Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 153
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
193
потребуем, чтобы (a) = F (или f (a) + λa = f (b) + откуда = −
f (b) − f(a)
b − Применяя теперь к F (x) теорему Ролля, можем утверждать, что между a и b будет находиться такое значение x = c, при котором) = f
′
(c) + λ = 0 (a < c < откуда, подставляя найденное выше значение λ,
f
′
(c) = −λ или f
′
(c) =
f (b) − f(a)
b − Последнее равенство можно переписать так (b) − f(a) = (b − Равенство это называется формулой Лангранжа. Значение c заключается между a и b, а потому отношение c−a b−a
= θ заключается между нулем и единицей, и мы можем написать c = a + θ(b − a) (0 < θ < и формула Лангранжа перепишется в виде (b) − f(a) = (b − a)f
′
(a + θ(b − a)) (0 < θ < Полагая b = a + h, получим еще следующий вид формулы (a + h) − f(a) = hf
′
(a + Формула Лагранжа дает точное выражение для приращения f (b) − f(a) функции f(x), а потому называется также формулой конечных приращений.
*
*
То есть утверждается, что существует такая точка с (c = a + θ(b − a)), что такое равенство имеет место
63]
§ 5. Приложение к изучению функций
195
Полагая a = 100 и h = 1, получим приближенное равенство log
10 101 = log
10 100 +
M
100
= 2, 00434 . . с ошибкой + θ)
(0 < θ < Заменяя в числителе этой дроби θ единицей, а в знаменателе нулем,
увеличим дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленного значения log
10 101 меньше 2
= 0, 00004 . . Перепишем формулу Лангранжа в виде (b) − f(a)
b − a
= f
′
(c)
(a < c < Рис. Обращаясь к графику функции y = f (x) (рис. 71), заметим, что отношение дает угловой коэффициент хорды, а f
′
(c) дает угловой коэффициент касательной в некоторой точке M дуги AB кривой. Таким образом, формула Лангранжа равносильна следующему утверждению:
на дуге кривой имеется такая точка, в которой касательная параллельна хорде. Частным случаем этого утверждения, когда хорда параллельна оси OX, те, является теорема Ролля.
З а меча ни е. Из формулы Лангранжа непосредственно вытекают те признаки возрастания и убывания, которые были установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что внутри некоторого промежутка первая производная f
′
(x) положительна и пусть x и x+ h — две точки из этого промежутка. Из формулы Лан- гранжа:
f (x + h) − f(x) = hf
′
(x + θh) (0 < θ < 1)
65]
§ 5. Приложение к изучению функций
197
откуда
λ = −
f (b) − f(a)
ϕ(b) − При таком выборе λ к функции F (x) приложима теорема Ролля,
и, следовательно, будет существовать такое значение x = c, при котором) = f
′
(c) + λϕ
′
(c) = 0 (a < c < Это уравнение дает f
′
(c)
ϕ(c)
= −λ (ϕ
′
(c) 6= откуда, подставляя найденное для λ значение, получим f (b) − f(a)
ϕ(b) − ϕ(a)
=
f
′
(c)
ϕ
′
(c)
(a < c < или f (b) − f(a)
ϕ(b) − ϕ(a)
=
f
′
[a + θ(b − a)]
ϕ
′
[a + θ(b − a)]
(0 < θ < или f (a + h) − f(a)
ϕ(a + h) − ϕ(a)
=
f
′
(a + θh)
ϕ
′
(a + Это и есть формула Коши. Полагая в этой формуле ϕ(x) = будем иметь ϕ
′
(x) = 1, и формула примет вид (b) − f(a) = (b − темы получили формулу Лангранжа как частный случай формулы Коши. Раскрытие неопределенностей. Положим, что функции) и ψ(x) непрерывны при a < x 6 a + k, k — некоторое положительное число, имеют непрерывные производные и ψ
′
(x) не обращается в нуль при указанных значениях x. Положим, кроме того, что lim ϕ(x) = 0 и lim ψ(x) = 0 при x → a + 0 [26]. Полагая) = ψ(a) = 0, мы получим функции, непрерывные вплоть до
0
(a, b), если lim x→a y→b f (x, или lim
M→M
0
f (x, y) = f (a, Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Так, например, функция u =
p
1 − x
2
− непрерывна внутри круга, в котором она определена. Про нее можно также сказать,
что она остается непрерывной, если мы к кругу присоединим и его границу, те. окружность, на которой u = Пусть B — ограниченная замкнутая область на плоскости и f (x, y) — непрерывная в B функция (непрерывная внутри B и вплоть до границы B). Такая функция обладает свойствами, аналогичными свойствам функции одной независимой переменной,
непрерывной в конечном замкнутом промежутке [35]. Доказательства этих свойств, по существу, те же, что и доказательства из Сформулируем лишь результаты. Функция f (x, y) равномерно непрерывна в B, те. при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что, y
2
) − f(x
1
, y
1
)| < ε,
68]
§ 6. Функция двух переменных
207
Точно также определяется приращение ∆
y u и частная производная от u по y, вычисленная в предложении, что x не меняется:
дf (x, д f
′
y
(x, y) д д u
∆y
=
=
lim
∆y→±0
f (x, y + ∆y) − f(x, Если, например, u = x
2
+ y
2
, то д д д д y
= Рассмотрим уравнение Клапейрона pv = С помощью этого уравнения одна из величин p, v и T может быть определена в зависимости от двух других, причем эти последние должны уже считаться независимыми переменными. Мы получим следующую таблицу:
Независимые
T, p t, v p, v переменные
Функции v
=
RT
p Частные д д
T
=
R
p
,
д д p
= д p
д
T
=
R
v
,
д д v
= −
RT
v
2
д
T
д p
=
v
R
,
д
T
д v
=
p
R
производные
Отсюда получается следующее соотношение д дT
дT
дp д д Если бы в левой части равенства мы произвели сокращение, то получили бы не (−1), а (+1). Нов этом равенстве частные производные вычислены при различных предположениях:
д д в предложении, что p постоянно;
д
T
д p
— при v постоянном;
д д v
— при T постоянном, а потому упомянутое сокращение недопустимо.
Обозначим через ∆u полное приращение функции, получаемое при одновременном изменении как x, таки, Прибавляя и вычитая f (x, y + ∆y) можем написать = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y + ∆y)] + [f(x, y + ∆y) − f(x, y)].
потребуем, чтобы (a) = F (или f (a) + λa = f (b) + откуда = −
f (b) − f(a)
b − Применяя теперь к F (x) теорему Ролля, можем утверждать, что между a и b будет находиться такое значение x = c, при котором) = f
′
(c) + λ = 0 (a < c < откуда, подставляя найденное выше значение λ,
f
′
(c) = −λ или f
′
(c) =
f (b) − f(a)
b − Последнее равенство можно переписать так (b) − f(a) = (b − Равенство это называется формулой Лангранжа. Значение c заключается между a и b, а потому отношение c−a b−a
= θ заключается между нулем и единицей, и мы можем написать c = a + θ(b − a) (0 < θ < и формула Лангранжа перепишется в виде (b) − f(a) = (b − a)f
′
(a + θ(b − a)) (0 < θ < Полагая b = a + h, получим еще следующий вид формулы (a + h) − f(a) = hf
′
(a + Формула Лагранжа дает точное выражение для приращения f (b) − f(a) функции f(x), а потому называется также формулой конечных приращений.
*
*
То есть утверждается, что существует такая точка с (c = a + θ(b − a)), что такое равенство имеет место
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[63
Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы Лангранжа мы можем вывести обратное предложение если производная f
′
(x) во всех точках промежутка (a, b) равна нулю,
то функция f (x) постоянна в этом промежутке.
В самом деле, возьмем произвольное значение x из промежутка, b) и, применяя формулу Лангранжа к промежутку (a, x), получим но по условию f
′
(ξ) = 0 и, следовательно (x) − f(a) = те постоянной.
Относительно величины c, входящей в формулу Лангранжа, мы знаем только то, что она заключается между a и b, и поэтому формула Лангранжа не дает возможности точного вычисления приращения функции через производную, нос ее помощью можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
П р им ер. Пусть f (x) = Производная f
′
(x) =
1
x
1
log 10
=
M
x
(M = 0, 43429 . . . и формула Лангранжа даст log
10
(a + h) − log
10
a = h
M
a + θh
(0 < θ < или log
10
(a + h) = log
10
a + h
M
a + Заменяя приращение дифференциалом, получим приближенную формулу log
10
(a + h) − log
10
a = h
M
a
,
log
10
(a + h) = log
10
a + Сравнивая это приближенное равенство сточным, полученным по формуле Лангранжа, увидим, что ошибка h
M
a
− h
M
a + θh
=
θh
2
M
a(a + θh)
[63
Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы Лангранжа мы можем вывести обратное предложение если производная f
′
(x) во всех точках промежутка (a, b) равна нулю,
то функция f (x) постоянна в этом промежутке.
В самом деле, возьмем произвольное значение x из промежутка, b) и, применяя формулу Лангранжа к промежутку (a, x), получим но по условию f
′
(ξ) = 0 и, следовательно (x) − f(a) = те постоянной.
Относительно величины c, входящей в формулу Лангранжа, мы знаем только то, что она заключается между a и b, и поэтому формула Лангранжа не дает возможности точного вычисления приращения функции через производную, нос ее помощью можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
П р им ер. Пусть f (x) = Производная f
′
(x) =
1
x
1
log 10
=
M
x
(M = 0, 43429 . . . и формула Лангранжа даст log
10
(a + h) − log
10
a = h
M
a + θh
(0 < θ < или log
10
(a + h) = log
10
a + h
M
a + Заменяя приращение дифференциалом, получим приближенную формулу log
10
(a + h) − log
10
a = h
M
a
,
log
10
(a + h) = log
10
a + Сравнивая это приближенное равенство сточным, полученным по формуле Лангранжа, увидим, что ошибка h
M
a
− h
M
a + θh
=
θh
2
M
a(a + θh)
63]
§ 5. Приложение к изучению функций
195
Полагая a = 100 и h = 1, получим приближенное равенство log
10 101 = log
10 100 +
M
100
= 2, 00434 . . с ошибкой + θ)
(0 < θ < Заменяя в числителе этой дроби θ единицей, а в знаменателе нулем,
увеличим дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленного значения log
10 101 меньше 2
= 0, 00004 . . Перепишем формулу Лангранжа в виде (b) − f(a)
b − a
= f
′
(c)
(a < c < Рис. Обращаясь к графику функции y = f (x) (рис. 71), заметим, что отношение дает угловой коэффициент хорды, а f
′
(c) дает угловой коэффициент касательной в некоторой точке M дуги AB кривой. Таким образом, формула Лангранжа равносильна следующему утверждению:
на дуге кривой имеется такая точка, в которой касательная параллельна хорде. Частным случаем этого утверждения, когда хорда параллельна оси OX, те, является теорема Ролля.
З а меча ни е. Из формулы Лангранжа непосредственно вытекают те признаки возрастания и убывания, которые были установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что внутри некоторого промежутка первая производная f
′
(x) положительна и пусть x и x+ h — две точки из этого промежутка. Из формулы Лан- гранжа:
f (x + h) − f(x) = hf
′
(x + θh) (0 < θ < 1)
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[64
видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будет величиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоящем справа, в этом случае положительны. Таким образом,
предполагая положительность производной в некотором промежутке, мы получили f (x + h) − f(x) > те. функция возрастает в этом промежутке. Точно также из написанной формулы вытекает и признак убывания.
Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и для того случая, когда в рассматриваемой точке функция достигает необязательно наибольшего или наименьшего значения, а только лишь максимума или минимума. Эти рассуждения докажут, что в таких точках первая производная должна быть равна нулю, если она существует. Формула Коши. Положим, что функция f(x) и непрерывны в промежутке (a, b) ив каждой точке внутри этого промежутка имеют производную, причем производная ϕ
′
(x) нив одной из точек внутри промежутка не обращается в нуль. Применяя к функции ϕ(x) формулу Лангранжа, получим) − ϕ(a) = (b − a)ϕ
′
(c
1
) (a < c
1
< но по условию ϕ
′
(c
1
) 6= 0 и, следовательно) − ϕ(a) 6= Составим функцию (x) = f (x) + где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы было (a) = F (то есть f (a) + λϕ(a) = f (b) + λϕ(b),
[64
видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будет величиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоящем справа, в этом случае положительны. Таким образом,
предполагая положительность производной в некотором промежутке, мы получили f (x + h) − f(x) > те. функция возрастает в этом промежутке. Точно также из написанной формулы вытекает и признак убывания.
Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и для того случая, когда в рассматриваемой точке функция достигает необязательно наибольшего или наименьшего значения, а только лишь максимума или минимума. Эти рассуждения докажут, что в таких точках первая производная должна быть равна нулю, если она существует. Формула Коши. Положим, что функция f(x) и непрерывны в промежутке (a, b) ив каждой точке внутри этого промежутка имеют производную, причем производная ϕ
′
(x) нив одной из точек внутри промежутка не обращается в нуль. Применяя к функции ϕ(x) формулу Лангранжа, получим) − ϕ(a) = (b − a)ϕ
′
(c
1
) (a < c
1
< но по условию ϕ
′
(c
1
) 6= 0 и, следовательно) − ϕ(a) 6= Составим функцию (x) = f (x) + где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы было (a) = F (то есть f (a) + λϕ(a) = f (b) + λϕ(b),
65]
§ 5. Приложение к изучению функций
197
откуда
λ = −
f (b) − f(a)
ϕ(b) − При таком выборе λ к функции F (x) приложима теорема Ролля,
и, следовательно, будет существовать такое значение x = c, при котором) = f
′
(c) + λϕ
′
(c) = 0 (a < c < Это уравнение дает f
′
(c)
ϕ(c)
= −λ (ϕ
′
(c) 6= откуда, подставляя найденное для λ значение, получим f (b) − f(a)
ϕ(b) − ϕ(a)
=
f
′
(c)
ϕ
′
(c)
(a < c < или f (b) − f(a)
ϕ(b) − ϕ(a)
=
f
′
[a + θ(b − a)]
ϕ
′
[a + θ(b − a)]
(0 < θ < или f (a + h) − f(a)
ϕ(a + h) − ϕ(a)
=
f
′
(a + θh)
ϕ
′
(a + Это и есть формула Коши. Полагая в этой формуле ϕ(x) = будем иметь ϕ
′
(x) = 1, и формула примет вид (b) − f(a) = (b − темы получили формулу Лангранжа как частный случай формулы Коши. Раскрытие неопределенностей. Положим, что функции) и ψ(x) непрерывны при a < x 6 a + k, k — некоторое положительное число, имеют непрерывные производные и ψ
′
(x) не обращается в нуль при указанных значениях x. Положим, кроме того, что lim ϕ(x) = 0 и lim ψ(x) = 0 при x → a + 0 [26]. Полагая) = ψ(a) = 0, мы получим функции, непрерывные вплоть до
Гл. II. Понятие о производной и его приложения = a, те. при a 6 x 6 a + k. При x → a + 0 к частному, которое при x = a представляет собою неопределенность вида 0
, неприменима теорема о пределе частного. Укажем способ раскрытия такой неопределенности, те. способ нахождения предела
ϕ(x)
ψ(x)
при x → a + Докажем предварительно следующему теорему если при сделанных выше предположениях отношение
ϕ
′
(x)
ψ
′
(x)
стремится к пределу приток тому же пределу стремится и отношение функций
ϕ(x)
ψ(x)
Принимая во внимание, что) = ψ(a) = и применяя формулу Коши [64], получим) − ϕ(a)
ψ(x) − ψ(a)
=
ϕ
′
(ξ)
ψ
′
(ξ)
(ξ между a и Заметим, что при сделанных относительно ϕ(x) и ψ(x) предположениях применима формула Коши.
Если x → a + 0, то ξ, заключающееся между a и x и зависящее от x, стремится к a. При этом, по условию, правая часть равенства) стремится к пределу b, а потому и левая часть имеет тот же предел. Отметим, что этот предел может быть и бесконечным. Таким образом приходим к правилу:
При разыскании предела частного
ϕ(x)
ψ(x)
в случае неопределенности можно заменить отношение функций отношением их производных и отыскивать предел этого нового отношения.
Правило это дано французским математиком Лопиталем и называется обычно его именем.
Если отношение производных
ϕ
′
(x)
ψ
′
(x)
также приводит к неопределенности и функции ϕ
′
(x) и ψ
′
(x) удовлетворяют тем условиям,
которые мы выше формулировали для ϕ(x) и ψ(x), то и к отношению (можно применить правило Лопиталя, и т. д.
Мы рассмотрели случай a < x 6 a + k. Совершенно аналогично рассматривается случайте. В дальнейших
65]
§ 5. Приложение к изучению функций
199
примерах предел не зависит оттого, стремится ли x справа или слева, и мы пишем x → Мы рассмотрели тот случай, когда x стремится к конечному пределу a. Правило справедливо и для того случая, когда x стремится к бесконечности. На доказательстве этого мы не останавли- ваемся.
Приложим правило Лопиталя к нескольким примерам x→0
(1 + x)
n
− 1
x
= lim x→0
n(1 + x)
n−1 1
= n;
2.
lim x→0
x − sin x x
3
= lim x→0 1 − cos x
3x
2
= lim x→0
sin x
6x
= lim x→0
cos x
6
=
1 те. разность x − sin x есть бесконечно малая третьего порядка по сравнению с x.
3.
lim x→0
x − x cos x x − sin x
= lim x→0 1 − cos x + x sin x
1 − cos x
=
= lim x→0
sin x + sin x + x cos x sin x
= lim x→0 2 cos x + cos x − x cos x cos x
= Результат этого примера приводит к практически удобному способу спрямления дуги окружности.
Рис. Рассмотрим окружность, радиус которой примем за единицу. За ось OX выберем один из диаметров этой окружности, аза ось — касательную в конце этого диаметра (рис. 72). Возьмем некоторую дугу OM и пусть на оси имеется отрезок ON , равный дуге, и проведем прямую N M Пусть P — точка ее пересечения с осью OX. Обозначим через u длину дуги OM (радиус принят за единицу. Уравнение прямой N M вот- резках имеет вид u
= Для вычисления длины отрезка OP заметим, что на прямой N M лежит точка M с координатами x = OQ = 1 − cos u,
y = QM = sin Эти координаты должны удовлетворять написанному уравнению − cos u
OP
+
sin u u
= откуда =
u − u cos u u − sin u
66]
§ 5. Приложение к изучению функций
201
Отметим, что из (8) непосредственно следует, что ϕ(x) и ψ(x) отличны от нуля при значениях x, близких к a. Сравнивая эти два выражения, получим −
ϕ(x
0
)
ϕ(x)
1 или −
ψ(x
0
)
ψ(x)
1 где ξ заключается между x и и, следовательно, между a и Возьмем достаточно близким к a; тогда, в силу условия (9), мы можем считать, что первый множитель в правой части равенства) будет сколь угодно мало отличаться от b при любом выборе между и a. Закрепив, таким образом, значение x
0
, будем приближать x к a. Тогда в силу условия (8) второй множитель в правой части равенства (10) будет стремиться к единице, а потому мы можем утверждать, что отношение, стоящее в левой части равенства (10), при значениях x, близких к a, будет сколь угодно мало отличаться от b, те Из доказанной теоремы следует, что правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределенностей вида
∞
∞
Отметим еще некоторые виды неопределенностей. Рассмотрим произведение ϕ(x)ψ(x), и пусть lim x→a
ϕ(x) = и lim x→a
ψ(x) = Это будет неопределенность вида 0 · ∞. Нетрудно привести ее к виду или) =
ϕ(x)
1
ψ(x)
=
ψ(x)
1
ϕ(x)
67]
§ 6. Функция двух переменных
203
Числитель и знаменатель написанного отношения стремятся к бесконечности. Заменяя по правилу Лопиталя отношение функций отношением производных, получим lim x→∞
1 + cos Но 1 + cos x при беспредельном возрастании x ник какому пределу не стремится, ибо cos x будет все время колебаться между (+1) и (однако нетрудно видеть, что само данное отношение стремится к пределу lim x→∞
x + sin x x
= lim x→∞
1 +
sin x x
= Итак, в этом случае неопределенность раскрывается, но правило Ло- питаля ничего не дает. Этот результат не противоречит доказанной теореме, ибо в теореме утверждалось лишь то, что если отношение производных стремится к пределу, ток тому же пределу стремится и отношение функций, ноне наоборот. Отметим еще неопределенность вида (∞ ± ∞). Она приводится обычно к неопределенности вида 0
. Например x→0
1
sin x
−
1
x + x
2
= lim x→0
x + x
2
− sin x
(x + x
2
) sin Последнее выражение представляет собою неопределенность вида Раскрывая ее указанным выше способом, получим lim x→0
1
sin x
−
1
x + x
2
= 1.
§ 6. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Основные понятия. До сих пор мы рассматривали функцию одной независимой переменной. Рассмотрим теперь функцию двух независимых переменных u = f (x, Для определения частных значений такой функции должны быть заданы значения независимых переменных x = x
0
, y = Каждой такой паре значений x и y соответствует определенная точка на координатной плоскости с координатами (x
0
, y
0
), и вместо того, чтобы говорить о значении функции при x = x
0
, y = y
0
,
, неприменима теорема о пределе частного. Укажем способ раскрытия такой неопределенности, те. способ нахождения предела
ϕ(x)
ψ(x)
при x → a + Докажем предварительно следующему теорему если при сделанных выше предположениях отношение
ϕ
′
(x)
ψ
′
(x)
стремится к пределу приток тому же пределу стремится и отношение функций
ϕ(x)
ψ(x)
Принимая во внимание, что) = ψ(a) = и применяя формулу Коши [64], получим) − ϕ(a)
ψ(x) − ψ(a)
=
ϕ
′
(ξ)
ψ
′
(ξ)
(ξ между a и Заметим, что при сделанных относительно ϕ(x) и ψ(x) предположениях применима формула Коши.
Если x → a + 0, то ξ, заключающееся между a и x и зависящее от x, стремится к a. При этом, по условию, правая часть равенства) стремится к пределу b, а потому и левая часть имеет тот же предел. Отметим, что этот предел может быть и бесконечным. Таким образом приходим к правилу:
При разыскании предела частного
ϕ(x)
ψ(x)
в случае неопределенности можно заменить отношение функций отношением их производных и отыскивать предел этого нового отношения.
Правило это дано французским математиком Лопиталем и называется обычно его именем.
Если отношение производных
ϕ
′
(x)
ψ
′
(x)
также приводит к неопределенности и функции ϕ
′
(x) и ψ
′
(x) удовлетворяют тем условиям,
которые мы выше формулировали для ϕ(x) и ψ(x), то и к отношению (можно применить правило Лопиталя, и т. д.
Мы рассмотрели случай a < x 6 a + k. Совершенно аналогично рассматривается случайте. В дальнейших
65]
§ 5. Приложение к изучению функций
199
примерах предел не зависит оттого, стремится ли x справа или слева, и мы пишем x → Мы рассмотрели тот случай, когда x стремится к конечному пределу a. Правило справедливо и для того случая, когда x стремится к бесконечности. На доказательстве этого мы не останавли- ваемся.
Приложим правило Лопиталя к нескольким примерам x→0
(1 + x)
n
− 1
x
= lim x→0
n(1 + x)
n−1 1
= n;
2.
lim x→0
x − sin x x
3
= lim x→0 1 − cos x
3x
2
= lim x→0
sin x
6x
= lim x→0
cos x
6
=
1 те. разность x − sin x есть бесконечно малая третьего порядка по сравнению с x.
3.
lim x→0
x − x cos x x − sin x
= lim x→0 1 − cos x + x sin x
1 − cos x
=
= lim x→0
sin x + sin x + x cos x sin x
= lim x→0 2 cos x + cos x − x cos x cos x
= Результат этого примера приводит к практически удобному способу спрямления дуги окружности.
Рис. Рассмотрим окружность, радиус которой примем за единицу. За ось OX выберем один из диаметров этой окружности, аза ось — касательную в конце этого диаметра (рис. 72). Возьмем некоторую дугу OM и пусть на оси имеется отрезок ON , равный дуге, и проведем прямую N M Пусть P — точка ее пересечения с осью OX. Обозначим через u длину дуги OM (радиус принят за единицу. Уравнение прямой N M вот- резках имеет вид u
= Для вычисления длины отрезка OP заметим, что на прямой N M лежит точка M с координатами x = OQ = 1 − cos u,
y = QM = sin Эти координаты должны удовлетворять написанному уравнению − cos u
OP
+
sin u u
= откуда =
u − u cos u u − sin u
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[66
Результат примера 3 показывает, что, прите. точка на оси OX будет стремиться к точке D, расстояние которой от начала координат равно утроенному радиусу окружности. Отсюда получается простой способ приближенного спрямления дуги окружности.
Для спрямления дуги OM надо отложить от точки O отрезок OD, равный трем радиусам окружности, и провести прямую DM . Отрезок отсекаемый этой прямой на оси OY , и даст приближенно длину дуги . Способ этот приводит к очень хорошим результатам, особенно для небольших дуг но даже для дуги π/2 относительная ошибка составляет приблизительно 5%.
66. Различные виды неопределенностей. Доказанное вправило применимо и к случаю неопределенностей вида. Вдаль- нейшем мы не будем отличать стремление x к a слева или справа и будем писать для краткости x → a. Предположим, что при этом непрерывные функции ϕ(x) и ψ(x) стремятся кили (Для определенности пусть lim x→a
ϕ(x) = lim x→a
ψ(x) = +и lim x→a
ϕ
′
(x)
ψ
′
(x)
= Покажем, что отношение
ϕ(x)
ψ(x)
стремится к тому же пределу b, причем предполагается, что ψ
′
(x) не обращается в нуль при значениях x, близких к Рассмотрим два значения независимой переменной x и x
0
, близкие к a и такие, что x заключаются между и a. По формуле
Коши будем иметь) − ϕ(x
0
)
ψ(x) − ψ(x
0
)
=
ϕ
′
(ξ)
ψ
′
(ξ)
(ξ между x и нос другой стороны) − ϕ(x
0
)
ψ(x) − ψ(x
0
)
=
ϕ(x)
ψ(x)
1 −
ϕ(x
0
)
ϕ(x)
1 −
ψ(x
0
)
ψ(x)
[66
Результат примера 3 показывает, что, прите. точка на оси OX будет стремиться к точке D, расстояние которой от начала координат равно утроенному радиусу окружности. Отсюда получается простой способ приближенного спрямления дуги окружности.
Для спрямления дуги OM надо отложить от точки O отрезок OD, равный трем радиусам окружности, и провести прямую DM . Отрезок отсекаемый этой прямой на оси OY , и даст приближенно длину дуги . Способ этот приводит к очень хорошим результатам, особенно для небольших дуг но даже для дуги π/2 относительная ошибка составляет приблизительно 5%.
66. Различные виды неопределенностей. Доказанное вправило применимо и к случаю неопределенностей вида. Вдаль- нейшем мы не будем отличать стремление x к a слева или справа и будем писать для краткости x → a. Предположим, что при этом непрерывные функции ϕ(x) и ψ(x) стремятся кили (Для определенности пусть lim x→a
ϕ(x) = lim x→a
ψ(x) = +и lim x→a
ϕ
′
(x)
ψ
′
(x)
= Покажем, что отношение
ϕ(x)
ψ(x)
стремится к тому же пределу b, причем предполагается, что ψ
′
(x) не обращается в нуль при значениях x, близких к Рассмотрим два значения независимой переменной x и x
0
, близкие к a и такие, что x заключаются между и a. По формуле
Коши будем иметь) − ϕ(x
0
)
ψ(x) − ψ(x
0
)
=
ϕ
′
(ξ)
ψ
′
(ξ)
(ξ между x и нос другой стороны) − ϕ(x
0
)
ψ(x) − ψ(x
0
)
=
ϕ(x)
ψ(x)
1 −
ϕ(x
0
)
ϕ(x)
1 −
ψ(x
0
)
ψ(x)
66]
§ 5. Приложение к изучению функций
201
Отметим, что из (8) непосредственно следует, что ϕ(x) и ψ(x) отличны от нуля при значениях x, близких к a. Сравнивая эти два выражения, получим −
ϕ(x
0
)
ϕ(x)
1 или −
ψ(x
0
)
ψ(x)
1 где ξ заключается между x и и, следовательно, между a и Возьмем достаточно близким к a; тогда, в силу условия (9), мы можем считать, что первый множитель в правой части равенства) будет сколь угодно мало отличаться от b при любом выборе между и a. Закрепив, таким образом, значение x
0
, будем приближать x к a. Тогда в силу условия (8) второй множитель в правой части равенства (10) будет стремиться к единице, а потому мы можем утверждать, что отношение, стоящее в левой части равенства (10), при значениях x, близких к a, будет сколь угодно мало отличаться от b, те Из доказанной теоремы следует, что правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределенностей вида
∞
∞
Отметим еще некоторые виды неопределенностей. Рассмотрим произведение ϕ(x)ψ(x), и пусть lim x→a
ϕ(x) = и lim x→a
ψ(x) = Это будет неопределенность вида 0 · ∞. Нетрудно привести ее к виду или) =
ϕ(x)
1
ψ(x)
=
ψ(x)
1
ϕ(x)
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[66
Рассмотрим, наконец, выражение и пусть lim x→a
ϕ(x) = 1 и lim x→a
ψ(x) = Это будет случай неопределенности вида 1
∞
. Рассмотрим логарифм данного выражения log[ϕ(x)
ψ(x)
] = ψ(x) log который приводится к неопределенности вида 0 · ∞. Раскрывая эту неопределенность, те. находя предел логарифма данного выражения, мы тем самым будем знать и предел самого выражения. Совершенно также раскрываются неопределенности вида и 0 Рассмотрим теперь примеры x→+∞
e x
x
= lim x→+∞
e x
1
= +∞,
lim x→+∞
e x
x
2
= lim x→+∞
e x
2x
= lim x→+∞
e x
2
= +Совершенно также можно убедиться в том, что отношение e
x x
n при любом положительном значении n стремится к бесконечности, когда x → +∞, те. показательная функция e возрастает быстрее любой положительной степени x при беспредельном возрастании x.
2
. lim x→+∞
log x x
n
= lim x→+∞
1
x nx n−1
= lim x→+∞
1
nx n
= 0
(n > те возрастает медленнее любой положительной степени x.
3.
lim x→+0
x n
log x = lim x→+0
log x
1
x n
= lim x→+0 1
x
−n x
n
+1
=
= − lim x→+0
x n
n
= 0
(n > 0).
4
. Найдем предел x при стремлении x к (+0). Логарифмируя это выражение, получим неопределенность вида 0 ·∞. Эта неопределенность в силу примера 3 даст в пределе нуль, а следовательно x→+0
x x
= 1.
5
. Найдем предел отношения lim x→∞
x + sin x x
[66
Рассмотрим, наконец, выражение и пусть lim x→a
ϕ(x) = 1 и lim x→a
ψ(x) = Это будет случай неопределенности вида 1
∞
. Рассмотрим логарифм данного выражения log[ϕ(x)
ψ(x)
] = ψ(x) log который приводится к неопределенности вида 0 · ∞. Раскрывая эту неопределенность, те. находя предел логарифма данного выражения, мы тем самым будем знать и предел самого выражения. Совершенно также раскрываются неопределенности вида и 0 Рассмотрим теперь примеры x→+∞
e x
x
= lim x→+∞
e x
1
= +∞,
lim x→+∞
e x
x
2
= lim x→+∞
e x
2x
= lim x→+∞
e x
2
= +Совершенно также можно убедиться в том, что отношение e
x x
n при любом положительном значении n стремится к бесконечности, когда x → +∞, те. показательная функция e возрастает быстрее любой положительной степени x при беспредельном возрастании x.
2
. lim x→+∞
log x x
n
= lim x→+∞
1
x nx n−1
= lim x→+∞
1
nx n
= 0
(n > те возрастает медленнее любой положительной степени x.
3.
lim x→+0
x n
log x = lim x→+0
log x
1
x n
= lim x→+0 1
x
−n x
n
+1
=
= − lim x→+0
x n
n
= 0
(n > 0).
4
. Найдем предел x при стремлении x к (+0). Логарифмируя это выражение, получим неопределенность вида 0 ·∞. Эта неопределенность в силу примера 3 даст в пределе нуль, а следовательно x→+0
x x
= 1.
5
. Найдем предел отношения lim x→∞
x + sin x x
67]
§ 6. Функция двух переменных
203
Числитель и знаменатель написанного отношения стремятся к бесконечности. Заменяя по правилу Лопиталя отношение функций отношением производных, получим lim x→∞
1 + cos Но 1 + cos x при беспредельном возрастании x ник какому пределу не стремится, ибо cos x будет все время колебаться между (+1) и (однако нетрудно видеть, что само данное отношение стремится к пределу lim x→∞
x + sin x x
= lim x→∞
1 +
sin x x
= Итак, в этом случае неопределенность раскрывается, но правило Ло- питаля ничего не дает. Этот результат не противоречит доказанной теореме, ибо в теореме утверждалось лишь то, что если отношение производных стремится к пределу, ток тому же пределу стремится и отношение функций, ноне наоборот. Отметим еще неопределенность вида (∞ ± ∞). Она приводится обычно к неопределенности вида 0
. Например x→0
1
sin x
−
1
x + x
2
= lim x→0
x + x
2
− sin x
(x + x
2
) sin Последнее выражение представляет собою неопределенность вида Раскрывая ее указанным выше способом, получим lim x→0
1
sin x
−
1
x + x
2
= 1.
§ 6. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Основные понятия. До сих пор мы рассматривали функцию одной независимой переменной. Рассмотрим теперь функцию двух независимых переменных u = f (x, Для определения частных значений такой функции должны быть заданы значения независимых переменных x = x
0
, y = Каждой такой паре значений x и y соответствует определенная точка на координатной плоскости с координатами (x
0
, y
0
), и вместо того, чтобы говорить о значении функции при x = x
0
, y = y
0
,
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[67
можно говорить о значении функции в точке M
0
(x
0
, y
0
) плоскости.
Функция может быть определена на всей плоскости или только в некоторой ее части, в некоторой области. Если f (x, y) есть целый многочлен от x, y, например = f (x, y) = x
2
+ xy + y
2
− 2x + 3y + то можно считать, что эта формула определяет функцию на всей плоскости. Формула u =
p
1 − (x
2
+ определяет функцию внутри окружности x
2
+ y
2
= 1 с центром вначале координат и радиусом единица и на самой окружности,
где u = 0. Аналогом промежутка на плоскости является область,
определяемая неравенствами a
1 6
x 6 b
1
, a
2 6
y 6 b
2
. Это — прямоугольник со сторонами, параллельными осям, причем граница этого прямоугольника также включается в область. Неравенства a
1
< x < b
1
, a
2
< y < определяют только внутренние точки прямоугольника. Если граница области причисляется к ней, то область называется замкнутой. Если граница не причисляется к области,
то область называется открытой [ср. 4]. Определим понятие предела для функции f (x, y) двух переменных [ср. 32]. Положим, что функция определена во всех точках M (x, y), достаточно близких к точке M
0
(a, Определение. Говорят, что число A есть предел f (x, при стремлении M (x, y) к M
0
(a, b), и пишут lim x→a y→b f (x, y) = или lim
M→M
0
f (x, y) = если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное число η, что − f(x, y)| < если |x − a| < η и |y − b| < Заметим, что x и y стремятся к своим предельным значениями независимо друг от друга
67]
§ 6. Функция двух переменных
205
При этом предполагается, что исключена пара значений x = a,
y = b (M не совпадает с M
0
). Если точка лежит на границе той области, в которой определена f (x, y), то M , стремящаяся к M
0
, должна принадлежать области, в которой определена функция f (x, y). Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность точек M
n
(x n
, y n
), стремящаяся к M
0
(a, b), т. е.
такая, что последовательность x имеет предела последовательность предел b. Можно доказать, что если последовательность чисел u n
= f (x n
, y n
) для любой такой последовательности точек n
, y n
) имеет один и тот же предел A, то A есть предел f (x, при стремлении M (x, y) кв смысле сформулированного выше определения.
Положим, что f (x, y) определена в точках M
0
(a, b) и во всех точках, достаточно близких к M
0
(a, b) [ср. Определение. Функция f (x, y) называется непрерывной в точке M
[67
можно говорить о значении функции в точке M
0
(x
0
, y
0
) плоскости.
Функция может быть определена на всей плоскости или только в некоторой ее части, в некоторой области. Если f (x, y) есть целый многочлен от x, y, например = f (x, y) = x
2
+ xy + y
2
− 2x + 3y + то можно считать, что эта формула определяет функцию на всей плоскости. Формула u =
p
1 − (x
2
+ определяет функцию внутри окружности x
2
+ y
2
= 1 с центром вначале координат и радиусом единица и на самой окружности,
где u = 0. Аналогом промежутка на плоскости является область,
определяемая неравенствами a
1 6
x 6 b
1
, a
2 6
y 6 b
2
. Это — прямоугольник со сторонами, параллельными осям, причем граница этого прямоугольника также включается в область. Неравенства a
1
< x < b
1
, a
2
< y < определяют только внутренние точки прямоугольника. Если граница области причисляется к ней, то область называется замкнутой. Если граница не причисляется к области,
то область называется открытой [ср. 4]. Определим понятие предела для функции f (x, y) двух переменных [ср. 32]. Положим, что функция определена во всех точках M (x, y), достаточно близких к точке M
0
(a, Определение. Говорят, что число A есть предел f (x, при стремлении M (x, y) к M
0
(a, b), и пишут lim x→a y→b f (x, y) = или lim
M→M
0
f (x, y) = если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное число η, что − f(x, y)| < если |x − a| < η и |y − b| < Заметим, что x и y стремятся к своим предельным значениями независимо друг от друга
67]
§ 6. Функция двух переменных
205
При этом предполагается, что исключена пара значений x = a,
y = b (M не совпадает с M
0
). Если точка лежит на границе той области, в которой определена f (x, y), то M , стремящаяся к M
0
, должна принадлежать области, в которой определена функция f (x, y). Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность точек M
n
(x n
, y n
), стремящаяся к M
0
(a, b), т. е.
такая, что последовательность x имеет предела последовательность предел b. Можно доказать, что если последовательность чисел u n
= f (x n
, y n
) для любой такой последовательности точек n
, y n
) имеет один и тот же предел A, то A есть предел f (x, при стремлении M (x, y) кв смысле сформулированного выше определения.
Положим, что f (x, y) определена в точках M
0
(a, b) и во всех точках, достаточно близких к M
0
(a, b) [ср. Определение. Функция f (x, y) называется непрерывной в точке M
0
(a, b), если lim x→a y→b f (x, или lim
M→M
0
f (x, y) = f (a, Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Так, например, функция u =
p
1 − x
2
− непрерывна внутри круга, в котором она определена. Про нее можно также сказать,
что она остается непрерывной, если мы к кругу присоединим и его границу, те. окружность, на которой u = Пусть B — ограниченная замкнутая область на плоскости и f (x, y) — непрерывная в B функция (непрерывная внутри B и вплоть до границы B). Такая функция обладает свойствами, аналогичными свойствам функции одной независимой переменной,
непрерывной в конечном замкнутом промежутке [35]. Доказательства этих свойств, по существу, те же, что и доказательства из Сформулируем лишь результаты. Функция f (x, y) равномерно непрерывна в B, те. при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что, y
2
) − f(x
1
, y
1
)| < ε,
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[68
если (x
1
, y
1
) и (x
2
, y
2
) принадлежат B и x
1
| < η,
|y
2
− y
1
| < η.
2. Функция f (x, y) ограничена в B, те. существует такое положительное число M , что |f(x, y)| < M для всех (x, y), принадлежащих. Функция f (x, y) достигает в B наибольшего и наименьшего значений.
Обратим внимание на одно следствие, которое вытекает из определений непрерывности функций. Если f (x, y) непрерывна в точке, b) и если мы положим y = b, то функция f (x, b) одной переменной непрерывна при x = a. Аналогично, f (a, y) непрерывна при y = b.
68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных. Допустим, что у функции u = f (x, y) переменная y сохраняет постоянное значение и меняется только x, то есть u становится функцией одного x и можно вычислить ее приращение и производную. Обозначим через u приращение u, которое эта функция получает, когда y остается постоянным, а x получает приращение ∆x:
∆
x u = f (x + ∆x, y) − f(x, Производную получим, найдя предел lim
∆x→±0
∆
x u
∆x
=
lim
∆x→±0
f (x + ∆x, y) − f(x, Производная эта, вычисленная в предположении, что y остается постоянным, называется частной производной функции u пои обозначается так:
д f (x, д x
, или f
′
x
(x, y), или д д
x
Заметим, что д д нельзя толковать как дробь, но лишь как символ для обозначения частной производной. Если f (x, y) имеет частную производную по x, то она является непрерывной функцией x при фиксированном y.
[68
если (x
1
, y
1
) и (x
2
, y
2
) принадлежат B и x
1
| < η,
|y
2
− y
1
| < η.
2. Функция f (x, y) ограничена в B, те. существует такое положительное число M , что |f(x, y)| < M для всех (x, y), принадлежащих. Функция f (x, y) достигает в B наибольшего и наименьшего значений.
Обратим внимание на одно следствие, которое вытекает из определений непрерывности функций. Если f (x, y) непрерывна в точке, b) и если мы положим y = b, то функция f (x, b) одной переменной непрерывна при x = a. Аналогично, f (a, y) непрерывна при y = b.
68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных. Допустим, что у функции u = f (x, y) переменная y сохраняет постоянное значение и меняется только x, то есть u становится функцией одного x и можно вычислить ее приращение и производную. Обозначим через u приращение u, которое эта функция получает, когда y остается постоянным, а x получает приращение ∆x:
∆
x u = f (x + ∆x, y) − f(x, Производную получим, найдя предел lim
∆x→±0
∆
x u
∆x
=
lim
∆x→±0
f (x + ∆x, y) − f(x, Производная эта, вычисленная в предположении, что y остается постоянным, называется частной производной функции u пои обозначается так:
д f (x, д x
, или f
′
x
(x, y), или д д
x
Заметим, что д д нельзя толковать как дробь, но лишь как символ для обозначения частной производной. Если f (x, y) имеет частную производную по x, то она является непрерывной функцией x при фиксированном y.
68]
§ 6. Функция двух переменных
207
Точно также определяется приращение ∆
y u и частная производная от u по y, вычисленная в предложении, что x не меняется:
дf (x, д f
′
y
(x, y) д д u
∆y
=
=
lim
∆y→±0
f (x, y + ∆y) − f(x, Если, например, u = x
2
+ y
2
, то д д д д y
= Рассмотрим уравнение Клапейрона pv = С помощью этого уравнения одна из величин p, v и T может быть определена в зависимости от двух других, причем эти последние должны уже считаться независимыми переменными. Мы получим следующую таблицу:
Независимые
T, p t, v p, v переменные
Функции v
=
RT
p Частные д д
T
=
R
p
,
д д p
= д p
д
T
=
R
v
,
д д v
= −
RT
v
2
д
T
д p
=
v
R
,
д
T
д v
=
p
R
производные
Отсюда получается следующее соотношение д дT
дT
дp д д Если бы в левой части равенства мы произвели сокращение, то получили бы не (−1), а (+1). Нов этом равенстве частные производные вычислены при различных предположениях:
д д в предложении, что p постоянно;
д
T
д p
— при v постоянном;
д д v
— при T постоянном, а потому упомянутое сокращение недопустимо.
Обозначим через ∆u полное приращение функции, получаемое при одновременном изменении как x, таки, Прибавляя и вычитая f (x, y + ∆y) можем написать = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y + ∆y)] + [f(x, y + ∆y) − f(x, y)].
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[68
В первой квадратной скобке мы имеем приращение функции u при неизменном значении (y + ∆y) переменной y, во второй квадратной скобке — приращение той же функции при неизменном значении Положим, f (x, y) определена внутри некоторой области B, что точка (x, y) находится внутри B и что ∆x и ∆y взяты настолько малыми по абсолютной величине, что прямоугольник с центром, y) и длиной сторон 2|∆x| и 2|∆y| также находится внутри Предположим, кроме того, что f (x, y) имеет внутри B частные производные. Применяя к каждому из приращений, входящих в выражение ∆u, формулу Лангранжа, что мы можем сделать, так как в каждом случае меняется только одна независимая переменная, получим = f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f
′
y
(x, y + где θ и заключаются между нулем и единицей. Предполагая непрерывность частных производных д д и
д д y
, мы можем утверждать, что при стремлении ∆x и ∆y к нулю, коэффициент прибудет стремиться ка коэффициент при ∆y — ка потому имеем = [f
′
x
(x, y) + ε]∆x + [f
′
y
(x, y) + ε
1
]∆y или = f
′
x
(x, y)∆x + f
′
y
(x, y)∆y + ε∆x + где ε и ε
1
— величины бесконечно малые одновременно си Формула эта аналогична формуле = y
′
∆x + доказанной нами в случае функции одной независимой переменной. Произведения ε∆x и ε
1
∆y будут бесконечно малыми высших порядков по сравнению соответственно си Напомним, что в предыдущих рассуждениях мы исходили из предположения не только существования, но и непрерывности частных производных д д и
д д в некоторой области, содержащей точку, y) внутри себя
69]
§ 6. Функция двух переменных
209
В сумме первых двух слагаемых в правой части формулы (заменим ∆x и ∆y произвольными величинами dx и dy (дифференциалами независимых переменных. Мы получим таким путем выражение du = f
′
x
(x, y)dx + f
′
y
(x, или du д д dx +д д которое называется полным дифференциалом функции u [ср. Ввиду вышеуказанных свойств ε∆x и ε
1
∆y можно сказать, что при малых значениях |dx| и |dy| полный дифференциал du дает приближенное значение полного приращения ∆u, соответствующее приращениями независимых переменных С другой стороны, очевидно, что произведения д д dx и д д dy дают приближенную величину приращений ∆
x u и ∆
y u, и, таким образом, при малых приращениях независимых переменных полное приращение функции приближенно равно сумме ее частных приращений Равенство (2) выражает весьма важное свойство функций от нескольких независимых переменных, которое можно назвать
«свойством наложимости малых действий. Сущность его заключается в том, что соединенный эффект от нескольких малых действий и ∆y с достаточной точностью может быть заменен суммой эффектов от каждого малого действия в отдельности. Производные сложных и неявных функций. Положим теперь что функция u = f (x, y) зависит через посредство x и y от одной независимой переменной t, те. допустим, что x и y суть не независимые переменные, но функции независимой переменной и определим производную du dt от u по Если независимая переменная t получит приращение ∆t, то функции x и y получат соответственно приращения ∆x и ∆y, а u получит приращение ∆u:
∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y).
70]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
211
Подставляя y = ϕ(x) в уравнение (5), мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как y = ϕ(x) есть решение уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от x, которая зависит от x как непосредственно, таки через посредство y = ϕ(x). Производная по x от этой постоянной должна равняться нулю применяя правило, получим, y) + F
′
y
(x, y)y
′
= откуда y
′
= −
F
′
x
(x, y)
F
′
y
(x, В полученное таким образом выражение для может войти как x, таки, и если нужно получить выражение только через независимую переменную x, то придется решить уравнение (относительно y.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ. Дифференциал дуги. В интегральном исчислении будет показано, каким образом находится длины дуги кривой, будет выведено выражение для дифференциала длины дуги и будет доказано, что отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги стремится к единице, когда дуга беспредельно сжимается к точке.
Рис. Пусть дана некоторая кривая y =
f (x), и будем отсчитывать на ней длину дуги от некоторой фиксированной точки A в определенном направлении (рис. 73). Пусть s — длина дуги AM от точки A до переменной точки M . Величина s, как и ордината, является функцией абсциссы точки M . Если направление совпадает с принятым направлением
[68
В первой квадратной скобке мы имеем приращение функции u при неизменном значении (y + ∆y) переменной y, во второй квадратной скобке — приращение той же функции при неизменном значении Положим, f (x, y) определена внутри некоторой области B, что точка (x, y) находится внутри B и что ∆x и ∆y взяты настолько малыми по абсолютной величине, что прямоугольник с центром, y) и длиной сторон 2|∆x| и 2|∆y| также находится внутри Предположим, кроме того, что f (x, y) имеет внутри B частные производные. Применяя к каждому из приращений, входящих в выражение ∆u, формулу Лангранжа, что мы можем сделать, так как в каждом случае меняется только одна независимая переменная, получим = f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f
′
y
(x, y + где θ и заключаются между нулем и единицей. Предполагая непрерывность частных производных д д и
д д y
, мы можем утверждать, что при стремлении ∆x и ∆y к нулю, коэффициент прибудет стремиться ка коэффициент при ∆y — ка потому имеем = [f
′
x
(x, y) + ε]∆x + [f
′
y
(x, y) + ε
1
]∆y или = f
′
x
(x, y)∆x + f
′
y
(x, y)∆y + ε∆x + где ε и ε
1
— величины бесконечно малые одновременно си Формула эта аналогична формуле = y
′
∆x + доказанной нами в случае функции одной независимой переменной. Произведения ε∆x и ε
1
∆y будут бесконечно малыми высших порядков по сравнению соответственно си Напомним, что в предыдущих рассуждениях мы исходили из предположения не только существования, но и непрерывности частных производных д д и
д д в некоторой области, содержащей точку, y) внутри себя
69]
§ 6. Функция двух переменных
209
В сумме первых двух слагаемых в правой части формулы (заменим ∆x и ∆y произвольными величинами dx и dy (дифференциалами независимых переменных. Мы получим таким путем выражение du = f
′
x
(x, y)dx + f
′
y
(x, или du д д dx +д д которое называется полным дифференциалом функции u [ср. Ввиду вышеуказанных свойств ε∆x и ε
1
∆y можно сказать, что при малых значениях |dx| и |dy| полный дифференциал du дает приближенное значение полного приращения ∆u, соответствующее приращениями независимых переменных С другой стороны, очевидно, что произведения д д dx и д д dy дают приближенную величину приращений ∆
x u и ∆
y u, и, таким образом, при малых приращениях независимых переменных полное приращение функции приближенно равно сумме ее частных приращений Равенство (2) выражает весьма важное свойство функций от нескольких независимых переменных, которое можно назвать
«свойством наложимости малых действий. Сущность его заключается в том, что соединенный эффект от нескольких малых действий и ∆y с достаточной точностью может быть заменен суммой эффектов от каждого малого действия в отдельности. Производные сложных и неявных функций. Положим теперь что функция u = f (x, y) зависит через посредство x и y от одной независимой переменной t, те. допустим, что x и y суть не независимые переменные, но функции независимой переменной и определим производную du dt от u по Если независимая переменная t получит приращение ∆t, то функции x и y получат соответственно приращения ∆x и ∆y, а u получит приращение ∆u:
∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y).
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[69
В [68] мы видели, что приращение можно написать в виде = f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f
′
y
(x, y + Разделим обе части этого равенства на ∆t:
∆u
∆t
= f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)
∆x
∆t
+ f
′
y
(x, y + Мы предполагали, что x и y допускают производную по t, а следовательно, и подавно будут непрерывными функциями от Поэтому при стремлении ∆t к нулю ∆x и ∆y также будут стремиться к нулю, ив силу предполагаемой непрерывности du dx и написанное равенство в пределе даст нам du dt
= f
′
x
(x, y)
dx dt
+ f
′
y
(x, y)
dy Равенство это выражает правило дифференцирования сложной функции в случае функции нескольких переменных.
Предположим, в частности, что роль независимой переменной t играет переменная x, те. что функция u = f (x, y) зависит от независимой переменной x как непосредственно, таки через посредство переменной y, которая является функцией от x. Принимая во внимание, что dx dx
= 1, получим на основании равенства (3)
du dx
= f
′
x
(x, y) + f
′
y
(x, y)
dy Производная du dx называется полной производной от u по x в отличие от частной производной f
′
x
(x, Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной неявной функции. Положим, что уравнение (x, y) = определяет y как неявную функцию от x, имеющую производную y
′
= ϕ
′
(x).
[69
В [68] мы видели, что приращение можно написать в виде = f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f
′
y
(x, y + Разделим обе части этого равенства на ∆t:
∆u
∆t
= f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)
∆x
∆t
+ f
′
y
(x, y + Мы предполагали, что x и y допускают производную по t, а следовательно, и подавно будут непрерывными функциями от Поэтому при стремлении ∆t к нулю ∆x и ∆y также будут стремиться к нулю, ив силу предполагаемой непрерывности du dx и написанное равенство в пределе даст нам du dt
= f
′
x
(x, y)
dx dt
+ f
′
y
(x, y)
dy Равенство это выражает правило дифференцирования сложной функции в случае функции нескольких переменных.
Предположим, в частности, что роль независимой переменной t играет переменная x, те. что функция u = f (x, y) зависит от независимой переменной x как непосредственно, таки через посредство переменной y, которая является функцией от x. Принимая во внимание, что dx dx
= 1, получим на основании равенства (3)
du dx
= f
′
x
(x, y) + f
′
y
(x, y)
dy Производная du dx называется полной производной от u по x в отличие от частной производной f
′
x
(x, Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной неявной функции. Положим, что уравнение (x, y) = определяет y как неявную функцию от x, имеющую производную y
′
= ϕ
′
(x).
70]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
211
Подставляя y = ϕ(x) в уравнение (5), мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как y = ϕ(x) есть решение уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от x, которая зависит от x как непосредственно, таки через посредство y = ϕ(x). Производная по x от этой постоянной должна равняться нулю применяя правило, получим, y) + F
′
y
(x, y)y
′
= откуда y
′
= −
F
′
x
(x, y)
F
′
y
(x, В полученное таким образом выражение для может войти как x, таки, и если нужно получить выражение только через независимую переменную x, то придется решить уравнение (относительно y.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ. Дифференциал дуги. В интегральном исчислении будет показано, каким образом находится длины дуги кривой, будет выведено выражение для дифференциала длины дуги и будет доказано, что отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги стремится к единице, когда дуга беспредельно сжимается к точке.
Рис. Пусть дана некоторая кривая y =
f (x), и будем отсчитывать на ней длину дуги от некоторой фиксированной точки A в определенном направлении (рис. 73). Пусть s — длина дуги AM от точки A до переменной точки M . Величина s, как и ордината, является функцией абсциссы точки M . Если направление совпадает с принятым направлением
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[70
кривой, то s > 0, а в противном случае s < 0. Пусть M (x, y) и (x + ∆x, y + ∆y) — две точки кривой и ∆s — разность длин дуги, те. приращение длины дуги при переходе изв Абсолютное значение ∆s есть длина дуги M N , взятая со знаком плюс. Из прямоугольного треугольника имеем N )
2
= ∆x
2
+ откуда N )
2
∆x
2
= 1 +
или M N
∆s
2
∆s
∆x
2
= 1 +
Касательная M T , если она существует, является предельным положением секущей M N при стремлении N к M вдоль кривой,
т. е. при ∆x → Переходя к пределу в предыдущем равенстве (предполагается существование касательной, получим, принимая во внимание, что,
в силу сказанного выше 1:
ds dx
2
= 1 +
dy или ds dx
= ±
p
1 + Мы должны брать знак (+), если при возрастании x и s возрастает, и знак (−), если s убывает при возрастании x. Будем для определенности считать, что имеет место первый случай (изображенный на рис. 73). Из формулы (1) при этом следует ds =
p
1 + y
′2
dx или, в силу y
′
=
dy dx
,
ds =
p dx
2
+ те+ Если радикал считается положительным, то получается арифметическое значение ds. Формула (2) является, по существу, иной записью предыдущей формулы или формулы (1). Она, как мы увидим
70]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
213
в дальнейшем, удобна для приложений. Более подробнее рассмотрение длины дуги будет дано в Естественным параметром при определении положения точки на кривой является длина s дуги AM . Эту величину s можно принять за независимую переменную, и при этом координаты (x, точки M будут функциями s:
x = ϕ(s),
y = Более подробно мы будем говорить о параметрическом задании кривой в [74]. Теперь мы выясним геометрический смысл производных от x и y по Положим, что точка N расположена так, что направление дуги совпадает с принятым направлением кривой, те При стремлении N к M направление секущей M N в пределе дает определенное направление касательной к кривой в точке M . Это направление касательной мы назовем положительным направлением касательной. Оно связано с принятым направлением самой кривой.
Пусть α
1
— угол, образованный направлением M N с положительным направлением оси OX. Приращение ∆x абсциссы x есть проекция отрезка M N на ось OX, и, следовательно = M N
· cos α
1
(M N =
p
∆x
2
+ причем в этом равенстве M N считается положительным. Деля обе части этого равенства на длину дуги M N , равную ∆s, получим+ ∆y
2
∆s cos По условию ∆s > 0, а потому при стремлении N к M отношение стремится ка угол стремится к углу образованному положительным направлением касательной M T с положительным направлением оси OX. Написанное выше равенство даст нам в пределе cos α =
dx ds
[70
кривой, то s > 0, а в противном случае s < 0. Пусть M (x, y) и (x + ∆x, y + ∆y) — две точки кривой и ∆s — разность длин дуги, те. приращение длины дуги при переходе изв Абсолютное значение ∆s есть длина дуги M N , взятая со знаком плюс. Из прямоугольного треугольника имеем N )
2
= ∆x
2
+ откуда N )
2
∆x
2
= 1 +
или M N
∆s
2
∆s
∆x
2
= 1 +
Касательная M T , если она существует, является предельным положением секущей M N при стремлении N к M вдоль кривой,
т. е. при ∆x → Переходя к пределу в предыдущем равенстве (предполагается существование касательной, получим, принимая во внимание, что,
в силу сказанного выше 1:
ds dx
2
= 1 +
dy или ds dx
= ±
p
1 + Мы должны брать знак (+), если при возрастании x и s возрастает, и знак (−), если s убывает при возрастании x. Будем для определенности считать, что имеет место первый случай (изображенный на рис. 73). Из формулы (1) при этом следует ds =
p
1 + y
′2
dx или, в силу y
′
=
dy dx
,
ds =
p dx
2
+ те+ Если радикал считается положительным, то получается арифметическое значение ds. Формула (2) является, по существу, иной записью предыдущей формулы или формулы (1). Она, как мы увидим
70]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
213
в дальнейшем, удобна для приложений. Более подробнее рассмотрение длины дуги будет дано в Естественным параметром при определении положения точки на кривой является длина s дуги AM . Эту величину s можно принять за независимую переменную, и при этом координаты (x, точки M будут функциями s:
x = ϕ(s),
y = Более подробно мы будем говорить о параметрическом задании кривой в [74]. Теперь мы выясним геометрический смысл производных от x и y по Положим, что точка N расположена так, что направление дуги совпадает с принятым направлением кривой, те При стремлении N к M направление секущей M N в пределе дает определенное направление касательной к кривой в точке M . Это направление касательной мы назовем положительным направлением касательной. Оно связано с принятым направлением самой кривой.
Пусть α
1
— угол, образованный направлением M N с положительным направлением оси OX. Приращение ∆x абсциссы x есть проекция отрезка M N на ось OX, и, следовательно = M N
· cos α
1
(M N =
p
∆x
2
+ причем в этом равенстве M N считается положительным. Деля обе части этого равенства на длину дуги M N , равную ∆s, получим+ ∆y
2
∆s cos По условию ∆s > 0, а потому при стремлении N к M отношение стремится ка угол стремится к углу образованному положительным направлением касательной M T с положительным направлением оси OX. Написанное выше равенство даст нам в пределе cos α =
dx ds
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[71
Точно также, проектируя M N на ось OY , получим sin α =
dy ds
71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. Случаи выпуклости и вогнутости кривой в сторону положительных ординат представлены на рис. 74 и Рис. Рис. Одна и та же кривая y = f (x) может, конечно, состоять и из выпуклых и из вогнутых частей (рис. 76). Точки, отделяющие выпук-
Рис. 76.
лые части кривой от ее вогнутых частей, называются точками перегиба. Если будем, двигаясь по кривой в сторону возрастания x, следить за изменением угла α, образуемого касательной с положительным направлением оси OX, то увидим (рис. что на участках выпуклости этот угол убывает, а на участках вогнутости возрастает. Такое же изменение, следовательно, будет претерпевать и tg α, те. производная f
′
(x), так как с увеличением
(уменьшением) угла α и tg α увеличивается (уменьшается. Но промежутки убывания f
′
(x) суть те промежутки, где производная этой функции отрицательна, те, и точно также промежутки возрастания f
′
(x) суть те промежутки, где f
′′
(x) > 0. Мы получим,
таким образом, теорему:
Кривая обращена выпуклостью в сторону положительных ординат на тех участках, где f
′′
(x) < 0, и вогнутостью на тех, где
71]
§ 7. Некоторые геометрические приложения) > 0. Точки перегиба суть те ее точки, при переходе через которые f
′′
(x) меняет знак.
*
Из этой теоремы мы путем рассуждений, аналогичных приведенным раньше рассуждениям [58], получаем правило нахождения точек перегиба кривой чтобы найти точки перегиба кривой, надо определить те значения x, при которых f
′′
(x) обращается в нуль или не существует, и исследователь изменение знака f
′′
(x) при переходе через эти значения x, пользуясь следующей таблицей:
f
′′
(x)
точка перегиба нет точки перегиба
+−
−+
−−
++
вогн. вып.
вып. вогн.
выпукл.
вогн.
Наиболее естественное представление об искривлении кривой мы получим, если будем следить за изменением угла α, составляемого касательной с осью OX при движении по кривой. Из двух дуг
Рис. одинаковой длины ∆s та дуга будет более искривлена, для которой касательная повернется на больший угол, те. для которой приращение будет больше. Эти соображения приводят нас к понятию о средней кривизне ∆s и о кривизне в данной точке средней кривизной дуги ∆s называется абсолютная величина отношения угла ∆α между касательными в концах этой дуги к длине ∆s дуги. Предел этого отношения при стремлении ∆s к нулю называется кривизной кривой в данной точке (рис. Таким образом, для кривизны C мы получаем выражение Но tg α есть первая производная y
′
, те откуда, дифференцируя по x сложную функцию arc tg y
′
:
dα =
y
′′
1 + Также принято говорить о выпуклости вверх и о выпуклости вниз
71]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
217
или
R =
1
r
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y причем значение корня берется положительным.
В случае прямой линии y есть многочлен первой степени от а потому тождественно равна нулю, те. вдоль всей прямой кривизна равна нулю, а радиус кривизны — бесконечности.
В случае окружности радиуса r будем иметь, очевидно (рис. 78):
∆s = и R = lim
∆s
∆α
= те. радиус кривизны вдоль всей окружности постоянен. Впоследствии мы увидим, что таким свойством обладает только окруж- ность.
Рис. Рис. Заметим, что изменение радиуса кривизны совсем не так наглядно,
как изменение касательной. Рассмотрим линию, состоящую из отрезка прямой и дуги BC окружности, касательной к отрезку в конце (рис. 79). На участке AB радиус кривизны равен бесконечности,
на участке же BC он равен радиусу окружности r и, таким образом, в точке B он терпит разрыв непрерывности, хотя при этом направление касательной меняется непрерывно. Этим обстоятельством объясняются толчки вагонов на поворотах. Допустим, что величина скорости движения вагона v остается неизменной. В этом случае, как известно из механики, сила будет направлена по нормали к траектории и равна m где m есть масса движущегося тела и R — радиус кривизны траектории.
[71
Точно также, проектируя M N на ось OY , получим sin α =
dy ds
71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. Случаи выпуклости и вогнутости кривой в сторону положительных ординат представлены на рис. 74 и Рис. Рис. Одна и та же кривая y = f (x) может, конечно, состоять и из выпуклых и из вогнутых частей (рис. 76). Точки, отделяющие выпук-
Рис. 76.
лые части кривой от ее вогнутых частей, называются точками перегиба. Если будем, двигаясь по кривой в сторону возрастания x, следить за изменением угла α, образуемого касательной с положительным направлением оси OX, то увидим (рис. что на участках выпуклости этот угол убывает, а на участках вогнутости возрастает. Такое же изменение, следовательно, будет претерпевать и tg α, те. производная f
′
(x), так как с увеличением
(уменьшением) угла α и tg α увеличивается (уменьшается. Но промежутки убывания f
′
(x) суть те промежутки, где производная этой функции отрицательна, те, и точно также промежутки возрастания f
′
(x) суть те промежутки, где f
′′
(x) > 0. Мы получим,
таким образом, теорему:
Кривая обращена выпуклостью в сторону положительных ординат на тех участках, где f
′′
(x) < 0, и вогнутостью на тех, где
71]
§ 7. Некоторые геометрические приложения) > 0. Точки перегиба суть те ее точки, при переходе через которые f
′′
(x) меняет знак.
*
Из этой теоремы мы путем рассуждений, аналогичных приведенным раньше рассуждениям [58], получаем правило нахождения точек перегиба кривой чтобы найти точки перегиба кривой, надо определить те значения x, при которых f
′′
(x) обращается в нуль или не существует, и исследователь изменение знака f
′′
(x) при переходе через эти значения x, пользуясь следующей таблицей:
f
′′
(x)
точка перегиба нет точки перегиба
+−
−+
−−
++
вогн. вып.
вып. вогн.
выпукл.
вогн.
Наиболее естественное представление об искривлении кривой мы получим, если будем следить за изменением угла α, составляемого касательной с осью OX при движении по кривой. Из двух дуг
Рис. одинаковой длины ∆s та дуга будет более искривлена, для которой касательная повернется на больший угол, те. для которой приращение будет больше. Эти соображения приводят нас к понятию о средней кривизне ∆s и о кривизне в данной точке средней кривизной дуги ∆s называется абсолютная величина отношения угла ∆α между касательными в концах этой дуги к длине ∆s дуги. Предел этого отношения при стремлении ∆s к нулю называется кривизной кривой в данной точке (рис. Таким образом, для кривизны C мы получаем выражение Но tg α есть первая производная y
′
, те откуда, дифференцируя по x сложную функцию arc tg y
′
:
dα =
y
′′
1 + Также принято говорить о выпуклости вверх и о выпуклости вниз
Гл. II. Понятие о производной и его приложения
[71
Как мы только что показали ds = ±
p
1 + Деля dα на ds, получим окончательно выражение для кривизны = ±
y
′′
(1 + На участках выпуклости надо брать знака на участках вогнутости знак (+) для того, чтобы C получило положительное значе- ние.
В тех точках кривой, где не существует производных или не существует и кривизны. Вблизи тех точек, где обращается в нуль, и, следовательно, кривизна обращается в нуль, кривая походит напрямую. Это будет, например, вблизи точек перегиба.
Положим, что координаты x, y точек кривой выражены через длину дуги s. В этом случае, как мы видели cos α =
dx ds
,
sin α =
dy Угол α будет также функцией s, и, дифференцируя написанные равенства по s, получим sin α
dα
ds
=
d
2
x ds
2
,
cos α
dα
ds
=
d
2
y Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, будем иметь dα
dx
2
=
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y или C
2
=
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y откуда =
r
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны.
Для радиуса кривизны R мы будем иметь, в силу (5), следующее выражение =
ds dα
= ±
(1 + y
′2
)
3
/
2
y
′′
,
(6)
[71
Как мы только что показали ds = ±
p
1 + Деля dα на ds, получим окончательно выражение для кривизны = ±
y
′′
(1 + На участках выпуклости надо брать знака на участках вогнутости знак (+) для того, чтобы C получило положительное значе- ние.
В тех точках кривой, где не существует производных или не существует и кривизны. Вблизи тех точек, где обращается в нуль, и, следовательно, кривизна обращается в нуль, кривая походит напрямую. Это будет, например, вблизи точек перегиба.
Положим, что координаты x, y точек кривой выражены через длину дуги s. В этом случае, как мы видели cos α =
dx ds
,
sin α =
dy Угол α будет также функцией s, и, дифференцируя написанные равенства по s, получим sin α
dα
ds
=
d
2
x ds
2
,
cos α
dα
ds
=
d
2
y Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, будем иметь dα
dx
2
=
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y или C
2
=
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y откуда =
r
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны.
Для радиуса кривизны R мы будем иметь, в силу (5), следующее выражение =
ds dα
= ±
(1 + y
′2
)
3
/
2
y
′′
,
(6)
71]
§ 7. Некоторые геометрические приложения
217
или
R =
1
r
d
2
x ds
2
2
+
d
2
y причем значение корня берется положительным.
В случае прямой линии y есть многочлен первой степени от а потому тождественно равна нулю, те. вдоль всей прямой кривизна равна нулю, а радиус кривизны — бесконечности.
В случае окружности радиуса r будем иметь, очевидно (рис. 78):
∆s = и R = lim
∆s
∆α
= те. радиус кривизны вдоль всей окружности постоянен. Впоследствии мы увидим, что таким свойством обладает только окруж- ность.
Рис. Рис. Заметим, что изменение радиуса кривизны совсем не так наглядно,
как изменение касательной. Рассмотрим линию, состоящую из отрезка прямой и дуги BC окружности, касательной к отрезку в конце (рис. 79). На участке AB радиус кривизны равен бесконечности,
на участке же BC он равен радиусу окружности r и, таким образом, в точке B он терпит разрыв непрерывности, хотя при этом направление касательной меняется непрерывно. Этим обстоятельством объясняются толчки вагонов на поворотах. Допустим, что величина скорости движения вагона v остается неизменной. В этом случае, как известно из механики, сила будет направлена по нормали к траектории и равна m где m есть масса движущегося тела и R — радиус кривизны траектории.
1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 ... 43