое мы придаем значению независимой переменной x, и ∆y = f (x
0
+ ∆x) −
f (x
0
) — соответствующее приращение переменной y (оно может оказаться и равным нулю. Пусть, далее, ∆z = F (y
0
+ ∆y) − F (Производная от сложной функции z = F (f (x)) по x при x = равна, очевидно, пределу отношения при ∆x → 0, если этот предел существует. Разделим обе части (3) на ∆x:
∆z
∆x
= [F
′
(y
0
) + При стремлении ∆x к нулю ив силу непрерывности функции) в точке x = x
0
, а потому, как мы указали выше → 0. Отношение стремится при этом к производной f
′
(x
0
), и,
переходя в написанном выше равенстве к пределу, получим lim
∆x→0
∆z
∆x
= что и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность f (x) при x = вытекает из предположенного существования производной f
′
(x
0
) Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования сложных функций производная сложной функции равна произведению производной по промежу-
[48
где переменная α есть функция ∆y, определенная при всех достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем α → если ∆y → 0, оставаясь отличным от нуля. Равенство (3) остается справедливым для ∆y = 0 при любом выборе α, ибо при ∆y = 0 и = 0. В силу сказанного выше естественно положить α = 0 при = 0. При таком соглашении мы можем считать, что в формуле) α → 0, если ∆y → 0 любым образом, даже и принимая значение,
равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложной функции.
Т е орем а. Если y = f (x) имеет в точке x = производную f
′
(x
0
) и z = F (y) имеет в точке y
0
= f (x
0
) производную то сложная функция F (f (x)) имеет в точке x = x
0
производную,
равную произведению Пусть ∆x — приращение (отличное от нуля, которое мы придаем значению независимой переменной x, и ∆y = f (x
0
+ ∆x) −
f (x
0
) — соответствующее приращение переменной y (оно может оказаться и равным нулю. Пусть, далее, ∆z = F (y
0
+ ∆y) − F (Производная от сложной функции z = F (f (x)) по x при x = равна, очевидно, пределу отношения при ∆x → 0, если этот предел существует. Разделим обе части (3) на ∆x:
∆z
∆x
= [F
′
(y
0
) + При стремлении ∆x к нулю ив силу непрерывности функции) в точке x = x
0
, а потому, как мы указали выше → 0. Отношение стремится при этом к производной f
′
(x
0
), и,
переходя в написанном выше равенстве к пределу, получим lim
∆x→0
∆z
∆x
= что и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность f (x) при x = вытекает из предположенного существования производной f
′
(x
0
) Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования сложных функций производная сложной функции равна произведению производной по промежу-
48]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
143
точной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной Переходим к правилу дифференцирования обратных функций.
Если y = f (x) непрерывна и возрастает в промежутке (a, b) (т. е.
б´ольшим значением x соответствует и большие y), причем A = f (и B = f (b), то, как мы знаем [21 ив промежутке (A, B) существует однозначная и непрерывная обратная, а также возрастающая функция x = ϕ(y). В силу возрастания, если ∆x 6= 0, то и 6= 0, и наоборот, ив силу непрерывности из ∆x → 0 следует, и наоборот. (Совершенно аналогично рассматривается случай убывающих функций.)
Т е орем а. Если f (x) имеет в точке производную отличную от нуля, то обратная функция ϕ(y) имеет в точке y
0
= f (x
0
) производную) Обозначая через ∆x и ∆y соответствующие приращения x и те и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем на- писать:
∆x
∆y
=
1
∆y
∆x
Как мы видели выше, ∆x и ∆y одновременно стремятся к нулю, и последнее равенство в пределе и приводит к (4). Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования обратных функций производная обратной функции равна единице, деленной на производную первоначальной функции в соответствующей точке.
*
Можно сказать, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по своему аргументу на производную внутренней функции
Понятие о производной и его приложения
[48
Рис. Правило дифференцирования обратных функций имеет простое геометрическое истолкование. Функции x = ϕ(y) и y = f (имеют один и тот же график на плоскости стой лишь разницей, что для функции) ось независимой переменной есть ось OY , а не OX (рис. 53). Проводя касательную и вспоминая геометрическое значение производной, получим f
′
(x) = tg (OX, M T ) = tg α,
ϕ
′
(y) = tg (OY, M T ) = tg причем на рис. 53 угол β, как и угол α, считается положительным.
Но, очевидно, β =
π
2
− α, и, следовательно β =
1
tg те) Если x = ϕ(y) есть функция, обратная y = f (x), то, очевидно,
и наоборот — функцию y = f (x) можно считать обратной функции x = Применим правило дифференцирования обратных функций к показательной функции. y = a x
(a > Обратная функция в данном случае будет x = ϕ(y) = log ив силу VII,
ϕ
′
(y) =
1
y
·
1
log откуда по правилу дифференцирования обратных функций y
′
=
1
ϕ
′
(y)
= y log a или (a x
)
′
= a x
log В частном случае при a = e имеем x
)
′
= e x
[48
Рис. Правило дифференцирования обратных функций имеет простое геометрическое истолкование. Функции x = ϕ(y) и y = f (имеют один и тот же график на плоскости стой лишь разницей, что для функции) ось независимой переменной есть ось OY , а не OX (рис. 53). Проводя касательную и вспоминая геометрическое значение производной, получим f
′
(x) = tg (OX, M T ) = tg α,
ϕ
′
(y) = tg (OY, M T ) = tg причем на рис. 53 угол β, как и угол α, считается положительным.
Но, очевидно, β =
π
2
− α, и, следовательно β =
1
tg те) Если x = ϕ(y) есть функция, обратная y = f (x), то, очевидно,
и наоборот — функцию y = f (x) можно считать обратной функции x = Применим правило дифференцирования обратных функций к показательной функции. y = a x
(a > Обратная функция в данном случае будет x = ϕ(y) = log ив силу VII,
ϕ
′
(y) =
1
y
·
1
log откуда по правилу дифференцирования обратных функций y
′
=
1
ϕ
′
(y)
= y log a или (a x
)
′
= a x
log В частном случае при a = e имеем x
)
′
= e x
48]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
145
Полученная формула, вместе с правилом дифференцирования сложных функций, даст нам возможность вычислить производную от степенной функции. y = x n
(x > 0; n — любое вещественное число).
Эта функция при всех x > 0 определена и имеет положительные значения Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функции y = x n
= e n log Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций, получим y
′
= e n log x n
x
= x n
n x
= nx Этот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных значений, если только сама функция при этом существует, например = Применим правило дифференцирования обратных функций к нахождению производных обратных круговых функций. y = arc sin Мы рассматриваем главное значение [24] этой функции, т. е.
ту дугу, которая находится в промежутке, +
π
2
. Функцию эту можно рассматривать как обратную функцию по отношению к функции x = sin y и, согласно правилу дифференцирования обратных функций, имеем y
′
x
=
1
x
′
y
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
=
1
√
1 − причем у радикала надо брать знак (+), так как cos y имеет знак) в промежутке. Точно также можно получить cos x)
′
= −
1
√
1 − причем рассматривается главное значение arc cos x, те. та дуга, которая заключается в промежутке (0, π).
Понятие о производной и его приложения. y = arc tg Главное значение arc tg x заключается в промежутке
−
π
2
,
π
2
,
и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношению к функции x = tg y; следовательно 1
cos
2
y
= cos
2
y =
1 1 + tg
2
y
=
1 1 + Точно также получим ctg x)
′
= −
1 1 + x
2
XVII. Рассмотрим еще дифференцирование функций вида = u где u и v — функции от x (степенно-показательная функция).
Мы можем написать y = e v log и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя, как сложную функцию отбудем иметь окончательно y
′
= e v log u
v
′
log u +
v или y
′
= u v
v
′
log u +
v u
u
′
49. Таблица производных и примеры. Приведем таблицу всех выведенных нами правил дифференцирования. (c)
′
= 0.
2. (cu)
′
= cu
′
−
π
2
,
π
2
,
и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношению к функции x = tg y; следовательно 1
cos
2
y
= cos
2
y =
1 1 + tg
2
y
=
1 1 + Точно также получим ctg x)
′
= −
1 1 + x
2
XVII. Рассмотрим еще дифференцирование функций вида = u где u и v — функции от x (степенно-показательная функция).
Мы можем написать y = e v log и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя, как сложную функцию отбудем иметь окончательно y
′
= e v log u
v
′
log u +
v или y
′
= u v
v
′
log u +
v u
u
′
49. Таблица производных и примеры. Приведем таблицу всех выведенных нами правил дифференцирования. (c)
′
= 0.
2. (cu)
′
= cu
′
49]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка 3. (u
1
+ u
2
+ . . . + u n
)
′
= u
′
1
+ u
′
2
+ . . . + u
′
n
4. (u
1
u
2
. . . u n
)
′
= u
′
1
u
2
u
3
. . . u n
+u
1
u
′
2
u
3
. . . u n
+. . .+u
1
u
2
u
3
. . . u
′
n
5.
u v
′
=
u
′
v−v
′
u v
2 6. (x n
) = nx и (x)
′
= 1.
7. (log a
x)
′
=
1
x
·
1
log a и (log x)
′
=
1
x
8. (e x
) = e и (a x
)
′
= a x
log a.
9. (sin x)
′
= cos x.
10. (cos x)
′
= − sin x.
11. ( tg x)
′
=
1
cos
2
x
12. ( ctg x)
′
= −
1
sin
2
x
13. (arc sin x)
′
=
1
√
1−x
2 14. (arc cos x)
′
= −
1 1−x
2 15. (arc tg x)
′
=
1 1+x
2 16. (arc ctg x)
′
= −
1 1+x
2 17. (u v
)
′
= vu v−1
u
′
+ u v
log uv
′
18. y
′
x
= y
′
u
· u
′
x
(y зависит от x через посредство u).
19. Применим выведенные правила к нескольким примерам. y = x
3
− 3x
2
+ 7x − Применяя правила 3, 6 и 2, получим y
′
= 3x
2
− 6x + 7.
2
. y =
1 3
√
x
2
= x
−
2 Применяя правило 6, получим y
′
= −
2 3
x
−
5 3
= −
2 3x
3
√
x
2 3
. y = Полагая u = sin x, применим правила 18, 6 и 9:
y
′
= 2u · u
′
= 2 sin x cos x = sin 2x.
4
. y = sin Полагая u = sin x, применим те же правила cos u · u
′
= 2x cos(x
2
).
Понятие о производной и его приложения 5
. y = log(x +
p x
2
+ Полагая сначала u = x +
√
x
2
+ 1 и затем v = x
2
+ 1, применим два раза правило 18, а также правила 7, 3 и 6:
y
′
=
1
x +
√
x
2
+ 1
(x +
p x
2
+ 1)
′
=
1
x +
√
x
2
+ 1
h
1 + (
p x
2
+ 1)
′
i
=
=
1
x +
√
x
2
+ 1
h
1 +
1 2
√
x
2
+ 1
(x
2
+ 1)
′
i
=
=
1
x +
√
x
2
+ 1
1 +
x
√
x
2
+ 1
=
=
1
x +
√
x
2
+ 1
·
x +
√
x
2
+ 1
√
x
2
+ 1
=
1
√
x
2
+ 1 6
. y Положим u и применим правила 18, 6 и 5:
y
′
= n
x
2x+2
n−1
x
2x+1
′
= n
x
2x+1
n−1 2x+1−2x
(2x+1)
2
=
nx n−1
(2x+1)
n+1 7
. y = x Применяя правило 17, получим y
′
= x x−1
· x + x x
log x = x x
(1 + log x).
8
. Функция y задана уравнением x
2
a
2
+
y
2
b
2
− 1 = как неявная функция от x. Требуется найти производную Если бы мы решили данное уравнение относительно y, то получили былевая часть уравнения после подстановки y = f (очевидно, обращается тождественно в нуль. Но производная от нуля как производная от постоянной равна нулю, а потому если мы продифференцируем левую часть данного уравнения по x, считая, что y есть заданная этим уравнением функция от x, то должны получить нуль a
2
+
2y b
2
y
′
= откуда y
′
= −
b
2
x В этом случае, как мы видим, выражается не только через x, но и через y, но затонам не пришлось для отыскания производной решать уравнение (5) относительно y, те. находить явное выражение функции
50]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
149
Как известно из аналитической геометрии, уравнению (5) соответствует эллипс, и найденное выражение дает угловой коэффициент касательной к этому эллипсу в точке с координатами (x, y).
50. Понятие о дифференциале. Пусть ∆x — произвольное приращение независимой переменной, которое мы считаем уже независящим от Мы будем называть его дифференциалом независимой переменной и обозначить знаком ∆x либо dx. Знак этот нив коем случае не является произведением d на x, а служит лишь символом для обозначения произвольной, независящей отвели- чины.
Дифференциалом функции называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной.
Дифференциал функции y = f (x) обозначают символом dy или df (x):
dy = df (x) = Из этой формулы естественно получается выражение производной в виде частного двух дифференциалов) =
dy Подчеркнем, что дифференциал dx независимого переменного,
входящий в определение дифференциала функции ив формулу (может принимать совершенно произвольные значения. Фиксируя
Рис. 54.
какое-либо значение dx, мы по формуле (получаем соответствующее значение dy при заданном x. Если мы считаем dx приращением независимого переменного x, то надо,
чтобы не только x, но и x + dx принадлежали промежутку, на котором определена функция. Но и при этом дифференциал функции dy не совпадает, кроме исключительных случаев, с приращением функции, соответствующим приращению dx независимого перемен- ного.
*
Это означает, что все рассмотрения проводятся для фиксированной точки x.
50]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
151
откуда видно, что разность между dy и ∆y равна (−ε∆x). Но отношение) к ∆x, равное (−ε), стремится к нулю вместе ст. е. разность между dy и ∆y есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x. Заметим, что знак этой разности может быть любым. На нашем чертеже и ∆x и эта разность имеют знак (Формула (6) дает правило нахождения дифференциала функции. Применим его к некоторым частным случаям. Если c есть постоянная, тот. е. дифференциал постоянной равен нулю = [cu(x)]
′
dx = cu
′
(x)dx = c те. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала+ w
′
(x)dx =
= du(x) + dv(x) + те. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых. d[u(x)v(x)w(x)] = [u(x)v(x)w(x)]
′
dx =
= v(x)w(x)u
′
(x)dx + u(x)w(x)v
′
(x)dx + u(x)v(x)w
′
(x)dx =
= v(x)w(x)du(x) + u(x)w(x)dv(x) + те. дифференциал произведения равен сумме произведений дифференциалов каждого из сомножителей на все остальные сомножи- тели.
Мы ограничились случаем трех сомножителей. Тот же вывод годится и для любого конечного числа сомножителей.
*
Можно говорить, что дифференциал есть линейная по ∆x часть приращения функции
. y = log(x +
p x
2
+ Полагая сначала u = x +
√
x
2
+ 1 и затем v = x
2
+ 1, применим два раза правило 18, а также правила 7, 3 и 6:
y
′
=
1
x +
√
x
2
+ 1
(x +
p x
2
+ 1)
′
=
1
x +
√
x
2
+ 1
h
1 + (
p x
2
+ 1)
′
i
=
=
1
x +
√
x
2
+ 1
h
1 +
1 2
√
x
2
+ 1
(x
2
+ 1)
′
i
=
=
1
x +
√
x
2
+ 1
1 +
x
√
x
2
+ 1
=
=
1
x +
√
x
2
+ 1
·
x +
√
x
2
+ 1
√
x
2
+ 1
=
1
√
x
2
+ 1 6
. y Положим u и применим правила 18, 6 и 5:
y
′
= n
x
2x+2
n−1
x
2x+1
′
= n
x
2x+1
n−1 2x+1−2x
(2x+1)
2
=
nx n−1
(2x+1)
n+1 7
. y = x Применяя правило 17, получим y
′
= x x−1
· x + x x
log x = x x
(1 + log x).
8
. Функция y задана уравнением x
2
a
2
+
y
2
b
2
− 1 = как неявная функция от x. Требуется найти производную Если бы мы решили данное уравнение относительно y, то получили былевая часть уравнения после подстановки y = f (очевидно, обращается тождественно в нуль. Но производная от нуля как производная от постоянной равна нулю, а потому если мы продифференцируем левую часть данного уравнения по x, считая, что y есть заданная этим уравнением функция от x, то должны получить нуль a
2
+
2y b
2
y
′
= откуда y
′
= −
b
2
x В этом случае, как мы видим, выражается не только через x, но и через y, но затонам не пришлось для отыскания производной решать уравнение (5) относительно y, те. находить явное выражение функции
50]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
149
Как известно из аналитической геометрии, уравнению (5) соответствует эллипс, и найденное выражение дает угловой коэффициент касательной к этому эллипсу в точке с координатами (x, y).
50. Понятие о дифференциале. Пусть ∆x — произвольное приращение независимой переменной, которое мы считаем уже независящим от Мы будем называть его дифференциалом независимой переменной и обозначить знаком ∆x либо dx. Знак этот нив коем случае не является произведением d на x, а служит лишь символом для обозначения произвольной, независящей отвели- чины.
Дифференциалом функции называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной.
Дифференциал функции y = f (x) обозначают символом dy или df (x):
dy = df (x) = Из этой формулы естественно получается выражение производной в виде частного двух дифференциалов) =
dy Подчеркнем, что дифференциал dx независимого переменного,
входящий в определение дифференциала функции ив формулу (может принимать совершенно произвольные значения. Фиксируя
Рис. 54.
какое-либо значение dx, мы по формуле (получаем соответствующее значение dy при заданном x. Если мы считаем dx приращением независимого переменного x, то надо,
чтобы не только x, но и x + dx принадлежали промежутку, на котором определена функция. Но и при этом дифференциал функции dy не совпадает, кроме исключительных случаев, с приращением функции, соответствующим приращению dx независимого перемен- ного.
*
Это означает, что все рассмотрения проводятся для фиксированной точки x.
Понятие о производной и его приложения
[50
Чтобы выяснить разницу между этими понятиями, обратимся к графику функции. Возьмем на нем некоторую точку M (x, y) и другую точку N . Проведем касательную M T , ординаты, соответствующие точками, и прямую M P параллельно OX (рис. Мы будем иметь P = M
1
N
1
= или dx),
P N = приращение y),
tg ∠P M Q = отсюда dy = f
′
(x)dx = M P tg ∠P M Q = P Дифференциал функции изображается отрезком P Q, не совпадающим с отрезком P N , который изображает приращение функции. Отрезок P Q изображает то приращение, которое получилось бы, если бы в промежутке (x, x + dx) мы заменили отрезок M кривой отрезком M Q касательной, те. если бы мы считали, что в этом промежутке приращение функции пропорционально приращению независимой переменной, и коэффициент пропорциональности взяли бы равным угловому коэффициенту касательной M T , или,
что тоже, равным производной Разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком N Q. Покажем, что если N Q стремится к нулю, то разность эта есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x Отношение в пределе дает производную, а потому [27]
∆y
∆x
= f
′
(x) + где ε есть величина бесконечно малая одновременно с ∆x. Из этого равенства получим = f
′
(x)∆x + ε∆x или = dy + ε∆x,
[50
Чтобы выяснить разницу между этими понятиями, обратимся к графику функции. Возьмем на нем некоторую точку M (x, y) и другую точку N . Проведем касательную M T , ординаты, соответствующие точками, и прямую M P параллельно OX (рис. Мы будем иметь P = M
1
N
1
= или dx),
P N = приращение y),
tg ∠P M Q = отсюда dy = f
′
(x)dx = M P tg ∠P M Q = P Дифференциал функции изображается отрезком P Q, не совпадающим с отрезком P N , который изображает приращение функции. Отрезок P Q изображает то приращение, которое получилось бы, если бы в промежутке (x, x + dx) мы заменили отрезок M кривой отрезком M Q касательной, те. если бы мы считали, что в этом промежутке приращение функции пропорционально приращению независимой переменной, и коэффициент пропорциональности взяли бы равным угловому коэффициенту касательной M T , или,
что тоже, равным производной Разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком N Q. Покажем, что если N Q стремится к нулю, то разность эта есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x Отношение в пределе дает производную, а потому [27]
∆y
∆x
= f
′
(x) + где ε есть величина бесконечно малая одновременно с ∆x. Из этого равенства получим = f
′
(x)∆x + ε∆x или = dy + ε∆x,
50]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
151
откуда видно, что разность между dy и ∆y равна (−ε∆x). Но отношение) к ∆x, равное (−ε), стремится к нулю вместе ст. е. разность между dy и ∆y есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x. Заметим, что знак этой разности может быть любым. На нашем чертеже и ∆x и эта разность имеют знак (Формула (6) дает правило нахождения дифференциала функции. Применим его к некоторым частным случаям. Если c есть постоянная, тот. е. дифференциал постоянной равен нулю = [cu(x)]
′
dx = cu
′
(x)dx = c те. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала+ w
′
(x)dx =
= du(x) + dv(x) + те. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых. d[u(x)v(x)w(x)] = [u(x)v(x)w(x)]
′
dx =
= v(x)w(x)u
′
(x)dx + u(x)w(x)v
′
(x)dx + u(x)v(x)w
′
(x)dx =
= v(x)w(x)du(x) + u(x)w(x)dv(x) + те. дифференциал произведения равен сумме произведений дифференциалов каждого из сомножителей на все остальные сомножи- тели.
Мы ограничились случаем трех сомножителей. Тот же вывод годится и для любого конечного числа сомножителей.
*
Можно говорить, что дифференциал есть линейная по ∆x часть приращения функции
Понятие о производной и его приложения. d u(x)
v(x)
=
h u(x)
v(x)
i
′
dx =
v(x)u
′
(x)dx − u(x)v
′
(x)dx
[v(x)]
2
=
=
v(x)du(x) − те. дифференциал частного (дроби) равен произведению дифференциала числителя на знаменатель минус произведение дифференциала знаменателя на числитель, все деленное на квадрат знаменателя. Рассмотрим сложную функцию y = f (u), где u есть функция от x. Определим dy, предполагая y зависящим от x:
dy = y
′
x dx = f
′
(u) · u
′
x dx = те. дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и была независимой переменной.
*
Рассмотрим численный пример для сравнения величины приращения функции с ее дифференциалом. Возьмем функцию y = f (x) = x
3
+ 2x
2
+ 4x + и рассмотрим ее приращение f (2, 01) − f(2) = 2, 01 3
+ 2 · 2, 01 2
+ 4 · 2, 01 + 10 − (2 3
+ 2 · 2 2
+ 4 · 2 + Производя все действия, получим для приращения величину = f (2, 01) − f(2) = 0, Несравненно проще вычислить дифференциал функции. В данном случае dx = 2, 01 − 2 = 0, 01 и дифференциалом функции будет dy = (3x
2
+ 4x + 4)dx = (3 · 2 2
+ 4 · 2 + 4) · 0, 01 = 0, Сравнивая dy и ∆y, видим, что они совпадают до третьего десятичного знака.
*
В связи с этим говорят об инвариантности первого дифференциала
51]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка 51. Некоторые дифференциальные уравнения.
Мы показали,
что, заменяя в промежутке (x, x + dx) приращение функции ее дифференциалом, мы применяем закон прямой пропорциональности между приращениями функции и независимой переменной с соответствующим коэффициентом пропорциональности, и что такая замена приводит к ошибке, которая является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с dx. На этом основано применение анализа бесконечно малых к исследованию явлений природы.
Наблюдая некоторый процесс, стараются разбить его на малые элементы, к каждому из которых, пользуясь его малостью, применяют закон прямой пропорциональности. В пределе получают таким образом уравнение, представляющее собою соотношение между независимой переменной, функцией и их дифференциалами (или производной. Уравнение это называется дифференциальным уравнением, соответствующим рассматриваемому процессу. Задача нахождения самой функции по дифференциальному уравнению есть задача интегрирования дифференциального уравнения.
Итак, при применении анализа бесконечно малых к изучению какого- либо закона природы, необходимо составить дифференциальное уравнение рассматриваемого закона природы и проинтегрировать его. Эта последняя задача обычно бывает гораздо труднее первой, и о ней мы будем говорить впоследствии. В дальнейших примерах выведем дифференциальные уравнения, соответствующие некоторым простейшим явлениям природы. Барометрическая формула. Давление атмосферы p, рассчитываемое на единицу площади, есть, очевидно, функция высоты h над поверхностью земли. Рассмотрим вертикальный цилиндрический столб воздуха с площадью поперечного сечения, равной единице. Проведем два поперечных сечения A и на высотах h и h + dh. При переходе отсечения к сечению давление p уменьшится (если dh > 0) на величину, равную весу воздуха, который заключается в части цилиндра между A и Если dh мала, можем приближенно считать плотность ρ воздуха в этой части цилиндра постоянной. Площадь основания столбика равна единице, его высота dh и, следовательно, объема искомый вес ρ Итак, уменьшение p (при dh > 0) равно ρ dh:
dp = −ρ Согласно закону Бойля—Мариотта, плотность ρ пропорционально давлению постоянная
51]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
155
где мы пишем знак (−), так как dθ в рассматриваемом случае отрицательно (температура понижается. Сравнивая эти два выражения получим dθ = −cθdt
c или dθ
dt
= −cθ;
c есть величина постоянная, если мы будем считать теплоемкость k постоянной. Выведенные нами дифференциальные уравнения имеют одинаковую форму. Все они выражают то свойство, что производная пропорциональна самой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности (В [38] мы показали, что при непрерывных процентах с основного капитала через t лет образуется наращенный капитал ae kt
, где k — процентная такса, выраженная в сотых долях = ae Вычисляя производную, получим y
′
= ake kt
= те. в этом случае мы получаем тоже свойство пропорциональности производной и самой функции, благодаря чему свойство это называют законом сложных процентов. Впоследствии мы покажем, что функция (дает все решения дифференцированного уравнения (8) при произвольном значении постоянной a, вместо которой будем писать Таким образом, решения наших уравнений могут быть представлены в виде (заменяя k на −c):
p(h) = Ce
−ch
, y(t) = Ce
−ct
, θ(t) = где C — постоянная. Определим теперь физическое значение постоянной c в каждой из предыдущих формул. Подставляя в первую из формул h = 0, получим = p(0) = где есть, таким образом, давление атмосферы прите. на поверхности земли. Вторая из формул придаст нам = те есть масса, не вступившая в реакцию в начальный момент времени,
и ее мы раньше обозначали буквою a. Наконец, подставляя t = 0 в третью
52]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
157
и, следовательно 6
du u
+
dv те. относительная ошибка произведения не больше суммы относительных ошибок сомножителей.
То же правило получаем и для частного, так как d
u v
=
vdu − udv v
2
,
d u
v u
v
=
du u
−
dv v
,
d u
v u
v
6
du u
+
dv v
3
. Рассмотрим формулу для площади круга = πr
2
, dQ = 2πr dr,
dQ
Q
=
2πr dr
πr
2
= 2
dr те. относительная ошибка при определении площади круга понаписанной выше формуле равна удвоенной относительной ошибке при определении радиуса. Положим, что определяется угол ϕ по логарифму его синуса и тангенса. Согласно правилам дифференцирования имеем d(log
10
sin ϕ) =
cos ϕdϕ
log 10 · sin ϕ
, d(log
10
tg ϕ) =
dϕ
log 10 · tg ϕ · откуда dϕ =
log 10 · sin ϕ
cos ϕ
d(log
10
sin ϕ), dϕ = log 10 · sin ϕ cos ϕd(log
10
tg ϕ). (Предположим, что при определении log
10
sin ϕ и log
10
tg ϕ мы сделали одну и туже ошибку (эта ошибка зависит от числа десятичных знаков в той таблице логарифмов, которой мы пользуемся. Первая из формул) даст для dϕ величину по абсолютному значению большую, чем вторая из формул (11), так как впервой формуле произведение log 10 · sin делится, а во второй формуле умножается на cos ϕ, а cos ϕ
< 1. Таким образом, при вычислении углов выгоднее пользоваться таблицей для log
10
tg ϕ.
53]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков 4. y = log(1 + x), y
′
=
1 1+x
, y
′′
= −
1
(1+x)
2
, y
′′′
=
1·2
(1+x)
3
, . . .
y
(n)
= (1−)
n+1 (n−1)!
(1+x)
n
5. Рассмотрим сумму функций y = u + v + Применяя правило дифференцирования суммы и считая, что соответствующие производные функции u, v и w существуют, получим+ те. производная любого порядка от суммы равна сумме производных того же порядка. Например = x
3
− 4x
2
+ 7x + 10; y
′
= 3x
2
− 8x + 7, y
′′
= 6x − 8; y
′′′
= 6,
y
(4)
= 0 и, вообще, y
(n)
= 0 при n > Таким же путем можно показать, вообще, что производная го порядка от многочлена й степени равна 0, если n > Рассмотрим теперь произведение двух функций y = uv. Применяя правила дифференцирования произведения и суммы, получим y
′
= u
′
v + uv
′
,
y
′′
= u
′′
v + u
′
v
′
+ u
′
v
′
+ uv
′′
= u
′′
v + 2u
′
v
′
+ uv
′′
,
y
′′′
= u
′′′
v + u
′′
v
′
+ 2u
′′
v
′
+ 2u
′
v
′′
+ u
′
v
′′
+ uv
′′′
=
= u
′′′
v + 3u
′′
v
′
+ 3u
′
v
′′
+ Мы подмечаем следующий закон составления производных:
чтобы составить производную го порядка от произведения надо (u+v)
n разложить по формуле бинома Ньютона ив полученном разложении заменить показатели степеней y u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u
0
= v
0
= входящие в крайние члены разложения, заменить самими функциями Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[53
Правило это называется правилом Лейбница и символически его записывают в следующем виде (u + Докажем справедливость этого правила, пользуясь способом доказательства по индукции. Положим, что для й производной это правило справедливо, те · · + uv
(n)
. (Чтобы получить y
(n+1)
, надо написанную сумму продифференцировать по x. При этом произведение в общем члене суммы, согласно правилу дифференцирования произведения, заменится суммой u
(n−k+1)
v
(k)
+ u
(n−k)
v
(k+1)
. Нов символических обозначениях эту сумму можно написать в виде u
n−k v
k
(u + Действительно, раскрывая скобки и заменяя показатели степеней указателями порядка производных, мы и получим сумму u
(n−k+1)
v
(k)
+ u
(n−k)
v
(k+1)
. Мы видим, таким образом, что для получения надо каждое слагаемое в сумме (1), а потому и всю эту сумму, помножить символически на (u + v), и, следовательно (u + v)
(n)
· (u + v) = (u + Мы показали, что если правило Лейбница справедливо для некоторого n, то оно справедливо и для (n+ 1). Но непосредственно мы убедились, что оно справедливо для n = 1, 2 и 3, а следовательно, оно справедливо и для всех значений Рассмотрим в качестве примера y = e x
(3x
2
− и найдем y
(100)
:
54]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков (e x
)
(100)
(3x
2
− 1)+
+
100 1
(e x
)
(99)
(3x
2
− 1)
′
+
100 · 99 1 · 2
(e x
)
(98)
(3x
2
− 1)
′′
+
+
100 · 99 · 98 1 · 2 · 3
(e x
)
(97)
(3x
2
− 1)
′′′
+ · · · + e x
(3x
2
− Все производные многочлена второй степени, начиная с третьей, равны тождественно нулю и (e x
)
(n)
= e x
, вследствие чего мы получим y
(100)
= e x
(3x
2
− 1) + 100e x
· 6x + 4950e x
· 6 = e x
(3x
2
+ 600x + 29 699).
54. Механическое значение второй производной. Рассмотрим прямолинейное движение точки = f (где, как всегда, t есть время и s — путь, отсчитываемый от определенной точки прямой. Дифференцируя один раз по t, получим скорость движения = Составим вторую производную, которая представляет собою предел отношения при стремлении ∆t к нулю. Отношение характеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени и дает среднее ускорение за этот промежуток времени, а предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю дает ускорение w рассматриваемого движения в момент времени t:
w = Положим, что f (t) есть многочлен второй степени = at
2
+ bt + c, v = 2at + b, w = те. ускорение w постоянно и коэффициент a =
1 2
w. Подставляя t = 0, получим b = v
0
, те. коэффициент b равен начальной скорости, и c = s
0
, те равно расстоянию точки в момент времени t = от начала координат на прямой. Подставляя найденные значения a, b ив выражение для s, получим формулу для пути в равномерно ускоренном (w > 0) или равномерно замедленном (w < движении =
1 2
wt
2
+ v
0
t + s
0
55]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков
163
ции; он называется дифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символами d
2
y, или d
2
f (x):
d
2
y = d(dy) = [f
′
(x)dx]
′
dx = Составляя опять дифференциал полученной функции от x, придем к дифференциалу третьего порядка = d(d
2
y) = [f
′′
(x)dx
2
]
′
dx = и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем к понятию о дифференциале го порядка функции f (x) и получим для него выражение n
f (или d n
y = f
(n)
(x)dx Эта формула позволяет представить производную го порядка в виде частного) =
d n
y dx Рассмотрим теперь случай сложной функции y = f (u), где u функция некоторой независимой переменной. Мы знаем [50], что первый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как ив том случае, когда u — независимая переменная = При определении дифференциалов высших порядков мы получим формулы, отличные по виду от формулы (2), ибо мы не имеем уже права считать du величиной постоянной, так как u не является независимой переменной. Так, например, для дифференциала второго порядка будем иметь, применяя правило для нахождения дифференциала произведения, выражение d
2
y = d[f
′
(u)du] = dud[f
′
(u)] + f
′
(u)d(du) = f
′′
(u)du
2
+ которое содержит, по сравнению с формулой (2), добавочное слагаемое Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[56
Если u есть независимая переменная, то du надо считать величиной постоянной и d
2
u = 0. Положим теперь, что u есть линейная функция независимой переменной t, те+ При этом du = adt, те есть опять величина постоянная, а потому дифференциалы высших порядков сложной функции будут выражены по формуле (2):
d n
f (u) = f
(n)
(u)du те. выражение (2) для дифференциалов высших порядков годится в том случае, если x есть независимая переменная или линейная функция независимой переменной. Разности
*
функций. Обозначим буквою h приращение независимой переменной. Соответственное приращение функции y = f (x) будет = f (x + h) − Его называют иначе разностью первого порядка функции f (x). Эта разность есть, в свою очередь, функция от x, и мы можем найти разность этой функции, вычисляя значение этой функции при x+h и x и вычитая из первого результата второй. Эта разность называется разностью второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символом ∆
2
y. Нетрудно выразить ∆
2
y через значения самой функции f (x):
∆
2
y = ∆(∆y) = [f (x + 2h) − f(x + h)] − [f(x + h) − f(x)] =
= f (x + 2h) − 2f(x + h) + f(x). (Эта разность второго порядка также есть функция от x, и, определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка первоначальной функции f (x). Заменяя в правой части равенства на x + h и вычитая из полученного результата правую часть равенства (5), будем иметь выражение для В современной математической литературе обычно используется термин
«приращение функций
56]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков = [f (x + 3h) − 2f(x + 2h) + f(x + h)]−
− [f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x)] =
= f (x + 3h) − 3f(x + 2h) + 3f(x + h) − Таким образом, можно последовательно определить разность любого порядка, и разность го порядка ∆
n y будет иметь следующее выражение через значения функции f (x):
∆
n y = f (x + nh) −
n
1
f (x + n − 1h) +
n(n − 1)
2!
f (x + n − 2h)−
− · · · + (−1)
k n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k!
f (x + n − kh)+
+ · · · + (−1)
n f (Выше мы убедились в справедливости этой формулы при n =
1, 2 и 3. Для ее полного доказательства надо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1). Заметим, что для вычисления надо знать (n + 1) значения функции f (x) при значениях аргумента x, x+h, x+2h, . . . , x+nh. Эти значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью h; или, как говорят,
являются равноотстоящими значениями.
При малых значениях h = dx разность ∆y мало отличается от дифференциала dy. Точно также разности высших порядков будут давать приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков, и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имея аналитического выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения ее производных различных порядков, но вместо точной формулы (3) можем получить приближенное значение производных, вычисляя отношение y
∆x n
. Составим для примера таблицу разностей и дифференциалов функции y = в промежутке (2, принимая = h = 0, Для составления этой таблицы были вычислены последовательные значения функции y = x
3
, из них при помощи вычитания,
согласно формуле (4), были получены значения ∆y, из них также при помощи вычитания получились значения ∆
2
y и т. д. Такой
57]
§ 5. Приложение к изучению функций
167
степени, ∆
3
y — постоянной и ∆
4
y — нулем (см. таблицу. Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что значения d
2
y должны в рассматриваемом примерена одну ступень запаздывать по сравнению с ∆
2
y, что видно из таблицы 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ
О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИИ. Признаки возрастания и убывания функций. Знание производной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именно с вопроса о возрастании и убывании функции.
Функция f (x) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции,
т. е. если f (x + h) − f(x) > 0 при h > Наоборот, если мы имеем (x + h) − f(x) < 0 при h > то функция называется убывающей.
Рис. Если мы обратимся к графику функции, то промежутки возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых большим абсциссам соответствуют и большие ординаты. Если мы, как это сделано на рис. 55, направим ось OX вправо и ось OY наверх, то промежутку возрастания функции будут соответствовать такие части графика, что при движении вдоль кривой вправо в направлении возрастающих абсцисс мы подымаемся вверх. Наоборот, промежуткам убывания соответствуют части кривой, опускающиеся вниз при движении вдоль
57]
§ 5. Приложение к изучению функций 2
. Точно также можно доказать неравенство x > log(1 + x) при x > Составим разность f (x) = x − log(1 + откуда f
′
(x) = 1 −
1 1 + Из этого выражения видно, что при x > 0 и f
′
(x) > 0 те) возрастает в промежутке (0, +∞), но f(0) = 0, и, следовательно (x) = x − log(1 + x) > 0 прите) при x > 0.
3
. Рассмотрим уравнение Кеплера, о котором мы говорили в [31]:
x = q sin x + a
(0 < q < Мы можем переписать его в виде f (x) = x − q sin x − a = Составляя производную f
′
(x), получим f
′
(x) = 1 − q cos Принимая во внимание, что произведение q cos x по абсолютному значению меньше единицы, так как по условию q заключается между нулем и единицей, можем утверждать, что f
′
(x) > 0 при любом значении а потому f (x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и, следовательно, не может обратиться более одного раза в нуль, те. уравнение Кеплера не может иметь более одного вещественного корня.
Если постоянная a кратна π, те, где k — целое число, то,
непосредственно подставляя x = kπ, получим f (kπ) = 0, и x = kπ будет единственным корнем уравнения Кеплера. Если a не кратно π, то можно найти такое целое число k, что kπ < a < (k + 1)π.
v(x)
=
h u(x)
v(x)
i
′
dx =
v(x)u
′
(x)dx − u(x)v
′
(x)dx
[v(x)]
2
=
=
v(x)du(x) − те. дифференциал частного (дроби) равен произведению дифференциала числителя на знаменатель минус произведение дифференциала знаменателя на числитель, все деленное на квадрат знаменателя. Рассмотрим сложную функцию y = f (u), где u есть функция от x. Определим dy, предполагая y зависящим от x:
dy = y
′
x dx = f
′
(u) · u
′
x dx = те. дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и была независимой переменной.
*
Рассмотрим численный пример для сравнения величины приращения функции с ее дифференциалом. Возьмем функцию y = f (x) = x
3
+ 2x
2
+ 4x + и рассмотрим ее приращение f (2, 01) − f(2) = 2, 01 3
+ 2 · 2, 01 2
+ 4 · 2, 01 + 10 − (2 3
+ 2 · 2 2
+ 4 · 2 + Производя все действия, получим для приращения величину = f (2, 01) − f(2) = 0, Несравненно проще вычислить дифференциал функции. В данном случае dx = 2, 01 − 2 = 0, 01 и дифференциалом функции будет dy = (3x
2
+ 4x + 4)dx = (3 · 2 2
+ 4 · 2 + 4) · 0, 01 = 0, Сравнивая dy и ∆y, видим, что они совпадают до третьего десятичного знака.
*
В связи с этим говорят об инвариантности первого дифференциала
51]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка 51. Некоторые дифференциальные уравнения.
Мы показали,
что, заменяя в промежутке (x, x + dx) приращение функции ее дифференциалом, мы применяем закон прямой пропорциональности между приращениями функции и независимой переменной с соответствующим коэффициентом пропорциональности, и что такая замена приводит к ошибке, которая является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с dx. На этом основано применение анализа бесконечно малых к исследованию явлений природы.
Наблюдая некоторый процесс, стараются разбить его на малые элементы, к каждому из которых, пользуясь его малостью, применяют закон прямой пропорциональности. В пределе получают таким образом уравнение, представляющее собою соотношение между независимой переменной, функцией и их дифференциалами (или производной. Уравнение это называется дифференциальным уравнением, соответствующим рассматриваемому процессу. Задача нахождения самой функции по дифференциальному уравнению есть задача интегрирования дифференциального уравнения.
Итак, при применении анализа бесконечно малых к изучению какого- либо закона природы, необходимо составить дифференциальное уравнение рассматриваемого закона природы и проинтегрировать его. Эта последняя задача обычно бывает гораздо труднее первой, и о ней мы будем говорить впоследствии. В дальнейших примерах выведем дифференциальные уравнения, соответствующие некоторым простейшим явлениям природы. Барометрическая формула. Давление атмосферы p, рассчитываемое на единицу площади, есть, очевидно, функция высоты h над поверхностью земли. Рассмотрим вертикальный цилиндрический столб воздуха с площадью поперечного сечения, равной единице. Проведем два поперечных сечения A и на высотах h и h + dh. При переходе отсечения к сечению давление p уменьшится (если dh > 0) на величину, равную весу воздуха, который заключается в части цилиндра между A и Если dh мала, можем приближенно считать плотность ρ воздуха в этой части цилиндра постоянной. Площадь основания столбика равна единице, его высота dh и, следовательно, объема искомый вес ρ Итак, уменьшение p (при dh > 0) равно ρ dh:
dp = −ρ Согласно закону Бойля—Мариотта, плотность ρ пропорционально давлению постоянная
Понятие о производной и его приложения
[51
и мы окончательно получаем дифференциальное уравнение = −cp dh или dp dh
= −cp.
2. Химические реакции первого порядка. Пусть некоторое вещество,
масса которого есть a, вступает в химическую реакцию. Обозначим буквой ту часть этой массы, которая уже вступила в реакцию к моменту времени t, отсчитываемому от начала реакции. Очевидно, x есть функция от t. Для некоторых реакций можно приближенно считать, что количество вещества dx, вступившее в реакцию за промежуток времени от момента t до момента t + dt, при малом dt пропорционально dt и количеству вещества, которое к моменту t оставалось не вступившим в реакцию = c(a − x)dt или dx dt
= c(a − Преобразуем это дифференциальное уравнение, вводя вместо x новую функцию y = a − x, где y обозначает массу, которая остается не вступившей в реакцию к моменту времени t. Принимая во внимание, что a есть постоянная, получим dy dt
= −
dx и дифференциальное уравнение химической реакции первого порядка может быть переписано в виде dy dt
= −cy.
3. Закон охлаждения. Положим, что некоторое тело, нагретое до высокой температуры, помещается в среду, имеющую постоянную температуру. При охлаждении тела его температура θ будет функцией времени, которое мы будет отсчитывать от момента помещения тела в среду.
Количество тепла dQ, отданного телом за промежуток времени dt, будем приближенно считать пропорциональным длительности dt этого промежутка и разности температур тела и среды к моменту времени t (закон охлаждения Ньютона. Мы можем тогда написать dQ = c
1
θdt
(c
1
— постоянная).
Обозначив буквой k теплоемкость тела, имеем dQ = −k dθ,
[51
и мы окончательно получаем дифференциальное уравнение = −cp dh или dp dh
= −cp.
2. Химические реакции первого порядка. Пусть некоторое вещество,
масса которого есть a, вступает в химическую реакцию. Обозначим буквой ту часть этой массы, которая уже вступила в реакцию к моменту времени t, отсчитываемому от начала реакции. Очевидно, x есть функция от t. Для некоторых реакций можно приближенно считать, что количество вещества dx, вступившее в реакцию за промежуток времени от момента t до момента t + dt, при малом dt пропорционально dt и количеству вещества, которое к моменту t оставалось не вступившим в реакцию = c(a − x)dt или dx dt
= c(a − Преобразуем это дифференциальное уравнение, вводя вместо x новую функцию y = a − x, где y обозначает массу, которая остается не вступившей в реакцию к моменту времени t. Принимая во внимание, что a есть постоянная, получим dy dt
= −
dx и дифференциальное уравнение химической реакции первого порядка может быть переписано в виде dy dt
= −cy.
3. Закон охлаждения. Положим, что некоторое тело, нагретое до высокой температуры, помещается в среду, имеющую постоянную температуру. При охлаждении тела его температура θ будет функцией времени, которое мы будет отсчитывать от момента помещения тела в среду.
Количество тепла dQ, отданного телом за промежуток времени dt, будем приближенно считать пропорциональным длительности dt этого промежутка и разности температур тела и среды к моменту времени t (закон охлаждения Ньютона. Мы можем тогда написать dQ = c
1
θdt
(c
1
— постоянная).
Обозначив буквой k теплоемкость тела, имеем dQ = −k dθ,
51]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
155
где мы пишем знак (−), так как dθ в рассматриваемом случае отрицательно (температура понижается. Сравнивая эти два выражения получим dθ = −cθdt
c или dθ
dt
= −cθ;
c есть величина постоянная, если мы будем считать теплоемкость k постоянной. Выведенные нами дифференциальные уравнения имеют одинаковую форму. Все они выражают то свойство, что производная пропорциональна самой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности (В [38] мы показали, что при непрерывных процентах с основного капитала через t лет образуется наращенный капитал ae kt
, где k — процентная такса, выраженная в сотых долях = ae Вычисляя производную, получим y
′
= ake kt
= те. в этом случае мы получаем тоже свойство пропорциональности производной и самой функции, благодаря чему свойство это называют законом сложных процентов. Впоследствии мы покажем, что функция (дает все решения дифференцированного уравнения (8) при произвольном значении постоянной a, вместо которой будем писать Таким образом, решения наших уравнений могут быть представлены в виде (заменяя k на −c):
p(h) = Ce
−ch
, y(t) = Ce
−ct
, θ(t) = где C — постоянная. Определим теперь физическое значение постоянной c в каждой из предыдущих формул. Подставляя в первую из формул h = 0, получим = p(0) = где есть, таким образом, давление атмосферы прите. на поверхности земли. Вторая из формул придаст нам = те есть масса, не вступившая в реакцию в начальный момент времени,
и ее мы раньше обозначали буквою a. Наконец, подставляя t = 0 в третью
Понятие о производной и его приложения
[52
из формул (9), убедимся также, что C есть начальная температура тела в момент его помещения в среду. Итак, окончательно имеем p(h) = p
0
e
−ch
, y(t) = ae
−ct
, θ(t) = θ
0
e
−ct
(10)
52. Оценка погрешностей.
При практическом определении или неточном вычислении какой-либо величины x получается ошибка ∆x, которая называется абсолютной ошибкой или абсолютной погрешностью наблюдения или вычисления. Она не характеризует точности наблюдения. Например, ошибка около 1 см при определении длины комнаты практически допустима, а такая же ошибка при определении расстоянии двух близких предметов (например, свечи от экрана фотометра) указывает на большую неточность измерения. Поэтому вводят еще понятие об относительной погрешности, которая равна абсолютной величине отношения абсолютной погрешности к значению самой измеряемой величины.
Положим теперь, что некоторая величина y определяется из уравнения. Ошибка ∆x при определении величины x повлечет за собой ошибку ∆y. При малых значениях ∆x можно заменить приближенно дифференциалом dy, так что относительная погрешность при определении величины y выражается формулой dy Примеры. Сила тока i определяется, как известно, по тангенс- гальванометру из формулы = c tg Пусть dϕ — ошибка при отсчете угла ϕ:
di =
c cos
2
ϕ
dϕ,
di i
=
c cos
2
ϕ · c tg ϕ
dϕ =
2
sin откуда видно, что относительная ошибка di i
при определении i будет тем меньше, чем ближе ϕ к 45
◦
2
. Рассмотрим произведение uv:
d(uv) = vdu + udv,
d(uv)
uv
=
du u
+
dv v
,
[52
из формул (9), убедимся также, что C есть начальная температура тела в момент его помещения в среду. Итак, окончательно имеем p(h) = p
0
e
−ch
, y(t) = ae
−ct
, θ(t) = θ
0
e
−ct
(10)
52. Оценка погрешностей.
При практическом определении или неточном вычислении какой-либо величины x получается ошибка ∆x, которая называется абсолютной ошибкой или абсолютной погрешностью наблюдения или вычисления. Она не характеризует точности наблюдения. Например, ошибка около 1 см при определении длины комнаты практически допустима, а такая же ошибка при определении расстоянии двух близких предметов (например, свечи от экрана фотометра) указывает на большую неточность измерения. Поэтому вводят еще понятие об относительной погрешности, которая равна абсолютной величине отношения абсолютной погрешности к значению самой измеряемой величины.
Положим теперь, что некоторая величина y определяется из уравнения. Ошибка ∆x при определении величины x повлечет за собой ошибку ∆y. При малых значениях ∆x можно заменить приближенно дифференциалом dy, так что относительная погрешность при определении величины y выражается формулой dy Примеры. Сила тока i определяется, как известно, по тангенс- гальванометру из формулы = c tg Пусть dϕ — ошибка при отсчете угла ϕ:
di =
c cos
2
ϕ
dϕ,
di i
=
c cos
2
ϕ · c tg ϕ
dϕ =
2
sin откуда видно, что относительная ошибка di i
при определении i будет тем меньше, чем ближе ϕ к 45
◦
2
. Рассмотрим произведение uv:
d(uv) = vdu + udv,
d(uv)
uv
=
du u
+
dv v
,
52]
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка
157
и, следовательно 6
du u
+
dv те. относительная ошибка произведения не больше суммы относительных ошибок сомножителей.
То же правило получаем и для частного, так как d
u v
=
vdu − udv v
2
,
d u
v u
v
=
du u
−
dv v
,
d u
v u
v
6
du u
+
dv v
3
. Рассмотрим формулу для площади круга = πr
2
, dQ = 2πr dr,
dQ
Q
=
2πr dr
πr
2
= 2
dr те. относительная ошибка при определении площади круга понаписанной выше формуле равна удвоенной относительной ошибке при определении радиуса. Положим, что определяется угол ϕ по логарифму его синуса и тангенса. Согласно правилам дифференцирования имеем d(log
10
sin ϕ) =
cos ϕdϕ
log 10 · sin ϕ
, d(log
10
tg ϕ) =
dϕ
log 10 · tg ϕ · откуда dϕ =
log 10 · sin ϕ
cos ϕ
d(log
10
sin ϕ), dϕ = log 10 · sin ϕ cos ϕd(log
10
tg ϕ). (Предположим, что при определении log
10
sin ϕ и log
10
tg ϕ мы сделали одну и туже ошибку (эта ошибка зависит от числа десятичных знаков в той таблице логарифмов, которой мы пользуемся. Первая из формул) даст для dϕ величину по абсолютному значению большую, чем вторая из формул (11), так как впервой формуле произведение log 10 · sin делится, а во второй формуле умножается на cos ϕ, а cos ϕ
< 1. Таким образом, при вычислении углов выгоднее пользоваться таблицей для log
10
tg ϕ.
Гл. II. Понятие о производной и его приложения 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Производные высших порядков. Производная функции y = f (x) есть, как мы знаем, также функция от x. Дифференцируя ее, мы получаем новую функцию, которая называется второй производной, или производной второго порядка, первоначальной функции f (x) и обозначаются так:
y
′′
,
или Дифференцируя вторую производную, получаем производную третьего порядка, или третью производную:
y
′′′
,
или Применяя таким образом, операцию дифференцирования, получим производную любого го порядка y
(n)
, или Рассмотрим несколько примеров. y = e ax
, y
′
= ae ax
, y
′′
= a
2
e ax
, . . . , y
(n)
= a n
e ax
2. y = (ax + b)
k
, y
′
= ak(ax + b)
k−1
,
y
′′
= a
2
k(k − 1)(ax + b)
k−2
, . . . ,
y
(n)
= a n
k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n + 1)(ax + b)
k−n
3. Мы знаем, что x)
′
= cos x = sin
x +
π
2
, (cos x) = − sin x = cos
x +те. дифференцирование sin x и cos x приводится к прибавлению числа
π
2
к аргументу, а потому x)
′′
=
h sin
x +
π
2
i
= sin
x + 2
π
2
·
x +
π
2
′
= sin
x + и, вообще x)
(n)
= sin
x + и (cos x)
(n)
= cos
x + n
π
2
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Производные высших порядков. Производная функции y = f (x) есть, как мы знаем, также функция от x. Дифференцируя ее, мы получаем новую функцию, которая называется второй производной, или производной второго порядка, первоначальной функции f (x) и обозначаются так:
y
′′
,
или Дифференцируя вторую производную, получаем производную третьего порядка, или третью производную:
y
′′′
,
или Применяя таким образом, операцию дифференцирования, получим производную любого го порядка y
(n)
, или Рассмотрим несколько примеров. y = e ax
, y
′
= ae ax
, y
′′
= a
2
e ax
, . . . , y
(n)
= a n
e ax
2. y = (ax + b)
k
, y
′
= ak(ax + b)
k−1
,
y
′′
= a
2
k(k − 1)(ax + b)
k−2
, . . . ,
y
(n)
= a n
k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n + 1)(ax + b)
k−n
3. Мы знаем, что x)
′
= cos x = sin
x +
π
2
, (cos x) = − sin x = cos
x +те. дифференцирование sin x и cos x приводится к прибавлению числа
π
2
к аргументу, а потому x)
′′
=
h sin
x +
π
2
i
= sin
x + 2
π
2
·
x +
π
2
′
= sin
x + и, вообще x)
(n)
= sin
x + и (cos x)
(n)
= cos
x + n
π
2
53]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков 4. y = log(1 + x), y
′
=
1 1+x
, y
′′
= −
1
(1+x)
2
, y
′′′
=
1·2
(1+x)
3
, . . .
y
(n)
= (1−)
n+1 (n−1)!
(1+x)
n
5. Рассмотрим сумму функций y = u + v + Применяя правило дифференцирования суммы и считая, что соответствующие производные функции u, v и w существуют, получим+ те. производная любого порядка от суммы равна сумме производных того же порядка. Например = x
3
− 4x
2
+ 7x + 10; y
′
= 3x
2
− 8x + 7, y
′′
= 6x − 8; y
′′′
= 6,
y
(4)
= 0 и, вообще, y
(n)
= 0 при n > Таким же путем можно показать, вообще, что производная го порядка от многочлена й степени равна 0, если n > Рассмотрим теперь произведение двух функций y = uv. Применяя правила дифференцирования произведения и суммы, получим y
′
= u
′
v + uv
′
,
y
′′
= u
′′
v + u
′
v
′
+ u
′
v
′
+ uv
′′
= u
′′
v + 2u
′
v
′
+ uv
′′
,
y
′′′
= u
′′′
v + u
′′
v
′
+ 2u
′′
v
′
+ 2u
′
v
′′
+ u
′
v
′′
+ uv
′′′
=
= u
′′′
v + 3u
′′
v
′
+ 3u
′
v
′′
+ Мы подмечаем следующий закон составления производных:
чтобы составить производную го порядка от произведения надо (u+v)
n разложить по формуле бинома Ньютона ив полученном разложении заменить показатели степеней y u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u
0
= v
0
= входящие в крайние члены разложения, заменить самими функциями Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[53
Правило это называется правилом Лейбница и символически его записывают в следующем виде (u + Докажем справедливость этого правила, пользуясь способом доказательства по индукции. Положим, что для й производной это правило справедливо, те · · + uv
(n)
. (Чтобы получить y
(n+1)
, надо написанную сумму продифференцировать по x. При этом произведение в общем члене суммы, согласно правилу дифференцирования произведения, заменится суммой u
(n−k+1)
v
(k)
+ u
(n−k)
v
(k+1)
. Нов символических обозначениях эту сумму можно написать в виде u
n−k v
k
(u + Действительно, раскрывая скобки и заменяя показатели степеней указателями порядка производных, мы и получим сумму u
(n−k+1)
v
(k)
+ u
(n−k)
v
(k+1)
. Мы видим, таким образом, что для получения надо каждое слагаемое в сумме (1), а потому и всю эту сумму, помножить символически на (u + v), и, следовательно (u + v)
(n)
· (u + v) = (u + Мы показали, что если правило Лейбница справедливо для некоторого n, то оно справедливо и для (n+ 1). Но непосредственно мы убедились, что оно справедливо для n = 1, 2 и 3, а следовательно, оно справедливо и для всех значений Рассмотрим в качестве примера y = e x
(3x
2
− и найдем y
(100)
:
54]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков (e x
)
(100)
(3x
2
− 1)+
+
100 1
(e x
)
(99)
(3x
2
− 1)
′
+
100 · 99 1 · 2
(e x
)
(98)
(3x
2
− 1)
′′
+
+
100 · 99 · 98 1 · 2 · 3
(e x
)
(97)
(3x
2
− 1)
′′′
+ · · · + e x
(3x
2
− Все производные многочлена второй степени, начиная с третьей, равны тождественно нулю и (e x
)
(n)
= e x
, вследствие чего мы получим y
(100)
= e x
(3x
2
− 1) + 100e x
· 6x + 4950e x
· 6 = e x
(3x
2
+ 600x + 29 699).
54. Механическое значение второй производной. Рассмотрим прямолинейное движение точки = f (где, как всегда, t есть время и s — путь, отсчитываемый от определенной точки прямой. Дифференцируя один раз по t, получим скорость движения = Составим вторую производную, которая представляет собою предел отношения при стремлении ∆t к нулю. Отношение характеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени и дает среднее ускорение за этот промежуток времени, а предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю дает ускорение w рассматриваемого движения в момент времени t:
w = Положим, что f (t) есть многочлен второй степени = at
2
+ bt + c, v = 2at + b, w = те. ускорение w постоянно и коэффициент a =
1 2
w. Подставляя t = 0, получим b = v
0
, те. коэффициент b равен начальной скорости, и c = s
0
, те равно расстоянию точки в момент времени t = от начала координат на прямой. Подставляя найденные значения a, b ив выражение для s, получим формулу для пути в равномерно ускоренном (w > 0) или равномерно замедленном (w < движении =
1 2
wt
2
+ v
0
t + s
0
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[55
Вообще, зная закон изменения пути, мы можем, два раза дифференцируя по t, определить ускорение w, а следовательно, и силу f , производящую движение, так как, согласно второму закону Ньютона, где m — масса движущейся точки.
Все сказанное годится лишь для прямолинейного движения. В
случае криволинейного движения, как доказывается в механике) дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к траектории.
Рассмотрим для примера случай гармонического колебательного движения точки M , когда рассмотрение s этой точки от некоторой определенной точки O на прямой, по которой движется точка , определяется по формуле = a sin
2π
τ
t + где a — амплитуда, τ — период колебания и ω — фаза суть величины постоянные. Определим, дифференцируя, скорость v и силу f :
v =
2πa
τ
cos
2π
τ
t+ω
, f = mw = −
4π
2
m
τ
2
a sin
2π
τ
t+ω
= те. сила по величине пропорциональна длине отрезка OM и направлена в противоположную сторону. Иными словами, силана- правлена всегда от точки M к точке O и пропорциональна удалению точки M от точки O.
55. Дифференциалы высших порядков. Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции y = f (x). Ее дифференциал dy = f
′
(x)dx является, очевидно, функцией от x, ноне надо забывать при этом,
что дифференциал независимой переменной dx считается уже независящим от x [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель. Рассматривая dy как функцию от можно составить дифференциал этой функ-
*
Вообще говоря, дифференциал является функцией двух переменных x и dx
[55
Вообще, зная закон изменения пути, мы можем, два раза дифференцируя по t, определить ускорение w, а следовательно, и силу f , производящую движение, так как, согласно второму закону Ньютона, где m — масса движущейся точки.
Все сказанное годится лишь для прямолинейного движения. В
случае криволинейного движения, как доказывается в механике) дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к траектории.
Рассмотрим для примера случай гармонического колебательного движения точки M , когда рассмотрение s этой точки от некоторой определенной точки O на прямой, по которой движется точка , определяется по формуле = a sin
2π
τ
t + где a — амплитуда, τ — период колебания и ω — фаза суть величины постоянные. Определим, дифференцируя, скорость v и силу f :
v =
2πa
τ
cos
2π
τ
t+ω
, f = mw = −
4π
2
m
τ
2
a sin
2π
τ
t+ω
= те. сила по величине пропорциональна длине отрезка OM и направлена в противоположную сторону. Иными словами, силана- правлена всегда от точки M к точке O и пропорциональна удалению точки M от точки O.
55. Дифференциалы высших порядков. Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции y = f (x). Ее дифференциал dy = f
′
(x)dx является, очевидно, функцией от x, ноне надо забывать при этом,
что дифференциал независимой переменной dx считается уже независящим от x [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель. Рассматривая dy как функцию от можно составить дифференциал этой функ-
*
Вообще говоря, дифференциал является функцией двух переменных x и dx
55]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков
163
ции; он называется дифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символами d
2
y, или d
2
f (x):
d
2
y = d(dy) = [f
′
(x)dx]
′
dx = Составляя опять дифференциал полученной функции от x, придем к дифференциалу третьего порядка = d(d
2
y) = [f
′′
(x)dx
2
]
′
dx = и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем к понятию о дифференциале го порядка функции f (x) и получим для него выражение n
f (или d n
y = f
(n)
(x)dx Эта формула позволяет представить производную го порядка в виде частного) =
d n
y dx Рассмотрим теперь случай сложной функции y = f (u), где u функция некоторой независимой переменной. Мы знаем [50], что первый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как ив том случае, когда u — независимая переменная = При определении дифференциалов высших порядков мы получим формулы, отличные по виду от формулы (2), ибо мы не имеем уже права считать du величиной постоянной, так как u не является независимой переменной. Так, например, для дифференциала второго порядка будем иметь, применяя правило для нахождения дифференциала произведения, выражение d
2
y = d[f
′
(u)du] = dud[f
′
(u)] + f
′
(u)d(du) = f
′′
(u)du
2
+ которое содержит, по сравнению с формулой (2), добавочное слагаемое Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[56
Если u есть независимая переменная, то du надо считать величиной постоянной и d
2
u = 0. Положим теперь, что u есть линейная функция независимой переменной t, те+ При этом du = adt, те есть опять величина постоянная, а потому дифференциалы высших порядков сложной функции будут выражены по формуле (2):
d n
f (u) = f
(n)
(u)du те. выражение (2) для дифференциалов высших порядков годится в том случае, если x есть независимая переменная или линейная функция независимой переменной. Разности
*
функций. Обозначим буквою h приращение независимой переменной. Соответственное приращение функции y = f (x) будет = f (x + h) − Его называют иначе разностью первого порядка функции f (x). Эта разность есть, в свою очередь, функция от x, и мы можем найти разность этой функции, вычисляя значение этой функции при x+h и x и вычитая из первого результата второй. Эта разность называется разностью второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символом ∆
2
y. Нетрудно выразить ∆
2
y через значения самой функции f (x):
∆
2
y = ∆(∆y) = [f (x + 2h) − f(x + h)] − [f(x + h) − f(x)] =
= f (x + 2h) − 2f(x + h) + f(x). (Эта разность второго порядка также есть функция от x, и, определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка первоначальной функции f (x). Заменяя в правой части равенства на x + h и вычитая из полученного результата правую часть равенства (5), будем иметь выражение для В современной математической литературе обычно используется термин
«приращение функций
56]
§4. Производные и дифференциалы высших порядков = [f (x + 3h) − 2f(x + 2h) + f(x + h)]−
− [f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x)] =
= f (x + 3h) − 3f(x + 2h) + 3f(x + h) − Таким образом, можно последовательно определить разность любого порядка, и разность го порядка ∆
n y будет иметь следующее выражение через значения функции f (x):
∆
n y = f (x + nh) −
n
1
f (x + n − 1h) +
n(n − 1)
2!
f (x + n − 2h)−
− · · · + (−1)
k n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k!
f (x + n − kh)+
+ · · · + (−1)
n f (Выше мы убедились в справедливости этой формулы при n =
1, 2 и 3. Для ее полного доказательства надо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1). Заметим, что для вычисления надо знать (n + 1) значения функции f (x) при значениях аргумента x, x+h, x+2h, . . . , x+nh. Эти значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью h; или, как говорят,
являются равноотстоящими значениями.
При малых значениях h = dx разность ∆y мало отличается от дифференциала dy. Точно также разности высших порядков будут давать приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков, и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имея аналитического выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения ее производных различных порядков, но вместо точной формулы (3) можем получить приближенное значение производных, вычисляя отношение y
∆x n
. Составим для примера таблицу разностей и дифференциалов функции y = в промежутке (2, принимая = h = 0, Для составления этой таблицы были вычислены последовательные значения функции y = x
3
, из них при помощи вычитания,
согласно формуле (4), были получены значения ∆y, из них также при помощи вычитания получились значения ∆
2
y и т. д. Такой
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[56
способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще,
чем вычисление по формуле (6). Дифференциалы вычисляются по известным формулам, указанным наверху таблицы, причем надо положить dx = h = 0, Сравним точное и приближенное значения второй производной при x = 2. В рассматриваемом случае y
′′
= 6x и y
′′
= 12 при x = 2. Приближенно эта производная выражается отношением и примы получим, 126
(0, 1)
2
= 12, Если f (x) есть многочлен от x:
y = f (x) = a
0
x m
+ a
1
x m−1
+ a
2
x m−2
+ · · · + a m−1
x + a то, вычисляя ∆y по формуле (4), получим для ∆y выражение в виде целого многочлена m − й степени со старшим членом ma
0
hx что нетрудно проверить. Таким образом, в случае y = x
3
, ∆y будет многочленом второй степени от x, ∆
2
y — многочленом первой x
y
∆y
∆
2
y
∆
3
y
∆
4
y dy
= 3x
2
dx d
2
y
=
d
3
y
= 6dx
3
d
4
y
= 6xdx
2 2
8,000 1,261 0,126 0,006 0
1,200 0,120 0,006 0
2,1 9,261 1,387 0,132 0,006 0
1,323 0,126 0,006 0
2,2 10,648 1,519 0,138 0,006 0
1,452 0,132 0,006 0
2,3 12,167 1,657 0,144 0,006 0
1,587 0,138 0,006 0
2,4 13,824 1,801 0,150 0,006 0
1,728 0,144 0,006 0
2,5 15,625 1,951 0,156 0,006 0
1,875 0,150 0,006 0
2,6 17,576 2,107 0,162 0,006 0
2,028 0,156 0,006 0
2,7 19,683 2,269 0,168 0,006
—
2,187 0,162 0,006
—
2,8 21,952 2,437 0,174
—
—
2,352 0,168
—
—
2,9 24,389 2,611
—
—
—
2,523
—
—
—
3 27,000
—
—
—
—
—
—
—
—
[56
способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще,
чем вычисление по формуле (6). Дифференциалы вычисляются по известным формулам, указанным наверху таблицы, причем надо положить dx = h = 0, Сравним точное и приближенное значения второй производной при x = 2. В рассматриваемом случае y
′′
= 6x и y
′′
= 12 при x = 2. Приближенно эта производная выражается отношением и примы получим, 126
(0, 1)
2
= 12, Если f (x) есть многочлен от x:
y = f (x) = a
0
x m
+ a
1
x m−1
+ a
2
x m−2
+ · · · + a m−1
x + a то, вычисляя ∆y по формуле (4), получим для ∆y выражение в виде целого многочлена m − й степени со старшим членом ma
0
hx что нетрудно проверить. Таким образом, в случае y = x
3
, ∆y будет многочленом второй степени от x, ∆
2
y — многочленом первой x
y
∆y
∆
2
y
∆
3
y
∆
4
y dy
= 3x
2
dx d
2
y
=
d
3
y
= 6dx
3
d
4
y
= 6xdx
2 2
8,000 1,261 0,126 0,006 0
1,200 0,120 0,006 0
2,1 9,261 1,387 0,132 0,006 0
1,323 0,126 0,006 0
2,2 10,648 1,519 0,138 0,006 0
1,452 0,132 0,006 0
2,3 12,167 1,657 0,144 0,006 0
1,587 0,138 0,006 0
2,4 13,824 1,801 0,150 0,006 0
1,728 0,144 0,006 0
2,5 15,625 1,951 0,156 0,006 0
1,875 0,150 0,006 0
2,6 17,576 2,107 0,162 0,006 0
2,028 0,156 0,006 0
2,7 19,683 2,269 0,168 0,006
—
2,187 0,162 0,006
—
2,8 21,952 2,437 0,174
—
—
2,352 0,168
—
—
2,9 24,389 2,611
—
—
—
2,523
—
—
—
3 27,000
—
—
—
—
—
—
—
—
57]
§ 5. Приложение к изучению функций
167
степени, ∆
3
y — постоянной и ∆
4
y — нулем (см. таблицу. Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что значения d
2
y должны в рассматриваемом примерена одну ступень запаздывать по сравнению с ∆
2
y, что видно из таблицы 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ
О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИИ. Признаки возрастания и убывания функций. Знание производной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именно с вопроса о возрастании и убывании функции.
Функция f (x) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции,
т. е. если f (x + h) − f(x) > 0 при h > Наоборот, если мы имеем (x + h) − f(x) < 0 при h > то функция называется убывающей.
Рис. Если мы обратимся к графику функции, то промежутки возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых большим абсциссам соответствуют и большие ординаты. Если мы, как это сделано на рис. 55, направим ось OX вправо и ось OY наверх, то промежутку возрастания функции будут соответствовать такие части графика, что при движении вдоль кривой вправо в направлении возрастающих абсцисс мы подымаемся вверх. Наоборот, промежуткам убывания соответствуют части кривой, опускающиеся вниз при движении вдоль
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[57
кривой вправо. На рис. 55 часть графика AB соответствует промежутку возрастания, а часть BC — промежутку убывания. Из чертежа непосредственно ясно, что на первом участке касательная образует с направлением оси OX угол α, отсчитываемый от оси до касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этого угла есть как раз первая производная f
′
(x). Наоборот, на участке направление касательной образует с направлением OX угол (в четвертой четверти, тангенс которого отрицателен, те. для этого случая f
′
(x) будет величиной отрицательной. Сопоставляя полученные результаты, мы приходим к следующему правилу те промежутки, в которых f
′
(x) > 0, суть промежутки возрастания функции, а те промежутки, в которых f
′
(x) < 0, суть промежутки убывания функции.
Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство. Сейчас же мы применим полученное правило к некоторым примерам. Докажем неравенство sin x > x −
x
3 при z > Для этого составим разность f (x) = sin x −
x −
x
3 Определим производную f
′
(x):
f
′
(x) = cos x − 1 +
x
2 2
=
x
2 2
− (1 − cos x) =
x
2 2
− 2 sin
2
x
2
=
= 2
x
2
2
−
sin Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга больше своего синуса, можем утверждать, что f
′
(x) > 0 возрастает, но f (0) = и потому f (x) = sin x −
x −
x
3 6
> 0 прите при x > 0.
[57
кривой вправо. На рис. 55 часть графика AB соответствует промежутку возрастания, а часть BC — промежутку убывания. Из чертежа непосредственно ясно, что на первом участке касательная образует с направлением оси OX угол α, отсчитываемый от оси до касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этого угла есть как раз первая производная f
′
(x). Наоборот, на участке направление касательной образует с направлением OX угол (в четвертой четверти, тангенс которого отрицателен, те. для этого случая f
′
(x) будет величиной отрицательной. Сопоставляя полученные результаты, мы приходим к следующему правилу те промежутки, в которых f
′
(x) > 0, суть промежутки возрастания функции, а те промежутки, в которых f
′
(x) < 0, суть промежутки убывания функции.
Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство. Сейчас же мы применим полученное правило к некоторым примерам. Докажем неравенство sin x > x −
x
3 при z > Для этого составим разность f (x) = sin x −
x −
x
3 Определим производную f
′
(x):
f
′
(x) = cos x − 1 +
x
2 2
=
x
2 2
− (1 − cos x) =
x
2 2
− 2 sin
2
x
2
=
= 2
x
2
2
−
sin Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга больше своего синуса, можем утверждать, что f
′
(x) > 0 возрастает, но f (0) = и потому f (x) = sin x −
x −
x
3 6
> 0 прите при x > 0.
57]
§ 5. Приложение к изучению функций 2
. Точно также можно доказать неравенство x > log(1 + x) при x > Составим разность f (x) = x − log(1 + откуда f
′
(x) = 1 −
1 1 + Из этого выражения видно, что при x > 0 и f
′
(x) > 0 те) возрастает в промежутке (0, +∞), но f(0) = 0, и, следовательно (x) = x − log(1 + x) > 0 прите) при x > 0.
3
. Рассмотрим уравнение Кеплера, о котором мы говорили в [31]:
x = q sin x + a
(0 < q < Мы можем переписать его в виде f (x) = x − q sin x − a = Составляя производную f
′
(x), получим f
′
(x) = 1 − q cos Принимая во внимание, что произведение q cos x по абсолютному значению меньше единицы, так как по условию q заключается между нулем и единицей, можем утверждать, что f
′
(x) > 0 при любом значении а потому f (x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и, следовательно, не может обратиться более одного раза в нуль, те. уравнение Кеплера не может иметь более одного вещественного корня.
Если постоянная a кратна π, те, где k — целое число, то,
непосредственно подставляя x = kπ, получим f (kπ) = 0, и x = kπ будет единственным корнем уравнения Кеплера. Если a не кратно π, то можно найти такое целое число k, что kπ < a < (k + 1)π.
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[57
Подставляя x = kπ и (k + 1)π, получим f (kπ) = kπ − a < 0,
f (k + 1π) = (k + 1)π − a > Но если f (kπ) и f (k + 1π) разных знаков, то f (x) должно обращаться в нуль внутри промежутка (kπ, k + 1π) [35], те. внутри этого промежутка будет находиться единственный корень уравнения Кеплера. Рассмотрим уравнение f (x) = 3x
5
− 25x
3
+ 60x + 15 = Составим производную f
′
(x) и приравняем ее нулю) = 15x
4
− 75x
2
+ 60 = 15(x
4
− 5x
2
+ 4) = Решая это биквадратное уравнение, получим, что f
′
(x) обращается в нуль при x = −2,
−1,
+1 и + Таким образом, весь промежуток (−∞, +∞) мы можем разбить на пять промежутков, −2), (−2, −1), (−1, 1), (1, 2), (2, +внутри которых f
′
(x) сохраняет уже неизменный знака потому f (x) меняется монотонно, те. или возрастает или убывает, и не может поэтому внутри каждого из этих промежутков иметь более одного корня. Если на концах какого-либо из этих промежутков f (x) имеет разные знаки,
то уравнение f (x) = 0 имеет внутри такого промежутка один корень,
а если эти знаки одинаковые, то внутри соответствующего промежутка корней нет. Таким образом, для определения числа корней уравнения остается определить знаки f (x) на концах каждого из пяти указанных промежутков.
Для определения знака f (x) при x = ±∞ представим f(x) в виде f (x) = x
5
3 При стремлении x к (−∞), f(x) стремится к (−∞), ибо при этом стремится ка выражение, стоящее в круглых скобках, — к 3. Точно также убедимся в том, что при стремлении x к (+∞) и f(x) стремится
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
171
к (+∞). Подставляя значения x = −2, −1, 1 и 2, получим следующую таблицу Оказывается, что f (x) имеет разные знаки только на концах промежутка, и, следовательно, рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень, заключающийся внутри этого проме- жутка.
Выше мы определили возрастание и убывание функции в промежутке. Иногда говорят, что функция возрастает или убывает в точке. Это значит следующее функция возрастает при x = если f (x) < f (x
0
) при x < и f (x) > f (x
0
) при x > x
0
, причем x считается достаточно близким к x
0
. Аналогично определяется убывание функции в точке. Из понятия производной непосредственно вытекает достаточное условие возрастания и убывания в точке а именно, если f
′
(x
0
) > 0, то функция возрастает в точке x
0
. Действительно, если, например, f
′
(x
0
) > 0, то отношение f (x
0
+ h) − имеющее предел f
′
(x
0
), будет также положительным при всех достаточно малых по абсолютной величине, те. числитель и знаменатель будут одинаковых знаков. Иначе говоря, будет f (x
0
+h)−
f (x
0
) > 0 при h > 0 и f (x
0
+ h) − f(x
0
) < 0 при h < 0, что и дает возрастание в точке x
0 58. Максимумы и минимумы функций. Обратимся вновь к рассмотрению графика некоторой функции f (x) (рис. 56). На этом графике мы имеем последовательное чередование промежутков возрастания и убывания функции. Дуга соответствует промежутку возрастания. Следующая за ней дуга M
1
M
2
— промежутку убывания, следующая M
2
M
3
— опять промежутку возрастания и т. д. Те точки кривой, которые отделяют промежутки возрастания от промежутков убывания, являются вершинами кривой.
Рассмотрим, например, вершину M
1
. Ордината в этой вершине больше всех ординат кривой, достаточно близких к рассматрива-
[57
Подставляя x = kπ и (k + 1)π, получим f (kπ) = kπ − a < 0,
f (k + 1π) = (k + 1)π − a > Но если f (kπ) и f (k + 1π) разных знаков, то f (x) должно обращаться в нуль внутри промежутка (kπ, k + 1π) [35], те. внутри этого промежутка будет находиться единственный корень уравнения Кеплера. Рассмотрим уравнение f (x) = 3x
5
− 25x
3
+ 60x + 15 = Составим производную f
′
(x) и приравняем ее нулю) = 15x
4
− 75x
2
+ 60 = 15(x
4
− 5x
2
+ 4) = Решая это биквадратное уравнение, получим, что f
′
(x) обращается в нуль при x = −2,
−1,
+1 и + Таким образом, весь промежуток (−∞, +∞) мы можем разбить на пять промежутков, −2), (−2, −1), (−1, 1), (1, 2), (2, +внутри которых f
′
(x) сохраняет уже неизменный знака потому f (x) меняется монотонно, те. или возрастает или убывает, и не может поэтому внутри каждого из этих промежутков иметь более одного корня. Если на концах какого-либо из этих промежутков f (x) имеет разные знаки,
то уравнение f (x) = 0 имеет внутри такого промежутка один корень,
а если эти знаки одинаковые, то внутри соответствующего промежутка корней нет. Таким образом, для определения числа корней уравнения остается определить знаки f (x) на концах каждого из пяти указанных промежутков.
Для определения знака f (x) при x = ±∞ представим f(x) в виде f (x) = x
5
3 При стремлении x к (−∞), f(x) стремится к (−∞), ибо при этом стремится ка выражение, стоящее в круглых скобках, — к 3. Точно также убедимся в том, что при стремлении x к (+∞) и f(x) стремится
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
171
к (+∞). Подставляя значения x = −2, −1, 1 и 2, получим следующую таблицу Оказывается, что f (x) имеет разные знаки только на концах промежутка, и, следовательно, рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень, заключающийся внутри этого проме- жутка.
Выше мы определили возрастание и убывание функции в промежутке. Иногда говорят, что функция возрастает или убывает в точке. Это значит следующее функция возрастает при x = если f (x) < f (x
0
) при x < и f (x) > f (x
0
) при x > x
0
, причем x считается достаточно близким к x
0
. Аналогично определяется убывание функции в точке. Из понятия производной непосредственно вытекает достаточное условие возрастания и убывания в точке а именно, если f
′
(x
0
) > 0, то функция возрастает в точке x
0
. Действительно, если, например, f
′
(x
0
) > 0, то отношение f (x
0
+ h) − имеющее предел f
′
(x
0
), будет также положительным при всех достаточно малых по абсолютной величине, те. числитель и знаменатель будут одинаковых знаков. Иначе говоря, будет f (x
0
+h)−
f (x
0
) > 0 при h > 0 и f (x
0
+ h) − f(x
0
) < 0 при h < 0, что и дает возрастание в точке x
0 58. Максимумы и минимумы функций. Обратимся вновь к рассмотрению графика некоторой функции f (x) (рис. 56). На этом графике мы имеем последовательное чередование промежутков возрастания и убывания функции. Дуга соответствует промежутку возрастания. Следующая за ней дуга M
1
M
2
— промежутку убывания, следующая M
2
M
3
— опять промежутку возрастания и т. д. Те точки кривой, которые отделяют промежутки возрастания от промежутков убывания, являются вершинами кривой.
Рассмотрим, например, вершину M
1
. Ордината в этой вершине больше всех ординат кривой, достаточно близких к рассматрива-
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[58
Рис. 56.
емой и лежащих как слева, таки справа от нее. Говорят, что такой вершине соответствует максимум функции f (Это приводит к следующему общему аналитическому определению:
функция f (x) достигает максимума в точке x = x
1
, если ее значение) в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках,
т. е. если приращение функции f (x
1
+ h) − f(x
1
) < при всяких h как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.
*
Обратимся к рассмотрению вершины M
2
. В этой вершине, наоборот, ордината меньше всех соседних с ней ординат, лежащих как слева, таки справа, и говорят, что этой вершине соответствует минимум функции аналитическое определение будет функция f (достигает минимума в точке x = x
2
, если f (x
2
+ h) − f(x
2
) > при всяких h, как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.
Рис. Из чертежа мы видим, что как в вершинах, соответствующих максимуму функции,
так ив вершинах, соответствующих минимуму, касательная параллельна оси OX, те. ее угловой коэффициент f
′
(x) равен нулю. При этом предполагается, конечно, что касательная и тем самым производная существуют.
Но параллельность касательной оси OX может иметь место и не только в вершинах кривой. Так, например, на рис. 57 мы имеем точку кривой M , которая
*
Можно утверждать, что существует окрестность точки x
1
, такая, что во всех точках этой окрестности значения функции меньше, чем в точке x
1
. Аналогично для понятия минимума
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
173
не является вершиной ив которой все же касательная параллельна оси Положим, что f
′
(x) обращается в нуль при некотором значении x = x
0
, те. в соответствующем месте графика касательная параллельна оси OX. Исследуем знак f
′
(x) при значениях x, близких к x
0
. Рассмотрим следующие три случая. При значениях x, меньших и достаточно близких к x
0
,
f
′
(x) положительна, а при значениях x, больших и достаточно близких к x
0
, f
′
(x) отрицательна, те, иными словами, f
′
(x) при переходе x через переходит через нуль от положительных значений к отрицательным.
В этом случае мы имеем слева от x = промежуток возрастания и справа — промежуток убывания, те. значению x = соответствует вершина кривой, дающая максимум функции f (рис. 56).
II. При значениях x, меньших x
0
, f
′
(x) отрицательна, а при значениях, больших x
0
, положительна, те) при переходе через нуль идет от отрицательных значений к положительным.
В этом случае слева от x = мы имеем промежуток убывания,
а справа — промежуток возрастания, те. значению x = соответствует вершина кривой, дающая минимум функции (рис. 56).
III. При значениях x как меньших, таки больших x
0
, f
′
(x) имеет один и тот же знак. Положим например, что это есть знак (В этом случае соответствующая точка графика лежит внутри промежутка возрастания и вовсе не является вершиной (рис. Сказанное приводит нас к следующему правилу нахождения тех значений x, при которых f (x) достигает максимума или минимума) нужно составить f
′
(x);
2) найти те значения x, при которых f
′
(x) обращается в нуль,
т. е. решить уравнение f
′
(x) = 0;
3) исследовать изменения знака f
′
(x) при переходе через эти значения последующей схеме x
0
− h x
0
x
0
+ h f
(x)
f
′
(x)
+
0
−
максимум
−
+
минимум
+
+
возрастает
−
−
убывает
[58
Рис. 56.
емой и лежащих как слева, таки справа от нее. Говорят, что такой вершине соответствует максимум функции f (Это приводит к следующему общему аналитическому определению:
функция f (x) достигает максимума в точке x = x
1
, если ее значение) в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках,
т. е. если приращение функции f (x
1
+ h) − f(x
1
) < при всяких h как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.
*
Обратимся к рассмотрению вершины M
2
. В этой вершине, наоборот, ордината меньше всех соседних с ней ординат, лежащих как слева, таки справа, и говорят, что этой вершине соответствует минимум функции аналитическое определение будет функция f (достигает минимума в точке x = x
2
, если f (x
2
+ h) − f(x
2
) > при всяких h, как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.
Рис. Из чертежа мы видим, что как в вершинах, соответствующих максимуму функции,
так ив вершинах, соответствующих минимуму, касательная параллельна оси OX, те. ее угловой коэффициент f
′
(x) равен нулю. При этом предполагается, конечно, что касательная и тем самым производная существуют.
Но параллельность касательной оси OX может иметь место и не только в вершинах кривой. Так, например, на рис. 57 мы имеем точку кривой M , которая
*
Можно утверждать, что существует окрестность точки x
1
, такая, что во всех точках этой окрестности значения функции меньше, чем в точке x
1
. Аналогично для понятия минимума
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
173
не является вершиной ив которой все же касательная параллельна оси Положим, что f
′
(x) обращается в нуль при некотором значении x = x
0
, те. в соответствующем месте графика касательная параллельна оси OX. Исследуем знак f
′
(x) при значениях x, близких к x
0
. Рассмотрим следующие три случая. При значениях x, меньших и достаточно близких к x
0
,
f
′
(x) положительна, а при значениях x, больших и достаточно близких к x
0
, f
′
(x) отрицательна, те, иными словами, f
′
(x) при переходе x через переходит через нуль от положительных значений к отрицательным.
В этом случае мы имеем слева от x = промежуток возрастания и справа — промежуток убывания, те. значению x = соответствует вершина кривой, дающая максимум функции f (рис. 56).
II. При значениях x, меньших x
0
, f
′
(x) отрицательна, а при значениях, больших x
0
, положительна, те) при переходе через нуль идет от отрицательных значений к положительным.
В этом случае слева от x = мы имеем промежуток убывания,
а справа — промежуток возрастания, те. значению x = соответствует вершина кривой, дающая минимум функции (рис. 56).
III. При значениях x как меньших, таки больших x
0
, f
′
(x) имеет один и тот же знак. Положим например, что это есть знак (В этом случае соответствующая точка графика лежит внутри промежутка возрастания и вовсе не является вершиной (рис. Сказанное приводит нас к следующему правилу нахождения тех значений x, при которых f (x) достигает максимума или минимума) нужно составить f
′
(x);
2) найти те значения x, при которых f
′
(x) обращается в нуль,
т. е. решить уравнение f
′
(x) = 0;
3) исследовать изменения знака f
′
(x) при переходе через эти значения последующей схеме x
0
− h x
0
x
0
+ h f
(x)
f
′
(x)
+
0
−
максимум
−
+
минимум
+
+
возрастает
−
−
убывает
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[58
Обозначения x
0
− h ив приведенной таблице показывают, что нужно определить знаки функции f
′
(x) при значениях меньших и больших x
0
, но достаточно близких, так что h считается достаточно малым положительным числом.
При этом исследовании предполагается, что f
′
(x
0
) = 0, но при всех x, достаточно близких к и отличных от x
0
, f
′
(x) отлична от нуля.
Обратим еще внимание, что в случае рис. 57 касательная в точке с абсциссою находится по разные стороны от кривой в окрестности этой точки. В данном случае f
′
(x
0
) = 0 и f
′
(x) > при всех x, близких к и отличных от x
0
, и весь участок кривой сточкой внутри дает промежуток возрастания, несмотря на то,
что f
′
(x
0
) = Иногда вместо указанного выше определения максимума дают несколько другое, а именно функция f (x) достигает максимума в точке x = x
1
, если ее значение f (x
1
) в этой точке не меньшее ее значений в ближайших точках, те. если приращение функции f (x
1
+ h) −f(x
1
) 6 0 при всяких h, как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине. Аналогично минимум в точке можно определить неравенством f (x
2
+ h) − f(x
2
) > 0. Если при этом определении функция имеет в точке максимума или минимума производную, то эта производная должна, как и выше, обращаться в нуль.
*
Рассмотрим пример. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = (x − 1)
2
(x − Составим первую производную f
′
(x) = 2(x − 1)(x − 2)
3
+ 3(x − 1)
2
(x − 2)
2
=
= (x − 1)(x − 2)
2
(5x − 7) = 5(x − 1)(x − 2)
2
x −
7 Из последнего выражения видно, что f
′
(x) обращается в нуль при следующих значениях независимой переменной x
1
= 1, x
2
=
7 и x
3
= Условие равенства нулю производной является таким образом, необходимым условием экстремума (те. максимума или минимума
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
175
Переходим к их исследованию. При x = 1 множитель (x − имеет знак плюс, множитель x −
7 5
— знак минус. При всех значениях x, как меньших, таки больших единицы, но достаточно близких к единице, знаки этих множителей будут те же самые и, следовательно, произведение этих двух множителей имеет безусловный знак минус при всех значениях x, достаточно близких к единице. Обратимся, наконец, к рассмотрению последнего множителя (x − 1), который как раз обращается в нуль при x = 1. В случае x < 1 он имеет знак минуса признак плюс.
Таким образом, все произведение, те, имеет признак плюс и признак минус. Откуда следует, что значению x = 1 соответствует максимум функции f (x). Подставляя значение x = 1 в выражение самой функции f (x), мы получим величину найденного максимума, т. е.
ординату соответствующей вершины графика функции f (1) = 0 2
· (−1)
3
= Повторяя аналогичные рассуждения и для остальных значений x
2
=
7 и x
3
= 2, мы получим следующую табличку − h
1 1 + h
7 5
− h
7 5
7 5
+ h
2 − h
2 2 + h f
′
(x)
+
0
−
−
0
+
+
0
+
f
(x)
возр.
0
убывает
−
108 возрастает макс.
миним.
В указанном нами способе исследования максимумов и минимумов функции представляется несколько затрудненным, особенно в более сложных примерах, определение знака f
′
(x) при значениях x как меньших, таки больших испытуемого. Во многих случаях этого можно избегнуть, если ввести в рассмотрение вторую производную f
′′
(x). Положим, что нам надо испытать значение x = в выражении второй производной и положим, что мы получили положительную величину, те. Если принять f
′
(x) за основную функцию, то f
′′
(x) будет ее производной и положительность этой производной в точке x = показывает, что сама основная функция f
′
(x) возрастает в соответствующей точке, те) при переходе через нуль в точке x = должна идти от отрицательных значений к положительным. Таким образом, в случаев точке x = функция f (x) будет достигать минимума. Точно также Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[58
можно показать, что в случаев точке x = функция f (x) достигает максимума. Если, наконец, при подстановке x = в выражение f
′′
(x) мы получим нуль, те, то пользование второй производной не дает возможности исследовать значение x = x
0
, и приходится обращаться к непосредственному исследованию знака f
′
(x). Мы получаем, таким образом, изображенную в таблице схему максимум x
0 0
+
минимум
0
сомнительный случай
Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что при наличии производной второго порядка необходимым условием максимума является неравенство f
′′
(x) 6 0, а необходимым условием минимума — неравенство f
′′
(x) > 0. При этом мы можем определять максимум условием f (x
1
+ h) − f(x
1
) 6 0 и минимум — условием, как мы об этом говорили выше.
П р им ер. Требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = sin x + cos Эта функция имеет период 2π, те. не меняется при заменена+ Достаточно исследовать промежуток изменения x от 0 до 2π. Составим производные первого и второго порядка f
′
(x) = cos x − sin x,
f
′′
(x) = − sin x − cos Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение cos x − sin x = 0 или tg x = Корни этого уравнения из промежутка (0, 2π) будут и Исследуем эти значения x по знаку f
′′
(x):
f
′′
π
4
= − sin
π
4
− cos
π
4
= −
√
2 < 0; максимум f
π
4
=
√
2;
f
′′
5π
4
= − sin
5π
4
− cos
5π
4
=
√
2 > 0; минимум f
5π
4
= −
√
2.
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
177
В заключение обратим внимание на одно обстоятельство, которое иногда имеет место при нахождении максимумов и минимумов.
Может случиться, что на графике функции имеются такие точки,
в которых касательной или вовсе нет, или она параллельна оси Рис. рис. 58). В точках первого рода производная) вовсе не будет существовать, а в точках второго рода она будет равна бесконечности, так как угловой коэффициент прямой, параллельной оси OY , равен бесконечности. Но,
как непосредственно видно из чертежа, в таких точках может встретиться максимум или минимум функции. Таким образом, мы должны, строго говоря, дополнить предыдущее правило нахождения максимумов и минимумов следующим указанием максимум и минимум функции f (x) может встретиться не только в тех точках, где f
′
(x) обращается в нуль, но ив тех точках, где она не существует или обращается в бесконечность. Исследование таких точек надо производить по первой из схем, указанных выше, а именно — путем определения знака при значениях, меньших и больших исследуемого.
Во всем предыдущем мы занимались простейшим случаем непрерывной функции f (x) с непрерывной производной, имеющей конечное число нулей в исследуемом промежутке. При последнем замечании отсутствие производной допускается также в конечном числе точек. Вообще настоящий и следующие два параграфа имеют целью быть наглядным введением в исследование свойств функции.
Далее мы вернемся к строгому аналитическому изложению.
П р им ер. Требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = (x − Составим первую производную f
′
(x) =
3
√
x
2
+
2(x − 1)
3 3
√
x
=
5 3
x −
2 Она обращается в нуль при x =
2 ив бесконечность при x = 0. Исследуем последнее значение числитель написанной выше дроби имеет при x = 0
[58
Обозначения x
0
− h ив приведенной таблице показывают, что нужно определить знаки функции f
′
(x) при значениях меньших и больших x
0
, но достаточно близких, так что h считается достаточно малым положительным числом.
При этом исследовании предполагается, что f
′
(x
0
) = 0, но при всех x, достаточно близких к и отличных от x
0
, f
′
(x) отлична от нуля.
Обратим еще внимание, что в случае рис. 57 касательная в точке с абсциссою находится по разные стороны от кривой в окрестности этой точки. В данном случае f
′
(x
0
) = 0 и f
′
(x) > при всех x, близких к и отличных от x
0
, и весь участок кривой сточкой внутри дает промежуток возрастания, несмотря на то,
что f
′
(x
0
) = Иногда вместо указанного выше определения максимума дают несколько другое, а именно функция f (x) достигает максимума в точке x = x
1
, если ее значение f (x
1
) в этой точке не меньшее ее значений в ближайших точках, те. если приращение функции f (x
1
+ h) −f(x
1
) 6 0 при всяких h, как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине. Аналогично минимум в точке можно определить неравенством f (x
2
+ h) − f(x
2
) > 0. Если при этом определении функция имеет в точке максимума или минимума производную, то эта производная должна, как и выше, обращаться в нуль.
*
Рассмотрим пример. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = (x − 1)
2
(x − Составим первую производную f
′
(x) = 2(x − 1)(x − 2)
3
+ 3(x − 1)
2
(x − 2)
2
=
= (x − 1)(x − 2)
2
(5x − 7) = 5(x − 1)(x − 2)
2
x −
7 Из последнего выражения видно, что f
′
(x) обращается в нуль при следующих значениях независимой переменной x
1
= 1, x
2
=
7 и x
3
= Условие равенства нулю производной является таким образом, необходимым условием экстремума (те. максимума или минимума
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
175
Переходим к их исследованию. При x = 1 множитель (x − имеет знак плюс, множитель x −
7 5
— знак минус. При всех значениях x, как меньших, таки больших единицы, но достаточно близких к единице, знаки этих множителей будут те же самые и, следовательно, произведение этих двух множителей имеет безусловный знак минус при всех значениях x, достаточно близких к единице. Обратимся, наконец, к рассмотрению последнего множителя (x − 1), который как раз обращается в нуль при x = 1. В случае x < 1 он имеет знак минуса признак плюс.
Таким образом, все произведение, те, имеет признак плюс и признак минус. Откуда следует, что значению x = 1 соответствует максимум функции f (x). Подставляя значение x = 1 в выражение самой функции f (x), мы получим величину найденного максимума, т. е.
ординату соответствующей вершины графика функции f (1) = 0 2
· (−1)
3
= Повторяя аналогичные рассуждения и для остальных значений x
2
=
7 и x
3
= 2, мы получим следующую табличку − h
1 1 + h
7 5
− h
7 5
7 5
+ h
2 − h
2 2 + h f
′
(x)
+
0
−
−
0
+
+
0
+
f
(x)
возр.
0
убывает
−
108 возрастает макс.
миним.
В указанном нами способе исследования максимумов и минимумов функции представляется несколько затрудненным, особенно в более сложных примерах, определение знака f
′
(x) при значениях x как меньших, таки больших испытуемого. Во многих случаях этого можно избегнуть, если ввести в рассмотрение вторую производную f
′′
(x). Положим, что нам надо испытать значение x = в выражении второй производной и положим, что мы получили положительную величину, те. Если принять f
′
(x) за основную функцию, то f
′′
(x) будет ее производной и положительность этой производной в точке x = показывает, что сама основная функция f
′
(x) возрастает в соответствующей точке, те) при переходе через нуль в точке x = должна идти от отрицательных значений к положительным. Таким образом, в случаев точке x = функция f (x) будет достигать минимума. Точно также Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[58
можно показать, что в случаев точке x = функция f (x) достигает максимума. Если, наконец, при подстановке x = в выражение f
′′
(x) мы получим нуль, те, то пользование второй производной не дает возможности исследовать значение x = x
0
, и приходится обращаться к непосредственному исследованию знака f
′
(x). Мы получаем, таким образом, изображенную в таблице схему максимум x
0 0
+
минимум
0
сомнительный случай
Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что при наличии производной второго порядка необходимым условием максимума является неравенство f
′′
(x) 6 0, а необходимым условием минимума — неравенство f
′′
(x) > 0. При этом мы можем определять максимум условием f (x
1
+ h) − f(x
1
) 6 0 и минимум — условием, как мы об этом говорили выше.
П р им ер. Требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = sin x + cos Эта функция имеет период 2π, те. не меняется при заменена+ Достаточно исследовать промежуток изменения x от 0 до 2π. Составим производные первого и второго порядка f
′
(x) = cos x − sin x,
f
′′
(x) = − sin x − cos Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение cos x − sin x = 0 или tg x = Корни этого уравнения из промежутка (0, 2π) будут и Исследуем эти значения x по знаку f
′′
(x):
f
′′
π
4
= − sin
π
4
− cos
π
4
= −
√
2 < 0; максимум f
π
4
=
√
2;
f
′′
5π
4
= − sin
5π
4
− cos
5π
4
=
√
2 > 0; минимум f
5π
4
= −
√
2.
58]
§ 5. Приложение к изучению функций
177
В заключение обратим внимание на одно обстоятельство, которое иногда имеет место при нахождении максимумов и минимумов.
Может случиться, что на графике функции имеются такие точки,
в которых касательной или вовсе нет, или она параллельна оси Рис. рис. 58). В точках первого рода производная) вовсе не будет существовать, а в точках второго рода она будет равна бесконечности, так как угловой коэффициент прямой, параллельной оси OY , равен бесконечности. Но,
как непосредственно видно из чертежа, в таких точках может встретиться максимум или минимум функции. Таким образом, мы должны, строго говоря, дополнить предыдущее правило нахождения максимумов и минимумов следующим указанием максимум и минимум функции f (x) может встретиться не только в тех точках, где f
′
(x) обращается в нуль, но ив тех точках, где она не существует или обращается в бесконечность. Исследование таких точек надо производить по первой из схем, указанных выше, а именно — путем определения знака при значениях, меньших и больших исследуемого.
Во всем предыдущем мы занимались простейшим случаем непрерывной функции f (x) с непрерывной производной, имеющей конечное число нулей в исследуемом промежутке. При последнем замечании отсутствие производной допускается также в конечном числе точек. Вообще настоящий и следующие два параграфа имеют целью быть наглядным введением в исследование свойств функции.
Далее мы вернемся к строгому аналитическому изложению.
П р им ер. Требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = (x − Составим первую производную f
′
(x) =
3
√
x
2
+
2(x − 1)
3 3
√
x
=
5 3
x −
2 Она обращается в нуль при x =
2 ив бесконечность при x = 0. Исследуем последнее значение числитель написанной выше дроби имеет при x = 0
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[59
знак минус и при всех значениях x, как больших, таки меньших нуля,
но близких к нему, он будет иметь тот же знак. Знаменатель дроби при x < 0 имеет знак минуса признак плюс. Следовательно, вся дробь имеет при x < 0 и близких к нулю знак плюса признак минус,
т. е. примы имеем максимум f (0) = 0. В точке x =
2 будем иметь минимум f
2 5
= −
3 5
3
r
4 25
= −
3 25 3
√
20.
59. Построение графиков. Разыскание максимумов и минимумов функции f (x) существенным образом облегчает построение графика этой функции. Выясним на некоторых примерах простейшую схему построения графиков функций. Пусть требуется построить график функции y = (x − 1)
2
(x − исследованной нами в предыдущем номере. Мы получили там две вершины этой кривой, а именно максимум (1, 0) и минимум 5
, −
108 3125
. Отметим эти точки на чертеже. Кроме того, полезно отметить и следы
*
искомой кривой на осях. Примы имеем y = −8, те. след на оси будет y = Рис. Приравнивая y нулю, темы получим следы на оси OX. Один из них, x = 1, как мы уже выяснили, является вершиной, а другой, x = 2, как это было выяснено в предыдущем номере, вершиной не является, нов соответствующей точке графика касательная параллельна оси OX. Искомая кривая изображена на рис. 59.
2
. Вычертим кривую y = Составим первую производную y
′
= Имеются ввиду точки пересечения кривой с осями координат
59]
§ 5. Приложение к изучению функций
179
Приравнивая нулю, получим значение x = 0, которому, как нетрудно видеть, соответствует вершина (максимум) кривой с ординатой y = Этаже точка дает и след кривой на оси OY . Приравнивая y нулю, получим уравнение e
−x
2
= 0, которое не имеет решений, те. следов на оси OX кривая не имеет. Заметим, кроме того, что при стремлении x кили) показатель степени устремится к (−∞), и все выражение стремится к нулю, те. при беспредельном удалении направо и налево кривая беспредельно приближается коси. Соответствующая всем полученным данным кривая изображена на рис. Рис. 60.
3
. Построим кривую y = e
−ax sin bx
(a > которая дает график так называемого затухающего колебания. Множитель по абсолютному значению не превышает единицы, и вся кривая будет расположена между двумя кривыми y = e
−ax и = При стремлении x к (+∞) множитель e
−ax
, а следовательно, и все произведение e
−ax sin bx будет стремиться к нулю, те. при беспредельном удалении направо кривая будет безгранично приближаться коси Следы кривой на оси OX определятся из уравнения sin bx = те. будут x =
kπ
b
(k целое число
[59
знак минус и при всех значениях x, как больших, таки меньших нуля,
но близких к нему, он будет иметь тот же знак. Знаменатель дроби при x < 0 имеет знак минуса признак плюс. Следовательно, вся дробь имеет при x < 0 и близких к нулю знак плюса признак минус,
т. е. примы имеем максимум f (0) = 0. В точке x =
2 будем иметь минимум f
2 5
= −
3 5
3
r
4 25
= −
3 25 3
√
20.
59. Построение графиков. Разыскание максимумов и минимумов функции f (x) существенным образом облегчает построение графика этой функции. Выясним на некоторых примерах простейшую схему построения графиков функций. Пусть требуется построить график функции y = (x − 1)
2
(x − исследованной нами в предыдущем номере. Мы получили там две вершины этой кривой, а именно максимум (1, 0) и минимум 5
, −
108 3125
. Отметим эти точки на чертеже. Кроме того, полезно отметить и следы
*
искомой кривой на осях. Примы имеем y = −8, те. след на оси будет y = Рис. Приравнивая y нулю, темы получим следы на оси OX. Один из них, x = 1, как мы уже выяснили, является вершиной, а другой, x = 2, как это было выяснено в предыдущем номере, вершиной не является, нов соответствующей точке графика касательная параллельна оси OX. Искомая кривая изображена на рис. 59.
2
. Вычертим кривую y = Составим первую производную y
′
= Имеются ввиду точки пересечения кривой с осями координат
59]
§ 5. Приложение к изучению функций
179
Приравнивая нулю, получим значение x = 0, которому, как нетрудно видеть, соответствует вершина (максимум) кривой с ординатой y = Этаже точка дает и след кривой на оси OY . Приравнивая y нулю, получим уравнение e
−x
2
= 0, которое не имеет решений, те. следов на оси OX кривая не имеет. Заметим, кроме того, что при стремлении x кили) показатель степени устремится к (−∞), и все выражение стремится к нулю, те. при беспредельном удалении направо и налево кривая беспредельно приближается коси. Соответствующая всем полученным данным кривая изображена на рис. Рис. 60.
3
. Построим кривую y = e
−ax sin bx
(a > которая дает график так называемого затухающего колебания. Множитель по абсолютному значению не превышает единицы, и вся кривая будет расположена между двумя кривыми y = e
−ax и = При стремлении x к (+∞) множитель e
−ax
, а следовательно, и все произведение e
−ax sin bx будет стремиться к нулю, те. при беспредельном удалении направо кривая будет безгранично приближаться коси Следы кривой на оси OX определятся из уравнения sin bx = те. будут x =
kπ
b
(k целое число
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[59
Определим первую производную y
′
= −ae
−ax sin bx + be
−ax cos bx = e
−ax
(b cos bx − a sin Но выражение, стоящее в круглых скобках, может быть, как известно,
представлено в виде b cos bx − a sin bx = K sin(bx + где K и ϕ
0
— постоянные. Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение sin(bx + ϕ
0
) = которое дает bx + ϕ
0
= те целое число).
(1)
Когда x переходит через эти значения, sin(bx + ϕ
0
) будет всякий разменять свой знак. Тоже можно, очевидно, сказать и относительно производной, так как y
′
= Ke
−ax sin(bx + а множитель e
−ax знака не меняет. Следовательно, этим корням соответствуют поочередно максимумы и минимумы функции. В случае отсутствия показательного множителя e
−ax мы имели бы синусоиду y = sin и абсциссы ее вершин получились бы из уравнения cos bx = те целое число Мы видим, таким образом, что показательный множитель не только уменьшает амплитуды колебаний, но и смещает абсциссы вершин кривой. Сравнивая уравнения (1) и (1 1
), нетрудно видеть, что это смещение равно постоянной величине −
π
2b
−
ϕ
0
b
. На рис. 61 изображен график затухающего колебания при a = 1 и b = 2π. Вершины кривой не находятся на пунктирных линиях, соответствующих уравнениям y = Это происходит вследствие указанного выше смещения вершин
59]
§ 5. Приложение к изучению функций =
[59
Определим первую производную y
′
= −ae
−ax sin bx + be
−ax cos bx = e
−ax
(b cos bx − a sin Но выражение, стоящее в круглых скобках, может быть, как известно,
представлено в виде b cos bx − a sin bx = K sin(bx + где K и ϕ
0
— постоянные. Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение sin(bx + ϕ
0
) = которое дает bx + ϕ
0
= те целое число).
(1)
Когда x переходит через эти значения, sin(bx + ϕ
0
) будет всякий разменять свой знак. Тоже можно, очевидно, сказать и относительно производной, так как y
′
= Ke
−ax sin(bx + а множитель e
−ax знака не меняет. Следовательно, этим корням соответствуют поочередно максимумы и минимумы функции. В случае отсутствия показательного множителя e
−ax мы имели бы синусоиду y = sin и абсциссы ее вершин получились бы из уравнения cos bx = те целое число Мы видим, таким образом, что показательный множитель не только уменьшает амплитуды колебаний, но и смещает абсциссы вершин кривой. Сравнивая уравнения (1) и (1 1
), нетрудно видеть, что это смещение равно постоянной величине −
π
2b
−
ϕ
0
b
. На рис. 61 изображен график затухающего колебания при a = 1 и b = 2π. Вершины кривой не находятся на пунктирных линиях, соответствующих уравнениям y = Это происходит вследствие указанного выше смещения вершин
59]
§ 5. Приложение к изучению функций =
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 43
e
-x
y = -Рис. 61.
4
. Построим кривую y =
x
3
− Составляем производные первого и второго порядка y
′
=
x
2
− 1 2
,
y
′′
= Рис. Приравнивая первую производную нулю, получим значения x
1
= 1 и x
2
= −1. Подставляя эти значения во вторую производную, убедимся, что первому значению будет соответствовать минимума второму — максимум. Подставляя эти значения в выражение для y, определим соответствующие вершины кривой 3
,
1, −
1 Полагая x = 0, получим y = 0, те. начало координат) лежит на кривой. Наконец, приравнивая нулю, получим, кроме x = 0, еще два значения x = те. окончательно точки пересечения кривой с осями координат будут (0, 0), (
√
3, 0) и (−
√
3, 0).
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[60
Отметим еще, что при одновременной замене x и y на (−x) и (−y) обе части уравнения кривой меняют лишь знак, те. начало координат есть центр симметрии кривой (рис. 62).
60. Наибольшее и наименьшее значения функций. Пусть рассматриваются значения функции f (x) при значениях независимой переменной x из промежутка (a, b), те. при a 6 x 6 b, и пусть требуется найти наибольшее и наименьшее из этих значений.
При указанном условии функция f (x) будет достигать наибольшего и наименьшего значения [35], те. соответствующий этой функции график будет иметь в упомянутом промежутке наибольшую и наименьшую ординаты. Согласно приведенным выше правилам,
мы сможем найти все максимумы и минимумы функции, заключающиеся внутри промежутка (a, b). Если функция f (x) имеет свою наибольшую ординату внутри этого промежутка, то эта наибольшая ордината будет, очевидно, совпадать с наибольшим максимумом функции внутри промежутка (a, b). Но может оказаться, что наибольшая ордината находится не внутри промежутка, а на одном из его концов x = a и x = b. Поэтому для нахождения, например,
наибольшего значения функции недостаточно сравнить все ее максимумы внутри промежутка и взять наибольший, но необходимо также принять во внимание и значение функции на концах промежутка. Точно также для определения наименьшего значения функции надо взять все ее минимумы, лежащие внутри промежутка, и граничные значения функции при x = a и x = b. Заметим при этом, что максимумы и минимумы могут вовсе отсутствовать,
а наибольшее и наименьшее значения у непрерывной функции в ограниченном промежутке (a, b) обязательно будут существовать.
Отметим некоторые частные случаи, когда нахождение наименьших и наибольших значений производится наиболее просто.
Если, например, функция f (x) возрастает в промежутке (a, b), то очевидно, что при x = a она будет принимать наименьшее, а при x = b наибольшее значение. Для убывающей функции картина будет противоположной.
Если функция имеет внутри промежутка один максимум и не имеет минимумов, то этот единственный максимум и дает наибольшее значение функции (рис. 63), так что в этом случае для
60]
§ 5. Приложение к изучению функций
183
Рис. определения наибольшего значения функции вовсе не надо определять значений функций на концах промежутка. Точно также, если функция имеет внутри промежутка один минимум и не имеет вовсе максимумов, то упомянутый единственный минимум и дает наименьшее значение функции. Указанные только что обстоятельства будут иметь место в первых из четырех изложенных ниже задач. Дан отрезок длины l. Требуется разделить его на две части так,
чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наиболь- шей.
Пусть x — длина одной из частей отрезка, (l − x) — длина другой его части. Принимая во внимание, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон, видим, что задача сводится к нахождению тех значений x, при которых функция f (x) = x(l − достигает наибольшего значения в промежутке (0, l) изменения x. Составим производные первого и второго порядка f
′
(x) = (l − x) − x = l − 2x,
f
′′
(x) = −2 < Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение, которому и соответствует максимум, так как f
′′
(x) постоянно отрицательна. Таким образом, наибольшая площадь будет у квадрата со стороною l
2 2
. Из круга радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга склеивается конус. Требуется определить угол вырезанного сектора так, чтобы объем конуса был наибольшим.
Рис. Примем за независимую переменную не угол вырезанного сектора, а его дополнение доте. угол оставшегося сектора. При значениях близких к 0 и 2π, объем конуса будет близок к нулю, и, очевидно, внутри промежутка (0, 2π) будет существовать такое значение x, при котором этот объем будет наибольшим
60]
§ 5. Приложение к изучению функций
185
M
Рис. Пусть и BB
1
— перпендикулярны из точек A и B напрямую. Введем следующие обозначения AA
1
= a, BB
1
=
b, A
1
B
1
= и на прямой L будем отсчитывать абсциссы в направлении рис. Ясно, что как в среде I, таки в среде путь точки должен быть прямолинейным, но путь по прямой AB не будет,
вообще говоря, скорейшим путем. Итак, скорейший путь будет состоять из двух прямолинейных отрезков AM и M B, причем точка должна лежать на прямой L. За независимую переменную x выберем абсциссу точки M : x = A
1
M Время t, наименьшее значение которого ищется, определится по формуле t = f (x) =
AM
v
1
+
M B
v
2
=
√
a
2
+ x
2
v
1
+
p b
2
+ (c − в промежутке (−∞, +∞). Составим производные первого и второго порядков Обе производные существуют при всех значениях x, и f
′′
(x) всегда имеет знак (+). Следовательно, f
′
(x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и не может обратиться в нуль более одного раза. Но f
′
(0) = −
c v
2
√
b
2
+ c
2
< и f
′
(c) =
c v
1
√
a
2
+ c
2
> а потому уравнение f
′
(x) = имеет единственный корень между 0 и c, которому соответствует единственный минимум функции f (x), так как f
′′
(x) > 0. Абсциссы 0 и c соответствуют точками, а потому искомая точка M будет находиться между точками и B
1
, что можно было бы показать и из элементарных геометрических соображений
[60
Отметим еще, что при одновременной замене x и y на (−x) и (−y) обе части уравнения кривой меняют лишь знак, те. начало координат есть центр симметрии кривой (рис. 62).
60. Наибольшее и наименьшее значения функций. Пусть рассматриваются значения функции f (x) при значениях независимой переменной x из промежутка (a, b), те. при a 6 x 6 b, и пусть требуется найти наибольшее и наименьшее из этих значений.
При указанном условии функция f (x) будет достигать наибольшего и наименьшего значения [35], те. соответствующий этой функции график будет иметь в упомянутом промежутке наибольшую и наименьшую ординаты. Согласно приведенным выше правилам,
мы сможем найти все максимумы и минимумы функции, заключающиеся внутри промежутка (a, b). Если функция f (x) имеет свою наибольшую ординату внутри этого промежутка, то эта наибольшая ордината будет, очевидно, совпадать с наибольшим максимумом функции внутри промежутка (a, b). Но может оказаться, что наибольшая ордината находится не внутри промежутка, а на одном из его концов x = a и x = b. Поэтому для нахождения, например,
наибольшего значения функции недостаточно сравнить все ее максимумы внутри промежутка и взять наибольший, но необходимо также принять во внимание и значение функции на концах промежутка. Точно также для определения наименьшего значения функции надо взять все ее минимумы, лежащие внутри промежутка, и граничные значения функции при x = a и x = b. Заметим при этом, что максимумы и минимумы могут вовсе отсутствовать,
а наибольшее и наименьшее значения у непрерывной функции в ограниченном промежутке (a, b) обязательно будут существовать.
Отметим некоторые частные случаи, когда нахождение наименьших и наибольших значений производится наиболее просто.
Если, например, функция f (x) возрастает в промежутке (a, b), то очевидно, что при x = a она будет принимать наименьшее, а при x = b наибольшее значение. Для убывающей функции картина будет противоположной.
Если функция имеет внутри промежутка один максимум и не имеет минимумов, то этот единственный максимум и дает наибольшее значение функции (рис. 63), так что в этом случае для
60]
§ 5. Приложение к изучению функций
183
Рис. определения наибольшего значения функции вовсе не надо определять значений функций на концах промежутка. Точно также, если функция имеет внутри промежутка один минимум и не имеет вовсе максимумов, то упомянутый единственный минимум и дает наименьшее значение функции. Указанные только что обстоятельства будут иметь место в первых из четырех изложенных ниже задач. Дан отрезок длины l. Требуется разделить его на две части так,
чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наиболь- шей.
Пусть x — длина одной из частей отрезка, (l − x) — длина другой его части. Принимая во внимание, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон, видим, что задача сводится к нахождению тех значений x, при которых функция f (x) = x(l − достигает наибольшего значения в промежутке (0, l) изменения x. Составим производные первого и второго порядка f
′
(x) = (l − x) − x = l − 2x,
f
′′
(x) = −2 < Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение, которому и соответствует максимум, так как f
′′
(x) постоянно отрицательна. Таким образом, наибольшая площадь будет у квадрата со стороною l
2 2
. Из круга радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга склеивается конус. Требуется определить угол вырезанного сектора так, чтобы объем конуса был наибольшим.
Рис. Примем за независимую переменную не угол вырезанного сектора, а его дополнение доте. угол оставшегося сектора. При значениях близких к 0 и 2π, объем конуса будет близок к нулю, и, очевидно, внутри промежутка (0, 2π) будет существовать такое значение x, при котором этот объем будет наибольшим
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[60
При склеивании оставшейся части круга в конус (рис. 64) получится такой конусу которого образующая равна R, длина окружности основания равна Rx, радиус основания r и высота h =
r
R
2
−
R
2
x
2 4π
2
=
R
2π
p
4π
2
− Объем этого конуса будет v(x) =
1 3
π
R
2
x
2 4π
2
·
R
2π
p
4π
2
− x
2
=
R
3 24π
2
x
2
p
4π
2
− При отыскании наибольшего значения этой функции мы можем не обращать внимания на постоянный множитель 24π
2
. Оставшееся произведение положительно и, следовательно, будет достигать наибольшего значения при тех же значениях x, при которых достигает наибольшего значения его квадрат. Таким образом, мы можем рассматривать функцию f (x) = 4π
2
x
4
− внутри промежутка (0, 2π). Составляем первую производную f
′
(x) = 16π
2
x
3
− Она существует при всех значениях x. Приравнивая ее к нулю, получим три значения 0,
x
2
= −2π
r
2 3
,
x
3
= 2π
r
2 Первые два значения не лежат внутри промежутка (0, 2π). Остается единственное значение x
3
= 2π
q
2 3
, лежащее внутри этого промежутка;
но выше мы видели, что наибольшее значение внутри этого промежутка должно встретиться, а следовательно, и не исследуя значения x
3
, можем утверждать, что ему будет соответствовать наибольший объем конуса. Прямою L плоскость разделена на две части (среды) I и II. Точка двигается в среде I со скоростью v
1
, в среде II — со скоростью По какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть из точки A среды I в точку B среды II?
[60
При склеивании оставшейся части круга в конус (рис. 64) получится такой конусу которого образующая равна R, длина окружности основания равна Rx, радиус основания r и высота h =
r
R
2
−
R
2
x
2 4π
2
=
R
2π
p
4π
2
− Объем этого конуса будет v(x) =
1 3
π
R
2
x
2 4π
2
·
R
2π
p
4π
2
− x
2
=
R
3 24π
2
x
2
p
4π
2
− При отыскании наибольшего значения этой функции мы можем не обращать внимания на постоянный множитель 24π
2
. Оставшееся произведение положительно и, следовательно, будет достигать наибольшего значения при тех же значениях x, при которых достигает наибольшего значения его квадрат. Таким образом, мы можем рассматривать функцию f (x) = 4π
2
x
4
− внутри промежутка (0, 2π). Составляем первую производную f
′
(x) = 16π
2
x
3
− Она существует при всех значениях x. Приравнивая ее к нулю, получим три значения 0,
x
2
= −2π
r
2 3
,
x
3
= 2π
r
2 Первые два значения не лежат внутри промежутка (0, 2π). Остается единственное значение x
3
= 2π
q
2 3
, лежащее внутри этого промежутка;
но выше мы видели, что наибольшее значение внутри этого промежутка должно встретиться, а следовательно, и не исследуя значения x
3
, можем утверждать, что ему будет соответствовать наибольший объем конуса. Прямою L плоскость разделена на две части (среды) I и II. Точка двигается в среде I со скоростью v
1
, в среде II — со скоростью По какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть из точки A среды I в точку B среды II?
60]
§ 5. Приложение к изучению функций
185
M
Рис. Пусть и BB
1
— перпендикулярны из точек A и B напрямую. Введем следующие обозначения AA
1
= a, BB
1
=
b, A
1
B
1
= и на прямой L будем отсчитывать абсциссы в направлении рис. Ясно, что как в среде I, таки в среде путь точки должен быть прямолинейным, но путь по прямой AB не будет,
вообще говоря, скорейшим путем. Итак, скорейший путь будет состоять из двух прямолинейных отрезков AM и M B, причем точка должна лежать на прямой L. За независимую переменную x выберем абсциссу точки M : x = A
1
M Время t, наименьшее значение которого ищется, определится по формуле t = f (x) =
AM
v
1
+
M B
v
2
=
√
a
2
+ x
2
v
1
+
p b
2
+ (c − в промежутке (−∞, +∞). Составим производные первого и второго порядков Обе производные существуют при всех значениях x, и f
′′
(x) всегда имеет знак (+). Следовательно, f
′
(x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и не может обратиться в нуль более одного раза. Но f
′
(0) = −
c v
2
√
b
2
+ c
2
< и f
′
(c) =
c v
1
√
a
2
+ c
2
> а потому уравнение f
′
(x) = имеет единственный корень между 0 и c, которому соответствует единственный минимум функции f (x), так как f
′′
(x) > 0. Абсциссы 0 и c соответствуют точками, а потому искомая точка M будет находиться между точками и B
1
, что можно было бы показать и из элементарных геометрических соображений
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[60
Поясним геометрический смысл полученного решения. Обозначим через α и β углы, составленные отрезками AM и BM с перпендикуляром, восставленным из точки M к L. Абсцисса x искомой точки должна обращать в нуль f
′
(x), те. должна удовлетворять уравнению x
v
1
√
a
2
+ x
2
=
c − x v
2
p b
2
+ (c − которое можно переписать так или sin α
v
1
=
sin β
v
2
, те скорейший путь будет тот, при котором отношение синусов углов α и будет равно отношению скоростей в средах I и II. Результат этот дает нам известный закон преломления света, и, следовательно, преломление света совершается так, как будто луч света выбирает скорейший путь»
из точек одной среды в точки другой. Положим, что экспериментально определяется величина x, и n одинаково тщательно произведенных наблюдений дают для нее n значений a
1
, a
2
, . . . , a неодинаковых ввиду неточности инструментов. Наиболее вероятным»
значением величины x будем считать то, при котором сумма квадратов ошибок будет наименьшей. Таким образом, нахождение этого значения приводится к нахождению x из условия наименьшего значения функции f (x) = (x − a
1
)
2
+ (x − a
2
)
2
+ · · · + (x − a в промежутке (−∞, +∞). Составляем производные первого и второго порядков f
′
(x) = 2(x − a
1
) + 2(x − a
2
) + · · · + 2(x − a n
),
f
′′
(x) = 2 + 2 + · · · + 2 = 2n > Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение. Приложение к изучению функций
187
которому будет соответствовать минимум ввиду положительности второй производной. Таким образом наиболее вероятным значением x является среднее арифметическое значений, полученных из наблюдений. Найти кратчайшее расстояние точки M до окружности.
Примем за начало координат центр окружности O, за ось OX — прямую. Пусть OM = a и пусть R есть радиус окружности. Уравнение окружности будет x
2
+ y
2
= а расстояние точки M с координатами (a, 0) до любой точки окружности p
(x − a)
2
+ Будем искать наибольшее значение квадрата этого расстояния. Подставив вместо его выражение R
2
− из уравнения окружности, мы получим функцию f (x) = (x − a)
2
+ (R
2
− x
2
) = −2ax + a
2
+ где независимая переменная x может изменяться в промежутке (−R 6
x 6 R). Так как первая производная f
′
(x) = −2a отрицательна при всех значениях x, то функция f (x) убывает и достигает, следовательно, наименьшего значения при x = R на правом конце промежутка. Кратчайшим расстоянием будет длина отрезка P рис. 66).
6
. В прямой круговой конус вписать прямой круговой цилиндр (с основанием, лежащим в основании конуса) так, чтобы его полная поверхность была наибольшей.
Обозначим радиус основания и высоту конуса буквами R и H а радиус основания и высоту цилиндра — буквами r и h. Функция, наибольшее значение которой ищется, будет в данном случае = 2πr
2
+ Переменные величины r и h связаны между собой тем условием, что цилиндр вписан в данный конус. Из подобия треугольников ABD и AM имеем (рис. 67):
M N
AN
=
BD
AD
, или Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[60
Рис. Рис. откуда h =
R − Подставляя это значение h в выражение для S, получим = 2π
h r
2
+ rH
1 Таким образом, S оказывается функцией одной независимой переменной, которая может изменяться в промежутке 0 6 r 6 R. Составим производные первых двух порядков 2π
2r + H −
2r
R
H
,
d
2
S
dr
2
= 4π
1 Приравнивая нулю dS
dr
, получим для r одно значение r =
HR
2(H − Для того чтобы это значение находилось внутри промежутка (0, R), необходимо выполнение неравенств <
HR
2(H − и − R)
< Первое из этих неравенств равносильно тому, что H должно быть больше. Умножая обе части второго неравенства на положительную величину − R), получим При выполнении этого условия имеет знак (−); значению (2) соответствуют единственный максимум функции S и наибольшая величина
61]
§ 5. Приложение к изучению функций
189
поверхности цилиндра. Эту величину можно легко определить, подставляя значение r изв выражение для Предположим теперь, что значение (2) не лежит внутри промежутка, R), те. что не выполнено одно из неравенств (3). При этом могут представиться две возможности или H 6 R или H > R, но R >
H
2
. Обе они могут быть охарактеризованы одним неравенством 6 Преобразуем выражение для dS
dr
:
dS
dr
= 2π
2r + H −
2r
R
H
=
2π
R
[(2R − H)r + H(R − Из этого выражения видно, что при выполнении условия (4)
dS
dr
> прите. функция S возрастает в промежутке (0, R), а потому достигает наибольшего значения при r = R. При этом значении очевидно, h = 0, и полученное решение можно рассматривать как сплющенный цилиндр, основание которого совпадает с основанием конуса и вся поверхность которого приводится к 2πR
2 61. Теорема Ферма. Выше мы изложили, пользуясь элементарными геометрическими соображениями, способы исследования возрастания и убывания функций, нахождения их максимумов и минимумов, а также наибольших и наименьших значений. Сейчас мы переходим к строгому аналитическому изложению некоторых теорем и формул, которые дадут нам аналитическое доказательство справедливости приведенных выше правила также позволят продвинуть исследование функций еще несколько дальше. Вдаль- нейшем изложении мы будем уже вполне отчетливо и подробно перечислять все условия, при которых соответствующие теоремы и формулы имеют место.
Т е орем а Ферма. Если функция f (x) непрерывна в промежутке, в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную ив некоторой точке x = c внутри промежутка достигает наибольшего (или наименьшего) значения, тов этой точке x = c первая производная равна нулю, те Часто теорема Ферма формулируется для точек максимумов и минимумов как необходимое условие существования экстремума
[60
Поясним геометрический смысл полученного решения. Обозначим через α и β углы, составленные отрезками AM и BM с перпендикуляром, восставленным из точки M к L. Абсцисса x искомой точки должна обращать в нуль f
′
(x), те. должна удовлетворять уравнению x
v
1
√
a
2
+ x
2
=
c − x v
2
p b
2
+ (c − которое можно переписать так или sin α
v
1
=
sin β
v
2
, те скорейший путь будет тот, при котором отношение синусов углов α и будет равно отношению скоростей в средах I и II. Результат этот дает нам известный закон преломления света, и, следовательно, преломление света совершается так, как будто луч света выбирает скорейший путь»
из точек одной среды в точки другой. Положим, что экспериментально определяется величина x, и n одинаково тщательно произведенных наблюдений дают для нее n значений a
1
, a
2
, . . . , a неодинаковых ввиду неточности инструментов. Наиболее вероятным»
значением величины x будем считать то, при котором сумма квадратов ошибок будет наименьшей. Таким образом, нахождение этого значения приводится к нахождению x из условия наименьшего значения функции f (x) = (x − a
1
)
2
+ (x − a
2
)
2
+ · · · + (x − a в промежутке (−∞, +∞). Составляем производные первого и второго порядков f
′
(x) = 2(x − a
1
) + 2(x − a
2
) + · · · + 2(x − a n
),
f
′′
(x) = 2 + 2 + · · · + 2 = 2n > Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение. Приложение к изучению функций
187
которому будет соответствовать минимум ввиду положительности второй производной. Таким образом наиболее вероятным значением x является среднее арифметическое значений, полученных из наблюдений. Найти кратчайшее расстояние точки M до окружности.
Примем за начало координат центр окружности O, за ось OX — прямую. Пусть OM = a и пусть R есть радиус окружности. Уравнение окружности будет x
2
+ y
2
= а расстояние точки M с координатами (a, 0) до любой точки окружности p
(x − a)
2
+ Будем искать наибольшее значение квадрата этого расстояния. Подставив вместо его выражение R
2
− из уравнения окружности, мы получим функцию f (x) = (x − a)
2
+ (R
2
− x
2
) = −2ax + a
2
+ где независимая переменная x может изменяться в промежутке (−R 6
x 6 R). Так как первая производная f
′
(x) = −2a отрицательна при всех значениях x, то функция f (x) убывает и достигает, следовательно, наименьшего значения при x = R на правом конце промежутка. Кратчайшим расстоянием будет длина отрезка P рис. 66).
6
. В прямой круговой конус вписать прямой круговой цилиндр (с основанием, лежащим в основании конуса) так, чтобы его полная поверхность была наибольшей.
Обозначим радиус основания и высоту конуса буквами R и H а радиус основания и высоту цилиндра — буквами r и h. Функция, наибольшее значение которой ищется, будет в данном случае = 2πr
2
+ Переменные величины r и h связаны между собой тем условием, что цилиндр вписан в данный конус. Из подобия треугольников ABD и AM имеем (рис. 67):
M N
AN
=
BD
AD
, или Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[60
Рис. Рис. откуда h =
R − Подставляя это значение h в выражение для S, получим = 2π
h r
2
+ rH
1 Таким образом, S оказывается функцией одной независимой переменной, которая может изменяться в промежутке 0 6 r 6 R. Составим производные первых двух порядков 2π
2r + H −
2r
R
H
,
d
2
S
dr
2
= 4π
1 Приравнивая нулю dS
dr
, получим для r одно значение r =
HR
2(H − Для того чтобы это значение находилось внутри промежутка (0, R), необходимо выполнение неравенств <
HR
2(H − и − R)
< Первое из этих неравенств равносильно тому, что H должно быть больше. Умножая обе части второго неравенства на положительную величину − R), получим При выполнении этого условия имеет знак (−); значению (2) соответствуют единственный максимум функции S и наибольшая величина
61]
§ 5. Приложение к изучению функций
189
поверхности цилиндра. Эту величину можно легко определить, подставляя значение r изв выражение для Предположим теперь, что значение (2) не лежит внутри промежутка, R), те. что не выполнено одно из неравенств (3). При этом могут представиться две возможности или H 6 R или H > R, но R >
H
2
. Обе они могут быть охарактеризованы одним неравенством 6 Преобразуем выражение для dS
dr
:
dS
dr
= 2π
2r + H −
2r
R
H
=
2π
R
[(2R − H)r + H(R − Из этого выражения видно, что при выполнении условия (4)
dS
dr
> прите. функция S возрастает в промежутке (0, R), а потому достигает наибольшего значения при r = R. При этом значении очевидно, h = 0, и полученное решение можно рассматривать как сплющенный цилиндр, основание которого совпадает с основанием конуса и вся поверхность которого приводится к 2πR
2 61. Теорема Ферма. Выше мы изложили, пользуясь элементарными геометрическими соображениями, способы исследования возрастания и убывания функций, нахождения их максимумов и минимумов, а также наибольших и наименьших значений. Сейчас мы переходим к строгому аналитическому изложению некоторых теорем и формул, которые дадут нам аналитическое доказательство справедливости приведенных выше правила также позволят продвинуть исследование функций еще несколько дальше. Вдаль- нейшем изложении мы будем уже вполне отчетливо и подробно перечислять все условия, при которых соответствующие теоремы и формулы имеют место.
Т е орем а Ферма. Если функция f (x) непрерывна в промежутке, в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную ив некоторой точке x = c внутри промежутка достигает наибольшего (или наименьшего) значения, тов этой точке x = c первая производная равна нулю, те Часто теорема Ферма формулируется для точек максимумов и минимумов как необходимое условие существования экстремума
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[62
Итак, положим для определенности, что значение f (c) является наибольшим значением функции. Для этого случая, когда это есть наименьшее значение, доказательство может быть проведено совершенно аналогичным образом. Итак, согласно условию, точка x = c лежит внутри промежутка и разность f (c+ h)−f(c) будет отрицательной или, во всяком случае, не положительной, при любом h как положительном, таки отрицательном (c + h) − f(c) 6 Составим отношение f (c + h) − Числитель написанной дроби, как сказано, меньше или равен нулю, а потому f (c + h) − f(c)
h
6 0 при h > 0,
f (c + h) − f(c)
h
>
0 при h < Точка x = c лежит внутри промежутка, ив ней по условию существует производная, те. написанная выше дробь стремится к определенному пределу f
′
(c), если h стремится к нулю со стороны положительных значений. При этом, переходя к пределу в первом из неравенств (5), получим f
′
(c) 6 Точно также переход к пределу при h → 0 во втором неравенстве) дает f
′
(c) > Сопоставляя эти неравенства, мы получим требуемый результат. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна в промежутке, имеет производную в каждой точке внутри этого
62]
§ 5. Приложение к изучению функций
191
промежутка и значения функции на концах этого промежутка равны, те, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение x = c, при котором производная обращается в нуль, те Непрерывная функция f (x) должна достигать в рассматриваемом промежутке наименьшего значения m и наибольшего значения . Если бы оказалось, что эти наименьшее и наибольшее значение одинаковы, те, то отсюда следовало бы, очевидно, что функция во всем промежутке сохраняет постоянное значение, равное (или M ). Но, как известно, производная от постоянной равна нулю, и, следовательно, в этом простом случае во всякой точке внутри промежутка производная была бы равна нулю. Обращаясь к рассмотрению общего случая, мы можем, следовательно, считать,
что m < M . Так как значения функции на концах по условию одинаковы, те, то по крайней мере одно из чисел m или отлично от этого общего значения на концах. Положим, например,
что это будет M , те. что наибольшее значение функции достигается не на концах, а внутри промежутка. Пусть x = c будет та точка,
где это значение достигается. Согласно теореме Ферма, мы будем иметь в этой точке f
′
(c) = 0, что и доказывает теорему Ролля.
В частном случае, если f (a) = f (b) = 0, можно теорему Ролля формулировать кратко так между двумя корнями функции заключается по крайней мере один корень первой производной.
Рис. Теорема Ролля имеет простое геометрическое значение. По условию (a) = f (b), те. ординаты кривой y =
f (x), соответствующие концам промежутка, равны, и внутри этого промежутка существует производная, т. е.
кривая имеет определенную касательную. Теорема Ролля утверждает, что при этом внутри промежутка будет существовать по крайней мере одна такая точка, в которой производная будет равна нулю, те. в которой касательная будет параллельна оси OX (рис. Замечание. Если не выполнено условие теоремы Ролля осу- ществовании производной f
′
(x) во всех точках внутри промежутка,
то теорема может оказаться и неверной
[62
Итак, положим для определенности, что значение f (c) является наибольшим значением функции. Для этого случая, когда это есть наименьшее значение, доказательство может быть проведено совершенно аналогичным образом. Итак, согласно условию, точка x = c лежит внутри промежутка и разность f (c+ h)−f(c) будет отрицательной или, во всяком случае, не положительной, при любом h как положительном, таки отрицательном (c + h) − f(c) 6 Составим отношение f (c + h) − Числитель написанной дроби, как сказано, меньше или равен нулю, а потому f (c + h) − f(c)
h
6 0 при h > 0,
f (c + h) − f(c)
h
>
0 при h < Точка x = c лежит внутри промежутка, ив ней по условию существует производная, те. написанная выше дробь стремится к определенному пределу f
′
(c), если h стремится к нулю со стороны положительных значений. При этом, переходя к пределу в первом из неравенств (5), получим f
′
(c) 6 Точно также переход к пределу при h → 0 во втором неравенстве) дает f
′
(c) > Сопоставляя эти неравенства, мы получим требуемый результат. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна в промежутке, имеет производную в каждой точке внутри этого
62]
§ 5. Приложение к изучению функций
191
промежутка и значения функции на концах этого промежутка равны, те, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение x = c, при котором производная обращается в нуль, те Непрерывная функция f (x) должна достигать в рассматриваемом промежутке наименьшего значения m и наибольшего значения . Если бы оказалось, что эти наименьшее и наибольшее значение одинаковы, те, то отсюда следовало бы, очевидно, что функция во всем промежутке сохраняет постоянное значение, равное (или M ). Но, как известно, производная от постоянной равна нулю, и, следовательно, в этом простом случае во всякой точке внутри промежутка производная была бы равна нулю. Обращаясь к рассмотрению общего случая, мы можем, следовательно, считать,
что m < M . Так как значения функции на концах по условию одинаковы, те, то по крайней мере одно из чисел m или отлично от этого общего значения на концах. Положим, например,
что это будет M , те. что наибольшее значение функции достигается не на концах, а внутри промежутка. Пусть x = c будет та точка,
где это значение достигается. Согласно теореме Ферма, мы будем иметь в этой точке f
′
(c) = 0, что и доказывает теорему Ролля.
В частном случае, если f (a) = f (b) = 0, можно теорему Ролля формулировать кратко так между двумя корнями функции заключается по крайней мере один корень первой производной.
Рис. Теорема Ролля имеет простое геометрическое значение. По условию (a) = f (b), те. ординаты кривой y =
f (x), соответствующие концам промежутка, равны, и внутри этого промежутка существует производная, т. е.
кривая имеет определенную касательную. Теорема Ролля утверждает, что при этом внутри промежутка будет существовать по крайней мере одна такая точка, в которой производная будет равна нулю, те. в которой касательная будет параллельна оси OX (рис. Замечание. Если не выполнено условие теоремы Ролля осу- ществовании производной f
′
(x) во всех точках внутри промежутка,
то теорема может оказаться и неверной
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[63
Так, например, функция f (x) = 1 непрерывна в промежутке (−1, +1) и f(−1) = f(1) = 0, но производная внутри промежутка в нуль не обращается. Происходит это от того,
что f
′
(x) не существует (обращается в бесконечность) при x = рис. 69). Другой пример дает кривая, изображенная на рис. 70. В
этом случае мы имеем кривую y = f (x), у которой f (a) = f (b) = Однако из чертежа видно, что касательная внутри промежутка
Рис. Рис. 70.
(a, b) не может быть параллельна оси OX, те) не обращается в нуль. Происходит это оттого, что кривая в точке x = имеет две различные касательные, справа и слева от этой точки,
и, следовательно, в этой точке не существует определенной производной, и условие теоремы Ролля о существовании во всех точках внутри промежутка не выполнено. Формула Лангранжа. Положим, что функция f(x) непрерывна в промежутке (a, b) и имеет внутри этого промежутка производную, но условие f (a) = f (b) теоремы Ролля может быть не выполнено. Составим функцию (x) = f (x) + где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функция) удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, те. Приложение к изучению функций
[63
Так, например, функция f (x) = 1 непрерывна в промежутке (−1, +1) и f(−1) = f(1) = 0, но производная внутри промежутка в нуль не обращается. Происходит это от того,
что f
′
(x) не существует (обращается в бесконечность) при x = рис. 69). Другой пример дает кривая, изображенная на рис. 70. В
этом случае мы имеем кривую y = f (x), у которой f (a) = f (b) = Однако из чертежа видно, что касательная внутри промежутка
Рис. Рис. 70.
(a, b) не может быть параллельна оси OX, те) не обращается в нуль. Происходит это оттого, что кривая в точке x = имеет две различные касательные, справа и слева от этой точки,
и, следовательно, в этой точке не существует определенной производной, и условие теоремы Ролля о существовании во всех точках внутри промежутка не выполнено. Формула Лангранжа. Положим, что функция f(x) непрерывна в промежутке (a, b) и имеет внутри этого промежутка производную, но условие f (a) = f (b) теоремы Ролля может быть не выполнено. Составим функцию (x) = f (x) + где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функция) удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, те. Приложение к изучению функций
1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 43